Wstep do Teorii Mnogości i Logiki

Lista 5
Zadanie 5.1 Zakładamy, że A = {An : n " N} jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów zbioru wszystkich liczb
naturalnych, których suma mnogościowa jest równa całemu N. Definiujemy relację
k, l " N, k <" l Ô! ("n " N) k " An '" l " An.
Czy ta relacja jest równoważnością?
Zadanie 5.2 Zakładamy, że X, Y są zbiorami niepustymi. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją. Czy relacja na X
zdefiniowana wzorem: x <" y Ô! f(x) = f(y) jest równoważnoÅ›ciÄ…?
Zadanie 5.3 Dla podanych zbiorów X i relacji R Ä…" X × X, sprawdzić, czy R jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci:
(a) X = N kRl Ô! 5|k + l;
(b) X - dowolny zbiór xRy Ô! x = y;
(c) X = R × R (x1, y1)R(x2, y2) Ô! x1 = x2;
(d) X = N nRm Ô! ("l, k > 0) nl = mk ;
(e) X = P (Y ) ARB Ô! istnieje bijekcja f : A - B;
(f) X = N × N (n, m)R(k, l) Ô! n + l = k + m;
(g) X = Z × (Z \ {0}) (n, m)R(k, l) Ô! nl = km;
(i) X = Z kRl Ô! | k - l | 1;
(j) X = N kRl Ô! 5 | k - l;
(k) X = R xRy Ô! x + y = 5;
(l) X = R xRy Ô! x - y " Q;
(m) X = R × R (x1, y1)R(x2, y2) Ô! x1 - y1 = x2 - y2;
(n) X = P (R) ARB Ô! ("M > 0) A ÷ B Ä…" [-M, M];
Zadanie 5.4 W zbiorze P (N) wprowadzamy relacjÄ™: A = B Ô! A ÷ B jest zbiorem skoÅ„czonym, dla A, B " P (N).
Pokazać, że relacja ta jest relacją równoważności.
Zadanie 5.5 ZakÅ‚adamy, że R Ä…" X×X, S Ä…" Y ×Y sÄ… relacjami równoważnoÅ›ci. Pokazać, że relacja T Ä…" (X×Y )×(X×Y )
zdefiniowana wzorem: (x1, y1) T (x2, y2) Ô! x1Rx2 '" y1Sy2 jest równoważnoÅ›ciÄ…. Wyznaczyć jej klasy abstrakcji.
Zadanie 5.6 ZakÅ‚adamy, że R, S Ä…" X × X sÄ… relacjami równoważnoÅ›ci. Czy R )" S jest równoważnoÅ›ciÄ…? Jeżeli tak, to
jak można opisać jej klasy abstrakcji?
Zadanie 5.7 Rozważmy przestrzeń wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych C(N) =N R. W tym zbiorze wprowa-
dzamy relacjÄ™: (an)n"N <" (bn)n"N Ô! limn"(an - bn) = 0. Pokazać, że jest to relacja równoważnoÅ›ci.
Zadanie 5.8 Rozważmy przestrzeń wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych C(N) =N R. W tym zbiorze wprowa-
"

dzamy relacjÄ™: (an)n"N <" (bn)n"N Ô! |an - bn| jest zbieżny. Pokazać, że jest to relacja równoważnoÅ›ci.
n=1
Zadanie 5.9 Pokazać, że zdefiniowne poniżej relacje są równoważnościami:
(a) f, g sÄ… funkcjami N N; f = g wtedy i tylko wtedy, gdy ("n) ("m n) f(m) = g(m).
(b) f, g sÄ… funkcjami R R, oraz A = {an : n " N} Ä…" R; f =A g wtedy i tylko wtedy, gdy ("n " N) f(an) = g(an).
(1) Ø " F;
(c) Mówimy, że F jest filtrem na P (X), jeżeli (2) jeżeli A " F oraz A ą" B to B " F;
(3) jeżeli A, B " F to A )" B " F.
Jeżeli ponadto dla dowolnego A " P (X) A " F lub X \ A " F, to F nazywamy ultrafiltrem.
Zakładamy, że F jest ultrafiltrem na P (X) a f, g funkcjami z X Y. Udowodnić że, relacja określona wzorem: f =F g
wtedy i tylko wtedy, gdy {x " X : f(x) = g(x)} " F jest równoważnością.
Zadanie 5.10 Poniżej przedstawione są podziały wyznaczone przez pewne relacje równoważności. Podać prostszy opis
tych relacji.
(a) Elementami podziału są dwa zbiory: wszystkich liczb parzystych i wszystkich liczb nieparzystych.
(b) Elementami podziału są przedziały postaci [k,k+1), gdzie k jest liczbą całkowitą.
(c) Elementami podziału jest zbiór {(0, 0)} oraz okręgi o środku w tym punkcie.