CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI

Zad.1. Zbadać ciągłość funkcji, w przypadku nieciągłości, określić jej rodzaj

1.

( )









>

≤

=

1

dla

1

ln

1

dla

arctg

x

x

x

x

x

f

2.

( )









>

≤

+

+

=

0

dla

sin

0

dla

1

5

2

x

x

x

x

x

x

x

f

3.

( )













≥

+

<

≤

−

<

=

1

dla

3

5

1

0

dla

0

dla

2

1

x

x

x

x

x

x

e

x

f

x

Zad.2. Zbadać ciągłość funkcji i narysować jej wykres

( )

1

2

2

3

dla

2

3

2

3

dla

2

1

1

dla

2

0

2

1

3

log

dla

0

2

2

5

dla

2

x

x

x

x

x

f x

x

x

x

−



>



−



= −





 



+

− < ≤

=

 

 









+

< ≤















< −



Zad.3. Dla jakich wartości parametru A funkcja jest ciągła:

1.

( )

2

3

2

dla

1

1

dla

1

x

x

x

f x

x

A

x



−

+

≠



=

−





=



2.

( )

3

2

dla

1

1

dla

1

x

x

x

x

h x

A

x



−

≠



−

=





=



3.

( )

3

2

sin

dla

0

1

dla

0

1

2

Ax

x

x

g x

x

x

x

x



<



=



−



≤ <



+ −



Zad.4. Wyznaczyć parametry a i b tak, aby funkcja była ciągła:

1.

( )

2

2

0

1

0

1

1

ax

b

x

f x

ax

bx

x

x

x

a

x

+

≤





=

+

+

< <





+ +

≥



2.

( )

3

2

2

1

2

2

2

2

2

x

ax

bx

x

f x

x

bx

a

x

bx

a

x



+

+

+

≤ −



=

+

+

− < ≤





+

>



3.

( )

(

)

(

( )

)

3

1

dla

,0

dla

0,1

dla

1,

x

x

k x

ax

b

x

x

x



−

∈ −∞



=

+

∈





∈ + ∞



Zad. 5. Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji w podanym punkcie

1.

( )

2

3

−

=

x

x

f

,

0

x

x

=

2.

( )

2

5

3

+

=

x

x

g

,

0

x

x

=

3.

( )

t

t

h

2

cos

=

,

0

t

t

=

Zad. 6. Obliczyć pochodne funkcji:

1.

( )

5

3

5

3

4

1

2

4

x

x

x

x

f

+

+

=

2.

( )

x

e

x

x

g

x

sin

2

2

=

3.

( )

5

1

ln

+

=

z

e

z

f

4.

( )

x

x

x

f

2

1

1

+

+

=

5.

( )

3

2

1

1

sin

x

x

arc

x

g

+

−

=

6.

( )

p

p

e

tg

p

h

2

ln

2

sin

2

5

8

1

4

ln

+

=

7.

( )

t

t

t

g

arcsin

1

arcsin

1

+

−

=

8.

( ) (

)

0

,

>

=

x

arctgx

x

h

x

9.

( )

x

x

x

f

x

x

ln

log

+

=