Egzamun poprawkowy z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2006/2007
ZADANIA
Zad.Z1 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P (6 , 2 , 9) względem prostej x + 7
y + 3
z + 6
l :
=
=
.
5
2
4
Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f ( x, y) = ln x + 5 ln y − xy − 8 y 2.
Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć moment statyczny względem płasczyzny OXY jednorodnej bryły ograniczonej powierz-
√
chniami: x 2 + 4 y 2 = 16 , z = 0 , z =
x 2 + 4 y 2.
Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]
Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia początkowego: 1
4
xy00 + 2 y0 = x 3 , y(1) =
, y0(1) = − .
20
5
Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]
Dane jest równanie:
y000 − 2 y00 + 4 y0 − 8 y = 3 e 2 x + x sin x.
a) Znaleźć całkę ogólną równania jednorodnego (odpowiadającego danemu równaniu).
b) Przewidzieć postać całki szczególnej danego równania niejednorodnego (stałych nie obliczać).
Max. 38 pkt
TEORIA
Zad.T1 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Napisać definicje wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego macierzy kwadrato-wej A.
Zad.T2 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Obliczyć długość wektora ~a = 5 ~
p − 4 ~
q, jeżeli |~
p| = 2 , |~
q| = 5 , ^( ~p, ~q) = 2 π.
3
Zad.T3 [2p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
√
Korzystając z różniczki zupełnej funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 3 7 , 99 · 2 , 03.
Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Podać definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych, a następnie, posługując się tą
√
definicją, wykazać, że funkcja f ( x, y) = 3 −
x 2 + y 2 ma maksimum lokalne w punkcie P (0 , 0).
Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć pochodną funkcji uwikłanej y = y( x) określonej równaniem: 2 y − sin y + x 2 = 0.
Zad.T6 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
sin x
Równanie Bernoulliego
y0 −
y = − 3 sin x · y 4
sprowadzić do równania liniowego rzędu 3
pierwszego.
Max. 22 pkt