POLITECHNIKA WROCAAWSKA
WYDZIAA BUDOWNICTWA LDOWEGO I WODNEGO
ANTONI BIEGUS
PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI STALOWYCH
WEDAUG EUROKODU 3
CZŚĆ 3 WYMIAROWANIE KONSTRUKCJI STALOWYCH
MATERIAAY DYDAKTYCZNE
WROCAAW 2010
2
ANTONI BIEGUS
PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI STALOWYCH WEDAUG EUROKODU 3
CZŚĆ 3 WYMIAROWANIE KONSTRUKCJI STALOWYCH
SPIS TREÅšCI
1. Wprowadzenie & & & & & & & & & & & & .& .& & & & & ..& & & .& ....& ..& & 4
2. Wymiarowanie przekrojów & ..........................................& & & & & & & & & & & 8
2.1. Klasyfikacja przekrojów & ..........................................& & & & & & & & & & 8
2.2. Identyfikacja klasy przekroju & .............................& & & & & & & ..& & & 13
2.3. Przekrój współpracujący elementów klasy 4 & & & ...& & & & & & & & .. 18
2.4. Współczynniki częściowe w ocenie nośności konstrukcji stalowych .& & & 23
2.5. Nośność graniczna przekrojów rozciąganych & & & & .& ...& & & & & & 25
2.6. Nośność graniczna przekrojów ściskanych & & ....& & & & & & & & & & 26
2.7. Nośność graniczna przekrojów zginanych & & & & ..& & & & & & & ..& 28
2.8. Nośność graniczna przekrojów ścinanych & .& & ...& & & & & & & & .. 29
2.9. Interakcyjna nośność przekrojów & & & & & ..& ..& & & & & & & & & 32
3. Wymiarowanie elementów & & & & & & & & & & & & & & & & ..& & & & & 34
3.1. Wprowadzenie & & & & & & & & & & & & & & & & ...& ..& & & & & & 34
3.2. Nośność graniczna elementów rozciąganych & & & & & & & ..& & .& & & 35
3.3. Nośność graniczna elementów ściskanych & & & & & & & & & & & & & 35
3.4. Nośność graniczna elementów zginanych & & & & & & & & & & .& & & & 38
3.5. Nośność graniczna elementów ściskanych i zginanych & ..& & & & & & & 40
4. Sprawdzenie stanów granicznych u\ytkowalności & ..& & & & ..& & & & & & 42
4.1. Wprowadzenie & ..& & .....& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 42
4.2. Ugięcia & ..& ..& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 44
4.3. Przemieszczenia poziome ....& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 45
4.4. Częstości drgań własnych & ..& & & & & & & & & & & & & & & & .....& & 46
Literatura & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & . 47
3
P O D Z I K O W A N I E
P O D Z I K O W A N I E
P O D Z I K O W A N I E
P O D Z I K O W A N I E
Autor serdecznie dziękuje Panu dr. in\. Dariuszowi Czepi\akowi za trud korekty
pracy i wniesione uwagi redakcyjne oraz merytoryczne
4
Wymiarowanie konstrukcji stalowych
1. Wprowadzenie
Ocena bezpieczeństwa oraz niezawodnego u\ytkowania budowli jest podstawowym zada-
niem (postulatem) projektowania i realizacji obiektów budowlanych. Konstrukcje budowlane
i elementy konstrukcyjne powinny być zaprojektowane tak, aby z odpowiednim stopniem nie-
zawodności mogły się oprzeć działaniom, które mogą zajść w czasie budowy i eksploatacji,
zachowując swoje parametry u\ytkowe. Zawodność jest stanem konstrukcji, w którym prze-
staje ona spełniać wymagania projektowe związane z jej funkcjonowaniem. Rozumiana jest
ona nie tylko jako katastrofa, awaria lub inna forma wyczerpania nośności konstrukcji, ale
tak\e sytuacje, gdy przestają być spełnione wymogi u\ytkowe (np. nadmierne deformacje,
ugięcia, drgania). Zniszczenie budowli lub jej elementu mo\e nastąpić w wyniku utraty no-
śności (wytrzymałości, stateczności) i zamiany go w ustrój geometrycznie zmienny.
Stan graniczny określa taką fazę wytę\enia konstrukcji, po osiągnięciu której zagra\a ona
bezpieczeństwu lub przestaje ona spełniać wymagania u\ytkowe. Przekroczenie stanów gra-
nicznych oznacza więc naruszenie zało\eń projektu. Projektując konstrukcję budowlaną nale-
\y wykazać, \e dla wszystkich mo\liwych do przewidzenia schematów obcią\eń (w fazie re-
alizacji, u\ytkowania, rozbiórki) spełnia ona warunki
" stanu granicznego nośności SGN (wyczerpania wytrzymałości, utraty stateczności, znisz-
czenia, itp),
" stanu granicznego u\ytkowania SGU (niedostatecznej sztywności i przekroczenie gra-
nicznych wartości ugięć, przemieszczeń, drgań).
Wymiarowanie konstrukcji jest obliczeniowym etapem projektowania, którego celem jest
dobranie takich przekrojów poprzecznych elementów składowych konstrukcji w ich miej-
scach krytycznych, aby były spełnione normowe warunki bezpieczeństwa (SGN i SGU) w fa-
zie transportu, monta\u i eksploatacji budowli.
W analizie wytę\enia konstrukcji wyró\nia się elementy krytyczne (sprawcze). Są to takie
części składowe ustroju nośnego, w których wskutek przyrostu obcią\eń dochodzi do wy-
czerpania ich nośności, prowadzącego do zmiany systemu konstrukcyjnego w ustrój geome-
trycznie zmienny (łańcuch kinematyczny). Mogą nimi być przekroje elementów, pręty (belki,
słupy elementy) oraz węzły (połączenia styki). Są one przedmiotem wymiarowania i nor-
mowego sprawdzania ich bezpieczeństwa w stanie granicznym nośności. Kryteria bezpie-
czeństwa obejmują kontrolę m.in. następujących podstawowych form zniszczenia:
5
" zniszczenie materiałowe (uplastycznienie w wyniku osiągnięcia granicy plastyczności stali
lub rozerwanie w stanie wyczerpania wytrzymałości stali na rozciąganie),
" utratę stateczności ogólnej elementu (wyboczenia prętów ściskanych, zwichrzenia prętów
zginanych),
" utratę stateczności konstrukcji (jako całości),
" zniszczenie na skutek nadmiernego odkształcenia
" przekształcenie się konstrukcji w mechanizm.
Wymiarowanie jest jednym z wa\niejszych etapów projektowania konstrukcji i jej ele-
mentów. Poprzedzają je etapy kształtowania ustroju nośnego i obliczenia statyczne. Do jego
wykonania konieczna jest znajomość sił wewnętrznych ( M , VEd , NEd ) . Wyniki wymiaro-
Ed
wania umo\liwiają wykonanie rysunków konstrukcyjnych projektowanego obiektu.
Wymiarowanie ma na celu przede wszystkim ustalenie - na podstawie odpowiednich obli-
czeń - wymiarów poprzecznych, przekrojów elementów konstrukcyjnych bądz sprawdzenie,
czy obliczone siły wewnętrzne nie są większe od nośności tych elementów wynikających z
zało\onych wstępnie wymiarów ich przekrojów oraz cech wytrzymałościowych przyjętych
materiałów. Jest to wytrzymałościowa ocena bezpieczeństwa konstrukcji sprawdzenie stanu
granicznego nośności (SGN). Wymiarowanie zawiera tak\e sprawdzenie, czy ugięcia, prze-
mieszczenia, drgania spowodowane oddziaływaniami nie są większe od granicznych określo-
nych w normach (lub uzgodnionymi z inwestorem). Są to warunki stanu u\ytkowalności
(sprawdzenie warunku sztywności i nie przekroczenia granicznych ugięć lub deformacji).
W stanie granicznym nośność (dla obliczeniowych wartości sił wewnętrznych M ,
Ed
VEd , NEd ) przeprowadza się sprawdzenie bezpieczeństwa na trzech poziomach:
" wytrzymałości materiału w najbardziej wytę\onym punkcie przekroju poprzecznego
Ãmax (M , NEd , VEd ) d" fi , (1)
Ed
" nośności przekroju elementu
X
Ed
d" 1, (2)
X
Rd
" nośności elementu
X
Ed
d" 1 , (3)
Xb,Rd
6
gdzie:
Ãmax najwiÄ™ksze naprÄ™\enie normalne, obliczone na podstawie elementarnych wzo-
rów wytrzymałości materiałów,
fi parametr wytrzymałościowy materiału - granica plastyczności stali lub wy-
trzymałość stali na rozciąganie,
X obliczeniowa wartość siły wewnętrznej odpowiednio: M - moment zginają-
Ed Ed
cy, VEd - siła poprzeczna, NEd - siła podłu\na,
X obliczeniowa nośność przekroju odpowiednio: M - na zginanie, VRd - na
Rd Rd
ścinanie, NRd - na wytę\anie podłu\ne,
Xb,Rd obliczeniowa nośność elementu z warunku utraty stateczności ogólnej odpo-
wiednio: Mb,Rd - na zwichrzenie (przy zginaniu), NRd - na wyboczenie (przy
ściskaniu).
W ujęciu PN-EN 1993 ocenę bezpieczeństwa konstrukcji w aspekcie jej nośności i statecz-
ności przeprowadza się przede wszystkim na poziomie kontroli nośności przekrojów i ele-
mentów według wzorów (2) i (3).
Zgodnie z PN-EN 1993-1-8 wytę\enie połączeń spawanych sprawdza się na poziomie wy-
trzymałości materiału w najbardziej wytę\onym punkcie ich przekroju poprzecznego według
wzoru (1), połączenia śrubowe zaś według wzoru (2).
W przypadku projektowania konstrukcji z uwzględnieniem zmęczenia materiału (według
PN-EN 1993-1-9) oraz z uwzględnieniem kruchego pękania (według PN-EN 1993-1-10) ana-
lizuje się wytrzymałość materiału w punkcie przekroju poprzecznego według wzoru (1).
W Eurokodzie 3 przyjęto usystematyzowany sposób identyfikacji parametrów obliczenio-
wych (symboli, osi, wymiarów, itp.).
Oznaczenia wymiarów i osi stalowych kształtowników walcowanych pokazano na rys. 1.
Osie elementu oznacza się następującymi symbolami:
x - x - oś podłu\na,
y - y - oś przekroju poprzecznego równoległa do pasów - zazwyczaj oś silnego oporu przy
zginaniu,
z - z - oś przekroju poprzecznego prostopadła do pasów - zazwyczaj oś słabego oporu przy
zginaniu.
Oznaczenia współrzędnych, przemieszczeń, sił podłu\nych, sił poprzecznych i momentów
zginajÄ…cych pokazano na rys. 2.
7
Rys. 1. Wymiary i osie stalowych kształtowników walcowanych
Rys. 2. Oznaczenia współrzędnych, przemieszczeń i sił wewnętrznych wg PN-EN 1993
8
2. Wymiarowanie przekrojów
2.1. Klasyfikacja przekrojów
Proporcje geometryczne części składowych przekrojów poprzecznych (półek i środników)
elementów ściskanych, zginanych oraz zginanych i ściskanych sprawiają, i\ w granicznych
stanach wytę\enia ich ście\ki równowagi statycznej (np. zale\ność obcią\enie - przemiesz-
czenie) mogą się zasadniczo ró\nić. Podstawowe rodzaje przekrojów to: grubościenne i cien-
kościenne (smukłościenne). Klasyfikacja przekrojów została usystematyzowana w normach
projektowania konstrukcji stalowych.
Analizując nośność prętów i przekrojów, w których występuje ściskanie (nie tylko od siły
ściskającej, ale równie\ od zginania) nale\y uwzględnić ich stateczność. Wyró\nia się utratę
stateczności ogólnej oraz utratę stateczności lokalnej.
Utrata stateczności ogólnej odnosi się do całego elementu i wówczas wygięciu lub/i skrę-
caniu podlega jego oś podłu\na. W pręcie ściskanym mo\liwa jest utrata stateczności ogólnej
w postaci wyboczenia, w pręcie zginanym zaś utrata stateczności ogólnej ma postać zwi-
chrzenia (utraty płaskiej postaci zginania).
Utrata stateczności lokalnej polega na miejscowym wybrzuszeniu ścianek pręta (w których
powstają naprzemienne wypukłości i wklęśnięcia). Dotyczy ona tylko ściskanej ścianki prze-
kroju i w tym przypadku deformacji ulega tylko jej płaszczyzna główna, a oś podłu\na pręta
pozostaje prosta. Przykład lokalnego wyboczenia ściskanej półki górnej zginanego przekroju
kapeluszowego pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Lokalne wyboczenie ściskanej półki górnej zginanego przekroju kapeluszowego
9
Obcią\enie, przy którym dochodzi do utraty stateczności (ogólnej lub miejscowej) nazywa
się krytycznym (lub nośnością krytyczną). Nośności krytyczne elementów i ścianek o najczę-
ściej występujących smukłościach są mniejsze od ich nośności plastycznych.
Przekroje grubościenne to takie, w których nie występuje lokalna utrata stateczności ich
ściskanych ścianek (nie wpływa więc na zmniejszenie nośności sprę\ystej). W zale\ności od
smukłości ich ścianek, takie przekroje mogą osiągać częściowe lub pełne uplastycznienie w
granicznym stanie wytÄ™\enia.
Przekroje cienkościenne (smukłościenne) to elementy, w których występuje lokalna utrata
stateczności ich ściskanych części składowych (ścianek półek środników). Powoduje to
zmniejszenie nośności sprę\ystej przekroju.
Klasa przekroju poprzecznego odzwierciedla stopień odporności elementu (lub jego części)
na zjawiska miejscowej utraty stateczności w stanie sprę\ystym lub plastycznym. Klasa prze-
kroju jest swoistym kluczem do przyjęcia właściwego
" modelu obliczeniowego wyznaczania sił wewnętrznych M , VEd , NEd oraz
Ed
" kryterium oceny nośności przekroju na zginanie M , nośności przekroju na ścinanie VRd ,
Rd
nośności przekroju na ściskanie NRd .
W PN-EN 1993-1-1 przekroje podzielono na 4 klasy, przy czym przekroje klasy 1, 2 i 3 sÄ…
zaliczane do grubościennych, przekroje klasy 4 zaś do cienkościennych.
W przekrojach klas 1, 2 i 3 (grubościennych) ściskane ścianki nie ulegają lokalnej utracie
stateczności. W przypadku przekroi 4 (cienkościennych) lokalna utrata stateczności ich ści-
skanych ścianek zmniejsza nośność sprę\ystą przekroju.
W związku z ró\ną ście\ką równowagi statycznej (ŚRS) ka\dej z klas przekroju, stosuje się
inne procedury obliczeniowe dotyczące zarówno oceny nośności przekrojów i nośności ele-
mentów, jak i wyznaczania sił wewnętrznych w konstrukcji. Wprowadzenie klas przekrojów
umo\liwia ścisłe powiązanie modeli fizycznych z metodami obliczania (wyznaczania sił we-
wnętrznych i wymiarowania) konstrukcji prętowych. Słu\ą do tego warunki zapewnienia
zdolności przekroju prętów do obrotu. Poszczególnym klasom przekroi przypisuje się ogólne
kryteria nośności.
Aby pręty mo\na było obliczać zgodnie z zasadami przyjętymi w mechanice konstrukcji
narzuca się przekrojom poprzecznym takie wymogi wymiarowe, aby ich nośności obliczać:
" w stanie plastycznym (przekroje klasy 1 i 2),
" w stanie sprÄ™\ystym (przekroje klasy 3),
" w stanie nadkrytycznym (przekroje klasy 4).
10
Na rys. 4 pokazano Å›cie\ki równowagi statycznej zginanych przekrojów klas 1÷4, w któ-
rych mo\na wyró\nić fazy wytę\enia: sprę\ystego OA, sprę\ysto-plastycznego AB, plastycz-
nego BC, nadkrytycznego DG.
Rys. 4. Ście\ki równowagi statycznej zginanych przekrojów klasy 1, 2, 3 i 4
Przekroje klasy 1 mogą osiągać nośność uogólnionego przegubu plastycznego, a w stanie
pełnego uplastycznienia przy zginaniu wykazują zdolność do obrotu plastycznego niezbędną
do plastycznej redystrybucji momentów zginających w konstrukcji. Oznacza to, \e w ka\dym
punkcie przekroju poprzecznego naprę\enie jest równe granicy plastyczności stali. Przekroje
klasy 1 (plastycznie sztywne) w warunkach narastanie odkształceń zachowują niezmienność
kształtu przekroju poprzecznego, co umo\liwia pełną redystrybucję momentów zginających.
Przekroje klasy 2 (plastycznie półsztywne) mogą osiągać nośność uogólnionego przegubu
plastycznego, lecz wskutek miejscowej niestateczności w fazie plastycznej wykazują ograni-
czoną zdolność do obrotu plastycznego uniemo\liwiającą redystrybucję momentów zginają-
cych w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych. Po osiągnięciu pełnego uplastycznienia
następuje spadek nośności przekroju na zginanie.
11
Przekroje klasy 3 (sprę\yście sztywne) charakteryzują się tym, \e ich nośność jest ograni-
czona początkiem uplastycznienia się strefy ściskanej. W tym stanie zachowują one sztyw-
ność kształtu, gdy\ ich strefa ściskana pozostaje sprę\ysta, strefa rozciągana zaś mo\e być
częściowo uplastyczniona.
Przekroje klasy 4 (sprę\yście półsztywne) są wra\liwe na miejscową utratę stateczności.
Nie zachowują one kształtu przekroju poprzecznego po osiągnięciu nośności krytycznej, która
ma miejsce przy naprę\eniach zdecydowanie mniejszych od granicy plastyczności stali. Po
osiągnięciu stanu krytycznego mają one zdolność przenoszenia wzrastających obcią\eń. Nad-
krytyczna nośność takich przekrojów jest uwarunkowana początkiem uplastycznienia ściska-
nych krawędzi podtrzymujących lokalnie wyboczone ścianki kształtownika. Oblicza się ją
przy zredukowanej (efektywnej, współpracującej) sztywności giętnej i podłu\nej przekroju.
W aspekcie wytrzymałości klasom przekrojów odpowiadają:
" klasa 1 nośność plastyczna M (pełne uplastycznienie przekroju; przegub plastyczny o
pl
zdolności do obrotu plastycznego, który umo\liwia redystrybucję sił wewnętrz-
nych w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej),
" klasa 2 nośność plastyczna M (pełne uplastycznienie przekroju; przegub plastyczny o
pl
ograniczonej zdolności do obrotu plastycznego z powodu niestateczności jego
ścianek),
" klasa 3 nośność sprę\ysta lub sprę\ysto-plastyczna Mel (nośność ograniczona początkiem
uplastycznienia strefy ściskanej; nie osiągają nośności plastycznej),
" klasa 4 nośność nadkrytyczna, efektywna Meff (o nośność z uwzględnieniem niestatecz-
ności miejscowej ścianek).
W zale\ności od klasy przekroju stosuje się odmienne modele obliczeniowe wyznaczania
sił wewnętrznych konstrukcji stalowych. Zagadnienie to będzie omówione na przykładzie sta-
tycznie niewyznaczalnej belki dwuprzęsłowej. Na rys. 5 pokazano ście\ki równowagi sta-
tycznej zginanych przekrojów klas 1÷4 i modele oceny noÅ›noÅ›ci analizowanej belki.
W przypadku belki o przekroju klasy 1 (rys. 5) mo\na jej nośność graniczną obliczać z
uwzględnieniem plastycznej redystrybucji sił wewnętrznych (z uwzględnieniem plastycznej
rezerwy nośności konstrukcji). Jest to mo\liwe dzięki temu, \e w stanie granicznym przekrój
zachowuje swoją nośność plastyczną M (nie ulega ona redukcji) oraz ma zdolności do ob-
pl
rotu, która umo\liwia redystrybucję momentów zginających w ustroju. Analizowana belka
jest ustrojem statycznie niewyznaczalnym. Pod wzrastajÄ…cym obciÄ…\eniem w pierwszej kolej-
12
ności powstaje przegub nad podporą środkową. Taki stan nie wyczerpuje nośności belki. Dal-
szy przyrost obcią\eń przejmuje przekrój przęsłowy pod siłą skupioną i dopiero jego upla-
stycznienie zamienia belkÄ™ w mechanizm (gdy utworzÄ… siÄ™ 2 przeguby plastyczne). Podsu-
mowując mo\na stwierdzić, \e w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych o przekrojach
klasy 1 mo\na dopuścić do utworzenia się takiej liczby n (n > 1) przegubów plastycznych,
która zmienia ją w mechanizm. Konstrukcje takie mo\na obliczać z uwzględnieniem analizy
plastycznej.
Rys. 5. Åšcie\ki równowagi statycznej zginanych przekrojów klas 1÷4 oraz modele oceny no-
śności konstrukcji belki dwuprzęsłowej
Jeśli belka dwuprzęsłowa jest klasy 1 (rys. 5) to po osiągnięciu stanu granicznego jej no-
śność plastyczna M przekroju nad podporą środkową ulega redukcji, gdy wzrasta obcią\e-
pl
nie ustroju. Ponadto uplastyczniony przekrój nie ma zdolności do obrotu, która umo\liwia re-
dystrybucję momentów zginających w ustroju. W związku z tym konstrukcje takie nale\y ob-
liczać według analizy sprę\ystej. W ich wymiarowaniu uwzględnia się plastyczny rozkład na-
prę\eń w najbardziej wytę\onym (jednym) przekroju, czyli nośność plastyczną przekroju zgi-
nanego M (w takich konstrukcjach mo\e wystąpić 1 przegub plastyczny).
pl
Sprę\ystą analizę wyznaczania sił wewnętrznych nale\y stosować równie\ w przypadku
ustrojów o przekrojach klasy 3 i 4 (rys. 5). Ich nośność graniczna jest ograniczona odpowied-
nio nośnością sprę\ystą na zginanie Mel (przekrój klasy 3) i nośnością efektywną na zginanie
Meff (przekrój klasy 4) przekroju w którym występują największe siły wewnętrzne.
13
2.2. Identyfikacja klasy przekroju
Klasę przekroju ustala się w zale\ności od wra\liwości (odporności) części składowych
(ścianek; pólek, środników) na miejscową utratę stateczności. Na wra\liwość ścianki na lo-
kalne jej wyboczenie mają wpływ: warunki podparcia, kształt rozkładu naprę\eń ściskają-
cych, smukłość sc= c / t (gdzie: c szerokość ścianki, t grubość ścianki) oraz granica
plastyczności stali fy z której jest wykonany kształtownik.
W analizie niestateczności miejscowej rozpatruje się pojedyncze elementy płytowe (ścian-
ki) tworzące przekrój kształtownika. Ka\demu elementowi składowemu kształtownika (nieza-
le\nie od stopnia jego zło\oności) przypisuje się klasę przekroju (ścianki), która charaktery-
zuje jego odporność na miejscową utratę stateczności w stanie sprę\ystym (klasa 3 i 4) lub
plastycznym (klasa 1 i 2). Przekroje klasy 3 i 4 definiuje siÄ™ (i rozgranicza) za pomocÄ… kryte-
rium początku uplastycznienia strefy ściskanej rozwa\anego (pojedynczego) przekroju.
Rys. 6. Schemat ideowy klasyfikacji ścianek zginanego przekroju dwuteowego
Określając klasę przekroju nale\y rozpatrzyć wszystkie ścianki ściskane. Pojęcie ścianki
ściskanej obejmuje ka\dą ściankę przekroju, która jest całkowicie lub częściowo ściskana
wskutek działania siły podłu\nej lub/i momentu zginającego, wywołującego określoną kom-
binację obcią\eń. Składowe ścianki tworzące przekrój kształtownika (półki, środniki) mogą
mieć ró\ne klasy. Klasę całego przekroju determinuje najwy\sza liczbowo klasa jego części
ściskanych (przekroju ścianek; półek, środników)
14
Podstawowymi kryteriami zaliczania przekrojów do poszczególnych klas są: smukłości
ścianek (półek, środników) kształtownika sc , warunki podparcia ścianek, rozkłady naprę\eń
w ściankach oraz granica plastyczności stali fy .
W celu ustalenia klasy przekroju nale\y zidentyfikować rozkłady naprę\eń w jego ścian-
kach od obcią\eń zewnętrznych. W ujęciu PN-EN 1993-1-1 przyjmuje się rozkłady naprę\eń
w plastycznym lub sprę\ystym stanie wytę\enia przekroju pręta zginanego. W przypadku
przekroju dwuteowego pokazanego na rys. 7a jego pas górny jest ściskany równomiernie,
środnik ściskany i rozciągany (zginany w swej płaszczyznie), pas dolny rozciągany. Rozpa-
truje się tylko klasy ścianek przekroju, w których występują naprę\enia ściskające. W anali-
zowanych przykładach nale\y badać klasę: pasa górnego i środnika dla belki wg rys. 7a i e
oraz środnika dla belki wg rys. 7c. Modelami obliczeniowymi ścianek przekroju są płyty pod-
parte wzdłu\ jednej (ścianki wspornikowe) lub dwóch przeciwległych krawędziach (ścianki
przęsłowe). Na przykład dla belek wg rys. 7a i e środnik jest oparty na pasach górnym i dol-
nym tj. wzdłu\ dwóch krawędzi. W przypadku belki o przekroju teowym (rys. 7c) jej środnik
oparty jest na dwóch krawędziach. Z kolei pas górny belki dwuteowej (rys. 7a) jest oparty na
jednej krawędzi (na środniku), belki o przekroju skrzynkowym (rys. 7e) na dwóch krawę-
dziach (na dwóch środnikach). Schematy statyczne podparcia i obcią\enia płyt jako modeli
obliczeniowych analizowanych ścianek przekroju pokazano na rys. 7b, d, f.
Rys. 7. Przykłady modeli obliczeniowych analizy klasy przekrojów zginanych
15
Klasę przekroju ścianki kształtownika lub blachownicy ustala się porównując jej smukłość
sc z miarodajnymi wartościami granicznymi. Graniczne smukłości ścianek ult dla po-
szczególnych klas są uzale\nione od sposobu ich podparcia: obustronnego (ścianki przęsło-
we) lub jednostronnego (ścianki wspornikowe), rozkładu naprę\eń i gatunku stali. Podano je
w tabl. 1÷3.
Tablica 1. Maksymalne smukłości równomiernie ściskanych ścianek przęsłowych wg PN-EN 1993-1-1
16
Tablica 2. Maksymalne smukłości równomiernie ściskanych ścianek wspornikowych wg PN-EN 1993-1-1
W celu identyfikacji klasy przekroju nale\y rozpatrywanym ściankom przyporządkować
schemat statyczny podparcia na krawędziach i schemat obcią\enia (rys.75b, d, f) i wyznaczyć
parametr materiałowy opisany wzorem
235
µ = , (4)
fy
gdzie: fy granica plastyczności stali.
Następnie nale\y wyznaczyć smukłości analizowanych ścianek przekroju ze wzoru
17
c
sc = µ , (5)
t
gdzie: c , t odpowiednio szerokość i grubość ścianki.
Dla występujących w badanej sytuacji projektowej schematów statycznych podparcia i
obciÄ…\enia analizowanych Å›cianek, z tabl. 2÷4 nale\y odczytać ich graniczne smukÅ‚oÅ›ci ult ,
a następnie porównać je ze smukłościami poszczególnych elementów składowych przekroju
(2). Przekrój jest klasyfikowany wedle najwy\szej (liczbowo) klasy jego części ściskanych.
Tablica 3. Maksymalne smukłości równomiernie ściskanych ścianek kształtowników zło\onych wy-
łącznie ze ścianek wspornikowych wg PN-EN 1993-1-1
18
Wprowadzenie klasyfikacji przekrojów prętów, w ujęciu współczesnych norm projektowa-
nia konstrukcji stalowych, definiuje mo\liwości wyznaczania sił wewnętrznych w ustroju no-
śnym według globalnej analizy sprę\ystej lub plastycznej, a tak\e projektowania (oceny no-
śności) przekrojów i elementów w zakresie plastycznym, sprę\ystym lub nadkrytycznym
(efektywnym).
2.3. Przekrój współpracujący elementów klasy 4
Przekroje klasy 4 są wra\liwe na lokalną utratę stateczności ich ściskanych ścianek. Na
rys. 8a pokazano zginaną blachownicę o przekroju dwuteowym, w której wystąpiła lokalna
utrata stateczności ściskanej części środnika (ścianki klasy 4). Równocześnie oś główna (po-
dłu\na) blachownicy pozostaje prosta i nie jest ona ustrojem geometrycznie zmiennym (speł-
nia wymagania bezpieczeństwa).
Rys. 8. Lokalna utrata stateczności pasa górnego i środnika blachownicy (a) oraz jego model
obliczeniowy stateczności środnika (b)
W ocenie nośności ściankom klasy 4 przyporządkowuje się modele obliczeniowe ściska-
nych płyt, o adekwatnych schematach podparcia (jednostronnego lub dwustronnego) i obcią-
19
\enia (rys. 9). W stanie dokrytycznym ich rozkłady naprę\eń są liniowe, po wyboczeniu
ścianki zaś zmieniają się w krzywoliniowe (rys. 9a). Wówczas przyrost obcią\eń przejmują
strefy wzdłu\ linii jej podparcia, a strefa środkowa ścianki przenosi mniejsze wytę\enie (rys.
9a). Wyczerpanie nośności w stanie nadkrytycznym następuje, gdy uplastycznią się krawę-
dzie podtrzymujÄ…ce wyboczonÄ… Å›ciankÄ™ (wówczas krawÄ™dziowe naprÄ™\enia Å›ciskajÄ…ce Ãc
osiÄ…gajÄ… wartość granicy plastycznoÅ›ci fy , tj. Ãc = fy ). OcenÄ™ noÅ›noÅ›ci Å›cianek w stanie
nadkrytycznym wykonuje się zgodnie z teorią Wintera. Według niej, w miejsce rzeczywiste-
go, krzywoliniowego rozkładu naprę\eń w ściance o szerokości b , przyjmuje się równomier-
ny rozkÅ‚ad naprÄ™\eÅ„ (w stanie granicznym Ãc = fy ) w Å›ciance o zredukowanej (efektywnej,
współpracującej) szerokości beff < b (rys. 9b). W przypadku ścianki podpartej obustronnie,
jej współpracujące części przekroju przyjmuje się w strefach przyległych do krawędzi pod-
parcia ścianki. Ich łączna szerokość wynosi beff < b (rys. 9b). Stąd w przypadku przekrojów
klasy 4 nale\y wg PN-EN 1993-1-1 wyznaczyć ich efektywne charakterystyki (np.
Aeff , ieff , Jeff , Weff ) gdy\ szerokości wyboczonych ścianek ulegają redukcji.
Rys. 9. Zastępcza szerokość współpracująca ścianki
Sposób obliczania przekroju efektywnego (współpracującego) podano w PN-EN 1993-1-
1. Pole przekroju współpracującego wyznacza się dla liniowego rozkładu odkształceń, którym
odpowiada granica plastyczności stali fy w ściance. Pole przekroju współpracującego ele-
mentu jest sumą pól przekrojów współpracujących jego ścianek. Ustala się je wg procedur
20
podanych w PN-EN 1993-1-5 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5:
Blachownice. Efektywne pole przekroju ściskanej ścianki Ac,eff jest określone wzorem:
Ac,eff = beff t , (6)
gdzie:
b = Áb , (7)
eff
Á współczynnik redukcyjny uwzglÄ™dniajÄ…cy niestateczność Å›cianki i jej stan nadkry-
tyczny,
b szerokość ściskanej ścianki,
t grubość ściskanej ścianki.
Współczynnik redukcyjny Á okreÅ›la siÄ™ w zale\noÅ›ci od schematu statycznego analizowanej,
ściskanej ścianki (ścianka przęsłowa lub ścianka wspornikowa), kształtu rozkładu naprę\eń
(w zale\noÅ›ci od stosunku naprÄ™\eÅ„ brzegowych È ; patrz tabl. 4 i 5), granicy plastycznoÅ›ci
stali f ścianki, a tak\e względnej smukłości płytowej . Wyznacza się go ze wzorów
y p
" ścianki przęsłowe:
Á = 1,0 dla d" 0,673 , (8)
p
p - 0,055(3 +È )
Á = d" 1,0 dla p > 0,673, gdzie (3 +È ) e" 0 , (9)
2
p
" ścianki wspornikowe:
Á = 1,0 dla d" 0,748 , (10)
p
p - 0,188
Á + d" 1,0 dla p > 0,748 . (11)
2
p
Parametry potrzebne do ustalenia współczynników redukcyjnych Á Å›cianek przekroju
podano tabl. 4 i 5.
21
Tablica 4. Szerokości współpracujące ściskanych ścianek przęsłowych wg PN-EN 1993-1-5
Względną smukłość płytową oblicza się z zale\ności:
fy b / t
p = = , (12)
Ãcr
28,4µ kÃ
w których:
b miarodajna szerokość ścianki,
kà parametr niestatecznoÅ›ci miejscowej uzale\niony od stosunku naprÄ™\eÅ„ È
t grubość ścianki,
22
Ãcr sprÄ™\yste naprÄ™\enia krytyczne przy niestatecznoÅ›ci miejscowej Å›cianki (wg
tabl. 4.1 i 4.2 w PN-EN 1993-1-5),
µ wg (4).
Tablica 5. Szerokości współpracujące ściskanych ścianek wspornikowych wg PN-EN 1993-1-5
Nośność dwuteowego przekroju klasy 4 na zginanie w stanie nadkrytycznym wyznacza
się z pominięciem strefy wybrzuszonej jego środnika (rys. 10). Moment zginający jest prze-
noszony przez przekrój efektywny, który składa się z pasów i części współpracujących środ-
nika o szerokościach beff ,1 oraz beff ,2 .
23
W celu wyznaczania nośności przekroju klasy 4 (na zginanie, na ściskanie) nale\y okre-
ślić jego efektywne (zredukowane - netto) charakterystyki geometryczne, gdy\ zmieniają się:
poło\enie osi obojętnej (przesunięcie o wartość e ), pole przekroju A Aeff , moment bez-
władności J Jeff oraz wskaznik zginania W Weff .
Rys. 10. Efektywne cechy geometryczne zginanego przekroju dwuteowego klasy 4
2.4. Współczynniki częściowe w ocenie nośności konstrukcji stalowych
Nośność obliczeniową elementu według zasad przyjętych w Eurokodach mo\na przedsta-
wić w następującej postaci
fk
Rd = a Å"C Å" , (13)
Å‚
Mi
gdzie:
C charakterystyka geometryczna przekroju pręta; np.: C = A w przypadku roz-
ciągania ( A pole przekroju pręta), C = W w przypadku zginania (W
wskaznik zginania przekroju pręta),
a współczynnik niestatecznoÅ›ci ogólnej prÄ™ta np. współczynnik wyboczenia Ç ,
współczynnik zwichrzenia ÇL ,
fk wartość charakterystyczna parametru wytrzymałościowego materiału (np. grani-
cy plastyczności stali fy , wytrzymałości stali na rozciąganie fu ),
ł współczynnik częściowy do określenia stanu granicznego nośności.
Mi
24
Współczynnik częściowy do określenia stanu granicznego nośności ł przyjmuje się w
Mi
zale\ności od analizowanego stanu wytę\enia konstrukcji. W ocenie nośności konstrukcji wg
PN-EN 1993-1-1 częściowy współczynnik materiałowy ł występuje zawsze w oblicze-
Mi
niach w sposób jawny . W wymiarowaniu konstrukcji stalowych wg PN-EN 1993-1-1 war-
tości współczynników ł zale\ą od rodzaju badanego stanu granicznego, a ich wartości na-
Mi
le\y przyjmować według tabl. 6.
Tabl. 6. Współczynniki ł w ocenie nośności obliczeniowej konstrukcji stalowych wg PN-
Mi
EN 1993-1-1
Współczynnik Wytrzymałość
Stany graniczne kryteria nośności
obliczeniowa
Å‚
Mi
Nośność przekroju poprzecznego, niezale\nie od jego klasy
Å‚ = 1,00 fy /Å‚
M 0 M 0
Nośność elementów w ocenie stateczności
Å‚ = 1,00 fy /Å‚
M1 M1
Nośność na rozerwanie przekrojów z otworami
Å‚ = 1,25 fy /Å‚
M 2 M 2
Nośność połączeń i węzłów według PN-EN 1993-1-8
W przypadku stali konstrukcyjnej i wyrobów walcowanych na gorąco do obliczeń, jako
wartości charakterystyczne, przyjmuje się nominalne wartości granicy plastyczności fy i wy-
trzymałości na rozciąganie fu (patrz tabl. 3.1 w PN-EN 1993-1-1). Wartości te odpowiadają
gwarantowanym przez producenta wartościom minimalnym (kontrolowanym), podanym w
normach wyrobów.
Wyznaczając nośność obliczeniową przekroju brutto stosuje się współczynnik częściowy
fy
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚ , odpowiadajÄ…cy ciÄ…gliwej (plastycznej) formie zniszczenia ìÅ‚ .
M 0
÷Å‚
Å‚
íÅ‚ M 0 Å‚Å‚
Natomiast wyznaczając nośność obliczeniową przekroju netto (np. osłabionego otworami)
na rozerwanie stosuje się współczynnik częściowy ł , który odpowiada kruchej formie
M 2
f
ëÅ‚ öÅ‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
zniszczenia ìÅ‚ .
÷Å‚
Å‚
íÅ‚ M 2 Å‚Å‚
W obliczeniach nośności przyjmuje się przekrój: brutto (na podstawie wymiarów nominal-
nych kształtownika), netto (w przypadku osłabienia otworami na łączniki nale\y brać pod
uwagę osłabienie przekroju) oraz zastępczy (efektywny, współpracujący przekroje klasy 4).
25
2.5. Nośność graniczna przekrojów rozciąganych
Warunek nośności przekroju równomiernie rozciąganego obliczeniową siłą podłu\ną
(osiową) NEd wg PN-EN 1993-1-1 ma postać:
NEd
d" 1. (14)
Nt,Rd
Obliczeniową nośność przekroju rozciąganego Nt,Rd oblicza się następująco:
" w przypadku przekrojów brutto A jako obliczeniową nośność plastyczną
Afy
N = , (15)
pl,Rd
Å‚
M 0
" w przypadku przekrojów netto z otworami na łączniki Anet jako obliczeniową nośność
granicznÄ… (na rozerwanie)
0,9Anet fu
Nu,Rd = , (16)
Å‚
M 2
" w przypadku połączeń śrubowych kategorii C (patrz PN-EN 1993-1-8) obliczeniową no-
śność na rozciąganie przekrojów z otworami Anet oblicza się ze wzoru
Anet fy
Nnet,Rd = , (17)
Å‚
M 0
gdzie:
fy, fu odpowiednio granica plastyczności i wytrzymałość stali na rozciąganie,
Å‚ = 1,00 ,
M 0
Å‚ = 1,25 .
M 2
W przypadku elementów z otworami przyjmuje się zatem
Nt,Rd = min(N , Nu,Rd , Nnet,Rd ) . (18)
pl,Rd
26
2.6. Nośność graniczna przekrojów ściskanych
W ocenie nośności przekroju ściskanego osiowo wg PN-EN 1993-1-1 przyjęto rozkłady
naprę\eń pokazane na rys. 3.27.
Rys. 11. Rozkład naprę\eń w ściskanym przekroju dwuteowym klasy 1, 2 i 3 (b) oraz klasy 4 (d)
Warunek nośności przekroju równomiernie ściskanego obliczeniową siłą podłu\ną (osio-
wą) NEd wg PN-EN 1993-1-1 ma postać:
NEd
d" 1. (19)
Nc,Rd
Obliczeniową nośność przekroju ściskanego Nc,Rd oblicza się następująco:
" w przypadku przekrojów klasy 1, 2 i 3 (rys. 11b)
Afy
Nc,Rd = , (20)
Å‚
M 0
" w przypadku przekrojów klasy 4 (rys. 11d)
Aeff fy
Nc,Rd = , (21)
Å‚
M 0
gdzie:
A, Aeff odpowiednio pole przekroju brutto i efektywne (współpracujące rys. 11c),
27
f granica plastyczności stali,
y
Å‚ = 1,00 .
M 0
Wzór (11) jest wa\ny tylko wówczas, gdy środek cię\kości przekroju współpracującego
( Aeff ) pokrywa się ze środkiem przekroju brutto ( A ). Taki przypadek zachodzi zawsze, gdy
osiowo ściskany przekrój jest bisymetryczny klasy 4 (rys. 12d, e).
Jeśli osiowo ściskany przekrój jest monosymetryczny (rys. 12a, b) lub niesymetryczny kla-
sy 4 nale\y go obliczać jako ściskany i zginany dodatkowym momentem "M = NEd eN ,
Ed
który wynika z przesunięcia eN środka cię\kości przekroju współpracującego ( Aeff ) w sto-
sunku do środka cię\kości przekroju brutto ( A ).
Dodatkowy moment "M = NEd eN nale\y równie\ uwzględnić w przypadku sciskanych i
Ed
zginanych przekrojów klasy 4 zarówno bisymetrycznych (rys. 12e), jak i niesymetrycznych
(rys. 12c).
Rys. 12. Rozkłady naprę\eń w przekrojach monosymetrycznych i bisymetrycznych klasy 4,
ściskanych oraz ściskanych i zginanych
28
2.7. Nośność graniczna przekrojów zginanych
W ocenie nośności przekroju zginanego wg PN-EN 1993-1-1 przyjęto rozkłady naprę\eń
pokazane na rys. 13.
Rys. 13. Rozkład naprę\eń w ściskanym przekroju dwuteowym klasy 1 i 2 (b),
klasy 3 (c) oraz klasy 4 (e)
Warunek nośności przekroju zginanego obliczeniowym momentem zginającym M wg
Ed
PN-EN 1993-1-1 ma postać:
M
Ed
d" 1. (22)
Mc,Rd
Obliczeniową nośność przekroju zginanego Mc,Rd oblicza się następująco:
" w przypadku przekrojów klasy 1 i 2 (nośność plastyczna - rys. 13b)
Wpl fy
Mc,Rd = , (23)
Å‚
M 0
" w przypadku przekrojów klasy 3 (nośność sprę\ystą - rys. 13c)
Wel,min fy
Mc,Rd = , (24)
Å‚
M 0
29
" w przypadku przekrojów klasy 4 (nośność nadkrytyczna - rys. 13e)
Weff ,min fy
Mc,Rd = , (25)
Å‚
M 0
gdzie:
Wpl plastyczny wskaznik zginania przekroju,
Wel,min najmniejszy sprÄ™\ysty wskaznik zginania przekroju,
Weff ,min najmniejszy wskaznik zginania przekroju efektywnego,
f granica plastyczności stali,
y
Å‚ = 1,00 .
M 0
W ocenie wytrzymałości przekroi klas 1 i 2 wg PN-EN 1993-1-1 przyjęto ich pełne upla-
stycznienie w stanie granicznym (rys. 13b), czemu w obliczeniach odpowiada plastyczny
wskaznik zginania przekroju Wpl i nośność plastyczna przekroju na zginanie Mc,Rd = M .
pl
2.8. Nośność graniczna przekrojów ścinanych
Przypadki czystego zginania prętów stalowych są w praktyce spotykane raczej sporadycz-
nie. W przekrojach elementów zginanych z reguły momentowi zginającemu M towarzyszy
siła poprzeczna V . Powstają wówczas naprę\enia styczne, które wynoszą
VSy
Ät = , (26)
I b
y
gdzie:
Sy moment statyczny odciętej części przekroju względem osi obojętnej ( y - y ),
I moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej ( y - y ),
y
b szerokość przekroju w odległości z od osi obojętnej ( y - y ).
RozkÅ‚ad naprÄ™\eÅ„ stycznych Ät w przekroju dwuteowym pokazano na rys. 14. Dla przekro-
ju dwuteowego rozkład naprę\eń stycznych ma kształt kapelusza, o ekstremalnych warto-
ściach w środniku. Środnik jest więc częścią przekroju, który przenosi zasadniczą część ob-
cią\enia ścinającego V .
30
Rys. 14. Rozkład naprę\eń stycznych w przekroju prostokątnym (a) i dwuteowym (b)
W przenoszeniu siły tnącej V przez przekrój zginany biorą udział jego części składowe
równoległe do kierunku działania tego wytę\enia. Stąd te\ nośność przekroju ścinanego wy-
znacza się uwzględniając pole powierzchni czynnej przy ścinaniu V oraz przyjmuje się za-
stÄ™pcze (aproksymujÄ…ce) rozkÅ‚ady naprÄ™\eÅ„ Ä ( patrz rys. 13), które wynoszÄ…
śr
V
Ä H" d" fy,v , (27)
śr
Av
gdzie:
V pole powierzchni przekroju czynnego przy ścinaniu,
fy,v granica plastyczności stali przy ścinaniu.
Granica plastyczności stali przy ścinaniu wynosi
f
y
fy,v = = 0,577 fy , (28)
3
gdzie f granica plastyczności stali.
y
Sprawdzanie przekroju ścinanego obliczeniową siłą poprzeczną VEd elementów o środni-
kach niewra\liwych na miejscową utratę stateczności sprę\ystej przy ścinaniu przeprowadza
się wg PN-EN 1993-1-1 w zale\ności od klasy przekroju
" przekroje klasy 1 i 2
VEd
d" 1 , (29)
Vc,Rd
31
gdzie: Vc,Rd obliczeniowa nośność plastyczna przekroju przy ścinaniu, którą oblicza się ze
wzoru
Av( fy / 3)
Vc,Rd = Vpl,Rd = , (30)
Å‚
M 0
" przekroje klasy 3 i 4
Ä
Ed
d" 1,0 , (31)
f /( 3Å‚ )
y M 0
gdzie: Ä naprÄ™\enie styczne
Ed
VEd S
Ä = , (32)
Ed
It
w których:
Av pole przekroju czynnego przy ścinaniu,
f granica plastyczności stali,
y
S moment statyczny względem osi głównej części przekroju między punktem,
w którym oblicza siÄ™ Ä , a brzegiem przekroju,
Ed
I moment bezwładności przekroju,
t grubość w rozpatrywanym punkcie,
ł częściowy współczynnik w ocenie nośności, ł = 1,00 .
M 0 M 0
Pole przekroju czynne przy ścinaniu nale\y przyjmować:
" dwuteowniki walcowane, ścinane prostopadle do osi y - y : Av = A - 2bt + (tw + 2r)t ,
f f
lecz nie mniej ni\·hwtw ,
" ceowniki walcowane, ścinane prostopadle do osi y - y : Av = A - 2bt + (tw + r)t ,
f f
" teowniki walcowane, ścinane prostopadle do osi y - y : Av = A - bt + 0,5(tw + 2r)t ,
f f
" teowniki spawane, ścinane prostopadle do osi y - y : Av = tw(h - 0,5t ) ,
f
" dwuteowniki spawane i przekroje skrzynkowe, ścinane prostopadle do osi y - y :
Av =· (hwtw) ,
"
32
" dwuteowniki spawane i przekroje skrzynkowe, ścinane prostopadle do osi z - z :
Av = A -· (hwtw) ,
"
" kształtowniki rurowe prostokątne o stałej grubości
- ścinane prostopadle do osi y - y : Av = Ah /(b + h) ,
- ścinane prostopadle do osi z - z : Av = Ab /(b + h) ,
" rury okrągłe o stałej grubości: Av = 2A/Ą ,
gdzie:
A pole przekroju,
b szerokość przekroju,
h wysokość przekroju,
hw wysokość środnika w świetle pasów,
r promień wyokrąglenia,
t grubość pasa,
f
tw grubość środnika,
· współczynnik wg PN-EN 1993-1-5; mo\na przyjmować · =1,0 .
2.9. Interakcyjna nośność przekrojów
W przypadku zło\onych stanów wytę\enia przekroju (gdy występują równocześnie siły
wewnętrzne M , N, V ) analizuje się jego nośność interakcyjną.
W analizach wytrzymałościowych nale\y brać pod uwagę wpływ siły poprzecznej na no-
śność przekroju przy zginaniu. Wg PN-EN 1993-1-1 mo\na go pominąć, jeśli nośność prze-
kroju nie ulega redukcji wskutek wyboczenia przy ścinaniu wg PN-EN 1993-1-5 Eurokod
3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice, a siła podłu\na nie przekra-
cza 50% nośności plastycznej przekroju przy ścinaniu. W przeciwnym razie przyjmuje się
zredukowaną nośność obliczeniową przekroju, ustaloną przy zało\eniu, \e w polu czynnym
przy ścinaniu występuje zredukowana granica plastyczności fy,red , którą wyznacza się ze
wzoru
fy,red = (1- Á) fy , (33)
gdzie:
33
2
ëÅ‚
2VEd öÅ‚
ìÅ‚
Á =
ìÅ‚Vpl,Rd -1÷Å‚ . (34)
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W przypadku dwuteowników bisymetrycznych, zginanych względem osi największej
bezwładności, zredukowaną nośność plastyczną przy zginaniu ze ścinaniem mo\na obliczać
według wzoru
2
îÅ‚
ÁAw Å‚Å‚ fy
M = - , lecz M d" M , (35)
ïÅ‚W 4tw śł
y,V ,Rd pl, y y,V ,Rd y,c,Rd
Å‚
M 0
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie: Aw = hwtw - pole przekroju środnika.
W PN-EN 1993-1-1 podano podobne zasady obliczania i warunki nośności przekrojów
dwuteowych oraz rurowych okrągłych i prostokątnych, wytę\onych interakcyjnie w przypad-
ku: zginania ze ścinaniem, zginania z siła podłu\ną oraz zginania ze ścinaniem i siłą podłu\-
nÄ…. GraficznÄ… interpretacjÄ™ powierzchni granicznych wytÄ™\onego interakcyjnie M - N -V
przekroju dwuteowego według PN-EN 1993-1-1 i PN-90/B-02300 pokazano na rys. 15.
Rys. 15. Powierzchnie interakcji M - N -V przekroju dwuteowego
według PN-90/B-03200 oraz PN-EN 1993-1-1
34
3. Wymiarowanie elementów
3.1. Wprowadzenie
Analizując nośność graniczną prętów ściskanych lub/i zginanych nale\y uwzględnić ich
stateczność. W takich prętach mo\e wystąpić utrata stateczności ogólnej pręta, odnosząca się
do całego elementu (rys. 16) oraz utrata stateczności lokalnej, która dotyczy ścianki kształ-
townika (rys. 8).
Rys. 16. Postacie utraty stateczności ogólnej: a) - wyboczenie, b) - zwichrzenie
Utratę stateczności ogólnej pręta ściskanego nazywa się wyboczeniem (rys. 16a). Objawiać
się ona mo\e wygięciem, wygięciem i skręceniem lub skręceniem osi podłu\nej. Dotyczy ona
prętów ściskanych o przekrojach wszystkich klas. Utrata stateczności lokalnej (rys. 8) wystę-
puje tylko w prętach o przekrojach klasy 4.
Utrata stateczności ogólnej elementu zginanego nazywana jest zwichrzeniem lub utratą
płaskiej postaci zginania. Polega na tym, \e pierwotnie płaski dzwigar pod wpływem obcią-
\enia "wychodzi" z płaszczyzny głównej, (w której działa obcią\enie), tj. w kierunku prosto-
padłym do płaszczyzny działania obcią\enia, z równoczesnym obrotem przekroju poprzecz-
nego (rys. 16b).
35
W przypadku ściskania pręta, obcią\enie przy którym następuje jego utrata stateczności
ogólnej (wyboczenie) nazywa się siłą krytyczną Ncr . Jeśli element jest zginany, to jego wytę-
\enie utraty stateczności ogólnej mierzy się momentem krytycznym zwichrzenia Mcr . No-
śności krytyczne wyboczenia oraz zwichrzenia elementów o najczęściej występujących smu-
kłościach są mniejsze od nośności plastycznych ich przekrojów. Redukcje tych nośności (t.j.
stosunek nośności krytycznych elementów do nośności plastycznych ich przekrojów)
uwzglÄ™dnia siÄ™ wedÅ‚ug PN-EN 1993-1-1 stosujÄ…c odpowiednio współczynnik wyboczenia Ç
oraz współczynnik zwichrzenia ÇLT .
Pręty rzeczywiste są obarczone wstępnymi niedoskonałościami (technologicznymi, geome-
trycznymi, wykonawczymi) tzw. imperfekcjami, które zmniejszają ich teoretyczne nośności
krytyczne (zarówno wyboczenia jak i zwichrzenia). Stąd podane w normach projektowania
konstrukcji stalowych współczynniki wyboczenia oraz współczynniki zwichrzenia są uzale\-
nione od parametru imperfekcji Ä… - wg PN-EN 1993-1-1.
3.2. Nośność graniczna elementów rozciąganych
Zgodnie z PN-EN 1993-1-1 warunek nośności elementu osiowo rozciąganego obliczenio-
wÄ… siÅ‚Ä… podÅ‚u\nÄ… NEd sprawdza siÄ™ wedÅ‚ug wzorów (14)÷(18).
3.3. Nośność graniczna elementów ściskanych
Warunek nośności ze względu na wyboczenie elementu o stałym przekroju, osiowo ści-
skanego obliczeniową siłą podłu\ną N wg PN-EN 1993-1-1 ma postać:
Ed
NEd
d" 1, (36)
Nb,Rd
gdzie: Nb,Rd nośność na wyboczenie elementu ściskanego, która jest określona wzorami:
" przekroje klasy 1, 2 i 3
ÇAfy
Nb,Rd = , (37)
Å‚
M1
" przekroje klasy 4
36
ÇAeff fy
Nb,Rd = , (38)
Å‚
M1
w których:
Ç współczynnik wyboczenia, odpowiadajÄ…cy miarodajnej postaci wyboczenia,
A, Aeff odpowiednio przekrój brutto i efektywny (współpracujący),
fy granica plastyczności stali,
ł współczynnik częściowy dotyczący stanu granicznego z warunku utraty sta-
M1
teczności (ł = 1,00 ).
M1
Współczynnik wyboczeniowy Ç elementów Å›ciskanych osiowo wyznacza siÄ™ w zale\noÅ›ci
od smukłości względnej , parametru imperfekcji ą oraz odpowiedniej krzywej wybocze-
nia opisanej funkcjÄ…:
1
Ç = lecz Ç d" 1,0 , (39)
Åš + Åš2 - 2
gdzie
Åš = 0,5[1+Ä…( - 0,2) + 2]. (40)
Smukłość względną przy wyboczeniu giętnym wyznacza się z zale\ności
" przekroje klasy 1, 2 i 3
Afy Lcr 1
= = , (41)
Ncr i 1
" przekroje klasy 4
Aeff
Aeff fy Lcr A
= = , (42)
Ncr i 1
w których:
Ncr siła krytyczna odpowiadająca miarodajnej postaci wyboczenia sprę\ystego,
wyznaczona na podstawie cech przekroju brutto,
37
Lcr długość wyboczeniowa w rozpatrywanej płaszczyznie wyboczenia,
i promień bezwładności przekroju brutto względem odpowiedniej osi,
1 smukłość graniczna przy osiągnięciu przez siłę krytyczną charakterystycznej
wartości nośności przekroju, którą oblicza się ze wzoru
E
1 = Ä„ = 93,9µ , (43)
f
y
235
µ = ( f w N/mm2) . (44)
y
f
y
W PN-EN 1993-1-1 przyjęto 5 krzywych wyboczeniowych: a0, a, b, c i d (rys. 17), którym
przynale\Ä… odpowiednio parametry imperfekcji Ä… = 0,13, 0,21, 0,34, 0,49 i 0,76 . PrzyporzÄ…d-
kowanie krzywych wyboczeniowych w PN-EN 1993-1-1 do grupy elementów opisanych tym
samym parametrem imperfekcji ą odbywa się w zale\ności od rodzaju, proporcji jego pod-
stawowych wymiarów, płaszczyzny wyboczenia, technologii wykonania i gatunku zastoso-
wanej stali. W tabl. 7. przedstawiono przyporzÄ…dkowanie krzywych wyboczeniowych wg PN-
EN 1993-1-1.
Rys. 17. Krzywe wyboczeniowe według PN-EN 1993-1-1
38
Tabl. 7. Przyporządkowanie krzywych wyboczeniowych według PN-EN 1993-1-1
3.4. Nośność graniczna elementów zginanych
Według PN-EN 1993-1-1 warunek nośności na zwichrzenie względem silniejszej osi y - y
elementu o stałym przekroju, zginanego obliczeniowym momentem M ma postać:
Ed
M
Ed
d" 1. (45)
Mb,Rd
Nośność na zwichrzenie elementów belkowych niestę\onych w kierunku bocznym Mb,Rd
określona jest wzorem:
fy
Mb,Rd = ÇLTWy , (46)
Å‚
M1
39
gdzie: ÇLT współczynnik zwichrzenia.
Wskaznik wytrzymałości przekroju Wy w (46) nale\y przyjmować:
Wy =W plastyczny wskaznik zginania - w przypadku przekrojów klasy 1 i 2,
pl, y
Wy =W sprę\ysty wskaznik zginania - w przypadku przekrojów klasy 3,
el, y
Wy =W efektywny wskaznik zginania - w przypadku przekrojów klasy 4.
eff , y
W przypadku elementów o dowolnym przekroju, ulegających utracie płaskiej postaci zgi-
nania wzglÄ™dem osi y - y , współczynnik zwichrzenia ÇLT wyznacza siÄ™ w zale\noÅ›ci od
smukłości względnej dla odpowiedniej krzywej zwichrzenia, którą opisuje funkcja:
1
ÇLT = lecz ÇLT d" 1,0 , (47)
2
ÅšLT + Åš2 - LT
LT
gdzie:
2
ÅšLT = 0,5[1+Ä…LT (LT - 0,2) + LT ] . (48)
Smukłość względną przy zwichrzeniu LT wyznacza się z zale\ności
" przekroje klasy 1 i 2
Wpl, y f
y
LT = , (49)
Mcr
" przekroje klasy 3
Wel, y fy
LT = , (50)
Mcr
" przekroje klasy 4
Weff , y fy
LT = , (51)
Mcr
w których: Mcr moment krytyczny przy zwichrzeniu sprę\ystym.
40
W PN-EN 1993-1-1 przyjęto 4 krzywe zwichrzenia: a, b, c i d (rys. 17), którym przynale\ą
odpowiednio parametry imperfekcji Ä…LT = 0,21, 0,34, 0,49 i 0,76 . PrzyporzÄ…dkowanie krzy-
wych zwichrzenia w PN-EN 1993-1-1 do grupy elementów opisanych tym samym parame-
trem imperfekcji ąLT odbywa się w zale\ności od proporcji podstawowych wymiarów oraz
technologii wykonania elementu zginanego. Zalecane wg PN-EN 1993-1-1 przyporzÄ…dkowa-
nie krzywych zwichrzenia podano w tabl. 8.
Tablica 8. Przyporządkowanie krzywych zwichrzenia (przypadek ogólny elementów o do-
wolnym przekroju) według PN-EN 1993-1-1
Krzywe zwichrzenia według
Elementy Ograniczenia
(3.65) (3.70)
a b
h/b d" 2
Dwuteowniki walcowane
b c
h/b > 2
c c
h/b d" 2
Dwuteowniki spawane
d d
h/b > 2
Inne kształtowniki - d -
h wysokość kształtownika, b szerokość pasa kształtownika
W PN-EN 1993-1-1 podano zasady określania współczynników zwichrzenia dla dwuteow-
ników walcowanych oraz ich spawanych odpowiedników. Ponadto zamieszczono uproszczo-
na metodÄ™ oceny zwichrzenia belek stropowych i rygli ram w budynkach.
3.5. Nośność graniczna elementów ściskanych i zginanych
Ocena nośności elementów jednocześnie ściskanych i zginanych jest jednym z trudniej-
szych przypadków w projektowaniu konstrukcji stalowych. Takie elementy są najczęściej
fragmentami konstrukcji ramowych. Dlatego sprawdzenie ich nośności powinno się prowa-
dzić z uwzględnieniem efektów II rzędu oraz imperfekcji.
Wg PN-EN 1993-1-1 warunki nośności elementów ściskanych i zginanych są następujące
M + "M M + "M
NEd
+ kyy y,Ed y,Ed + kyz z,Ed z,Ed d" 1, (52)
ÇyNRk M M
z,Rk
ÇLT y,Rk
Å‚ Å‚ Å‚
M1 M1 M1
41
M + "M M + "M
NEd
+ kzy y,Ed y,Ed + kzz z,Ed z,Ed d" 1, (53)
ÇzNRk M M
z,Rk
ÇLT y,Rk
Å‚
Å‚ Å‚
M1
M1 M1
gdzie:
NEd , M , M wartości obliczeniowe odpowiednio: siły ściskającej i momentów
y,Ed z,Ed
zginających względem osi y - y oraz z - z ,
NRk , M , M charakterystyczne wartości nośności przekroju odpowiednio na
y,Rk z,Rk
ściskanie i zginanie, z uwzględnieniem plastycznych, sprę\ystych
lub efektywnych charakterystyk przekrojów, w zale\ności od jego
klasy,
"M , "M ewentualne momenty zginające spowodowane przesunięciem
y,Ed z,Ed
środka cię\kości przekroju klasy 4,
Ç , Çz, ÇLT odpowiednio współczynnik wyboczenia wzglÄ™dem osi y - y i
y
z - z oraz współczynnik zwichrzenia,
kyy, kyz, kzz współczynniki interakcji.
Ewentualne dodatkowe momenty zginajÄ…ce "M , "M sÄ… spowodowane przesuniÄ™-
y,Ed z,Ed
ciem środka cię\kości przekroju klasy 4 (rys. 12c, f, 18). Wówczas siła ściskająca NEd działa
na mimośrodzie ei,N i dodatkowy moment zginający "Mi,Ed wynosi
"Mi,Ed = NEdei,N . (54)
Współczynniki interakcji kyy, kyz, kzz mo\na obliczać alternatywnie według Załącznika B
do PN-EN 1993-1-1 (Metoda 2).
42
Rys. 18. Efektywna geometria zginanego przekroju klasy 4: dwuteowego (a) i skrzynkowego (b)
4. Sprawdzenie stanów granicznych u\ytkowalności
4.1. Wprowadzenie
Sprawdzenie stanu granicznego u\ytkowalności ma na celu przede wszystkim niedopusz-
czenie do wystąpienia nadmiernych przemieszczeń i drgań konstrukcji, utrudniających lub
uniemo\liwiających prawidłowe u\ytkowanie obiektu budowlanego. W wielu przypadkach
przemieszczenia elementów lub węzłów konstrukcji nie wpływają na nośność graniczną
ustroju. Na przykład w zginanej belce przed wyczerpaniem nośności (z warunku wytrzymało-
ści materiału lub zwichrzenia) mogą wystąpić bardzo du\e ugięcia. W zło\onych przypadkach
(np. zginania ze ściskaniem) wpływ przemieszczeń na zachowanie się elementów uwzględnia
się w ocenie jego wytę\enia (wyznacza się siły wewnętrzne wg teorii II rzędu). Niebezpie-
czeństwo kruchego pękania elementów natomiast jest eliminowane przez dobór właściwości
fizycznych materiału i właściwej technologii wytwarzania konstrukcji stalowych. Stąd te\ w
analizie stanów granicznych u\ytkowalności wa\ne są skutki przemieszczeń i odkształceń
konstrukcji, które mogą się objawiać w eksploatacji budowli w postaci:
" uszkodzenia lub zniszczenia innych części konstrukcji lub przyłączonego wyposa\enia (np.
pękanie szyb, tynków),
" utrudnienia lub uniemo\liwienia u\ytkowania budowli zgodnie z jej zało\eniem funkcjo-
nalnym (np. zakłócenie pracy maszyn i instalacji),
" drgań, oscylacji lub przechyłów, które powodują dyskomfort u\ytkowników budynku (złe
samopoczucie człowieka) lub zniszczenie jego wyposa\enia.
43
Pod pojęciem stanu granicznego u\ytkowalności rozumie się równie\ wymóg nieprzekra-
czania dopuszczalnych przyspieszeń (drgań) oraz poziomu hałasu, które są określone przez
przepisy słu\by zdrowia i bezpieczeństwa i higieny pracy.
Współczesne konstrukcje stalowe (w stosunku do obiektów budowanych do lat 70. XX w.)
charakteryzują się m.in. zmniejszoną sztywnością elementów, co mo\e prowadzić do wzrostu
przemieszczeń i drgań ustroju nośnego. W celu uniknięcia powy\szych zjawisk konieczne jest
ograniczenie: ugięć, deformacji, przechyłów i drgań. Konstrukcje stalowe oraz ich elementy
składowe powinny być zaprojektowane tak, aby w/w parametry mieściły się w granicach
uzgodnionych i przyjętych przez inwestora, projektanta, u\ytkownika i kompetentne władze
jako właściwe z punktu widzenia sposobu u\ytkowania i przeznaczenia obiektu, a tak\e mate-
riałów niekonstrukcyjnych. Ograniczenia te powinny być ujęte w specyfikacji projektowej.
PN-EN 1993-1-1 określa je jako zalecane wielkości i dopuszcza w uzasadnionych przypad-
kach ostrzejsze (w wyjątkowych przypadkach łagodniejsze) wymagania, które mogą mieć za-
stosowanie ze względu na sposób u\ytkowania budowli (np. charakter obudowy, zapewnienia
właściwej pracy dzwigów).
Zgodnie z PN-EN 1990 w ustalaniu parametrów u\ytkowalności (ugięć, przemieszczeń,
drgań itp.) stosuje się kombinacje oddziaływań:
" kombinację charakterystyczną, stosowaną zwykle do nieodwracalnych stanów granicznych,
" kombinację częstą, stosowaną zwykle do odwracalnych stanów granicznych,
" kombinację quasi-stałą, stosowaną zwykle do efektów drugorzędnych i wygładu konstruk-
cji.
W załączniku A1.4 do PN-EN 1990 podano sposoby mierzenia ograniczanych przemiesz-
czeń konstrukcji. W dalsze części tego rozdziału zestawiono opisy ograniczeń stanu granicz-
nego u\ytkowalności oraz zacytowane z Załącznika Krajowego do PN-EN 1993-1-1 granicz-
ne wartości przyjęte w Polsce w odniesieniu do ugięcia, przemieszczenia poziomego i drgań.
W analizie stanu granicznego konstrukcji stalowych sprawdza siÄ™, dla kombinacji obciÄ…-
\eń charakterystycznych następujące wielkości:
" ugięcia pionowe elementów (np. belek stropowych, podciągów, dzwigarów dachowych kra-
towych i pełnościennych itp.),
" przemieszczenia poziome elementów i ustrojów nośnych (np. słupów, ram, belek podsuw-
nicowych, wie\, kominów itp.),
" częstości drgań własnych elementów.
44
4.2. Ugięcia
Stan graniczny u\ytkowalności wyra\a się w postaci m.in. wymogu nieprzekroczenia gra-
nicznych wartości ugięć pionowych wult elementów prętowej konstrukcji nośnej (warunek
sztywności). Rodzaje i wielkości ugięć elementów konstrukcji przedstawiono na rys. 19.
Zgodnie z PN-EN 1993-1-1 zaleca się, aby ugięcia pionowe wi nie przekraczały wartości
granicznych podanych w tabl. 9. Gdy stosuje siÄ™ podniesienie wykonawcze ograniczenie war-
tości ugięcia obejmuje obcią\enie zmienne w3 , ale nie ogranicza ugięcia całkowitego wtot .
Rys. 19. Rodzaje i wielkości ugięć elementów konstrukcji
Tabl. 9. Graniczne wartości ugięć pionowych elementów wg PN-EN 1993-1-1
Graniczne wartości ugięć
*
wmax , w3
Elementy konstrukcji
Dzwigary dachowe (kratowe i pełnościenne) L / 250
PÅ‚atwie L / 200
Blacha profilowana L /150
Elementy stropów i stropodachów:
- belki główne (podciągi), L / 350
- belki drugorzędne L / 250
Nadpro\a okien i bram
L / 500
* Nale\y uwzględniać, gdy zastosowano strzałkę odwrotną.
Oznaczenia: wmax - ugięcie całkowite netto (po odjęciu ewentualnej strzałki odwrotnej),
w3 - strzałka ugięcia od obcią\eń zmiennych,
L - rozpiętość elementu (lub podwójny wysięg wspornika).
45
Dzwigary dachowe o rozpiętości większej od 30 m nale\y projektować z podniesieniem
wykonawczym pasa dolnego (nazywane przeciwstrzałką). Takiego podniesienia wyko-
nawczego mo\na nie stosować np. w kratownicach z załamanym ku górze pasem dolnym lub
ściągiem między podporami. Celem stosowania przeciwstrzałki jest zachowanie zaprojekto-
wanych spadków połaci dachowych podczas wstępowania największych obcią\eń, a tak\e za-
chowania płaskości sufitów podwieszonych do pasów dolnych dzwigarów dachowych. Inny
powód stosowania podniesienia wykonawczego to względy psychologiczne. Otó\ konstrukcja
o du\ej rozpiętości przęsła, która ugięła się w dopuszczalnych granicach normowych, dla ob-
serwatora stojącego u dołu sprawia wra\enie kratownicy nadmiernie wygiętej. Podniesienie
wykonawcze kratownic realizuje się najczęściej przez jednokrotne załamanie pasa dolnego,
lub zlokalizowanie węzłów na krzywych parabolicznych drugiego stopnia. Wartość podnie-
sienia wykonawczego wc (przeciwstrzałkę) przyjmuje się nie mniejszą ni\ suma ugięć od ob-
cią\enia stałego i połowy obcią\enia zmiennego (o wartościach charakterystycznych).
4.3. Przemieszczenia poziome
Warunek przemieszczenia poziomego ram wielopiętrowych (głównie od działania wiatru)
jest najczęściej istotny w budynkach wysokich. Ograniczenie przemieszczenia poziomego ma
zapobiegać nadmiernym poziomym kołysaniom się ram. Powstają one pod wpływem składo-
wej dynamicznej obcią\enia wiatrem i zle wpływają na samopoczucie ludzi przebywających
w budynku. Dlatego nadmierne poziome kołysania budynku mogą uniemo\liwić jego nor-
malnÄ… eksploatacjÄ™.
Graniczne wartości ugięć poziomych konstrukcji zaleca się przyjmować w sposób poka-
zany na rys. 20, gdzie u jest całkowitym przemieszczeniem poziomym budynku na wysoko-
ści H , natomiast ui jest przemieszczeniem poziomym kondygnacji o wysokości Hi .
Rys. 20. Przemieszczenia poziome ramy
46
Według PN-EN 1993-1-1 zaleca się, aby przemieszczenia poziome nie przekraczały nastę-
pujących wartości granicznych:
" w układach jednokondygnacyjnych (bez suwnic) H /150 ,
" w układach wielokondygnacyjnych H / 500 ,
gdzie: H - poziom rozpatrywanego rygla względem wierzchu fundamentu.
W odniesieniu do układów wielokondygnacyjnych według Załącznika Krajowego do PN-
EN 1993-1-1 wymaga się sprawdzenia przemieszczenia rygli (stropów) względem wierzchu
fundamentu, natomiast w PN-EN 1990 sformułowano ograniczenia do układu jako całości i
do ka\dej kondygnacji:
" u - całkowite przemieszczenie poziome budynku o wysokości H ,
" ui - przemieszczenie poziome kondygnacji o wysokości Hi (rys. 20).
4.4. Częstości drgań własnych
Według PN-EN 1990 w celu osiągnięcia zadawalającego zachowania się w warunkach
u\ytkowania budynków i elementów ich konstrukcji z uwagi na drgania, zaleca się między
innymi, uwzględnienia następujących aspektów:
" komfortu u\ytkowania,
" przydatności u\ytkowej konstrukcji lub elementów konstrukcji (np. rysy w ściankach
działowych, uszkodzenia okładzin, wra\liwość zawartości budynku na drgania).
W celu nieprzekroczenia stanów granicznych u\ytkowalności konstrukcji lub elementu
konstrukcji z uwagi na drgania zaleca się utrzymanie częstości drgań własnych konstrukcji
lub elementów konstrukcji powy\ej odpowiednich wartości, zale\nych od przeznaczenia
u\ytkowego budynku i zródła drgań, oraz uzgodnionych z inwestorem i/lub właściwymi wła-
dzami.
Zgodnie z Załącznikiem Krajowym do PN-EN1993-1-1 częstotliwość drgań własnych
konstrukcji n (czyli liczba cykli w ciągu 1 sekundy) nale\y sprawdzać w pomieszczenia u\y-
teczności publicznej o rozpiętości stropu L > 12 m . Powinna ona wynosić co najmniej 5 Hz,
gdy\ inaczej tłum ludzi mógłby wprowadzić konstrukcję w drgania i doprowadzić do rezo-
nansu mechanicznego gro\ącego jej zniszczeniem. Warunku tego mo\na nie sprawdzać, gdy
ugięcia od kombinacji obcią\enia quasi-stałej w2 (rys. 3.40) nie przekraczają 10 mm.
47
Literatura
[1] Biegus A.: Nośność graniczna stalowych konstrukcji prętowych. PWN, Warszawa Wro-
cław, 1997.
[2] Biegus A.: Zgodnie z Eurokodem 3. Część 4: Wymiarowanie przekrojów. Builder nr
5/2009.
[3] Biegus A.: Zgodnie z Eurokodem 3. Część 6: Wymiarowanie elementów. Builder nr
6/2009.
[4] Gi\ejowski M., Wierzbicki S., Kubiszyn W.: Projektowanie elementów zginanych według
PN-EN 1993-1-1 i PN-EN 1993-1-5. In\ynieria i Budownictwo nr 3/2008.
[5] Kozłowski A., Stankiewicz B., Wojnar A.: Obliczanie elementów zginanych i ściskanych
według PN-EN 1993-1-1. In\ynieria i Budownictwo nr 9/2008.
[6] Kiełbasa Z., Kozłowski A., Kubiszyn W., Pisarek S., Reichhart A., Stankiewicz B., Ślęcz-
ka L., Wojnar A.: Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1. Część
pierwsza. Wybrane elementy i połączenia. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszow-
skiej. Rzeszów 2009.
[7] Pałkowski Sz.: Konstrukcje stalowe. Wybrane zagadnienia obliczania i projektowania,
PWN, Warszawa 2001.
[8] PN-EN 1990: 2004. Podstawy projektowania konstrukcji.
[9] PN-EN 1993-1-1: 2006. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Re-
guły ogólne i reguły dla budynków.
[10] PN-EN 1993-1-5: 2008. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5:
Blachownice.
[11] PN-EN 1993-1-8: 2006 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-8:
Projektowanie węzłów.
[12] Rykaluk K.: Konstrukcje stalowe. Podstawy i elementy. Dolnośląskie Wydawnictwo
Edukacyjne, Wrocław 2006.
[13] Timoshenko S. P., Gere J. M.: Teoria stateczności sprę\ystej. Arkady, Warszawa 1963.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
A Biegus Proj wg EC3 CZĘŚĆ 8 Stal i wyrobyA Biegus Proj wg EC3 CZĘŚĆ 3 KratowniceA Biegus Proj wg EC3 CZĘŚĆ 5 Polaczenia Spawane3 A Biegus Proj wg EC Kratownice3 A Biegus Proj wg EC KratowniceA Biegus Projektowanie według EC3 Wymiarowanieproj wg EC Obliczanie stężeń wg EC3 2A Biegus Projektowanie według EC3 KratowniceA Biegus Cz 3 Wymiarowanie konstrukcji 2013 04 09Część obliczeniowa 3 wymiarowanie stopy fundamentowejczesc opisowa proj zag terenA Biegus projektowanie konctrukcji stalowych wg PN EN 1993 1 1 cz 14 wymiary kultury wg charlesa hampdena turnera i fonsa trompenaarsaProb proj wymiarowania gł bud podziemnychwięcej podobnych podstron