c05

Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr seria 5

1. Wyznaczyć baze i wymiar podprzestrzeni Lin{v

1, v2, . . . , v5} ⊆ K 4, je żeli v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (2, 1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1, 1), v4 = (1, 2, 3, 4), v5 = (0, 1, 2, 3).

2. Wyznaczyć wymiary sumy i cześci wspólnej podprzestrzeni Lin(X) i Lin(Y ), jeżeli

(a) X = {(1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}, Y = {(1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)}; (b) X = {(1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1), (1, 3, 1, 3)}, Y = {(1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)}; (c) X = {(2, −1, 0, −2), (3, −2, 1, 0), (1, −1, 1, −1)}, Y = {(3, −1, −1, 0), (0, −1, 2, 3), (5, −2, −1, 0)};

3. Roz lożyć przestrzeń liniowa

4 nad

e prosta U ⊕ W , tak żeby

, R

R na sum ,

U = Lin{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0)}.

4. Czy dla przestrzeni R[x]5 (wielomianów stopnia co najwyżej 5-ego) zachodzi równość: R[x]5 = U ⊕ V ⊕ W,

gdzie U = Lin(1, x3), V = Lin(x2 + 1, 2 + x), W = Lin(x4 + 1, x5 + x2)?

5. Roz lożyć podprzestrzeń

V = {(x

1, x2, x3, x4) ∈ R

| x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0}

przestrzeni liniowej

R nad R na sume prosta podprzestrzeni jednowymiarowych.

6. Wykazać, że zbiór {(x, y, z) ∈

R | x + 2y + 3z = 2} jest warstwa pewnego wektora v ∈

wzgledem pewnej podprzestrzeni V przestrzeni liniowej 3 nad

a wyznaczone

R. Czy v i V s ,

jednoznacznie?

7. Niech podprzestrzenie U, V ⊆

R beda określone nastepujaco:

U = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + · · · + xn = 0}, V = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 = x2 = · · · = xn}.

Wykazać, że

= U ⊕ V oraz wyznaczyć rzuty wektorów jednostkowych na podprzestrzeń U

wzd luż podprzestrzeni V (Uwaga: Jeżeli V = U ⊕ W oraz v = u + w, gdzie u ∈ U, w ∈ W , to u nazywa sie rzutem wektora v na U wzd luż podprzestrzeni W ).

8. W przestrzeni

R określamy podprzestrzenie

U = Lin{(1, 1, 1, 1), (−1, −2, 0, 1)}, V = Lin{(−1, −1, 1, −1), (2, 2, 0, 1)}.

Wykazać, że

R = U ⊕ V i znaleźć rzut wektora (2, 1, 2, 2) na podprzestrzeń U wzd luż V .

9. Niech V bedzie jednowymiarowa przestrzenia liniowa nad cia lem K. Wyznaczyć wszystkie

przekszta lcenia liniowe ϕ : V −→ V .

10. Niech ϕ :

R −→ R bedzie takim przekszta lceniem liniowym, że

ϕ((1, 1, 1)) = (2, 1, 2), ϕ((1, 1, 0)) = (0, 1, 0), ϕ((1, 0, 0)) = (3, 1, 5).

Zaleźć ϕ((0, 0, 1)), ϕ((3, 2, 1)), ϕ((1, −1, 0)).

11. Dla danego przekszta lcenia liniowego ϕ wyznaczyć wymiary Ker ϕ, Im ϕ, jeżeli (a) ϕ :

R −→ R , ϕ((x, y, z)) = (x, y + 2z); (b) ϕ :

R −→ R , ϕ((x, y, z)) = (x, y + 2z, x − y, 2z); (c) ϕ :

R −→ R , ϕ((x, y, z)) = (x, y + z, x + y + z); (d) ϕ :

R −→ R , ϕ((x, y, z, t)) = (x + z, y + t).

12. Wykazać, że jeśli ϕ : V −→ W jest przekszta lceniem liniowym i U jest podprzestrzenia, przestrzeni liniowej W , to przeciwobraz ϕ−1(U ) jest podprzestrzenia przestrzeni V oraz jeśli

U ⊆ Im ϕ, to

ϕ(ϕ−1(U )) = U.