Lista 7,

Kierunek: AiR, sem. I, 2008/2009

Granica, ci

,

ag lo´

s´

c i pochodna funkcji jednej zmiennej

1.

Wyznacz asymptoty funkcji:

a) u(x) =

x

3

+x

2

x

2

−4

,

b) v(x) =

x−3

√

x

2

−9

,

c) w(x) =

sin x
x−π

,

d) z(x) =

cos(πx)

2

x

−8

,

e) f (x) =

√

1+x

2

x

,

f) g(x) =

x

3

(x+1)

2

,

g) h(x) = x − arctgx,

h) p(x) =

1

e

x

−1

,

i) q(x) =

1−x

2

x+1

,

j) r(x) =

sin

2

x

x

3

,

k) f (t) =

sin t

t

,

l) g(t) =

t

3

−1

|t−1|

m) h(t) =

1

1−t

2

,

n) p(t) = e

−t

sin t + t.

2.

Okre´

sl zbiory punkt´

ow ci

,

ag lo´

sci nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a) f (x) =



1

dla

x = 0 lub π

π sin x

x(x−π)

dla

x 6= 0 i π

,

b) g(x) =







x cos

1

x

dla

x < 0

0

dla

x = 0

√

x sin

1

√

x

dla

x > 0

,

c) h(x) =



√

1−cos 2x

x

dla

x 6= 0

2

dla

x = 0

,

d) z(x) =



1

dla

x = kπ, k ∈ Z

x

sin x

dla

x 6= kπ, k ∈ Z

,

e) u(x) =



0

dla

x ≤ 0

√

x cos

1

x

2

dla

x > 0

,

f) v(x) =

(

t

3

−t

2

|t−1|

dla

t 6= 1

1

dla

t = 1

,

g) g(t) =



t sin

1

t

dla

t 6= 0

0

dla

t = 0

.

3.

Dobierz parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje by ly ci

,

ag le we

wskazanych punktach:

a) u(x) =







2

dla

x ≤ 0

a

x

+ b

dla

0 < x < 1

3

dla

x ≥ 1

,

w x

1

= −1,

x

2

= 0,

b) u(x) =



sin x

dla

|x| ≥

π

2

ax + b

dla

|x| <

π

2

,

w x

1

= −

π

2

, x

2

=

π

2

c) w(x) =



x

2

+ ax + b

dla

|x| < 2

x

√

x

2

− 4

dla

|x| ≥ 2

,

w x

1

= −2,

x

2

= 2,

d) k(x) =



a sin x + b cos x

dla

|x| > 4

1 + tgx

dla

|x| ≤ 4

,

w x

1

= −

π

4

,

x

2

=

π

4

,

e) u(x) =



bx

dla

x < π

sin x

ax

dla

x ≥ π

,

w x

0

= π,

f) u(x) =



bx + 3

dla

x < 1

2x

2

+ x + a

dla

x ≥ 1

,

w x

0

= 1,

g) h(x) =







(x − 1)

3

dla

x ≤ 0

ax + b

dla

0 < x < 1

√

x

dla

x ≥ 1

,

w x

1

= 0, x

2

= 1,

h) p(t) =



t

dla

|t| ≤ 1

t

2

+ at + b

dla

|t| > 1

,

w x

1

= −1, x

2

= 1

4.

Oblicz pochodne nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a)

1
3

x

3

−

3
2

x

4

+

13
15

x

5

− 2x

6

,

b)

4

x

3

,

c) 3x

7
3

− 4x

13

4

+

4
7

x

−1

2

d)

√

x −

5
6

5

√

x

3

− 2

√

x

3

,

e) (2

3

√

x

2

− x)(4

3

√

x

4

+ 2

3

√

x

5

+ x

2

),

f)

3

x−2

,

g)

5

2x

2

−5x+1

,

h) 2

x+1
x−1

,

i)

x

2

−2x+3

x

2

+2x−3

j)

3

(1−x

2

)(1−2x

3

)

,

k) (3t + 1)

7

,

l) (7t

2

−

4

t

+ 6)

6

,

m)

√

x

2

− 4,

n)

1

√

6t−t

2

,

o)

1

3

√

(2−x

3

)

4

,

p) f (x) =

5

n

√

(a+bx)

p

,

q)

x

2

3

√

x

3

+1

,

r)

q

x

2

−3x+6

12−x−7x

2

,

s) sin

2

3t,

t) f (t) = cos

t

a

, a 6= 0,

u)

5

sin

3

2t

,

v)

sin t+cos t

2 sin 2t

,

w)

x sin x
1+tgx

,

x) tg

4

√

x,

y) 3ctgx + ctg

3

x,

z) x

2

e

2x

sin x

5.

Oblicz pochodne nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a) cos

2

q

1

x

,

b)

q

1 + tg(x +

1

x

),

c)

q

sin x +

p

x + 2

√

x,

d) arccos 3x,

e) arcsin

√

1 − t,

f) arccos

1

√

1−t

2

,

g) arcsin

ln x

x

,

h) arctg

√

x

2

− 1 −

ln x

√

2x

2

−1

,

i)

xarctgx−{1

2 ln(x

2

+2)

,

j) arctg

q

1−x
1+x

,

k)

q

1−arcsin y

1+arccos y

,

l) e

sin t

,

m) cos

2

e

x

,

n)

(2x−1)e

−x

2

√

x

,

o) 3

ln x

(

√

3x)

3

,

p) ln

q

1+t

1−t

2

,

q) ln | ln |x| + 1|,

r) ln

q

1+2 sin x

1−sin 2x

,

s) ln(ln(ln

√

x)),

t) ln sin

1

3t

,

u) x

5x

, x > 0,

v) x

sin x

, x > 0,

w)

x

√

x,

x) (sin x)

cos x

, 0 < x <

π

2

,

y) (arctgx)

x

, x > 0,

z) (tgt)

cos t

, 0 < t <

π

2

.

6.

Oblicz drug

,

a pochodn

,

a nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a) arccos x,

b) (arcsin x)

2

,

c) ln(1 + x

2

), d) xe

sin x

.

7.

Oblicz trzeci

,

a pochodn

,

a nast

,

epuj

,

acych funkcji:

a)

5

√

x

3

,

b)

1+t
1−t

,

c) sin(1 − 3x), d) x

3

ln x,

e) sin

3

x + cos

3

x,

f) arctgt, g) x

3

−

2

x

,

f)

e

x

x

.

8.

Oblicz warto´

s´

c drugiej pochodnej danej funkcji we wskazanym punkcie:

a) arcsin x w x

0

= 0,

b)

x+2

x

2

−3x

w x

0

= 2.