Laboratorium
Metod Obliczeniowych
Lab 6  całkowanie numeryczne
dr inż. Andrzej Kułakowski Kielce 2012
Katedra Zastosowań Informatyki Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Literatura:
instrukcja powstała na podstawie:
- slajdów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki Śląskiej
- informacji ze strony I LO w Tarnowie
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda prostokątów
Wzór prostokatów z niedomiarem: Wzór prostokatów z nadmiarem:
b b
i=n-1 i =n
f (x)dxH"h�" yi f (x)dxH"h�" yi
+" " +" "
i =0 i=1
a a
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda prostokątów
Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokatów:
5 b
1
(x2+2)dx=49 f (x)dx f (x)=( x2+2) a=1 b=5
+" +"
3
1 a
Ilość podprzedziałów: n=4
b-a 5-1
Krok całkowania:
h= = =1
n 4
y0= f (x0)=12+2=3
a= x0=1
y1= f (x1)=22+2=6
x1= x0+h=1+1=2
y2= f ( x2)=32+2=11
x2= x0+2�"h=1+2�"1=3
x3= x0+3�"h=1+3�"1=4 y3= f (x3)=42+2=18
x4= x0+4�"h=1+4�"1 =5=b
y4= f ( x4)=52+2=27
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
n-1 3
h�" yi=h�" yi=h�"( y0+ y1+ y2+ y3)=1�"(3+6+11+18)=38
" "
i=0 i=0
Wzór prostokątów z nadmiarem:
n 4
h�" yi=h�" yi=h�"( y1+ y2+ y3+ y4)=1�"(6+11+18+27)=62
" "
i=1 i=1
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda trapezów
b
y0+ yn i =n-1
f (x)dxH"h + yi
+" "
[ ]
2
i=1
a
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda trapezów
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając ze
wzoru trapezów:
5
1
(x2+2)dx=49
+"
3
1
Przedział całkowania jak w poprzednim przykładzie podzielony
jest na 4 części.
Punkty (xi, yi) są takie same jak w poprzednim przykładzie
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Metoda trapezów
y0+ yn n-1 y0+ y4 3
h + yi =h + yi
=
" "
[ ] [ ]
2 2
i =1 i =1
y0+ y4
3+27
h + y1+ y2+ y3 =1 +6+11+18 =50
=
[ ] [ ]
2 2
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Wzór Simpsona
b
h
f (x)dxH" y0+4�"y1+2�"y2+4�"y3+& +2�"yn -2+4�"yn -1+ yn
+"
( )
3
a
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Wzór Simpsona
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając ze
wzoru Simpsona:
5
1
(x2+2)dx=49
+"
3
1
b
h
f (x)dxH" y0+4�"y1+2�"y2+4�"y3+& +2�"yn -2+4�"yn -1+ yn
+"
=
( )
3
a
h
y0+4�"y1+2�"y2+4�"y3+ y4
= =
( )
3
1 1
3+4�"6+2�"11+4�"18+27 =49
( )
=
3 3
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Sprawozdanie
1) teoria całkowania numerycznego (kwadratury)
2) program obliczający całkę wybraną metodą
3) screen z działania programu dla podanej funkcji
4) wykres (może być w Excelu)