WYDZIAA
MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
Zakład Teorii Maszyn i Robotów
Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV
Instrukcja do ćwiczenie nr 4A
Badanie regulacji dwupołożeniowej
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest analiza działania układu regulacji dwupołożeniowej. Obiektem
regulacji jest tu typowe żelazko elektryczne do prasowania z termostatem. Ćwiczenie składa
się z dwóch części - doświadczalnej i obliczeniowej.
Pierwsza cześć polega na rejestracji przebiegu zmian temperatur stopy i grzałki
żelazka, dla ustalonych nastaw termostatu i warunków chłodzenia. Pomiary dokonywane są
od chwili włączenia do osiągnięcia cyklu granicznego a następnie w trakcie schładzania
wyłączonego żelazka do temperatury około 50�C.
Na podstawie uzyskanych wyników oblicza się nieznane parametry przyjętego modelu
matematycznego wymiany ciepła w żelazku. Parametry te umożliwiają wyznaczenie np.
analitycznej postaci charakterystyk schładzania stopy i grzałki. Weryfikacja modelu polega na
porównaniu charakterystyk doświadczalnych i teoretycznych.
2. Opis układu i modelu
Schemat stanowiska pomiarowego, przeznaczonego do identyfikacji parametrów
cieplnych układu regulacji dwupołożeniowej, pokazano na rys. 1.
W korpusie metalowym żelazka 1 jest umieszczona grzałka elektryczna 2, która styka się
bezpośrednio ze stopą żelazka 3 wykonaną ze stopu aluminiowego. W korpusie mieści się
także bimetalowy przełącznik dwupołożeniowy 4, reagujący na temperaturę stopy, nastawia
się go pokrętłem termoregulatora wycechowanym rodzajem prasowanej tkaniny. Lampka
kontrolna 5 sygnalizuje włączenie grzałki.
Do pomiaru temperatur grzałki T1 i stopy T2 zastosowano termopary 6 i 7, będące
uniwersalnymi sondami temperatury typu K. Termopary podłączone są do przenośnego
cyfrowego miernika temperatury 8 (typ CHY506R), który umożliwia odczyt chwilowych
wartości temperatur na wyświetlaczu ciekłokrystalicznym. Rejestracja całego przebiegu
temperatur jest realizowana przez eksport danych z miernika 8 do mikrokomputera klasy PC
9. W tym celu, miernik należy podłączyć specjalnym przewodem 10 z wejściem szeregowym
RS232 komputera. Zainstalowany w komputerze program T506R.VI, który obsługuje miernik,
zapisuje czytane dane (w formacie XLS) i jednocześnie wizualizuje na bieżąco aktualizowane
przebiegi T1(t), T2(t). Częstotliwość odczytu danych jest opcjonalna. Zadawalającą
dokładność uzyskuje się dla dwusekundowych interwałów czasowych "t.
Wentylator 11 ma za zadanie zmieniać warunki chłodzenia poprzez zadawanie różnej
odległości A wentylatora od stopy żelazka. Zmiana wartości A oraz nastawy termoregulatora
umożliwia łatwa realizację wariantowości ćwiczenia. Poza wymienionymi elementami w
skład stanowiska wchodzi cyfrowy watomierz 12 (typ IAN53138) do pomiaru mocy
pobieranej przez grzałkę.
Ustawienie pokrętła termoregulatora, przy danych warunkach chłodzenia, wyznacza dwie
charakterystyczne temperatury stopy:
Tza  temperaturę załączenia,
Twy  temperaturę wyłączenia.
Różnica (Twy-Tza) jest małą liczbą dodatnią wynikającą z histerezy termostatu. Gdy
temperatura stopy wzrasta powyżej Twy, to grzałka i lampka kontrolna wyłączają się.
Natomiast, gdy temperatura spada poniżej Tza, to grzałka i lampka kontrolna włączają się.
Rys. 1. Schemat ideowy stanowiska pomiarowego.
Typowe przebiegi czasowe temperatur, które są analizowane w ćwiczeniu, pokazano
na rys. 2. Przez x oznaczono tu nadwyżkę temperatury grzałki ponad temperaturę otoczenia, a
przez y nadwyżkę temperatury stopy ponad temperaturę otoczenia. Wykres składa się z cykli,
a każdy z nich z fazy nagrzewania i fazy stygnięcia.
Maksima y(t) są opóz
nione w czasie względem maksimów x(t). To samo dotyczy
minimów. Powodem tego są pojemności cieplne grzałki i stopy. Na przykład w chwili
wyłączenia grzałki jej temperatura jest wyższa niż temperatura stopy, dlatego jeszcze przez
pewien czas ciepło płynie od grzałki do stopy i temperatura stopy rośnie. W pierwszym cyklu
grzałka jest włączona dłużej niż w cyklach następnych, więc maksima x oraz y są wyższe.
Bardzo szybko wytwarza się cykl graniczny, dlatego też producent zaleca by rozpocząć
prasowanie dopiero po drugim zaświeceniu się lampki kontrolnej.
1
Rys. 2. Typowy przebieg temperatury w funkcji czasu dla grzałki (x) i stopy (y).
Na rys. 3 przedstawiono schemat najprostszego modelu wymiany ciepła w żelazku, który
wyjaśnia przebiegi temperatur z rys. 2.
w
x, m1, c1, p1
Grzałka
k1 �"(x-y)
y, m2, c2, p2
Stopa
k2 �"y
Rys. 3. Schemat wymiany ciepła w modelu żelazka.
Na rysunku tym oznaczono:
w  moc grzałki, W;
k1, k2  współczynniki oddawania ciepła dla grzałki i stopy, W�"K-1;
m1, m2  masy grzałki, stopy, kg;
c1, c2  ciepła właściwe grzałki, stopy, J�"kg-1�"K-1;
p1 = m1�c1, p2 = m2�c2  pojemności cieplne grzałki, stopy, J�"K-1;
x, y  nadwyżki temperatur grzałki i stopy ponad temperaturę otoczenia, K.
2
 W czasie nagrzewania energia elektryczna dochodząca do grzałki bilansuje się z
energią akumulowaną w grzałce i oddawaną do stopy, czyli:
w�" dt = p1 �" dx + k1 �"(x - y)�" dt ,
natomiast energia dochodząca do stopy bilansuje się z energią akumulowaną w stopie i
oddawaną na zewnątrz:
k1 �" (x - y)dt = p2 �" dy + k2 �" y �" dt .
Stąd otrzymuje się układ równań (1) opisujący model, gdy grzałka jest czynna. W czasie
stygnięcia - gdy grzałka jest wyłączona, w=0. Zapis (1) wskazuje, że temperatury x, i y są
szczególnym przypadkiem zmiennych stanu.
&�
p1 �" x + k1 �"(x - y) = w
ńł
�łk �"(x - y) = p2 �" y + k2 �" y (1)
&�
ół 1
Opisany model jest dość grubym przybliżeniem rzeczywistości:
" Grzałkę traktuje się tu, jako element jednorodny, scharakteryzowany przez trzy stałe
parametry p1, k1, w. W rzeczywistości grzałka jest układem złożonym, wewnątrz którego
niewątpliwie występuje przepływ ciepła, a tego model nie uwzględnia.
Parametry p1, k1 mało zależą od temperatury, podobnie parametr w  pod warunkiem, że
użyto właściwego materiału rezystancyjnego, jednak parametr w silnie zależy od napięcia
sieci.
" Stopa jest scharakteryzowana przez dwa parametry p2, k2. Pierwszy z nich mało zależy od
temperatury stopy, ale drugi bardziej, bo ta temperatura jest z kolei związana nie tylko z
nastawieniem przełącznika bimetalicznego, ale również z rodzajem chłodzenia, na
przykład przez wilgotną tkaninę, przez suche powietrze nieruchome lub ruchome itd.
" Uproszczeniem jest również operowanie tylko dwiema temperaturami x, y.
W rzeczywistości na powierzchniach styku grzałki ze stopą i na powierzchni zewnętrznej
stopy istnieją złożone pola temperatur.
" W modelu nie uwzględnia się (stosunkowo małych) strat ciepła przez korpus.
Czy mimo tych zastrzeżeń model jest dostatecznie dobry? To może wyjaśnić tylko
weryfikacja. Aby ją przeprowadzić, trzeba uprzednio znalez
ć wartości liczbowe pięciu
wymienionych stałych. Proces ten, nazywany identyfikacją, jest przedmiotem tego ćwiczenia.
W ćwiczeniu wyznacza się moc w przez bezpośredni pomiar, a parametry k1, k2, p1, p2,
wykorzystując szczególne właściwości cyklu granicznego.
3
3. Wyznaczenie parametrów układu
Jeśli rozwiązanie układu równań (1) dąży asymptotycznie do postaci
x(t + mT ) = x(t)
y(t + mT ) = y(t)
dla m=1, 2, 3 ,..., to oznacza, że istnieje cykl graniczny z okresem T. Empirycznym dowodem,
że w przypadku żelazka zbliżono się do cyklu granicznego, jest obserwacja kolejnych cykli na
wykresach podobnych do rys.2. Energia cieplna zakumulowana w grzałce w cyklu
granicznym równa się zeru, to samo dotyczy stopy. Można to zapisać formalnie w postaci
układu równań (2):
&�
xdt = 0
+"
T
(2)
&�
ydt = 0
+"
T
3.1 Wyznaczenie współczynników oddawania ciepła k1, k2
Całkując stronami pierwsze równanie układu równań (1) otrzymujemy:
&�
p1 x dt + k1 - y) dt = w (3)
+" +"(x +"dt
T T T
Biorąc pod uwagę (2), jedyną niewiadomą w równaniu (3) jest k1. Podstawiając za
+"(x - y)dt = J1 oraz +"dt = � , gdzie � oznacza czas załączenia grzałki, k1 przyjmie postać (4).
T T
w �"�
k1 = (4)
J1
Postępując podobnie z drugim równaniem układu równań (1) otrzymamy wyrażenie na k2.
w�"�
k2 = (5)
J2
gdzie: J = y dt .
2
+"
T
3.2 Wyznaczenie pojemności cieplnych p1, p2
Pojemności cieplne p1, p2 wyznacza się na postawie przebiegów x(t) i y(t) w fazie
stygnięcia cyklu granicznego żelazka. W tym celu należy wybrać możliwie duży, ze względu
na dokładność obliczeń, przedział czasu (rys.2), w którym x(t) i y(t) nie zawierają
punktów osobliwych (maksima, minima). W tym wyborze pomocne są zarejestrowane dane
pomiarowe.
4
 Równanie pierwsze układu (1) dla stygnięcia (w=0) ma postać:
&�
p1 �" x + k1 �" (x - y) = 0
Po scałkowaniu stronami od t=tu do t=tv
tv
p1 �"(xv - xu )+ k1 - y)dt = 0
+"(x
tu
tv
Podstawiając - y)dt = J3 otrzymujemy:
+"(x
tu
- k1 �" J3
p1 = (6)
(xv - xu )
Wyznaczenie p2 jest analogiczne. Drugie równanie układu (1) dla w=0 ma postać:
&� &�
p1 �" x + p2 �" y + k2 �" y = 0
Po scałkowaniu stronami od t=tu do t=tv
tv
p1 �" (xv - xu ) + p2 �" ( yv - yu ) + k2 y dt = 0
+"
tu
- k2 �" J4 - p1 �"(xv - xu )
stąd p2 = (7)
(yv - yu )
tv
gdzie: J4 = y dt .
+"
tu
Czas załączenia grzałki � oblicza się na podstawie zarejestrowanych danych, jako czas
między minimum a maksimum x(t) dla fazy grzania w cyklu granicznym.
Całki J1, J2, oraz J3, J4 można obliczyć w sposób przybliżony np. metodą trapezów.
Znając okres próbkowania Dt oraz (dla cyklu granicznego) wartości xi, yi, gdzie i=0, 1, 2,...,
n:
J1="t[0.5(x0-y0) + (x1-y1) +...+ (xn-1-yn-1) + 0.5(xn-yn)];
J2="t[0.5y0 + y1+...+ yn-1 + 0.5yn];
podobnie
J3="t[0.5(x-y)u + (x-y)u+1 +...+ (x-y)v-1 + 0.5(x-y)v];
J4="t[0.5yu+ yu+1 +...+ yv-1 + 0.5yv].
4. Weryfikacja modelu
Po wyznaczeniu wartości liczbowych parametrów k1, k2, p1, p2 oraz w należy dokonać
weryfikacji modelu. Polega to na porównaniu, zmierzonych przebiegów czasowych x(t) i y(t)
5
schładzania żelazka po wyłączeniu zasilania grzałki z analogicznymi przebiegami
teoretycznymi uzyskanymi z rozwiązania równań różniczkowych (1) dla w=0.
Przebiegi teoretyczne x(t) i y(t) można wyznaczyć w sposób analityczny lub numeryczny.
W obydwu przypadkach równania (1) przekształca się do postaci (8):
ńł &�
x = a11x + a12 y
(8)
�ł
&�
óły = a21x - a22 y
gdzie: a11,& , a22, są stałymi współczynnikami zależnymi od k1, k2, p1, p2.
W podejściu analitycznym przewiduje się szczególne postaci rozwiązania:
ńł ą1 ert
x =
(9)
�ł
óły = ą2ert
Po podstawieniu (9) do (8) uzyskuje się układ równań liniowych (10)
ńł - r)ą1 + a12ą2 = 0
(a11
(10)
�ł
ą1 - (a22 - r)ą2 = 0
óła21
Układ ten ma niezerowe rozwiązania ą1, ą2, tylko wtedy, gdy wyznacznik (11), F(r)=0:
a11 - r a12
F(r) = = 0 (11)
a21 a22 - r
Po rozwiązaniu (11) uzyskuje się dwie wartości r1, r2. Można wykazać, że istnieją
następujące rozwiązania układu (8):
( (
1 1
ńł ą11)er t y = ą21)er t
x =
(12)
�ł
(2) t (
2 2
y = ą22)er t
ółx = ą1 er
Stąd rozwiązanie zagadnienia:
( (2)
1 2
ńł
x = C1ą11)er t + C2ą1 er t
(13)
�ł
( t ( t
1 2
ółx = C1ą21)er + C2ą22)er
gdzie: C1 i C2, są stałymi zależącymi od warunków początkowych.
Rozwiązanie numeryczne można uzyskać w programie Matlab używając standardowej
procedury ode45 przeznaczonej do rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych
zwyczajnych. Podobnie jak w przypadku rozwiązania analitycznego, niezbędne jest
zadeklarowanie warunków początkowych oraz przedziału czasu, dla którego mają być
wyznaczone zależności x(t) i y(t).
Analityczne oszacowanie błędu rozwiązania, będącego z
ródłem uproszczeń modelowych
oraz oparcie się w obliczeniach na cyklu granicznym, który być może jeszcze się nie
zrealizował, jest niemożliwe. Dobrym sposobem empirycznym byłoby kilkakrotne wykonanie
ćwiczenia dla znacząco różniących się warunków chłodzenia i nastaw termoregulatora.
6
5. Przebieg ćwiczenia - rejestracja danych
1. Sprawdzić czy termopary grzałki i stopy są podłączone odpowiednio do wejść T1 i T2
miernika temperatury (zamiana wejść może utrudnić wykorzystanie wyników pomiarów).
2. Ustawić pokrętło regulatora temperatury oraz odległość A wentylatora od stopy wg zaleceń
asystenta.
3. Włączyć miernik i zanotować temperaturę otoczenia (porównać wskazania T1 i T2).
4. Uruchomić programu T506R.VI i zainicjować odczyt temperatury przyciskiem START.
5. Wybrać zmienne do zapisu, poprzez aktywacje ich okien: (T1 INPUT, T2 INPUT).
6. Wybrać okno RECORD i ustawić parametry zapisu (nazwa pliku wyników wraz ze ścieżką
dostępu oraz okres próbkowania "t).
7. Uruchomić zapis temperatur (RECORDING ON).
8. Włączyć od sieci jednocześnie żelazko i wentylator.
9. Obserwować rejestrację temperatur - możliwa jest wizualizacja zapisywanych danych po
wywołaniu okna GRAPH dla każdego wejścia. Zaleca się rejestracje minimum 4 pełnych
cykli wraz z ostatnią wydłużoną fazą stygnięcia (wyłączone zasilanie żelazka, wentylator
pracuje).
10. Zakończyć zapis (RECORDING OFF), gdy temperatura stopy osiągnie około 60�C.
11. Wyłączyć wentylator i miernik CHY506R.
12. Zgrać zarejestrowane dane w celu opracowania wyników w sprawozdaniu.
6. Treść sprawozdania
6.1 Krótki opis zadania, modelu i przyjętych nastaw.
6.2 Wyniki pomiaru mocy żelazka w.
6.3 Wykresy zarejestrowanych pomiarów temperatur grzałki i stopy Tgrz(t), Tst(t).
6.4 Tabelaryczne zestawienie x(t) i y(t) obejmujące analizowany cykl graniczny i fazę
schładzania żelazka do osiągnięcia TstH"60�C. Wyróżnić w tabeli fazy grzania.
6.4 Wykresy x(t) i y(t) wg punktu 6.4. Nanieść na rysunek charakterystyczne wielkości:
yza, ywy, tu, tv, � oraz oznaczyć pola odpowiadające całkom, J1, J2, J3, J4.
6.5 Obliczenia wartości liczbowych parametrów k1, k2, p1, p2.
6.6 Obliczenia modelowych przebiegów schładzania xm(t) i ym(t) wykonać jednym z
proponowanych sposobów. Przyjąć dane początkowe xm(0)=x(tu) i ym(0)=y(tu).
6.7 Weryfikacja przyjętego modelu  porównać na jednym wykresie przebiegi modelowe i
doświadczalne (uzgodnić skalę czasu).
6.8 Wnioski.
7