Wykład 4
Rozkłady i ich dystrybuanty
Dwa typy zmiennych losowych
" Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x1, x2, ...},
to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
" Jeśli wszystkich wartości zmiennej NIE MOŻNA wypisać w postaci ciągu, to mówimy, że jest to
zmienna ciągła.
" Tak jest zawsze, gdy zbiór wartości zawiera jakiś przedział (a, b).
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej
Rozkład takiej zmiennej to opis jej możliwych wartości i prawdopodobieństw, z jakimi te wartości zmienna
przyjmuje.
" X = wynik rzutu symetrycznÄ… kostkÄ…
" Wartości, jakie może przyjąć X to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
1
" Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości jest równe .
6
" Wygodnie jest podać ten rozkład w tabelce:
xk 1 2 3 4 5 6
pk 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
"
Wartość średnia zmiennej losowej
" Jeżeli P (X = xk) = pk, k = 0, 1, 2, 3, ..., to
" wartość średnia (wartość oczekiwana) zmiennej X

E(X) = xk · pk.
k
" Intuicja: na prostej rozmieszczamy masy pi w punktach xi, i = 0, 1, 2....
" Wartość średnia to środek ciężkości tego układu (może nie istnieć!)
" Jaka jest wartość średnia (wartość oczekiwana) liczby oczek w jednym rzucie kostką?
Wariancja zmiennej losowej
" Jeżeli P (X = xk) = pk, k = 0, 1, 2, 3, ..., to
" wariancja zmiennej X

V ar(X) = (xk - E(X))2 · pk.
k
" Wariancję oznacza się też symbolem D2(X).
" Wariancja mierzy rozrzut wyników  średnie odchylenie od wartości średniej.
" Wariancję można też obliczyć ze wzoru

V ar(X) = x2 · pk - (E(X))2.
k
k
1
Rozkłady ciągłe (z gęstością)

"
" Jeśli dana jest taka funkcja f : R [0, "), że f(x) dx = 1, to
-"
" f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X i obliczamy
" prawdopodobieństwa

b
P (a < X < b) = f(x) dx.
a
Przykłady gęstości
" Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]
"
Å„Å‚
1
ôÅ‚
, gdy x " [a, b],
òÅ‚
b-a
f(x) =
ôÅ‚
ół
0, gdy x " [a, b].
/
Przykłady gęstości
" Rozkład normalny z parametrami m " R i à > 0
"
(x-m)2
1
" , x " R
f(x) = e- 2Ã2
2Ä„ Ã
Przykłady gęstości
" Rozkład wykładniczy z parametrem  > 0
"
Å„Å‚
ôÅ‚
0, gdy x < 0,
òÅ‚
f(x) =
ôÅ‚
ół
e-x, gdy x 0.
Wartość średnia
" Gdy rozkład ma gęstość f(x), to
"

"
E(X) = x f(x) dx, gdy całka jest zbieżna.
-"
" Gdy całka nie jest zbieżna, to E(X) nie istnieje.
Wariancja
" Gdy rozkład ma gęstość f(x), to
"

"
D2(X) = (x - E(X))2 f(x) dx, gdy całka zbieżna.
-"
" Gdy całka nie jest zbieżna, to D2(X) nie istnieje.
" Wariancję można też liczyć ze wzoru

"
D2(X) = x2 f(x) dx - (E(X))2 .
-"
Jak opisać cały rozkład jedną funkcją?
2
" Przypuśćmy, że na prostej rozłożyliśmy masę jednostkową.
" Aby znać masę każdego odcinka, wystarczy znać masę każdej półprostej (-", t) dla wszystkich t " R,
bo wtedy
" m(a, b) = m(-", b) - m(-", a].
" Analogicznie: aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych
a < b.
" W tym celu wystarczy znać P (-" < X < t) dla wszystkich t " R, bo wtedy
" P (a < X < b) = P (-" < X < b) - P (-" < X a).
Dystrybuanta rozkładu
Niech X będzie zmienną losową. Funkcję zmiennej t " R określoną wzorem
FX(t) = P (X < t)
nazywamy dystrybuantą rozkładu zmiennej X.
Przykłady dystrybuant
" Jeżeli X jest stała, to znaczy X a" c, wtedy
"

0, gdy t c,
FX(t) =
1, gdy t > c,
Przykłady dystrybuant
" Jeżeli X ma rozkład dwupunktowy, to znaczy dla pewnych x1 < x2

x1 z prawdopodobieństwem p,
X =
x2 z prawdopodobieństwem 1 - p,
" wtedy dystrybuantÄ… jest funkcja
"
Å„Å‚
ôÅ‚
0, gdy t x1,
òÅ‚
FX(t) = p, gdy x1 < t x2,
ôÅ‚
ół
1, gdy t > x2,
Przykłady dystrybuant
" Jeżeli Sn ma rozkład Bernoulliego z parametrami n oraz p, to
"
Å„Å‚
ôÅ‚ 0, gdy t 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
..., gdy 0 < t 1,
òÅ‚
FX(t) = ..., gdy 1 < t 2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
.... ...
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1, gdy t > n.
Przykłady dystrybuant
" Jeżeli X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b], to
"
Å„Å‚
ôÅ‚
0, gdy t a,
òÅ‚
t-a
FX(t) = , gdy a < t b,
b-a
ôÅ‚
ół
1, gdy t > b.
3
Przykłady dystrybuant
" Jeżeli X ma standardowy rozkÅ‚ad normalny, to znaczy z parametrami m = 0 i à = 1, wówczas
"

t
1 2
FX(t) = " e-x /2 dx.
-" 2Ä„
" Ta pierwotna nie jest funkcją elementarną, więc trzeba było:
" nadać jej nazwę (oznaczenie) oraz
" stablicować wartości.
" Nazwano jÄ… Åš(t),
" tablice jej wartości dla t " [0, 3] można znalez
ć w większości podręczników do statystyki lub w
internecie, np. http://neyman.im.pwr.wroc.pl/Üszajow/sas/node40.html
Własności dystrybuanty
Każda dystybuanta F : R - R ma następujące trzy własności:
" F jest funkcjÄ… niemalejÄ…cÄ….
" F jest funkcją lewostronnie ciągłą (bo w definicji przyjęliśmy P (X < t)).
" limt-" F (t) = 0, limt" F (t) = 1.
Jak rozpoznać dystrybuantę?
Jeśli dana jest funkcja F : R - R, która jest
" niemalejÄ…ca,
" lewostronnie ciągła i
" ma granice: 0 w -" oraz 1 w ",
" to jest ona dystrybuantą rozkładu pewnej zmiennej losowej.
Zadanie Dla jakich stałych a oraz b funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚
0, dla t 0,
òÅ‚
F (t) = at + b, dla 0 < t 1,
ôÅ‚
ół
1, dla t > 1,
jest dystrybuantÄ…?
RozwiÄ…zanie:
" Granice są już takie, jak trzeba.
" Tak określona funkcja jest lewostronnie ciagła.
" Dla jakich a, b jest niemalejÄ…ca?
" Oczywiście a 0.
" Nie może maleć w otoczeniu zera, więc b 0.
" Nie może maleć w otoczeniu jedynki, więc a + b 1.
Kiedy rozkład jest ciągły tzn. ma gęstość?
" Dana jest dystrybuanta F (t). Jak poznać, czy ten rozkład ma gęstość?
" Dystrybuanta rozkładu z gęstością to całka z tej gęstości, więc
4
" gęstość to pochodna dystrybuanty.
1 1
" Gdy na przykład F (t) = arctg x + , to
Ä„ 2
1 1
" gęstość jest równa F (t) = .
Ä„ 1+t2
Kiedy rozkład jest ciągły?
" Gdy dystrybuanta FX(t) ma pochodną (poza co najwyżej skończoną liczbą punktów),
" ta pochodna jest nieujemna i
" całka po całej prostej z tej pochodnej jest równa 1,
" to ta pochodna jest gęstością rozkładu.
" Wówczas

b

P (a < X < b) = FX(t)dt.
a
Kiedy rozkład jest dyskretny?
" Gdy dystrybuanta jest funkcją stałą na przedziałach, a rośnie tylko w punktach skoków,
" to jest dystrybuantą zmiennej X o rozkładzie dyskretnym.
" Jeśli xi jest punktem skoku dystrybuanty, to
" P (X = xi)= wysokość skoku dystrybuanty w tym punkcie.
Parametry rozkładu normalnego
Przypuśćmy, że zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami m " R oraz à > 0, tzn.
" rozkład o gęstości
-(x-m)2
1
2Ã2
"
f(x) = e .
2Ä„ Ã
" E(X) =?
" V ar(X) =?
" E(X) = m
" V ar(X) = Ã2
Mediana
Przypuśćmy, że dana jest zmienna losowa X.
" Medianą zmiennej X nazywamy każdą taką liczbę m, dla której zachodzą nierówności:
"
1 1
P (-" < X m) , P (m X < ") .
2 2
" Mediana m dzieli rozkład  na połowy tzn.
" na lewo od m jest co najmniej połowa prawdopodobieństwa i
" na prawo od m jest co najmniej połowa prawdopodobieństwa.
" Jak obliczać medianę za pomoca dystrybuanty?
" Dlaczego definicja formalna jest tak skomplikowana?
Kwantyle i kwartyle
Przypuśćmy, że dana jest zmienna losowa X.
5
" Kwantylem rzędu p nazywamy każdą taką liczbę xp, dla której zachodzą nierówności:
"
P (-" < X xp) p, P (xp X < ") 1 - p.
" To znaczy na lewo od xp jest co najmniej p, a na prawo co najmniej 1 - p całego prawdopodobieństwa.
1 1 3 4
" Kwartyle to kwantyle rzędu , , oraz .
4 2 4 4
1
" Mediana to kwantyl rzędu .
2
" Jak liczyć kwartyle (kwantyle) za pomocą dystrybuanty?
6