Wykład 8. Przedziały ufności dla średniej
Åšrednia a mediana
" Mediana dzieli powierzchnię histogramu na połowy.
" Jest odporna  nie mają na nią wpływu obserwacje  odstające .
" Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią  średnia nie jest odporna.
" Jeżeli histogram jest w przybliżeniu symetryczny, to średnia i mediana są zbliżone.
" Jeżeli histogram jest skośny na prawo, to średnia jest zwykle większa niż mediana.
" Obie te miary położenia są jednakowo ważne.
" Średnia jest częściej wykorzystywana do testowania i estymacji (o czym póz
niej).
Miary położenia: kwartyle
" Kwartyle dzielą zbiór danych na cztery grupy.
" Drugi kwartyl (Q2) to mediana.
" Pierwszy kwartyl (Q1) to mediana grupy obserwacji mniejszych niż Q2.
" Trzeci kwartyl (Q3) to mediana grupy obserwacji większych niż Q2.
Rozstęp międzykwartylowy
IQR = Q3 - Q1 (inter-quartile range)
Obserwacja odstajÄ…ca
Czasami jeden lub kilka wyników wyraz
nie odstaje od pozostałej większości. Spowodowane to może być np.
przez błąd w zapisie danych, błąd maszyny, zmianę warunków eksperymentu itp.
" Jak ustalić, które wyniki odstają?
" Dolna granica = Q1 - 1, 5 · IQR
" Górna granica = Q3 + 1, 5 · IQR
Wariancja z próby
Miarą rozrzutu danych jest wariancja. Niestety, używa się dwóch bardzo podobnych statystyk.
Przypuśćmy, że dane są wyniki pomiarów y1, y2, ..., yn. Wtedy
"
n

1
s2 = (yi - y)2
n
i=1
"
n

1
%5Å„2 = (yi - y)2
n - 1
i=1
" Odpowiednio definiujemy s oraz %5Å„ (jako pierwiastki).
" Czym różnią się s2 i %5ń2?
" Zasadniczą różnicę poznamy póz
niej, większą rolę w statystyce pełni %5ń2.
Wpływ przekształceń

Jak zmieniają się: histogram, y, rozstęp, mediana, kwartyle i s2, gdy zamiast y wez
miemy yi = ayi + c, gdzie
a, c są stałymi rzeczywistymi?
" Funkcja liniowa nie zmienia w zasadniczy sposób kształtu histogramu. Może go rozszerzyć (|a| > 1),
ścieśnić (|a| < 1), przesunąć (c < 0 lub c > 0) i obrócić (a < 0).
1

" y = ay + c

" s2 = a2s2, więc s = |a| s.
" Funkcja liniowa zmienia: medianę i kwartyle tak, jak średnią, a rozstęp i IQR tak, jak odchylenie
standardowe.
Przekształcenia nieliniowe
Funkcje nieliniowe (np. logarytm) zmieniają kształt histogramu i na ogół nie ma dla nich prostych formuł
umożliwiających obliczenie nowej średniej i nowego odchylenia standardowego.
Parametry te liczymy z definicji korzystajÄ…c z  nowego zbioru danych.
Czasami używamy funkcji nieliniowych, aby przekształcić skośne dane w bardziej symetryczne.
Próba a populacja
" Populacja:
" Zbiór, z którego losujemy próbę i który chcemy opisać. Czasami rzeczywista, czasami abstrakcyjna
(np.  nieskończenie duża próba ) .
" Próba:
" Podzbiór populacji.
" Próba powinna być reprezentatywna dla populacji.
" Wnioskowanie statystyczne to wnioskowanie o populacji w oparciu o próbę.
Próba prosta
Prosta próba losowa:
" Każdy osobnik z populacji może być wybrany z tym samym prawdopodobieństwem.
" Wybory poszczególnych osobników są niezależne.
Jak wybrać próbę losową prostą?
Mechanizm losujÄ…cy, np.:
" Przyznajemy numer każdemu osobnikowi.
" Zapisujemy numery na kulach.
" Mieszamy kule w urnie.
" Losujemy kule=numery=osobników, tyle razy, ile wynosi rozmiar próby.
" Do losowania możemy również użyć komputera lub gotowej tablicy liczb (numerów) losowych.
" Gdy rozmiar populacji nie jest ustalony lub nie mamy dostępu do wszystkich osobników, zadanie jest
dużo trudniejsze.
Przykład
Przewidywanie wyników wyborów prezydenckich w USA, 1936:
" Literary Digest wysłało kwestionariusze do 10 milionów ludzi (25% głosujących).
" Odpowiedziało 2,4 miliona.
" Przewidywanie: Landon 57%, Roosevelt 43%.
" Wynik wyborów: Roosevelt 62%, Landon 38%.
" Uwaga: F.D. Roosevelt, Partia Demokratyczna, prezydent w latach 1933-1945.
2
Przyczyny błędu
" Złe (dyskryminujące) próbkowanie (użyto książek telefonicznych, list członkowskich klubów, listy za-
mówień pocztowych, listy właścicieli pojazdów).
" Brak odpowiedzi. Tylko 24% odpowiedziało (niemal wyłącznie Republikanie).
" Uwaga: George Gallup przewidział poprawnie na podstawie reprezentatywnej próbki 50 000 osób.
Obciążenie w próbkowaniu
Obciążenie w próbkowaniu występuje, gdy mamy do czynienia z systematycznym błędem faworyzującym
pewną część populacji. W przypadku takiego obciążenia nie pomoże nawet duży rozmiar próby.
Losowy wybór elementów do próby zwykle eliminuje takie obciążenie.
Stratyfikacja
Dzielimy populację na pod-populacje podobnych jednostek (warstwy) i oddzielnie próbkujemy w każdej
warstwie.
Przykłady warstw:
" studentki i studenci
" grupy zawodowe
" regiony geograficzne
Czym jest statystyka?
Statystyka to nauka rozumienia danych i podejmowania decyzji w obliczu losowości.
Problem. Dana jest populacja pewnych elementów. Interesuje nas średnia tej populacji. Jak ją obliczyć
dokładnie? Jak ją oszacować szybko i małym kosztem ze stosunkowo dużą dokładnością? I jaka jest ta
dokładność?
Przykłady
Oto kilka konkretnych zadań, rozwiązywanych za pomocą statystyki.
" Ile haseł jest w tej 1000-stronicowej encyklopedii?
" Jaki jest średni czas bezawaryjnego działania urządzeń, które produkuje dana fabryka (np. żarówek)?
" Ile czerwonych krwinek w 1 mm3 krwi zawiera badana próbka?
" Gdyby dziś odbywały się wybory, to ilu ludzi głosowałoby na partię X?
" Czy większość Polaków wypowiada się za przywróceniem kary śmierci?
Liczba haseł w encyklopedii
Rozważmy pierwszy przykład. Ile haseł omawia dana encyklopedia?
" Jak liczbę haseł obliczyć dokładnie?
" Kto chciałby to zrobić i czy warto wkładać tyle wysiłku w tę, w gruncie rzeczy, mało istotną informację?
" Jak to zrobić, stosując statystykę?
" Ile średnio haseł jest na jednej stronie?
" Gdy to już wiemy, mnożymy średnią przez liczbę stron.
" Jak dokładne są takie obliczenia?
 Czas życia żarówki
Ile czasu średnio świecą żarówki, które produkujemy?
3
" Tu nie można zbadać wszystkich żarówek!
" Czy na podstawie jednej żarówki możemy szacować czas świecenia całej populacji?
" Ile pomiarów trzeba przeprowadzić, aby ich średnia była dobrym odzwierciedleniem nieznanego śred-
niego czasu świecenia?
Czerwone krwinki
" Jak je szybko policzyć? Wynik wychodzi w milionach!
Średnia z próby
" Symbol x oznacza liczbę  arytmetyczną średnią z obserwacji.
" Symbol X oznacza pojęcie średniej z próby.
Parametry średniej
Za chwilę wylosujemy z danej populacji (np. żarówki) n elementów. Czas świecenia (do przepalenia żarówki)
jest zmienną losową o nieznanym nam rozkładzie. Nie znamy też żadnych parametrów tego rozkładu, a
interesuje nas średnia.
" Niech X1, X2, ..., Xn będą czasami świecenia wylosowanych żarówek.
"
X1 + X2 + ... + Xn
X =
n
" Jaka jest wartość oczekiwana E(X)?
" Jaka wariancja V ar(X)?
Parametry X
Ponieważ zmienne X1, X2, ..., Xn pochodzą z jednej populacji, więc ich rozkład jest jednakowy (czy naprawdę
jest???). Oczywiście zarówno średnia, jak i wariancja są skończone.
"

X1 + X2 + ... + Xn
E(X) = E =
n
"
1
(E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)) = E(X1)
n
"

X1 + X2 + ... + Xn
V ar(X) = V ar =
n
"
1 V ar(X1)
(V ar(X1) + ... + V ar(Xn)) =
n2 n
Parametry X
Podsumujmy: w próbie prostej (tzn. gdy wszystkie zmienne są niezależne i mają jednakowy rozkład)
"
E(X) = E(X1)
"
V ar(X1)
V ar(X) =
n
" Wniosek: Im więcej prób, tym dokładniejszy wynik (wariancja maleje!).
4
Przykład
Dla próby n-elementowej z pewnej populacji V ar(X) = a. Jak dużą próbę należałoby wziąć, aby
" ta wariancja zmalała dwukrotnie?
" odchylenie standardowe zmalało dziesięciokrotnie?
RozwiÄ…zanie
V ar(X1)
Wiemy, że V ar(X) = = a.
n
" Jeśli chcemy zmniejszyć wariancję dwukrotnie, to musimy dzielić przez dwa razy większą liczbę, czyli
należy dwukrotnie zwiększyć liczbę prób.
" Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

V ar(X1)
ÃX = .
n
" Aby tę liczbę zmniejszyć dziesięciokrotnie, należy zwiększyć mianownik pod pierwiastkiem 100 razy.
" Odpowiedz
: Trzeba zwiększyć liczbę prób z n do 100n.
Przedziały ufności Neymana
Jerzy Spława-Neyman (1894-1981), polski statystyk, w latach 1924-38 w Londynie, od 1938 pracował w
Berkeley.
Opracował (między innymi) teorię przedziałów ufności.
Definicja przedziału ufności
Niech cecha X ma w populacji rozkÅ‚ad z nieznanym parametrem ¸. Z populacji wybieramy próbÄ™ losowÄ…
X1, X2, ..., Xn. PrzedziaÅ‚em ufnoÅ›ci (¸1, ¸2) o poziomie ufnoÅ›ci 1 - Ä… nazywamy taki przedziaÅ‚, który
spełnia warunek:
P (¸1 < ¸ < ¸2) = 1 - Ä…,
gdzie ¸1 i ¸2 sÄ… funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.
" Zazwyczaj poszukuje się przedziałów najkrótszych.
" Poziom ufnoÅ›ci 1-Ä… to prawdopodobieÅ„stwo, że rzeczywista wartość parametru ¸ w populacji znajduje
się w wyznaczonym przez nas przedziale ufności.
" W praktyce przyjmuje się zazwyczaj następujące wartości poziomu 1 - ą: 0,99, 0,95 lub (rzadziej)
0,90.
Przedziały ufności dla wartości średniej
Załóżmy, że chcemy oszacować nieznaną wartość średnią m zmiennej losowej (cechy) X, której wa-
riancjÄ™ Ã2 znamy. Przyjmujemy jedno z dwu zaÅ‚ożeÅ„:
Ã2
" Zmienna X ma rozkÅ‚ad N(m, Ã2), wtedy X <" N(m, ) lub
n
" zmienna X ma rozkład różny od normalnego, ale próba jest na tyle duża (n > 30? n > 50?), że średnia
Ã2
X ma w przybliżeniu rozkład N(m, ).
n
" Jeśli spełnione jest jedno z tych założeń, to
"
X - m
" zmienna n ma rozkład N(0, 1).
Ã
5
Wyznaczanie przedziału ufności
Wybierzmy odpowiedni poziom ufności, na przykład 0,95.
"
X - m
" Skoro n ma rozkład N(0, 1),
Ã
" to z tablic rozkładu normalnego można wyznaczyć taką liczbę zą, dla której
"
"
X - m
P (-zÄ… < n < zÄ…) = 1 - Ä… = 0, 95.
Ã
" Przekształćmy wyrażenie w nawiasie tak, aby otrzymać nierówność dla nieznanej średniej m:
Wyznaczanie przedziału ufności
"
à Ã
P (-zÄ… " - m < zÄ… " - Ä… = 0, 95, skÄ…d
< X ) = 1
n n
"
à Ã
P (X - zÄ… " < m < X + zÄ… " - Ä… = 0, 95.
) = 1
n n
" Szukanym przedziałem ufności dla m na poziomie ufności 1 - ą jest więc przedział
"

à Ã
X - zÄ… " , X + zÄ… " .
n n
Ã
" Estymatorem nieznanej średniej m jest x, a margines błędu wynosi zą "n.
Trzy najważniejsze poziomy ufności
Niech Z <" N(0, 1). Z tablic rozkładu normalnego N(0, 1) odczytujemy, że dla danego 1 - ą, równego 0,9,
0,95 oraz 0,99:
" dla 0,9 mamy P (Z < 1, 65) = 0, 95, więc z0,9 = 1, 65
" dla 0,95 mamy P (Z < 1, 96) = 0, 975, więc z0,95 = 1, 96,
" dla 0,99 mamy P (Z < 2, 58) = 0, 995, więc z0,99 = 2, 58.
Długość przedziału ufności
Przy planowaniu eksperymentu (w tym liczebności próby) chcemy wiedzieć, z jaką dokładnością będziemy
znać m (margines błędu).
" Nieznana średnia m zawarta jest w przedziale
"

à Ã
X - zÄ… " , X + zÄ… "
n n
" o długości
"
zÄ…Ã
2" = 2 "
n
" Znamy Ã, dla wybranego Ä… odczytujemy z tablic zÄ….
6
"
" Szerokość przedziału zależy zatem od n.
Długość przedziału ufności
Jeśli zadana jest liczba " (czyli połowa długości przedziału), to liczba prób, potrzebna do otrzymania
przedziału danej długości, jest równa
Ã2
2
n = zÄ… .
"2
Przykład
Próba pobrana z dużej partii lamp zawiera 100 lamp. Średnia z próby długości świecenia lampy wynosi 1000
godzin. Na poziomie ufności 1 - ą = 0, 95 wyznacz przedział ufności dla średniej długości świecenia lampy
z caÅ‚ej partii, jeÅ›li wiadomo, że odchylenie standardowe wynosi à = 40 godzin.
RozwiÄ…zanie
Nie znamy rozkładu długości świecenia, ale próba n = 100 jest na tyle duża, że średnia X ma w przybliżeniu
Ã2 402
rozkład N(m, ) czyli N(m, ).
n 100
" Zadany poziom ufności 1 - ą = 0, 95.
" Szukamy takiej liczby zą, dla której P (-zą < Z < zą) = 0, 95, skąd zą = 1, 96.

40 40
" Szukanym przedziaÅ‚em ufnoÅ›ci jest przedziaÅ‚ 1000 - 1, 96 · ; 1000 + 1, 96 · ,
10 10
" czyli (992, 16; 1007, 84).
7