Wykład 3
Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego
Kiedy dwa zdarzenia są niezależne?
Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPA
YWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia
A:
P (A | B) = P (A),
to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne.
" Przekształćmy równość P (A | B) = P (A) do postaci
"
P (A )" B)
= P (A), skąd
P (B)
"
P (A )" B) = P (A)P (B).
Definicja niezależności
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy
P (A )" B) = P (A) � P (B).
Przykład
" Dwukrotny rzut monetą:
" &! = {OO, OR, RO, RR}
" A=w pierwszym rzucie orzeł
" B=w drugim rzucie orzeł
1
" P (B) = ,
2
"
P (B )" A) 1/4 1
P (B | A) = = = .
P (A) 1/2 2
" Zdarzenia A i B są niezależne.
Zadanie Założenie: prawdopodobieństwo urodzenia chłopca =
1
prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki = .
2
" Spośród rodzin mających n dzieci, n 2, wybieramy losowo jedną rodzinę.
" A=w tej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka
" B=w tej rodzinie są i dziewczynki i chłopcy
" Czy zdarzenia A i B są niezależne?
" Spróbujmy odgadnąć odpowiedz
!
1
Rozwiązanie
" &! = {x1, x2, ..., xn}, gdzie xi = d lub c
" |&!| = 2n, wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
" |A|=(sami chłopcy lub jedna dziewczynka)= n + 1.
" |B| = 2n - 2, |A )" B|=(dokładnie jedna dziewczynka)=n.
" niezależność A i B:
n n + 1 2n - 2
P (A )" B) = P (A) � P (B) �! = � ,
2n 2n 2n
" czyli tylko wtedy, gdy n = 3.
Niezależnośc trzech zdarzeń
Zdarzenia A, B oraz C są niezależne, gdy
" P (A )" B) = P (A)P (B),
" P (A )" C) = P (A)P (C),
" P (B )" C) = P (B)P (C),
" P (A )" B )" C) = P (A)P (B)P (C).
Zadanie
W urnie są cztery kule:
" biała,
" czerwona,
" niebieska
" i taka, na której są wszystkie trzy powyższe kolory.
" Losujemy jedną kulę. Czy zdarzenia: na wylosowanej kuli jest kolor B, C, N są niezależne? Czy są
parami niezależne?
Rozwiązanie
" P (B) = P (wylosujemy kulę, na której jest kolor biały)=1,
2
1
" Podobnie P (C) = P (N) = .
2
" Oczywiście P (B )" C) = P (wylosujemy kulę, na której są kolory biały i czerwony)=1.
4
1
" P (B )" C) = P (B)P (C) = �!- te zdarzenia są niezależne!
4
" Tak samo pary B i N oraz C i N są niezależne.
1 1
" Ale P (B )" C )" N) = , natomiast P (B)P (C)P (N) = i te zdarzenia NIE S
niezależne!
4 8
2
Ogólna definicja zdarzeń niezależnych
Zdarzenia A1, A2, ..., An są niezależne, gdy
dla każdego ich podzbioru Ai1, Ai2, ... Aik zachodzi równość
P (Ai1 )" Ai2 )" ... )" Aik) = P (Ai1)P (Ai2) � ... � P (Aik).
" To jest łącznie aż 2n - n - 1 równości do sprawdzenia!
" Na szczęscie zwykle nie musimy ich sprawdzać.
Schemat Bernoulliego
Powtarzamy n razy doświadczenie, którego wynikami mogą być  sukces lub  porażka , przy czym:
" kolejne doświadczenia są niezależne;
" w każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, a porażki 1 - p.
" Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w n powtórzeniach. Wówczas
"

n
P (Sn = k) = pk(1 - p)n-k, k = 0, 1, 2, ..., n.
k
Ilustracja: deska Galtona
Kulka opada, napotykając na kilka rzędów przeszkód, przy czym na każdej przeszkodzie może skręcić w
prawo z prawdopodobieństwem p lub w lewo z prawdopodobienstwem q = 1 - p.
Gdy rzucimy tak kilkaset kulek, to ile ich zbierze się w kolejnych przegródkach na dole?
1
Odpowiedz
dla n = 10 i p =
2
10
1 1
" Ponieważ tutaj p = , więc pk(1 - p)10-k = , zatem
2 2
" liczby kulek w poszczególnych przegródkach są niemal proporcjonalne do
" współczynników newtonowskich

10
k
dla k = 0, 1, 2, ..., 10
" czyli do liczb
" 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
Zmienna losowa
Załóżmy, że znamy wszystkie mozliwe wyniki (czyli zdarzenia elemantarne) &! pewnego doświadczenia loso-
wego. Funkcję
X : &! - R
nazywamy zmienną losową.
3
Przykłady zmiennych losowych
" Liczba oczek przy jednokrotnym rzucie kostki.
" Suma oczek w dwóch rzutach kostką.
" Liczba sukcesów Sn w schemacie Bernoulliego.
" Numer próby, w której pojawi się pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego.
" Liczba wypadków drogowych, które zdarzą się w Polsce w przyszłym tygodniu.
" Wzrost losowo wybranego studenta WPPT.
" Błąd pomiaru pewnej wielkości.
" Suma wypłacona przez firmę ubezpieczeniową.
" Cena akcji spółki X jutro o 12:00 (za tydzień, za miesiac).
" Pierwszy moment, w którym cena akcji spółki Y przekroczy 100 zł.
Dwa typy zmiennych loswych
" Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x1, x2, ...},
to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie dyskretnym.
" Które wymienione uprzednio zmienne mają rozkłady dyskretne?
" Jeśli wszystkich wartości zmiennej NIE MOŻNA wypisać w postaci ciągu, to mówimy, że jest to
zmienna o rozkładzie ciągłym.
" Tak jest zawsze, gdy zbiór wartości zawiera jakiś przedział (a, b).
" Które z wymienionych zmiennych mają rozkłady ciągłe?
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej
Rozkład takiej zmiennej to opis jej możliwych wartości i prawdopodobieństw, z jakimi te wartości zmienna
przyjmuje.
" X = wynik rzutu symetryczną kostką
" Wartości, jakie może przyjąć X to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
1
" Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości jest równe .
6
" Y = suma oczek przy dwóch rzutach = 2, 3, ..., 10, 11, 12.
" Jakie są prawdopodobieństwa tych wyników?
Zmienne związane z próbami Bernoulliego
" Liczba sukcesów Sn w n próbach.
n
" P (Sn = k) = pk(1 - p)n-k, k = 0, 1, 2, ..., n.
k
" Numer próby X, w której pojawi się pierwszy sukces.
4
" P (X = k) =?, k = 1, 2, 3, ...
" X = k, gdy próby: pierwsza, druga,...,(k - 1)-sza dały porażki, a k-ta sukces.
" Stąd P (X = k) = (1 - p)k-1 � p, k = 1, 2, 3, ...
Rozkład Poissona
" Zmienna X przyjmująca wartości 0, 1, 2, ... ma rozkład Poissona z parametrem  > 0, gdy
"
k
P (X = k) = e-, k = 0, 1, 2, ...
k!
" Rozkład Poissona mają:
" liczba wypadków w ustalonym dniu (tygodniu, roku, kraju);
" liczba sygnałów (np. rozpadów atomów radioaktywnych w czasie 1 minuty);
" liczba gwiazd w losowo wybranym fragmencie nieba, itp.
Wartość średnia zmiennej losowej
" Jeżeli P (X = xk) = pk, k = 0, 1, 2, 3, ..., to
" wartość średnia (wartość oczekwiana) zmiennej X

E(X) = xk � pk.
k
" Intuicja: na prostej rozmieszczamy masy pi w punktach xi, i = 0, 1, 2....
" Wartość średnia to środek ciężkości tego układu (może nie istnieć!)
Wariancja zmiennej losowej
" Jeżeli P (X = xk) = pk, k = 0, 1, 2, 3, ..., to
" wariancja zmiennej X

V ar(X) = (xk - E(X))2 � pk.
k
" Wariancję oznacza się też symbolem D2(X).
" Wariancja mierzy rozrzut wyników  średnie odchylenie od wartości średniej.
" Wariancję można też obliczyć ze wzoru

V ar(X) = x2 � pk - (E(X))2.
k
k
Rozkłady ciągłe (z gęstością)

"
" Jeśli dana jest taka funkcja f : R [0, "), że f(x) dx = 1, to
-"
" f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X i obliczamy
5
" prawdopodobieństwa

b
P (a < X < b) = f(x) dx.
a
Przykłady gęstości
" Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]
"
ńł
1
�ł
, gdy x " [a, b],
�ł
b-a
f(x) =
�ł
ół
0, gdy x " [a, b].
/
Przykłady gęstości
" Rozkład normalny z parametrami m " R i � > 0
"
(x-m)2
1
" , x " R
f(x) = e- 2�2
2Ą �
6