obliczenia łuków rozkład obciążeń


Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 12
Wykład nr 12
Pręty o osi zakrzywionej.
Pręty o osi zakrzywionej.
Auki.
Auki.
1
1
Auki, sklepienia
Auki, sklepienia
Auk: pręt o osi zakrzywionej (w stanie
Auk: pręt o osi zakrzywionej (w stanie
nieodkształconym) w płaszczyznie
nieodkształconym) w płaszczyznie
działania sił i podparty na końcach w
działania sił i podparty na końcach w
działania sił i podparty na końcach w
działania sił i podparty na końcach w
taki sposób, że podpory nie mogą się
taki sposób, że podpory nie mogą się
względem siebie przemieszczać.
względem siebie przemieszczać.
Sklepienie: łuk, którego szerokość w
Sklepienie: łuk, którego szerokość w
stosunku do rozpiętości jest znaczna.
stosunku do rozpiętości jest znaczna.
2
2
Zalety łuków(1)
Zalety łuków(1)
Jeżeli podpory nie mogą się względem
Jeżeli podpory nie mogą się względem
siebie poruszać, to przy obciążeniu
siebie poruszać, to przy obciążeniu
wyłącznie pionowym, w łuku
wyłącznie pionowym, w łuku
wyłącznie pionowym, w łuku
wyłącznie pionowym, w łuku
występuje znaczna redukcja
występuje znaczna redukcja
momentów zginających.
momentów zginających.
Poziome siły na podporach nazywane
Poziome siły na podporach nazywane
są rozporem łuku.
są rozporem łuku.
3
3
Zalety łuków(2)
Zalety łuków(2)
W przeciwieństwie do belek i ram,
W przeciwieństwie do belek i ram,
które wykonuje się z materiałów
które wykonuje się z materiałów
sprężystych, przy zapewnieniu
sprężystych, przy zapewnieniu
sprężystych, przy zapewnieniu
sprężystych, przy zapewnieniu
nieprzesuwności podpór względem
nieprzesuwności podpór względem
siebie, łuki nawet o dużej rozpiętości
siebie, łuki nawet o dużej rozpiętości
mogą być wykonywane z materiałów
mogą być wykonywane z materiałów
kruchych (np. mur ceglany lub
kruchych (np. mur ceglany lub
kamienny, beton niezbrojony).
kamienny, beton niezbrojony).
4
4
Geometria łuku (1)
Geometria łuku (1)
Wezgłowia  punkty podparcia łuku;
Wezgłowia  punkty podparcia łuku;
Klucz (zwornik)  najwyższy punkt
Klucz (zwornik)  najwyższy punkt
klucz
klucz
łuku;
łuku;
łuku;
łuku;
f
Strzałka łuku: f
Strzałka łuku: f
wezgłowia
Rozpiętość łuku: l
Rozpiętość łuku: l l
Wyniosłość - stosunek strzałki łuku
Wyniosłość - stosunek strzałki łuku
do rozpiętości:
do rozpiętości:
f 1
x = = 1 2
( )
l 12
5
5
Geometria łuku (2)
Geometria łuku (2)
Podział ze względu na wymiary łuku:
Podział ze względu na wymiary łuku:
 Strzeliste (wyniosłe, podwyższone);
 Strzeliste (wyniosłe, podwyższone);
 Płaskie (obniżone);
 Płaskie (obniżone);
 Wspięte (podpory na różnych poziomach).
 Wspięte (podpory na różnych poziomach).
 Wspięte (podpory na różnych poziomach).
 Wspięte (podpory na różnych poziomach).
Podział ze względu na wymiary
Podział ze względu na wymiary
przekroju:
przekroju:
 O stałym lub zmiennym przekroju.
 O stałym lub zmiennym przekroju.
Kształt osi łuku:
Kształt osi łuku:
 Kołowe, paraboliczne, sinusoidalne,
 Kołowe, paraboliczne, sinusoidalne,
eliptyczne.
eliptyczne.
6
6
Kształt osi łuku (1)
Kształt osi łuku (1)
y
Auki paraboliczne:
Auki paraboliczne:
a
 Równanie łuku:
 Równanie łuku:
j
f
4 f
4 f
x
y = x l - x
( )
ó
y = x x
l2
l2
l2
l2
x x'
 Pochodna:
 Pochodna:
l
dy 4 f 4 f
ó
= tgj = l - 2x = 2x -l
( ) ( )
dx l2 l2
 Funkcje trygonometryczne:
 Funkcje trygonometryczne:
1
tgj
cosj =
sinj =
1+ tg2j
1+ tg2j
7
7
Kształt osi łuku (2)
Kształt osi łuku (2)
Auki kołowe:
Auki kołowe: 2
l
ć
y = f - r + r2 - x -

 Równanie łuku:
 Równanie łuku:
2
Ł ł
dy l - 2x
dy l - 2x
= tgj =
= tgj =
 Pochodna:
 Pochodna:
 Pochodna:
 Pochodna:
2
dx
l
ć
2 r2 - x -

2
Ł ł
 Funkcje
 Funkcje
a
y
trygonometryczne:
trygonometryczne: j
f
1 tgj
cosj = sinj =
r
x
1+ tg2j 1+ tg2j
O
l/2 l/2
8
8
Schematy statyczne konstrukcji
Schematy statyczne konstrukcji
prętowych zakrzywionych(1)
prętowych zakrzywionych(1)
Belki zakrzywione (stosowane np. jako
Belki zakrzywione (stosowane np. jako
układy podstawowe przy
układy podstawowe przy
rozwiązywaniu metodą sił):
rozwiązywaniu metodą sił):
rozwiązywaniu metodą sił):
rozwiązywaniu metodą sił):
 Belka swobodnie podparta:
 Belka swobodnie podparta:
 Belka wspornikowa:
 Belka wspornikowa:
9
9
Schematy statyczne konstrukcji
Schematy statyczne konstrukcji
prętowych zakrzywionych(2)
prętowych zakrzywionych(2)
Auki statycznie wyznaczalne:
Auki statycznie wyznaczalne:
 Auk trójprzegubowy:
 Auk trójprzegubowy:
10
10
Schematy statyczne konstrukcji
Schematy statyczne konstrukcji
prętowych zakrzywionych(2)
prętowych zakrzywionych(2)
Auk ze ściągiem
Auk ze ściągiem
 siła rozporu przejmowana jest przez
 siła rozporu przejmowana jest przez
prostoliniowy rozciągany pręt:
prostoliniowy rozciągany pręt:
 W celu zapewnienia odpowiedniej przestrzeni
 W celu zapewnienia odpowiedniej przestrzeni
pod łukiem wykonuje się także łuki o ściągach w
pod łukiem wykonuje się także łuki o ściągach w
kształcie linii łamanej.
kształcie linii łamanej.
11
11
Schematy statyczne konstrukcji
Schematy statyczne konstrukcji
prętowych zakrzywionych(3)
prętowych zakrzywionych(3)
Auki statycznie niewyznaczalne:
Auki statycznie niewyznaczalne:
 Auk z jednym  Auk
 Auk z jednym  Auk
przegubem: bezprzegubowy:
przegubem: bezprzegubowy:
 Auk  Auk ze ściągiem:
 Auk  Auk ze ściągiem:
dwuprzegubowy:
dwuprzegubowy:
12
12
Rozwiązywanie łuków
Rozwiązywanie łuków
Wyznaczanie reakcji:
Wyznaczanie reakcji:
 Z równań równowagi z ewentualnym
 Z równań równowagi z ewentualnym
wykorzystaniem przegubów.
wykorzystaniem przegubów.
Siły wewnętrzne:
Siły wewnętrzne:
 Na podstawie sił wewnętrznych belkowych z
 Na podstawie sił wewnętrznych belkowych z
 Na podstawie sił wewnętrznych belkowych z
 Na podstawie sił wewnętrznych belkowych z
następujących wzorów:
następujących wzorów:
Nb sinj
Nb
Tb
a
j j
j
Tb cosj
Nb
Nb cosj
Tb sinj
Tb
Nb
a
N = Nb cosj -Tb sinj
Tb T = Tb cosj + Nb sinj
13
13
Warunki różniczkowe(1)
Warunki różniczkowe(1)
Warunki równowagi zapisywane w
Warunki równowagi zapisywane w
odniesieniu do zmiennej s odmierzanej
odniesieniu do zmiennej s odmierzanej
wzdłuż osi łuku:
wzdłuż osi łuku:
M + dM
N + dN
N + dN
q s ds
qn s ds
( )
( )
s
qs s ds
( )
qn s
( )
3
T
a
A
sina =a - +K M
T + dT
6
qs s
( )
r
2
N
a
cosa =1- +K
da
2
O
r
da
sin da = da
cos da =1
O
14
14
Warunki różniczkowe(2)
Warunki różniczkowe(2)
- =
S =- N +(N + dN)cos da - qs (s)dssin da (T + dT )sin da + qn (s)dscos da 0
22
dN da
-T = -qn s
( )
ds ds
da da
N =T - T + dT cos da - qs s ds cos - N + dN sin da - qn s dssin = 0
( ) ( ) ( ) ( )

22
22
dT da
+ N = -qs s
( )
ds ds
=- M + M + dM - T + dT cos da ds cos da - T + dT sin da dssin da +
( ) ( ) ( )
M A
- N + dN sin da ds cos da + N + dN cos da ds sin da +
( ) ( )
da ds da da ds da
+ qs s dssin sin - qs s dscos cos +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
da ds da da ds da
- qn s ds sin sin - qn s ds cos cos = 0
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
dM
= T s
( )
ds
15
15
Warunki różniczkowe(3)
Warunki różniczkowe(3)
dN 1
ds = r da
-T = -qn s
( )
ds r
dT 1
+ N = -qs s
( )
ds r
ds r
dM
= T s
( )
ds
Ekstremum momentu zginającego
Ekstremum momentu zginającego
występuje w punkcie, w którym
występuje w punkcie, w którym
równanie siły tnącej ma miejsce zerowe.
równanie siły tnącej ma miejsce zerowe.
16
16
Przykład 1
Przykład 1
Wyznaczyć siły wewnętrzne w
Wyznaczyć siły wewnętrzne w
trójprzegubowym łuku parabolicznym:
trójprzegubowym łuku parabolicznym:
4kN/m 10kN
4kN/m 10kN
5m 3m 2m
f 3
x = =
l=10m
l 10
17
17
Przykład 1  reakcje
Przykład 1  reakcje
podporowe
podporowe
4kN/m C 10kN
HA HB B
A
5m 3m 2m
VA VB
l=10m
kN
X =-HA + HB + 4 3m = 0 HA = 5,667kN

m
VA = 0, 2kN
Y = VA +VB -10kN = 0
M = VB 10m -10kN 8m - 4 kN 3m 3m = 0 VB = 9,8kN
A
m 2
p
= VB 5m + HB 3m -10kN 3m = 0 HB =-6,333kN
MC
18
18
f=
3
m
f=
3
m
Przykład 1  geometria łuku
Przykład 1  geometria łuku
4kN/m C 10kN
4f
tg_fi(x) = (l - 2x)
2
l
1
cos_fi(x) =
HA HB B
A
2
1 + tg_fi(x)
1 + tg_fi(x)
5m 3m 2m
VA VB
tg_fi(x)
l=10m
sin_fi(x) =
2
1 + tg_fi(x)
50.19
5
37.65
j(x) = atan (tg_fi(x))
25.1
12.55
j(x)
0
deg
12.55
25.1
3 6
37.65
y x =- x2 + x
( )
50.19 25m 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
19
19
Przykład 1  przekrój a1
Przykład 1  przekrój a1
a
2
4kN/m C 10kN
a
1
a x 0;5m
3
HA HB B
N = Nb cosj -Tb sinj
A
5m 3m 2m
VA VB
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
l=10m
l=10m
kN
N1(x) = HAcos_fi(x) - 4 y(x) cos_fi(x) - VAsin_fi(x)
m
N1(0m) = 3.474kN N1(5m) = -6.333kN
kN
T1(x) = VAcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - 4 y(x) sin_fi(x)
m
T1(0m) = 4.482kN T1(5m) = 0.2kN
kN y(x)
M1(x) = VAx + HAy(x) - 4 y(x)
m 2
- 3
M1(0m) = 0kNm M1(5m) = 1 10 kNm
20
20
f=
3
m
f=
3
m
Przykład 1  przekrój a2
Przykład 1  przekrój a2
a2
4kN/m 10kN
a1 C
a3 x 5m;8m
HA HB B
N = Nb cosj -Tb sinj
A
5m 3m 2m
VA VB
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
l=10m
l=10m
kN
N2(x) = HAcos_fi(x) - 4 f cos_fi(x) - VAsin_fi(x)
m
N2(5m) = -6.333kN N2(8m) = -5.023kN
kN
T2(x) = VAcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - 4 f sin_fi(x)
m
T2(5m) = 0.2kN T2(8m) = 3.863kN
kN
ćy(x) f
M2(x) = VAx + HAy(x) - 4 f -

m 2
Ł ł
- 3
M2(5m) = 1 10 kNm M2(8m) = 7.441kNm
21
21
Przykład 1  przekrój a3
Przykład 1  przekrój a3
a
2
4kN/m C 10kN
a
1
a x 8m;10m
3
HA HB B
N = Nb cosj -Tb sinj
A
5m 3m 2m
VA VB
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
l=10m
l=10m
kN
N3(x) = HAcos_fi(x) - 4 f cos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 10kNsin_fi(x)
m
N3(8m) = -10.866kN N3(10m) = -11.583kN
kN
T3(x) = VAcos_fi(x) - 10kNcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - 4 f sin_fi(x)
m
T3(8m) = -4.253kN T3(10m) = -1.409kN
kN
ćy(x) f
M3(x) = VAx + HAy(x) - 4 f - - 10kN(x - 8m)

m 2
Ł ł
M3(8m) = 7.441kNm M3(10m) = 0 kNm
22
22
f=
3
m
f=
3
m
Przykład 1
Przykład 1
 zestawienie wyników
 zestawienie wyników
x [m] y [m] tg_fi(x) cos_fi(x) sin_fi(x) j(x) [rad] j(x) [deg] N(x) [kN] T(x) [kN] M(x) [kNm]
0 0.000 1.200 0.640 0.768 0.876 50.194 3.474 4.482 0.000
0.5 0.570 1.080 0.679 0.734 0.824 47.203 2.154 2.621 2.680
1 1.080 0.960 0.721 0.693 0.765 43.831 0.833 1.077 3.988
1.5 1.530 0.840 0.766 0.643 0.699 40.030 -0.476 -0.138 4.289
2 1.920 0.720 0.812 0.584 0.624 35.754 -1.750 -1.014 3.908
2.5 2.250 0.600 0.857 0.514 0.540 30.964 -2.961 -1.543 3.126
3 2.520 0.480 0.902 0.433 0.448 25.641 -4.065 -1.729 2.180
3 2.520 0.480 0.902 0.433 0.448 25.641 -4.065 -1.729 2.180
3.5 2.730 0.360 0.941 0.339 0.346 19.799 -5.010 -1.591 1.265
4 2.880 0.240 0.972 0.233 0.236 13.496 -5.738 -1.171 0.532
4.5 2.970 0.120 0.993 0.119 0.119 6.843 -6.193 -0.542 0.089
5 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 -6.333 0.200 0.001
5.5 2.970 -0.120 0.993 -0.119 -0.119 -6.843 -6.264 0.953 0.291
6 2.880 -0.240 0.972 -0.233 -0.236 -13.496 -6.111 1.672 0.961
6.5 2.730 -0.360 0.941 -0.339 -0.346 -19.799 -5.891 2.333 2.011
7 2.520 -0.480 0.902 -0.433 -0.448 -25.641 -5.623 2.921 3.441
7.5 2.250 -0.600 0.857 -0.514 -0.540 -30.964 -5.328 3.430 5.251
8-L 1.920 -0.720 0.812 -0.584 -0.624 -35.754 -5.023 3.863 7.441
8-P 1.920 -0.720 0.812 -0.584 -0.624 -35.754 -10.866 -4.253 7.441
8.5 1.530 -0.840 0.766 -0.643 -0.699 -40.030 -11.152 -3.431 5.011
9 1.080 -0.960 0.721 -0.693 -0.765 -43.831 -11.355 -2.684 2.960
9.5 0.570 -1.080 0.679 -0.734 -0.824 -47.203 -11.494 -2.011 1.290
10 0.000 -1.200 0.640 -0.768 -0.876 -50.194 -11.583 -1.409 0.000
23
23
Przykład 1
Przykład 1
 siły normalne
 siły normalne
5 5
5 8
3.474
+
+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- -
- -
- -
- -
N(x) N(x)
5 - 5.023 5
kN kN
- 6.333
10 10
- 11.583
15 15
x
24
24
Przykład 1  siły tnące,
Przykład 1  siły tnące,
miejsca zerowe
miejsca zerowe
6 6
5 8
4.482
4 4
3.863
2 2
+ +
+ +
T(x) T(x)
T(x) T(x)
kN
0 1 2
-
-3 4 5 6 7 8 - 9 10 kN
-
- 1.730
2 2
4 4
- 4.253
x1 = 1, 435m
6 6
x2 = 4,868m
x
dM1 x
( ) kN kN kN
T1 x == -0.115 x3 +1,73 x2 - 7,12 x + 7kN = 0
( )
dx m3 m2 m
25
25
Przykład 1  momenty
Przykład 1  momenty
zginające, ekstrema
zginające, ekstrema
5 8
- 0.012
2 2
+
+
+
+
M(x) M (x)
M(x) M (x)
kN kN
4 4
4.295
6 6
7.4
8 8
0 2 4 6 8 10
x
M1 x2 =-0,012m
M1 x1 = 4,295kNm ( )
( )
26
26
Przykład 2
Przykład 2
Wyznaczyć siły wewnętrzne w
Wyznaczyć siły wewnętrzne w
trójprzegubowym łuku kołowym ze
trójprzegubowym łuku kołowym ze
ściągiem:
ściągiem:
2kN/m
2kN/m
15kNm
f 2
x = =
l 5
2,5m 1m 1,5m
l=5m
27
27
Przykład 2  reakcje
Przykład 2  reakcje
podporowe
podporowe
2kN/m
C
15kNm
HA
B
A
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
X =-HA = 0 HA = 0kN

VA = 0,75kN
Y = VA + RB - 2 kN 2,5m = 0
m
M = RB 5m -15kNm - 2 kN 2,5m 2,5m = 0 RB = 4,25kN
A
m 2
28
28
f=
2
m
0,5
m
f=
2
m
0,5
m
Przykład 2  Równanie łuku
Przykład 2  Równanie łuku
C
y
2
l 2
ć
+ r - f = r2
( )

2
Ł ł
E
l2 f l
D
r = + =
x
x
8 f 2 2
8 f 2 2
B
B
A
A
2
r
r
5m
( ) 2m 25m
xD
= + = +1m
xC=3,5m
8 2m 2 16
xE
l/2=2,5m l/2=2,5m
r = 2,5625m
l=5m
2
l
ć
y = f - r + r2 - x - y - yD = 0 xD = 0,168m

2
Ł ł
xE = 4,832m
y - yE = 0
yC = y xC = 1,797m
( )
29
29
Przykład 2  siła w ściągu
Przykład 2  siła w ściągu
2kN/m
C
15kNm
H H
E
E
D
D
B
A
HA
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
HD HE
HD = HE = H
X =-HD + HE = 0

p
( )
M =15kNm - RB 1,5m + H yC - 0,5m = 0 H =-6,651kN
C
30
30
C
r
y
f=
2
m
D
y
y
r-f
f=
2
m
0,5
m
Przykład 2  geometria łuku
Przykład 2  geometria łuku
2kN/m
l - 2x
tg_fi(x) =
2
15kNm
2
ćx l
2 r - -

2
Ł ł
H H
E
D
1
1
cos_fi(x) =
B
A
HA
2
1 + tg_fi(x)
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
tg_fi(x)
sin_fi(x) =
77.32
2.5 2
57.99 1 + tg_fi(x)
38.66
19.33
j(x)
0
j(x) = atan(tg_fi(x))
deg
19.33
38.66
57.99
77.32
0 1 2 3 4 5
x
31
31
Przykład 2  przekrój a1
Przykład 2  przekrój a1
2kN/m
a
3
x 0;0,168m
15kNm
a
2
a
4
N = Nb cosj -Tb sinj
H H
E
D
a
1 a
5
B
A
HA
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
2,5m 1m 1,5m
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
kN
N1(x) = HAcos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 2 xsin_fi(x)
m
N1(0m) = -0.732kN N1 xD = -0.376kN
( )
kN
T1(x) = VAcos_fi(x) - 2 xcos_fi(x) + HAsin_fi(x)
m
T1(0m) = 0.165kN T1 xD = 0.172kN
( )
kN x
M1(x) = VAx + HAy(x) - 2 x
m 2
M1(0m) = 0kNm M1 xD = 0.098kNm
( )
32
32
f=
2
m
m
0,5
m
f=
2
m
0,5
m
Przykład 2  przekrój a2
Przykład 2  przekrój a2
2kN/m
a3
x 0,168m;2,5m
15kNm
a2
a4
N = Nb cosj -Tb sinj
H H
E
D
a1
a5 B
A
HA
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
2,5m 1m 1,5m
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
kN
N2(x) = HAcos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 2 xsin_fi(x) - HDcos_fi(x)
m
N2 xD = 2.381kN N2(2.5m) = 6.651kN
( )
kN
T2(x) = VAcos_fi(x) - 2 xcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - HDsin_fi(x)
m
T2 xD = 6.224kN T2(2.5m) = -4.25kN
( )
kN x
M2(x) = VAx + HAy(x) - 2 x - HD(y(x) - 0.5m)
m 2
M2 xD = 0.098kNm M2(2.5m) = 5.601kNm
( )
33
33
Przykład 2  przekrój a3
Przykład 2  przekrój a3
2kN/m
a
3
x 2,5m;3,5m
15kNm
a
2
a
4
N = Nb cosj -Tb sinj
H H
E
D
a
1 a
5
B
A
HA
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
2,5m 1m 1,5m
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
kN
N3(x) = HAcos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 2 2.5msin_fi(x) - HDcos_fi(x)
m
N3(2.5m) = 6.651kN N3(3.5m) = 4.465kN
kN
T3(x) = VAcos_fi(x) - 2 2.5mcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - HDsin_fi(x)
m
T3(2.5m) = -4.25kN T3(3.5m) = -6.509kN
kN
ćx 2.5m
M3(x) = VAx + HAy(x) - 2 2.5m - - HD(y(x) - 0.5m)

Ł ł
m 2
Ł ł
- 4
-
M3(2.5m) = 5.601kNm M3(3.5m) = 1.715 10 kNm
34
34
f=
2
m
0,5
m
f=
2
m
0,5
m
Przykład 2  przekrój a4
Przykład 2  przekrój a4
2kN/m
a3
x 3,5m;4,832m
15kNm
a2
a4
N = Nb cosj -Tb sinj
H H
E
D
a1
a5 B
A
HA
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
2,5m 1m 1,5m
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
kN
N4(x) = HAcos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 2 2.5msin_fi(x) - HDcos_fi(x)
m
N4(3.5m) = 4.465kN N4 xE = -1.11kN
( )
kN
T4(x) = VAcos_fi(x) - 2 2.5mcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - HDsin_fi(x)
m
T4(3.5m) = -6.509kN T4 xE = -7.815kN
( )
kN
ćx 2.5m
M4(x) = VAx + HAy(x) - 2 2.5m - - HD(y(x) - 0.5m) + 15kNm

m 2
Ł ł
M4(3.5m) = 15kNm M4 xE = 0.715kNm
( )
35
35
Przykład 2  przekrój a5
Przykład 2  przekrój a5
2kN/m
a
3
x 4,832m;5m
15kNm
a
2
a
4
N = Nb cosj -Tb sinj
H H
E
D
a
1 a
5
B
A
HA
T Tb cos Nb sin
T = Tb cosj + Nb sinj
2,5m 1m 1,5m
2,5m 1m 1,5m
VA
RB
l=5m
kN
N5(x) = HAcos_fi(x) - VAsin_fi(x) + 2 2.5msin_fi(x) - HDcos_fi(x) + HEcos_fi(x)
m
N5 xE = -3.867kN N5(5m) = -4.146kN
( )
kN
T5(x) = VAcos_fi(x) - 2 2.5mcos_fi(x) + HAsin_fi(x) - HDsin_fi(x) + HEsin_fi(x)
m
T5 xE = -1.762kN T5(5m) = -0.933kN
( )
kN
ćx 2.5m
M5(x) = VAx + HAy(x) - 2 2.5m - - HD(y(x) - 0.5m) + 15kNm + HE(y(x) - 0.5m)

m 2
Ł ł
M5 xE = 0.715mkN M5(5m) = 0mkN
( )
36
36
f=
2
m
0,5
m
f=
2
m
0,5
m
Przykład 2
Przykład 2
 zestawienie wyników
 zestawienie wyników
x [m] y [m] tg_fi(x) cos_fi(x) sin_fi(x) j(x) [rad] j(x) [deg] N(x) [kN] T(x) [kN] M(x) [kNm]
0 0.000 4.444 0.220 0.976 1.349 77.320 -0.732 0.165 0.000
0.168-L 0.500 2.196 0.415 0.910 1.143 65.512 -0.376 0.172 0.098
0.168-P 0.500 2.196 0.415 0.910 1.143 65.512 2.381 6.224 0.098
0.25 0.664 1.835 0.479 0.878 1.072 61.408 2.963 5.960 1.215
0.5 1.040 1.248 0.625 0.780 0.895 51.305 4.353 5.035 3.713
0.75 1.309 0.935 0.730 0.683 0.752 43.073 5.371 3.994 5.383
1 1.515 0.722 0.811 0.585 0.625 35.829 6.124 2.880 6.501
1.25 1.674 0.559 0.873 0.488 0.510 29.196 6.660 1.717 7.186
1.25 1.674 0.559 0.873 0.488 0.510 29.196 6.660 1.717 7.186
1.5 1.797 0.424 0.921 0.390 0.401 22.970 7.002 0.524 7.500
1.75 1.888 0.306 0.956 0.293 0.297 17.019 7.165 -0.683 7.480
2 1.951 0.199 0.981 0.195 0.196 11.252 7.157 -1.890 7.149
2.25 1.988 0.098 0.995 0.098 0.098 5.599 6.985 -3.083 6.520
2.5 2.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 6.651 -4.250 5.601
2.75 1.988 -0.098 0.995 -0.098 -0.098 -5.599 6.205 -4.879 4.458
3 1.951 -0.199 0.981 -0.195 -0.196 -11.252 5.694 -5.466 3.149
3.25 1.888 -0.306 0.956 -0.293 -0.297 -17.019 5.116 -6.011 1.668
3.5-L 1.797 -0.424 0.921 -0.390 -0.401 -22.970 4.465 -6.509 0.000
3.5-P 1.797 -0.424 0.921 -0.390 -0.401 -22.970 4.465 -6.509 15.000
3.75 1.674 -0.559 0.873 -0.488 -0.510 -29.196 3.733 -6.954 13.124
4 1.515 -0.722 0.811 -0.585 -0.625 -35.829 2.905 -7.339 11.001
4.25 1.309 -0.935 0.730 -0.683 -0.752 -43.073 1.956 -7.647 8.571
4.5 1.040 -1.248 0.625 -0.780 -0.895 -51.305 0.841 -7.848 5.713
4.75 0.664 -1.835 0.479 -0.878 -1.072 -61.408 -0.549 -7.874 2.152
4.832-L 0.500 -2.196 0.415 -0.910 -1.143 -65.512 -1.110 -7.815 0.715
4.832-P 0.500 -2.196 0.415 -0.910 -1.143 -65.512 -3.867 -1.762 0.715
5 0.000 -4.444 0.220 -0.976 -1.349 -77.320 -4.146 -0.933 0.000
37
37
Przykład 2
Przykład 2
 siły normalne
 siły normalne
10 10
2.5
7.182
5 5
+
+
+
+
N(x) N(x)
2.381
kN kN
-
-
0 1 2 3 4 5
- 0.732
-
-
- 4.146
5 5
x
38
38
Przykład 2  siły tnące,
Przykład 2  siły tnące,
miejsce zerowe
miejsce zerowe
10 10
2.5
6.218
5 5
+
+
+
+
T(x) T(x)
kN kN
0 1 2 3 4 5
-
-
- 4.250
5 5
- 7.893
10 10
x
T x = 0 x1 = 1,609m
( )
39
39
Przykład 2  momenty
Przykład 2  momenty
zginające, ekstremum
zginające, ekstremum
0.098
2.5
0.715
+
+
5 5
+
+
+
+
M(x) M(x)
7.531
kN kN
10 10
15
15 15
0 1 2 3 4 5
x
=
( )
M x1 = 7,531kNm
( )
40
40
Racjonalna oś łuku(1)
Racjonalna oś łuku(1)
Oś łuku, która umożliwia uzyskanie
Oś łuku, która umożliwia uzyskanie
minimalnych wymiarów przekroju
minimalnych wymiarów przekroju
poprzecznego pręta łuku przy
poprzecznego pręta łuku przy
poprzecznego pręta łuku przy
poprzecznego pręta łuku przy
zadanym obciążeniu nazywana jest
zadanym obciążeniu nazywana jest
racjonalną osią łuku.
racjonalną osią łuku.
Warunek jest spełniony w przypadku
Warunek jest spełniony w przypadku
osiowego stanu obciążenia, tj. M=0 we
osiowego stanu obciążenia, tj. M=0 we
wszystkich punktach łuku.
wszystkich punktach łuku.
41
41
Racjonalna oś łuku(2)
Racjonalna oś łuku(2)
Osią racjonalną łuku trójprzegubowego
Osią racjonalną łuku trójprzegubowego
obciążonego równomiernie na całej długości
obciążonego równomiernie na całej długości
w pionie jest parabola drugiego stopnia.
w pionie jest parabola drugiego stopnia.
q
ql
ql
ll
ll
V = V =
VA = VB =
H f -V + q l = 0
HA f -VA + q l = 0
2
2 2
1 ql l l l ql2
ć
HA HB HA =- q =

l f 2 2 2 4 8 f
Łł
VA VB
xql qx2 ql2
M = VA x - q x - HA y = x - - y = 0
22 2 8 f
4 f
ć l2
ql2
y = x l - x
( )
l x - x2 - y = 0
= 0
l x - x2 - 4 f y
4 f
2 l2
Łł
42
42
f
Racjonalna oś łuku(3)
Racjonalna oś łuku(3)
Osią racjonalną łuku obciążonego
Osią racjonalną łuku obciążonego
równomiernie na całej długości w
równomiernie na całej długości w
kierunku prostopadłym do osi łuku jest
kierunku prostopadłym do osi łuku jest
kierunku prostopadłym do osi łuku jest
kierunku prostopadłym do osi łuku jest
koło.
koło.
q
A
B
HA HB
l
VA
VB
43
43
f


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Obliczanie obciążenia ogniowego
Badania porównawcze metod obliczanaia obciązen
5 OBCIĄŻENIA NAWIERZCHNI PRZEZ RUCH DROGOWY I OKREŚLANIE RUCHU OBLICZENIOWEGO DO PROJEKTOWANIA NAWI
Obliczenie sił przekrojowych w załamanym pręcie dowolnie obciążonym
08 Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych
5836 obliczanie projektowego obciazenia cieplnego wg pn en 12831 2006 europejskie cieplo
Obliczanie wartości obciążenia granicznego układu belkowo słupowego
Wpływ obciążenia losowego na rozkład sił wewnętrznych w elementach stalowego mostu kolejowego
obliczone obciazenia dobry przykład
Rozkład trójkątny
cw6 arkusz obliczeniowy przyklad
Kontrola momentu obciążenia
Obliczenie po wpustowych, kolkowych i sworzniowych
CHEMIA cwiczenia WIM ICHIP OBLICZENIA

więcej podobnych podstron