ALGEBRA LINIOWA 1
Lista zadań
2006/2007
1. Liczby zespolone
1.1
Wykonać podane działania:
" "
a) (1 - 3i) + (4 - 5i); b) 1 + 2i - 3 - 6i ;
" " " "
2 + 3i
c) 7 - 3i · 7 + 3i ; d) ;
1 + i
z2 z - w Re z + i Im w
e) z · w, , , dla z = 5 - 2i, w = 3 + 4i.
w z + w z + w
1.2
Znalez
ć liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania:
a) x(2 + 3i) + y(5 - 2i) = -8 + 7i; b) (2 + yi) · (x - 3i) = 7 - i;
1 + yi x + yi 9 - 2i
c) = 3i - 1; d) = .
x - 2i x - yi 9 + 2i
1.3
W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:
1 + i 2 - 3i
a) z2 = 4z; b) = ;
z z
c) z2 - 4z + 13 = 0; d) (z + 2)2 = (z + 2)2;
e) 2z + z = 6 - 5i; f) (1+i)z+3(z-i) = 0;
2 + i 1 - i
g) = ; h) z + i - z + i = 0;
z - 1 + 4i 2z + i
i*) z2 - (6 + i) z + 11 - 7i = 0; j*) z3 - 6iz2 - 12z + 8i = 0.
1.4
Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:
a) Re (iz + 2) 0; b) Im z2 < 0; c) z - i = z - 1;
4 1 + iz
d) = z; e) zz + (5 + i)z + (5 - i)z + 1 = 0; f) Im = 1.
z 1 - iz
1.5
z + 4 z
Niech u = , v = , gdzie z " C. Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla
z - 2i iz + 4
których:
a) liczba u jest rzeczywista; b) liczba u jest czysto urojona;
c) liczba v jest rzeczywista; d) liczba v jest czysto urojona.
1.6
Punkty z1, z2, z3 płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznaczyć położenie punktu
przecięcia środkowych tego trójkąta.
Wskazówka. Wykorzystać fakt, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku
2 : 1 licząc od wierzchołka.
1.7
Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:
2
" " "
4 4
a) - 3i; b) 6 - 8i; c) 2 + 3i;

Ä„ Ä„ 1 + 3i Ä„ 5Ä„
d) 1 + i tg Ä…, Ä… " - , ; e) ; f) - sin + i sin .
2 2 3 - 4i 12 12
1.8
Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tej interpretacji
narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

z - 2i

a) |z - 3 + 4i| = 1; b) = 1;

z + 1
c) 2 |iz - 5| < 3; d) |z + 1 - 2i| 3 oraz |z - 3| < 4;


z + i

e) 1; f) sin Ä„|z + 2i| > 0;

z2 + 1

z2 z
g*) 3|z + i| + 1 < 5|z - i|; h) - 1 + 3i 5.
1.9
Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:
" "
a) 7 + 7i; b) 3 - i; c) -5 + 5 3i;
d) sin Ä… + i cos Ä…; e) - cos Ä… + i sin Ä…; f) 1 + i tg Ä….
Ä„
Uwaga. W ćwiczeniach d), e), f) kąt ą spełnia nierówności 0 < ą < .
2
1.10
Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:
5Ä„ Ä„ Ä„
a) arg z = ; b) < arg (z + 3i) < ; c) Ä„ arg (iz) < 2Ä„;
4 6 3

Ä„ Ä„ 3Ä„
d) arg z6 = Ä„; e) arg (-z) ; f*) arg (z - 1 - 2i) = .
3 2 2
1.11
Obliczyć wartości podanych wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej):
" 8 " 30
a) (1 - i)12; b) 1 + 3i ; c) 2 3 - 2i ;
10 24
Ä„ Ä„ (1 + i)22 Ä„ Ä„
d) cos - i sin ; e) f) sin + i cos .
" 6 ;
4 4 6 6
1 - i 3
1.12
Korzystając ze wzoru de Moivre a wyrazić:
a) sin 3x przez funkcjÄ™ sin x; b) cos 4x przez funkcje sin x i cos x;
c*) tg 6x przez funkcjÄ™ tg x; d*) ctg 5x przez funkcjÄ™ ctg x.
1.13
Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) Im z3 < 0; b) Re z4 0;


(1 + i) z
c) Im z2 Re (z)2 ; d) Im 0.
(1 - i)z
* 1.14
Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć:
3
a) sin x + sin 2x + . . . + sin nx; b) cos x + cos 2x + . . . + cos nx;
1
c) + cos x + cos 2x + . . . + cos nx; d) sin x + sin 3x + . . . + sin(2n - 1)x;
2
e) 1 + (1 - i) + (1 - i)2 + . . . + (1 - i)n;


n n n n n #
f) - + - . . . + (-1)n , gdzie n " N oraz m = .
0 2 4 2m 2
1.15
Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej rozwiązać podane równania:

4
z2 ; z2
a) z7 = z; b) (z4) = z2 c) (z)2 = ;
z2

z8
d) |z|3 = iz3; e) z6 = (z)6; f) = z4.
1.16
Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotności kąta
x:
a) sin3 x; b) cos2 x; c) sin5 x; d) sin4 x + cos4 x.
1.17
Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki:
" " " "
4
3
a) 5 - 12i; b) -11 + 60i; c) i; d) 16.
1.18
Obliczyć i narysować na płaszczyz
nie zespolonej podane pierwiastki:

" " " "
3 4 6
a) -1 + 3i; b) -27i; c) -4; d) -64;
" " " "
5 4
3 3
e) 32i; f) -1 + i; g*) i; h*) 2 + 2i.
1.19
Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć pozostałe elementy:

4 3 3
a) (5 - 4i)4; b) (-2 + 3i)4; c) (2 - i)6; d) (2 - 2i)9.
1.20
Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z1 = 4 - i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwa-
dratu, jeżeli jego środkiem jest:
a) początek układu współrzędnych; b) punkt u = 1;
"
c) punkt u = 3 + i; d) punkt u = 7 + 2i.
1.21
Znalez
ć rozwiązania podanych równań:
a) z4 = (1 - i)4; b) (z - 1)6 = (i - z)6;
c) z3 = (iz + 1)3; d*) (z + 2i)8 + (z - 2i)8 = 0.
#
#x# - oznacza część całkowitą liczby x, tj. największą liczbę całkowitą x.
4
2. Wielomiany
2.1
Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:
a) P (x) = x4 - 3x3 + x - 1, Q(x) = x2 - x + 4;
b) W (z) = z3 + 5z2 - iz + 3, V (z) = (1 + i)z - 2.
2.2
Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli:
a) P (x) = 2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + 6, Q(x) = x2 - 3x + 1;
b) P (x) = x16 - 16, Q(x) = x4 + 2;
c) P (z) = z5 - z3 + 1, Q(z) = (z - i)3.
2.3
Znalez
ć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:
a) x3 + x2 - 4x - 4; b) 3x3 - 7x2 + 4x - 4;
c) x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6; d) x4 + 3x3 - x2 + 17x + 99.
2.4
Znalez
ć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
7 3 1
a) x3 - x2 - x - ; b) 4x4 + 4x3 + 3x2 - x - 1;
6 2 3
4 1 1
c) 4x3 + x - 1; d) x5 + x3 - x2 + x - .
3 3 3
2.5
Znalez
ć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych:
a) z2 - 4z + 13 = 0; b) z2 - (3 - 2i)z + (5 - 5i) = 0;
c) z4 + 8z2 + 15 = 0; d) z4 - 3iz2 + 4 = 0.
2.6
Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znalez
ć ich pozostałe pierwiastki:
" " "
a) W (x) = x3 - 3 2x2 + 7x - 3 2, x1 = 2 + i;
b) W (x) = x4 - 2x3 + 7x2 + 6x - 30, x1 = 1 - 3i;
c) W (x) = x4 - 6x3 + 18x2 - 30x + 25, x1 = 2 + i;
"
d) W (x) = x6 - 2x5 + 5x4 - 6x3 + 8x2 - 4x + 4, x1 = i, x2 = - 2i;
"
e) W (x) = x6 - 6x5 + 18x4 - 28x3 + 31x2 - 22x + 14, x1 = 1 - i, x2 = 2 - 3i.
2.7
Nie wykonując dzieleń znalez
ć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli:
a) P (x) = x8 - 3x3 + 5x, Q(x) = x2 - x - 2;
"
b) P (x) = x14 - 4x10 + x2 + 2x, Q(x) = x2 + 2;
c) P (x) = x30 + 3x14 + 2, Q(x) = x3 + 1;
5
d) P (x) = x100 + 2x51 - 3x2 + 1, Q(x) = x2 - 1;
e) P (x) = x5 + x - 2, Q(x) = x2 - 2x + 5;
f) P (x) = x6 + x - 50, Q(x) = x3 + 8.
2.8
Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:
a) liczby 0, 1 - 5i są pierwiastkami pojedynczymi, a liczby -1, -3 + i są pierwiastkami podwójnymi
tego wielomianu;
b) liczba -4i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 3, -5 pierwiastkami potrójnymi tego wielo-
mianu.
2.9
Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:
"
a) liczby 1, -5, - 2 oraz 1 - 3i sÄ… pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;
b) liczba 1 + i jest pierwiastkiem pojedynczym, liczby -i oraz 3 są pierwiastkami podwójnymi, a
liczba -4 + 3i jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.
2.10
Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów:
a) z2 - 2iz - 10; b) z4 + 5z2 + 6; c) z3 - 6z - 9.
2.11
Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywi-
stych:
a) x6 + 8; b) x4 + 4;
c) x4 - x2 + 1; d) 4x5 - 4x4 - 13x3 + 13x2 + 9x - 9.
2.12
Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji
wymiernych właściwych:
z5 - 3z2 + z x5 + 3 x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5
a) ; b) ; c) .
z3 + 4z2 + 1 x5 + 4 x3 + 2x2 + 3x + 4
* 2.13
Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych na zespolone ułamki
proste (nie obliczać nieznanych współczynników):
z3 + i z2 + z + 5 iz + 7
a) ; b) ; c) .
z2 (z - 2i)3 (z + 1)(z + i)2 [z - (1 + i)]3 (z4 - 4)2
2.14
Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki
proste (nie obliczać nieznanych współczynników):
x2 + 2x - 7 x3 - 8x - 4 x4 + x3
a) ; b) ; c) .
x3(x - 1)(x + 5)2 (x2 + 4) (x2 + x + 3)3 (x + 3)2 (x2 4x + 5)2
-
6
* 2.15
Podane zespolone funkcje wymierne właściwe rozłożyć na zespolone ułamki proste:
z2 z
a) ; b) ;
(z - 1)(z + 2)(z + 3)
(z2 - 1)2
16i z2 + 2z
c) ; d) .
z4 + 4
(z2 + 2z + 2)2
2.16
Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste:
12 x2 4x
a) ; b) ; c) ;
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) x4 - 1
(x + 1) (x2 + 1)2
x2 + 2x 1 x2 + 1
d) ; e) ; f) .
x3 + x
(x2 + 2x + 2)2 x3 (x + 1)2
3. Macierze i wyznaczniki
3.1
a) Zaproponować opis, w formie macierzy złożonej z liczb całkowitych, położenia figur w grze w szachy.
W jaki sposób można by sprawdzić, czy dana macierz odzwierciedla pozycję możliwą do uzyskania
w czasie gry?
b) Zaproponować zapis, w postaci jednej macierzy, odległości drogowych i kolejowych w km między
stolicami wszystkich województw w Polsce.
c) Ekran monitora komputerowego jest zÅ‚ożony z 1024 × 768 punktów. Każdy punkt może Å›wiecić
jednym z 20 kolorów. Kolorowe obrazy na ekranie można zapisywać w postaci macierzy złożonej
z liczb całkowitych. Założyć, że ekran monitora przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzęd-
nych, z początkiem układu w lewym górnym rogu ekranu. Zapisać w formie macierzy przybliżony
kształt ćwiartki kolorowej tęczy złożonej z pierścieni kołowych (rysunek).
200 250 300 350 400
x
Na rysunku:
0
0  oznacza kolor biały,
1
2
1  oznacza kolor niebieski,
3
4
2  oznacza kolor zielony,
0
3  oznacza kolor żółty,
4  oznacza kolor czerwony.
y
d) Na rysunkach przedstawiono konstrukcje prętowe z ponumerowanymi węzłami:
1) płaski czworokąt z przekątnymi; 2) czworościan; 3) konstrukcja przestrzenna
4 4
9
3 3
5 8
5 1
7
6
1
4
1
2 2 2 3
Zapisać w postaci macierzy schemat bezpośrednich połączeń między węzłami.
3.2
Obliczyć:
7
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

0 3 0 0
0 4 1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) 2 - ; b) + 4 ;
1 1 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
5 -1 3 -2
1 0 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚

2 -3 5
1 5 3 cos Ä… - sin Ä… cos ² - sin ²
ïÅ‚ śł;
c) · -1 4 -2 ûÅ‚
d) ;
ðÅ‚
2 -3 1 sin Ä… cos Ä… sin ² cos ²
3 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł

ïÅ‚ 0 1 śł ïÅ‚ 4 śł

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 3 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
e) · ; f) 1 2 3 4 5 3
· .
1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 4 6
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 1
3.3
Rozwiązać podane równania macierzowe i układy równań macierzowych:

1 0 0 1 0 0 2
a) X + = X - ;
2
0 2 0 0 4 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 1 1 0 1 2 0 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b) 2Y · 0 4 0 = 0 1 0 + Y · 0 4 0 ;
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 1 0 1 2 0 0
Å„Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
2 0 0
ôÅ‚

ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚
ôÅ‚ X + Y = 0 2 0 , ôÅ‚ 1 -1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
X + Y = ,
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
-1 3 0 1
0 0 2
c) îÅ‚ Å‚Å‚ d)
ôÅ‚ ôÅ‚
0 0 2
ôÅ‚ ôÅ‚ 3 1 2 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
X + Y = .
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
X
ðÅ‚ ûÅ‚ 1 1 1 1
ôÅ‚ - Y = 0 2 0 ;
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2 0 0
3.4
Obliczyć kilka początkowych potęg macierzy A, następnie wysunąć hipotezę o postaci macierzy An,
gdzie n " N i uzasadnić ją za pomocą indukcji matematycznej, jeżeli:

1 1 2 -1
a) A = ; b) A = ;
0 1 3 -2

cos Ä… sin Ä… ch x sh x
c) A = , gdzie Ä… " R; d) A = , gdzie x " R;
- sin Ä… cos Ä… sh x ch x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 1 a 1 0
ïÅ‚ śł; ïÅ‚ śł, gdzie a " R;
e) A = 0 1 0 ûÅ‚ ðÅ‚ 0 a 1 ûÅ‚
f*) A =
ðÅ‚
1 0 0 0 0 a
g*) A = [aij], gdzie aij = 0 dla i j, i, j = 1, 2, . . . , k.
3.5
Układając odpowiednie układy równań znalez
ć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane
równania macierzowe:
8
 T
1 1 0 0 2 1 2 2 1 2
a) X = ; b) X = XT ;
0 1 0 1 1 0 1 2 -2 -3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 1 -1
4i 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c) X - iXT = ; d) 2 1 X = ;
0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
6 - 2i -2
3 1 1

1 1 2 7 3 3 1 4 -1
e) X = ; f) X = X ;
0 1 1 4 1 0 1 3 0

1 1 0 0
g) X2 = ; h) X2 = ;
0 -1 0 0

0 2 1 1
i) X · XT = , X jest tu macierzÄ… stopnia 2; j) X · XT = X2 + .
2 0 -3 0
3.6
Korzystając z własności działań z macierzami oraz własności operacji transponowania macierzy uza-
sadnić podane tożsamości:
a) (ABC)T = CT BT AT , gdzie A, B, C sÄ… macierzami o wymiarach odpowiednio n × m, m × k, k × l;
b) (A Ä… B)2 = A2 Ä… 2AB + B2, gdzie A i B sÄ… przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych
stopni.
Uwaga. Mówimy, że macierze A i B są przemienne, gdy spełniają warunek AB = BA.

n n n n n
c*) (A + I)n = An + An-1 + An-2 + . . . + A + I,
0 1 2 n - 1 n
gdzie A i I sÄ… macierzami kwadratowymi tych samych stopni, przy czym I jest macierzÄ… jednost-
kowÄ….
3.7
Obliczyć podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:


1 1 1 1 i 1 + i

-3 2 sin Ä… cos Ä…

a) 1 2 3 -i 1 0
; b) ; c) ; d)

8 -5 sin ² cos ²

1 3 6 1 - i 0 1
3.8
Napisać rozwinięcia Laplace a podanych wyznaczników względem wskazanego wiersza lub kolumny:



-1 2 -3 4



i 1 + i 2


0 5 3 -7
,
, drugi wiersz.
a) 1 - 2i 3 -i trzecia kolumna; b)



1 3 -5 9

-4 1 - i 3 + i



2 -2 4 6
3.9
Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza
lub kolumny z największą liczbą zer.


3 2 0 0 0 2 7 -1 3 2

3
-2 0 5

0 3 2 0 0 0 0 1 0 1

-2 1 -2 2

a) 0 0 3 2 0 -2 0 7 0 2 .
; b) ; c)

0 -2 5 0

0 0 0 3 2
-3 -2 4 5 3


5 0 3 4

2 0 0 0 3 1 0 0 0 1
9
* 3.10
Korzystając z zasady indukcji matematycznej uzasadnić podane tożsamości (n oznacza stopień wy-
znacznika):


a . . . 0 0 . . . b

5 1 0 . . . 0 0

. . . .
. .
. . . . . .
4 5 1 . . . 0 0 . .
. . . .


0 4 5 . . . 0 0
n
4n+1-1 0 . . . a b . . . 0

a) Wn = = ; b) W2n = = a2-b2 ;
. . . . .
.

. . . . . .
3
0 . . . b a . . . 0
.
. . . . .

. . . .
. .

0 0 0 . . . 5 1 . . . . . .
. .
. . . .

0 0 0 . . . 4 5

b . . . 0 0 . . . a


2 cos x 1 0 . . . 0 0


1 2 cos x 1 . . . 0 0



0 1 2 cos x . . . 0 0
sin [(n + 1)x]

c) Wn = = ,
. . . . .
.
. . . . . . sin x
.
. . . . .



0 0 0 . . . 2 cos x 1


0 0 0 . . . 1 2 cos x
gdzie x = kĄ oraz k " Z.

3.11
Nie obliczając wyznaczników znalez
ć rozwiązania podanych równań:


1 1 1 1 1 -2 3 -4



2 5 - x 2 2 -1 x -3 4x

a) = 0; b) = 0.

3 3 5 - x 3 1 -2 x -4



4 4 4 5 - x -1 x -x x + 3
3.12
Obliczyć podane wyznaczniki wykorzystując występujące w nich regularności:



1 1 1 3 3 3


1 1 1 1 1


1 2 3 4 0 1 1 3 3 0


1 2 2 2 2


4 3 2 1 0 0 1 3 0 0


a) ; b) ; c) .
1 2 3 3 3


5 6 7 8 0 0 3 1 0 0


1 2 3 4 4


8 7 6 5 0 3 3 1 1 0


1 2 3 4 5

3 3 3 1 1 1
3.13
Obliczyć podane wyznaczniki stopnia n 2 wykorzystując występujące w nich regularności:


4 4 . . . 4 4 1 2 3 . . . n 1 1 1 . . . 1



1 4 . . . 4 4 2 2 3 . . . n 1 2 22 . . . 2n-1

. . . . ;
.
3 3 3 . . . n 1 3 32 . . . 3n-1 .
. . . . .
a) b) ; c*)
.
. . . .

. . . . . . . .
. .

. . . . . . . . . .
. .
1 1 . . . 4 4 . . . . . . . .



1 1 . . . 1 4 n n n . . . n 1 n n2 . . . nn-1
3.14
Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powodujące
10
obniżenie ich stopni) obliczyć:



4 2 1 1


1 -1 0 -1 4 0


1 -1 0 2
; ;
;
a) 2 3 5 b) 2 5 -2 c)


3 0 1 3


-4 0 6 -3 0 3

2 2 0 3


1 2 -1 0 3 2 7 -1 3 2

1 0 1 -1

2 4 5 1 -6 0 2 1 3 1

2 1 -1 2
;
d) e) -1 -2 3 0 -2
; f) -2 4 7 2 2
.

-1 2 1 3

-2 -2 1 -1 1 -3 -2 4 5 3

3 -1 4 0

2 4 -2 0 3 1 2 0 1 1
* 3.15
Korzystając z algorytmu Chió obliczyć podane wyznaczniki:


3 4 1 0 1


3 2 -1 1


4 2 -3 2 1 5 1 2


1 0 1 2
;
;
a) 2 5 1 b) c) 1 3 2 1 4 .


2 1 1 -1


-1 6 2 2 1 1 5 2

1 1 1 0

3 -1 1 -1 1
3.16
KorzystajÄ…c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znalez
ć macierze odwrotne do podanych:
îÅ‚ Å‚Å‚

2 7 3
3 -5 cos Ä… - sin Ä…
ïÅ‚ śł
a) ; b) , gdzie Ä… " R; c) 3 9 4 ûÅ‚
.
ðÅ‚
6 2 sin Ä… cos Ä…
1 5 3
3.17
Korzystając z metody bezwyznacznikowej obliczyć macierze odwrotne do podanych:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1 1 2 3 4
1 2 2 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 2 1 2 3 1 2
ïÅ‚ śł;
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) 2 1 -2 ûÅ‚
b) ; c) .
ðÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 1 1 1 1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 -2 1
2 1 1 2 1 0 -2 -6
3.18
Rozwiązać podane równania macierzowe wykorzystując operację odwracania macierzy:

-1 1 -2 -1 3 1 1 3 3 3
a) X · = ; b) · X · = ;
3 -4 3 4 2 1 1 2 2 2
-1
0 3 1 2 1 3 5 6
c) + 4 · X = ; d) 3 · X + = · X.
5 -2 3 4 -2 1 7 8
3.19
Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, jeżeli:
a) A2 = 8A-1; b) A3 - A = 0; c) AT = 4A-1?
11
4. Układy równań liniowych
4.1
Dla jakich wartości parametru p " R podane układy równań są układami Cramera:
Å„Å‚

ôÅ‚ 2px + 4y - pz = 4
òÅ‚
(p + 1)x - py = 1
a) ; b) 2x + y + pz = 1 ;
ôÅ‚
2x + (p - 1)y = 3p
ół
(4 + 2p)x + 6y + pz = 3
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
x - y - z - t = px
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ px + 3y + pz = 0 ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
-x + y - z - t = py
c) -px + 2z = 3 ; d) ?
ôÅ‚ ôÅ‚
-x - y + z - t = pz
ół ôÅ‚
ôÅ‚
x + 2y + pz = p ôÅ‚
ół
-x - y - z + t = pt
4.2
KorzystajÄ…c ze wzoru Cramera znalez
ć rozwiązania podanych układów równań:
Å„Å‚ Å„Å‚

ôÅ‚ x + 2y + 3z = 1 ôÅ‚ x + 2y + 3z = 14
òÅ‚ òÅ‚
5x - 2y = 6
a) ; b) 2x + 3y + z = 3 ; c) 4x + 3y - z = 7 .
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + y = 4
ół ół
3x + y + 2z = 2 x - y + z = 2
4.3
Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z podanych układów równań:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 7y + 2z + 4t = 0 x + 3y + 3z + 3t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2y + z = 0 3x + y + 3z + 3t = 1
a) ; b) ;
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 4y + z = 1 3x + 3y + z + 3t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
5x + 3y + 2z = 0 3x + 3y + 3z + t = 1
c) x + 2y - 4 = 3y + 4z - 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t - 2 = 0.
4.4
Rozwiązać podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:
Å„Å‚

ôÅ‚ x + y + z = 5
òÅ‚
2x - y = 3
a) ; b) ;
2x + 2y + z = 3
ôÅ‚
3x + y = 2
ół
3x + 2y + z = 1
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
y + z + t = 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + z = 4 ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + z + t = -1
c) - 3y + 5z = -5 ; d) .
2x
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + t = 2
ół ôÅ‚
ôÅ‚
-x + 2y - z = 2 ôÅ‚
ół
x + y + z = -2
4.5
Znalez
ć rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 3 5 2 3 -1 1
4 -2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) ; b) 2 2 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 4 2 0 5 ûÅ‚
; c) ;
ðÅ‚
-8 4
-1 0 3 0 4 -2 -3
12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0
1 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ 1 5 1 0 1 6 1 śł ïÅ‚ 2 1 -1 0 0 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 -2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
d) ; e) 1 0 1 7 1 0 1 f) 4 3 3 0 0 .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
4 5 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 8 1 0 1 9 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 0 0 0 7 5 ûÅ‚
1 3 4
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 6
4.6
Wykonując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 6 2 1
1 -3 2 1 2 -2 1 -3 1 -5 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 1 4 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a) 2 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 45 15 30 -60 75 ûÅ‚
ðÅ‚ -1 3 1 b) c)
ïÅ‚ śł
3 1 3 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
4 -5 3 5 6 5 3 2 -8 7
2 1 2 1 4
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
-4 1 1 1 1 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 3 4 3 2 2 1 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ 1 -4 1 1 1 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 6 7 8 5 3 2 2 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
d) e) 1 1 -4 1 1 ; f*) ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
9 10 11 12 5 2 1 2 1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 1 1 -4 1 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
13 14 15 16 3 1 0 1 0 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 1 -4
1 0 0 0 0 0 1
4.7
Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:
îÅ‚ Å‚Å‚
4 1 2 5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 3 1 5 0 1 3 4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 4 7 1 2 4 4 7 13
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a) ; b) ïÅ‚ śł ;
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 3 4 6 4 1 -2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-1 -2 -3 5 -3 8 5 5 14
ðÅ‚ ûÅ‚
-4 -1 2 -1
c) A = [aij] jest macierzÄ… wymiaru 5 × 7, gdzie aij = i + j dla 1 i 5, 1 j 7;
d) B = [bij] jest macierzÄ… wymiaru 6 × 6, gdzie bij = i2j dla 1 i, j 6.
4.8
Znalez
ć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 p 1 p 2 p - 1 p - 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) 3 p 3 ûÅ‚ ðÅ‚ 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 1 p2 - 1 1 p - 1 ûÅ‚
b) -2 7 + p ; c)
ðÅ‚
2p 2 2 1 2 + 2p -3 - p 1 p - 1 p - 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
p -p 1 -p p2 4 4 4 4
1 1 1 p ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-2 2 -2 2 p2 2p 4 4 4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
d) 1 1 p p ûÅ‚
e) ; f*)
ðÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 p 3 p p2 2p 2|p| 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 p p p
p 1 p 1 p2 2p 2|p| 2p 4
4.9
W podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz parame-
trów:
13
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + z = 1 2x - y = 3 5x - 3y - z = 3
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
x + 2y + 3z = 1 x + y = 4 2x + y - z = 1
a) ; b) ; c) ;
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 3y + 4z = 2 4x + 8y = 11 3x - 2y + 2z = -4
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół
3x + 2y + z = 3 x + 4y = 10 x - y - 2z = -2
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x - y + 2z - t = 1 ôÅ‚ x - 3y + 2z = 7
òÅ‚ òÅ‚
d) - 3y - z + t = -1 ; e) x - t = 2 .
2x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + 7y - t = 4 -x - 3y + 2z + 2t = 3
4.10
Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwią-
zania podanych układów równań liniowych:
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x - y + z = -1 ôÅ‚ x + 2y + 3z + 4t = -1 ôÅ‚ x - 3y + z - 2s + t = -5
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
a) 2x + 2y - 2z = 3 ; b) -x + 8y + 11z + 12t = 5 ; c) - 6y - 4s + t = -10 .
2x
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół
3x + y - z = 2 2x - y - z = -4 2z + t = 0
4.11
Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru rzeczywi-
stego p:
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ (p + 1)x - y + pz = 1
ôÅ‚ ôÅ‚ px + y + 2z = 1
òÅ‚ òÅ‚
(p + 1)x + (2 - p)y = p
a) ; b) - p)x + 4y - pz = -4 ; c) x + py + 2z = 1 ;
(3
ôÅ‚ ôÅ‚
(1 - 3p)x + (p - 1)y = -6 ôÅ‚ ół
ół
x + y + 2pz = 1
px + 3y = -3
Å„Å‚
ôÅ‚ Å„Å‚
2x + py + pz + pt = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ x + (p - 2)y - 2pz = 4
òÅ‚ òÅ‚
2x + 2y + pz + pt = 2
d) ; e) px + (3 - p)y + 4z = 1 .
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 2y + 2z + pt = 3
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
ôÅ‚ (1 + p)x + y + 2(2 - p)z = 7
ół
2x + 2y + 2z + 2t = 4
4.12
W wytwórni montuje się wyroby A, B, C, D, E z czterech typów detali a, b, c, d. Liczby detali wcho-
dzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w tabeli
A B C D E
a 1 2 0 4 1
b 2 1 4 5 1 .
c 1 3 3 5 4
d 1 1 2 3 1
a) Czy można obliczyć, ile ważą wyroby D i E, jeżeli wyroby A, B, C ważą odpo-
wiednio 12, 20 i 19 dag. Podać znalezione wagi.
b) Ile ważą detale a, b, c, jeżeli detal d waży 1 dag?
4.13
Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Gaussa  Jordana:
14
Å„Å‚

ôÅ‚ x + y = 1
òÅ‚
2x + 3y = 1
a) ; b) ;
x + 2y - 3z = -3
ôÅ‚
3x + y = 0
ół
2x + 4y + z = 1
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 3x + y + z = -1 ôÅ‚ 2x + 3y + 2z = 1
òÅ‚ òÅ‚
c) x + 2z = -6 ; d) 3x + 4y + 2z = 2 ;
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
3y + 2z = 0 4x + 2y + 3z = 3
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ x - 2y + 3s + t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + z + t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ 2x - 3y + z + 8s + 2t = 3
òÅ‚ òÅ‚
2x + 2y + z + t = 0
e) ; f) - 2y + z + 3s - t = 1 .
x
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 2y + 3z + 2t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ y + 3s + 5t = 0
ół ôÅ‚
ôÅ‚
6x + 4y + 3z + 2t = 2
ół
x - 2y + 5s + 8t = -1
4.14
Stosując  metodę kolumn jednostkowych rozwiązać podane układy Cramera:
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
x - 2y + z - t = -4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 5x + 2y - 2z = 5 ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x - y - z + t = 1
a) 3x + y + 2z = 1 ; b) ;
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + 2z - t = 5
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y + 2z = 5 ôÅ‚
ół
x + y - z + t = 4
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y + z + t = 0 ôÅ‚ 2x + 3y + 2z - t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ y + z = 0 ôÅ‚ 2x + y + z + 2s + 3t = 6
òÅ‚ òÅ‚
c) 2x + y + z + s = 0 ; d) 3x - z + s + t = 3 .
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ y + z + s + t = 4 ôÅ‚ y + 4s + t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + z + t = 0 2x + y + z - 2s + 5t = 8
4.15
Stosując metodę eliminacji Gaussa  Jordana rozwiązać podane układy równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ Å„Å‚
x - 2y + z = 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ x + 2y + z + t = 7
òÅ‚ òÅ‚
x + y + z = 1
a) ; b) - y - z + 4t = 2 ;
2x
ôÅ‚ ôÅ‚
2x - 3y + 5z = 10
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
ôÅ‚ 5x + 5y + 2z + 7t = 1
ół
5x - 6y + 8z = 19
Å„Å‚
ôÅ‚ Å„Å‚
x + 2y + 3z + t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ x - y + z - 2s + t = 0
òÅ‚ òÅ‚
2x + 4y - z + 2t = 2
c) ; d) 3x + 4y - z + s + 3t = 1 .
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 6y + 10z + 3t = 3
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
ôÅ‚ x - 8y + 5z - 9s + t = -1
ół
x + y + z + t = 0
4.16
Rozwiązać podane układy równań  metodą kolumn jednostkowych :
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 2y + z - t = 0 2x + 3y + z - 2s - t = 6
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
5x - y + z + 2t = -4 4x + 7y + 2z - 5s + t = 17
a) ; b) ;
ôÅ‚ ôÅ‚
7x + 8y + z - 7t = 6 6x + 5y + 3z - 2s - 9t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x - y + z + 2t = 4 2x + 6y + z - 5s - 10t = 12
15
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + y - 2t = 1 x - 3y + z - 2s + t = -5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
5x + 2y + 2z - t = 5 2x - 6y - 4s + t = -10
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x - y - 2t = -5 2z + t = 0
c) ; d) .
ôÅ‚ ôÅ‚
5x + y + z - 3t = 0 -2x + 6y + 2z + 4s = 10
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
-7x - 3y + z + 5t = -4 -2x + 6y + 4z + 4s + t = 10
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
4x + y - 2z - 5t = -2 -x + 3y + z + 2s = 5
4.17
Dla jakich wartości parametru p podane układy równań mają dokładnie jedno rozwiązanie? Określić
liczby rozwiązań tych układów w pozostałych przypadkach:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x + py - z = 1 ôÅ‚ x + 4y - 2z = -p
òÅ‚ òÅ‚
a) x + 10y - 6z = p ; b) 3x + 5y - pz = 3 .
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
2x - y + pz = 0 px + 3py + z = p
4.18
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga wykonania czterech czynności: narysowania formy, wycięcia,
złożenia modelu i jego pomalowania. Liczby poszczególnych czynności w kolejnych dniach pracy pew-
nego pracownika podaje tabela:
rysowanie wycinanie składanie malowanie
poniedziałek 30 20 10 5
wtorek 20 15 15 10
środa 40 25 20 20
czwartek 30 20 20 20
Obliczyć czas wykonywania poszczególnych czynności, jeżeli w kolejnych dniach łączny czas pracy
wynosił odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min, 3 h 30 min.
5. Geometria analityczna w przestrzeni
5.1
Obliczyć długości podanych wektorów:
" " "

a) = (3, -4, 12); b) b = 3, - 5, 2 2 ;
a
c) = (: cos Õ, : sin Õ, h), gdzie : 0 oraz Õ, h " R;
c

d) d = (: cos Õ cos È, : sin Õ cos È, : sin È), gdzie : 0 oraz Õ, È " R.
5.2

Wektory b tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez wektory
a, a,

b.
5.3
Znalez
ć wersor który:
u,
a) leży w płaszczyz
nie xOy i tworzy kąt ą z dodatnią częścią osi Ox;
b) tworzy z dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio kÄ…ty Ä…, ², Å‚;

c) tworzy jednakowe kąty z wektorami = (0, 3, -4), b = (8, 6, 0) i jest położony w płaszczyz
nie
a
wyznaczonej przez te wektory.
16
5.4
Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a) = (1, -2, 5), b = (3, -1, 0);
a
b) = 3 - 2 = - + 3 + 7
u i k, v i j k;
c) = + 2 - , = 3 - + 2 gdzie są wersorami parami prostopadłymi.
x p q r y p q r, p, q, r
5.5
Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć miary kątów między:

a) wektorami = (-3, 0, 4), b = (0, 1, -2);
a
b) dwusiecznymi kątów utworzonych przez osie Ox, Oy oraz osie Oy, Oz układu Oxyz;
c) przekątnymi równoległościanu rozpiętego na wektorach = (1, 2, 3), = (-1, 0, 2), w = (3, 1, 5).
u v
5.6
" " " " "

Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora = 2, 3, - 5 na wektor b = - 8, 0, 5 .
a
5.7
Obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów:

a) = (-3, 2, 0), b = (1, 5, -2); b) = 2 - 3 = i + - 4
a u i k, v j k;
c) = 2 + + , = + 3 + 4 gdzie , są parami prostopadłymi wersorami o orientacji
x p q r y p q r, p, q r
zgodnej z orientacją układu współrzędnych.
5.8
Obliczyć pola podanych powierzchni:

a) równoległobok rozpięty na wektorach = (1, 2, 3), b = (0, -2, 5);
a
b) trójkąt o wierzchołkach A = (1, -1, 3), B = (0, 2, -3), C = (2, 2, 1);
c) czworościan rozpięty na wektorach , w.
u, v
5.9
- -
Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB= (1, 5, -3), AC= (-1, 0, 4). Obliczyć wysokość tego
trójkąta opuszczoną z wierzchołka C.
5.10
Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

a) = (-3, 2, 1), b = (0, 1, -5), = (2, 3, -4);
a c

b) = i + , = 2 - 3 + k, w = - + 2 - 5
u j v i j i j k.
5.11
Obliczyć objętości podanych wielościanów:

a) równoległościan rozpięty na wektorach = (0, 0, 1), b = (-1, 2, 3), = (2, 5, -1);
a c
b) czworościan o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (2, 3, -1), D = (-1, 3, 5);
c*) równoległościan o przekątnych , w.
u, v
17
5.12
Sprawdzić, czy

a) wektory = (-1, 3, -5), b = (1, -1, 1), = (4, -2, 0) są współpłaszczyznowe;
a c
b) punkty P = (0, 0, 0), Q = (-1, 2, 3), R = (2, 3, -4), S = (2, -1, 5) są współpłaszczyznowe.
5.13
Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora = (0, -3, 2);
n
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (0, 0, 0), P2 = (1, 2, 3), P3 = (-1, -3, 5);
c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (1, -3, 4), P2 = (2, 0, -1) oraz jest prostopadła do
płaszczyzny xOz;
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -1, 3) oraz jest równoległa do wektorów = (1, 1, 0),
a

b = (0, 1, 1);
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) i jest równoległa do płaszczyzny Ą : 3x-y+2 = 0;
f) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 1, -3) i jest prostopadła do płaszczyzn Ą1 : x + y = 0,
Ä„2 : y - z = 0.
5.14
Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P = (-3, 5, 2) i jest równoległa do wektora = (2, -1, 3);
v
b) prosta przechodzi przez punkty P1 = (1, 0, 6), P2 = (-2, 2, 4);
c) prosta przechodzi przez punkt P = (0, -2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny Ą : 3x-y +2z -6 =
0;
d) prosta przechodzi punkt P = (7, 2, 0) i jest prostopadła o wektorów = (2, 0, -3), = (-1, 2, 0);
v1 v2
e) prosta jest dwusiecznÄ… kÄ…ta ostrego utworzonego przez proste
x + 2 y - 4 z x + 2 y - 4 z
l1 : = = , l2 : = = ;
3 -1 5 1 -5 3
f*) prosta jest dwusiecznÄ… kÄ…ta ostrego utworzonego przez proste
x - 1 y + 1 z - 2 x + 6 y - 1 z + 29
l1 : = = , l2 : = = .
2 -1 2 4 -3 -12
5.15
Zbadać, czy
a) punkty A = (1, 2, 3), B = (-1, -2, 0) należą do prostej
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + t,
òÅ‚
l : y = 2 + 2t, gdzie t " R;
ôÅ‚
ół
z = 3 - t,

2x + y - z + 3 = 0
b) prosta m : jest zawarta w płaszczyz
nie
x - 2y + z - 5 = 0
Ä„ : 5y - 3z + 13 = 0;
c) punkty A = (0, 1, 5), B = (1, 2, 3) należą do płaszczyzny
Å„Å‚
ôÅ‚ x = -1 + s + t,
òÅ‚
Ä„ : y = 2 + 3s - t, gdzie s, t " R;
ôÅ‚
ół
z = 3 - s + 2t,
18
x + 1 y - 3 z + 4 x y - 1 z - 2
d) proste l1 : = = , l2 : = = mają punkt wspólny;
-2 1 -8 1 1 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t,
òÅ‚
e) prosta l : y = 1 + 2t, gdzie t " R, jest równoległa do płaszczyzny
ôÅ‚
ół
z = 2 + 3t,
Ä„ : x + y - z + 3 = 0.
5.16
Znalez
ć punkty przecięcia:

x + 2y - z + 4 = 0, 2x - y - 2z + 8 = 0,
a) prostych l1 : l2 :
y + z - 3 = 0, x + 2y + 2z - 5 = 0;
x - 1 y + 2 z - 4
b) prostej l : = = i płaszczyzny
0 3 -1
Å„Å‚
ôÅ‚ x = s + t,
òÅ‚
Ä„ : y = 1 + s + 2t, gdzie s, t " R;
ôÅ‚
ół
z = 3 + 2s + 4t,
c) płaszczyzn Ą1 : 3x + y + z + 1 = 0, Ą2 : x + 2z + 6 = 0, Ą3 : 3y + 2z = 0.
5.17
Obliczyć odległość:
a) punktu P = (1, -2, 3) od płaszczyzny Ą : x + y - 3z + 5 = 0;
b) płaszczyzn równoległych Ą1 : 2x + y - 2z = 0, Ą2 : 2x + y - 2z - 3 = 0;
c) płaszczyzn Ą1 : x - 2y + 2z + 5 = 0, Ą2 : 3x - 6y + 6z - 3 = 0;
x y z
d) punktu P = (0, 1, -1) od prostej l : = = ;
2 -1 3
x - 1 y + 1 z x y - 1 z - 3
e) prostych równoległych l1 : = = , l2 : = = ;
1 2 -1 -2 -4 2

x = 0, x = 1,
f) prostych skośnych l1 : l2 :
y = 0, z = 1;
x - 9 y - 2 z x y + 7 z - 2
g) prostych l1 : = = , l2 : = = ;
4 -3 1 -2 9 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2 + t,
òÅ‚
h) prostej l : y = -3 + 2t, gdzie t " R, od płaszczyzny Ą : 2x + y + 4z = 0.
ôÅ‚
ół
z = 2 - t,
5.18
Obliczyć miarę kąta między:
x - 3 y - 1 z + 2
a) prostą l : = = i płaszczyzną Ą : x - z = 0;
2 0 -3
b) płaszczyznami : x - 2y + 3z - 5 = 0, Ą2 : 2x + - z + 3 = 0;
Å„Å‚Ä„1 Å„Å‚y
ôÅ‚ x = 1 - t, ôÅ‚ x = 3 - 2t,
òÅ‚ òÅ‚
c) prostymi l1 : gdzie t " R, l2 : gdzie t " R.
y = -2 + t, y = 4 - t,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 3t, z = 1 + 3t,
5.19
Znalez
ć rzut prostokątny:
19
a) punktu P = (-3, 2, 0) na płaszczyznę Ą : x + y + z = 0;
b) punktu P = (-1, 2, 0) na prostÄ… l : x = y = z;
x - 3 y - 5 z + 1
c) prostej l : = = na płaszczyznę Ą : x + 3y - 2z - 6 = 0.
1 2 0
5.20
Znalez
ć punkt symetryczny do punktu P = (2, 3, -1) względem:
a) punktu S = (1, -1, 2);

x + y = 0,
b) prostej l :
y + z = 0;
c) płaszczyzny Ą : 2x - y + z - 6 = 0.
5.21
Znalez
ć rzut ukośny w kierunku wektora = (2, 3, -1):
v
a) punktu O = (0, 0, 0) na płaszczyznę Ą : x - 2z + 8 = 0;
b) prostej l : x - 1 = y + 1 = z - 2 na płaszczyznę Ą : x - y + z - 1 = 0.
5.22
Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:
a) x = 1, y = -1, z = 3, x + y + z = 5;
b) x - y = 1, x - y = 5, x + 2z = 0, x + 2z = 3, z = -1, z = 4.
5.23
Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez parami przecinające się proste:
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x = -2 + 2t, ôÅ‚ x = 0, ôÅ‚ x = -2p,
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
l1 : y = 0, l2 : y = 3 + 3s, l3 : y = 3 - 3p, gdzie t, s, p " R.
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół
z = 4t, z = -4s, z = 0,
5.24
Stacje radiolokacyjne S1, S2, S3 umieszczone są w wierzchołkach trójkąta prostokątnego o przypro-
stokątnych l1 = 300 km, l2 = 400 km (rysunek). Pomiary odległości rakiety R od tych stacji dały
następujące wyniki d1 = 300 km, d2 = 400 km, d3 = 400 km. Obliczyć, na jakiej wysokości h leciała
rakieta.
z
R
d1 d3 d2
h
S3 l2
S2 y
l1
S1
x
5.25
Cząsteczka porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. W chwili t1 = 2 cząsteczka znajdowała
siÄ™ w punkcie P1 = (0, -2, 5), a w chwili t2 = 3 w punkcie P2 = (2, 3, 3). Znalez
ć położenie P0 tej
czÄ…steczki w chwili t0 = 0.
20
5.26
Na pochyłym płaskim terenie wytyczono kwadrat A1A2A3A4. Wzniesienia nad poziom morza punktów
A1, A2, A3 wynoszą odpowiednio h1 = 100 m, h2 = 110 m, h3 = 160 m. Obliczyć wzniesienie h4 punktu
A4 nad poziom morza.
5.27
W celu określenia kąta nachylenia płaskiego nasypu do poziomu, wykonano pomiary kąta nachylenia
tego nasypu w kierunku wschodnim i południowym. Pomiary te dały następujące wyniki: w kierunku
wschodnim nasyp wznosi się pod kątem ą = 30ć%, a w kierunku południowym opada pod kątem
² = 45ć%. Obliczyć kÄ…t nachylenia tego nasypu do poziomu.
5.28
Siatka maskujÄ…ca tajny obiekt wojskowy zaczepiona jest na trzech masztach (rysunek). Maszty te majÄ…
wysokości h1 = 5 m, h2 = 7 m, h3 = 10 m i ustawione są w wierzchołkach trójkąta równobocznego o
boku a = 20 m. Obliczyć pole siatki maskującej.
h3
h1
a
a
h2 a
5.29
Nad Wrocławiem przebiegają dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolotów. Pierwszy z nich
przebiega poziomo na wysokości h1 = 1000 m ze wschodu na zachód, a drugi przebiega z południowego-
wschodu na północny-zachód i wznosi się pod kątem ą = 10ć% Samoloty poruszające się tym korytarzem
przelatują nad Wrocławiem na wysokości h2 = 3000 m. Obliczyć najmniejszą możliwą odległość między
samolotami lecÄ…cymi tymi korytarzami.
5.30
Trzy punkty materialne o masie m przymocowane są do nieważkich ramion o długości l, które tworzą
między sobą kąty 120ć%. Układ ten osadzony jest na poziomej osi i może obracać się wokół niej.
Uzasadnić, że układ ten pozostaje w równowadze, niezależnie od położenia początkowego (rysunek).
m
120ć% l
m
l
120ć%
120ć%
l
Ä…
m
21
5.31
W wierzchołkach sześcianu o krawędzi a = 10 umieszczone są punkty materialne o masach odpowied-
nio: m1 = 1, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 4, m5 = 5, m6 = 6, m7 = 7, m8 = 8 (rysunek).
a) Określić położenie środka masy tego układu;
b) Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi Oz;
c) Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi łączącej masy m3 i m7;
z
m5 m8
m6 m7
y
m1
m4
m2
m3
x
d) Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy m8 przez układ pozostałych siedmiu mas.
6. Krzywe stożkowe
6.1
a) Znane są współrzędne wierzchołków A = (-1, 4), C = (3, 6) prostokąta ABCD. Znalez
ć równanie
okręgu opisanego na tym prostokącie.
b) Znalez
ć współrzędne środka i promień okręgu x2 - x + y2 + y = 0.
c) Początek układu współrzędnych jest środkiem cięciwy okręgu
(x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.
Wyznaczyć równanie prostej zawierającej tę cięciwę.
d) Znalez
ć równanie okręgu, który jest styczny do osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt
P = (-2, 9). Ile rozwiązań ma zadanie?
e) Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów płaszczyzny, które są środkami cięciw okręgu x2 + (y -
2)2 = 4 wychodzących z początku układu współrzędnych.
6.2
a) Napisać równanie stycznej okręgu (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 w punkcie P = (0, 0).
b) Znalez
ć długość stycznej do okręgu (x - 9)2 + (y - 7)2 = 25 poprowadzonej z punktu P = (2, -3).
c) Na okręgu x2 + 4x + y2 - 3 = 0 znalez
ć punkt, który jest położony najbliżej (najdalej) od prostej
x + y = 0.
d) Znalez
ć równanie okręgu o środku S = (6, 7), który jest styczny do prostej 5x - 12y - 24 = 0.
e) Wyznaczyć równanie okręgu wpisanego w trójkąt ograniczony odcinkami prostych x + 5 = 0, 4x -
3y - 25 = 0, 3x + 4y - 25 = 0.
6.3
a) Znalez
ć równanie elipsy o ogniskach F1 = (1, 1), F2 = (9, 1), która przechodzi przez punkt P =
(5, -2).
22
x2 y2
b) Punkty A = (6, 4), B = (-8, 3) należą do elipsy + = 1. Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk
a2 b2
oraz mimośród tej elipsy.
c) Znalez
ć osie oraz ogniskową elipsy 3x2 + 12x + 5y2 - 10y + 2 = 0.
x2 y2
d) Jeden z boków trójkąta równobocznego wpisanego w elipsę + = 1 jest równoległy do osi Oy.
a2 b2
Wyznaczyć współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
e) Punkt S = (-1, 1) jest środkiem cięciwy elipsy 4x2 + 9y2 - 36 = 0. Znalez
ć równanie prostej
zawierajÄ…cej tÄ™ cieciwÄ™.
6.4

3
a) Napisać równanie stycznej elipsy 3x2 + 4y2 = 12 w punkcie P = -1, .
2
x2 y2
b) Znalez
ć równania stycznych elipsy + = 1 poprowadzonych z punktu P = (-3, 0).
4 9
x2 y2
c) Znalez
ć równania stycznych elipsy + = 1, które są prostopadłe do prostej x + y - 10 = 0.
5 3
d) Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych, a proste x + y = 5, x - 4y = 10 są
styczne do niej. Podać równanie elipsy.
6.5
"
a) Hiperbola ma ogniska F1 = (-5, 0), F2 = (5, 0) oraz przechodzi przez punkt P = 3 5, 4 . Podać
równanie hiperboli.
" "
b) Proste y = - 3x, y = 3x sÄ… asymptotami hiperboli. Znalez
ć współrzędne ognisk oraz mimośród
hiperboli, jeżeli wiadomo, że punkt W = (1, 0) jest jednym z jej wierzchołków.
c) Wyznaczyć osie oraz współrzędne środka hiperboli
2x2 + 4x - 5y2 + 10y - 13 = 0.
x2 y2
d) Dwa wierzchołki kwadratu należą do jednej, a pozostałe dwa do drugiej gałęzi hiperboli - =
16 25
1. Znalez
ć bok kwadratu.
6.6
" "
x2 y2
a) Napisać równanie stycznej hiperboli - = 1 w punkcie P = 6, 6 .
2 3
b) Z punktu P = (1, 0) poprowadzozno styczne hiperboli x2 - 4y2 - 4 = 0. Znalez
ć ich równania.
c) Wyznaczyć równania stycznych hiperboli 2x2 - 5y2 = 30 równoległych do prostej y = -x + 3.
x2 y2
d) Znalez
ć półosie hiperboli - = 1, która w punkcie P = (4, 2) jest styczna do prostej y = x-2.
a2 b2
6.7
a) Znalez
ć równanie paraboli, której kierownicą jest prosta y = -2, a ogniskiem punkt F = (1, 8).
b) Znalez
ć równanie paraboli o osi pionowej lub poziomej, która przechodzi przez punkty A = (-2, 0),
B = (1, 3), C = (6, -2).
c) Znalez
ć równanie cięciwy paraboli y2 = 2x, której środkiem jest S = (3, 1).
d) Punkty A = (0, 0), B = (2, 4) są wierzchołkmi podstawy trójkąta równoramienego ABC wpisanego
w parabolę y = x2. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta. Ile rozwiązań ma zadanie?
23
e) Czasza radioteleskopu do odbioru sygnałów z kosmosu ma kształt paraboloidy obrotowej o wymia-"
rach D = 48 m oraz H = 12 m (rysunek). Na jakiej wysokości h nad dnem czaszy należy umieścić
urządzenie odbiorcze, aby odbierane sygnały miały największą moc?
urzÄ…dzenie odbiorcze
h
H
D
f) Tunel ma kształt odcinka paraboli o szerokości 4 m i wysokości 5 m (rysunek). Czy w tunelu zmieści
siÄ™:
i) TIR o szerokości 2.8 m i wysokości 3.0 m?
ii) cysterna o wysokości 3.5 m i średnicy zbiornika 3.0 m?
CPN
TIR
6.8
a) Napisać równanie stycznej paraboli y2 = -8x w punkcie P = (-2, -4).
b) Z punktu P = (-1, -1) poprowadzono styczne paraboli y = 2x2. Znalez
ć równania tych stycznych.
c) Znalez
ć styczną paraboli y2 =4x, która jest prostopadła do prostej x+2y =6.
d) Dla jakiej wartości parametru p, parabole y = x2 + p, y2 = x są styczne?
"
Parabolodia obrotowa jest powierzchnią powstałą z obrotu paraboli wokół swojej osi.
24