Zajęcia 2.

Miary wrażliwości odzwierciedlają wpływ czynników ryzyka na zmienną ryzyka. Im bardziej zmienna ryzyka jest wrażliwa na zmienne ryzyka, tym większe ryzyko. Ogólnie zależność zmiennej ryzyka od czynników ryzyka możemy zapisać:

=

,

, … ,

,

gdzie

– czynniki ryzyka.

Ponieważ zmienna ryzyka jest zmienną losową to również funkcja f jest losowa. Formalnie wymaga to wprowadzenia składnika losowego – dodatkowej zmiennej losowej:

=

,

, … ,

, ,

gdzie ε – składnik losowy,

= 0.

Miara wrażliwości zdefiniowana jest jako pochodna cząstkowa funkcji f względem czynnika ryzyka:

=

,

= 1,2, … .

Można wyznaczyć tyle miar wrażliwości ile jest czynników ryzyka. Miara wrażliwości informuje o ile w przybliżeniu zmieni się zmienna ryzyka ceteris paribus, jeśli -ty czynnik ryzyka zmieni się o 1.

Kluczowym problemem przy wyznaczaniu miar wrażliwości jest znajomość postaci funkcji f . Często zakłada się, że funkcja f jest liniowa:

=

∙

+

∙

+ ⋯

∙

+ .

Oprócz miar wrażliwości obliczanych jako pochodne cząstkowe można wyznaczyć elastyczności cząstkowe – która określa o ile procent zmieni się zmienna ryzyka, gdy dany czynnik ryzyka wzrośnie o 1% ( ceteris paribus):

=

∙

.

Uwagi związane z pomiarem ryzyka.

Podstawowym problemem związanym z pomiarem ryzyka jest zastosowanie teoretycznych koncepcji do rzeczywistych danych, czyli estymacja miar ryzyka. Sprowadzanie estymacji miar ryzyka do zwyklej estymacji miar statystycznych często jest zbyt daleko idącym uproszczeniem. Wyznaczając miary ryzyka powinno uwzględniać się nie tylko dane historyczne dotyczące zmiennych ryzyka, ale również inne informacje, które posiada inwestor. Im bardziej stabilnie kształtują się wartości zmiennej ryzyka w przeszłości tym większą wagę można przyporządkować danym historycznym. Wykorzystanie wyłącznie danych historycznych do oszacowania miar ryzyka jest czasem jedyną możliwością. Do rozwiązania pozostają szczegółowe, ale bardzo istotne kwestie:

− określenie liczby obserwacji uwzględnianych przy szacowaniu miar,

− określenie częstotliwości danych,

− traktowanie obserwacji nietypowych ( outliers):

• pominąć,

• zastąpić,

• pozostawić?

Wyznaczanie rozkładu odbywa się w oparciu o szeregi czasowe – w danym momencie czasu mamy tylko jedną realizację procesu losowego. Ma to sens tylko wtedy gdy proces jest stacjonarny.

Stosując narzędzie pomiaru ryzyka należy sprawdzić ich przydatność. Można do tego wykorzystać następujące narzędzia służące weryfikacji modelu:

− testowanie wsteczne,

− testowanie warunków skrajnych,

− badanie ryzyka modelu.

Testowanie wsteczne – polega na weryfikacji modelu na danych rzeczywistych. Jeśli model nie sprawdza się na danych z przeszłości to uzasadnione są wątpliwości co do jego przydatności w przyszłości.

Testowanie warunków skrajnych – polega na weryfikacji modelu na danych hipotetycznych, dobranych tak, aby uwzględnić warunki ekstremalne. Warunki skrajne są określane przez inwestorów na podstawie zdarzeń z przeszłości, wiedzy ekspertów lub rozkładów wartości ekstremalnych.

Ryzyko modelu to ryzyko wynikające z niedopasowania modelu i błędów w modelu stosowanym w świecie rzeczywistym. Ryzyko modelu ma trzy źródła:

− niepewność dotycząca struktury modelu (np. pominięcie istotnych czynników ryzyka),

− niepewność dotycząca parametrów modelu (wynikająca z procesu estymacji modelu),

− niepewność dotycząca zastosowania modelu w specyficznych warunkach (model poprawny w określonej sytuacji może być bezużyteczny w innych warunkach).

Dlatego należy dokonać oceny modelu:

− jakościową (zasadność założeń, podstawy teoretyczne itp.),

− ilościową (analiza błędów estymacji, analiza wrażliwości).

Wartość zagrożona ( Value at Risk - VaR) jest to strata wartości, taka że prawdopodobieństwo jej osiągnięcia lub przekroczenia w zadanym czasie równe jest zadanemu poziomowi istotności.

Formalnie VaR odnosi się do zmiennej ryzyka, którą jest wartość inwestycji, na przykład:

− wartość pojedynczego instrumentu finansowego,

− wartość portfela instrumentów finansowych,

− wartość przedsiębiorstwa.

Wartość zagrożona może być wyznaczona dla dowolnego rodzaju aktywów. VaR może być bez trudu wyznaczona dla innej zmiennej ryzyka np. stopy zwrotu.

Wartość zagrożoną określa się zwykle następująco:

≤

" − $%& = ',

gdzie:

– wartość rynkowa inwestycji w momencie (,

' – poziom istotności (nazywany też poziomem tolerancji).

Wzór na wartość zagrożoną może być również określony następująco:

>

" − $%& = 1 − ',

gdzie 1 − ' to poziom ufności.

W powyższych wzorach poszukiwana jest wartość zagrożona, znana jest wartość obecna i zadany poziom istotności (ufności).

VaR zależy od dwóch wielkości określonych przez inwestora:

− poziom istotności,

− długość badanego okresu inwestycji.

Prawdziwe są następujące zależności:

− im niższy poziom istotności (wyższy poziom ufności), tym wyższy VaR

− im dłuższy okres, tym wyższy VaR.

Koncepcja wartości zagrożonej jest znana od dość dawna, ale jej znaczenie wzrosło na początku lat 90-tych XX wieku. Zdecydowało o tym kilka przesłanek:

− VaR dany jest w postaci liczby, która w sposób sumaryczny przedstawia możliwe straty,

− VaR jest koncepcją prostą i łatwą do interpretacji,

− VaR jest rekomendowany przez wiele instytucji nadzorujących.

Prostota wartości zagrożonej jest jednak złudna – wyliczenie VaR wymaga zbudowania modelu probabilistycznego, który umożliwi wyznaczenie prawdopodobieństwa. Metody szacowania VaR nie są jednoznacznie określone, bowiem wiążą się na ogół z wyznaczaniem kwantyla nieznanego na ogół

rozkładu zwrotu, w rozpatrywanym okresie.

Modele szacowania VaR można podzielić na 3 kategorie:

− nieparametryczne:

• symulacje historyczne,

• symulacje Monte Carlo,

• symulacje scenariuszowe,

• modele hybrydowe.

− semiparametryczne:

• teoria wartości ekstremalnych,

• regresja kwantylowa,

• CAViaR.

− parametryczne:

• wariancji-kowariancji,

• RiskMetrics,

• GARCH.

Metoda kowariancyjna opiera się na założeniu, że przyrost wartości zmiennych ryzyka ma rozkład normalny. Rozważmy rozkład prostej stopy zwrotu:

& = − " .

"

Z definicji kwantyla rozkładu mamy:

≤

* = ',

gdzie * – kwantyl rozkładu wartości.

Z kolei kwantyl rozkładu prostej stopy zwrotu dany jest wzorem:

&* = * − " .

"

Po przekształceniu powyższych wzorów otrzymujemy:

$%& = −&* "

Zatem VaR jest określany jako iloczyn obecnej wartości i kwantyla rozkładu stopy zwrotu (wzięty ze znakiem minus).

Załóżmy, że rozkład stopy zwrotu jest rozkładem normalnym, wówczas kwantyl rozkładu stopy zwrotu spełnia równanie:

&* = + − ,-,

gdzie

+ – wartość oczekiwana rozkładu,

- – odchylenie standardowe rozkładu,

, – stała, zależna od poziomu istotności ' (gdy ' = 0,05 to , = 1,65, gdy = 0,01 to , = 2,33).

Zatem dla rozkładu normalnego stopy zwrotu otrzymujemy:

$%& = ,- − +

" .

W praktyce, gdy rozpatrywany jest krótki okres (np. jeden dzień) przyjmuje się, że wartość oczekiwana rozkładu stopy zwrotu wynosi 0:

$%& = ,- " .

Wyznaczenie wartości zagrożonej wymaga więc oszacowanie zmienności. Zwykłym założeniem w modelowaniu ryzyka jest przyjęcie, że odchylenie standardowe badanej zmiennej ryzyka jest proporcjonalna do długości okresu:

-1 = √3- ,

gdzie

-1 – zmienność 3-dniowa,

- – zmienność jednodniowa,

3 – liczba dni (roboczych lub sesyjnych) w danym okresie (dla roku 3 ≈ 250).

Stąd mamy:

$%&1 = √3$%& ,

gdzie

$%&1 – wartość zagrożona 3-dniowa,

$%& – wartość zagrożona jednodniowa.

Opisane podejście może być rozszerzone poprzez założenie dowolnego rozkładu zmiennej ryzyka i wyznaczenie kwantyla tego rozkładu. Nie zawsze jest to proste. Trzeba uważać, żeby nie wykorzystywać przy przekształceniach własności typowych jedynie dla rozkładu normalnego.

W przeciwnym wypadku podejście będzie miało wątłe podstawy teoretyczne.

Przykład.

Dany jest portfel instrumentów finansowych o wartości 10 mln PLN. Przyjęto, że rozkład stopy zwrotu z portfela jest normalny, a wartość oczekiwana równa 0. Wyznacz wartość zagrożoną dla kolejnych 10

dni, na poziomie istotności 0,05, wiedząc że dzienna zmienność stopy zwrotu wynosi 1%.

Odpowiedź:

Zadania.

1. Dany jest portfel instrumentów finansowych o wartości 1 mln PLN. Przyjęto, że rozkład stopy zwrotu z portfela jest normalny, a wartość oczekiwana równa 0,05. Wyznacz wartość zagrożoną dla kolejnych 30 dni, na poziomie istotności 0,05, wiedząc że dzienna zmienność stopy zwrotu wynosi 2%.

2. Dany jest portfel instrumentów finansowych o wartości 10 mln PLN. Przyjęto, że rozkład stopy zwrotu z portfela jest normalny, a wartość oczekiwana równa 0,03. Wyznacz wartość zagrożoną dla kolejnego roku, na poziomie istotności 0,01, wiedząc że dzienna zmienność stopy zwrotu wynosi 1,5%.