Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
Rozdział 1.
1. Wskaż, które z następujących wyrażeń są zdaniami w sensie logicznym:
a) Nauczyciel nakazał uczniom zapytać ich rodziców, czy zechcą sfinansować wycieczkę
klasy nad morze.
b) Dlaczego odpisujesz wykłady od tego kolegi, o którym wiesz, że notuje niestarannie.
c) Gdy prowadzony jest wykład z logiki niech nikt nie wchodzi na salę wykładową.
d) Maria jutro będzie zdawać egzamin z prawa rzymskiego.
e) Niech Jan nie prosi kolegi o pożyczkę pieniężną.
f) Studenci wielokrotnie dopytywali wykładowcę o pytania egzaminacyjne z logiki.
2. Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:
a) W swych  Kronikach Jan Długosz wspomina o obronie Częstochowy przed Szwedami.
Fałszywe - Długosz umarł wcześniej, wiec zdanie jest fałszywe.
b) Istnieją tylko takie obiekty, o których nie da się zaprzeczyć, że nie istnieją.
Fałszywe - Można stworzyć negację dowolnego zdania, więc o każdym obiekcie można zbudować
zdanie negujące jego istnienie, z zatem powyższe zdanie jest fałszywe.
c) Jeżeli ojcowie są młodsi od swoich synów, to synowie są starsi od swoich ojców.
Prawdziwe.
d) Wielu Polaków nie wie, że stolicą Szwajcarii jest Lozanna.
Fałszywe. Jest to de facto implikacja dwóch zdań Wielu Polaków nie wie, że stolicą Szwajcarii jest
Lozanna i Lozanna jest stolica Szwajcarii. Skoro jedno jest fałszywe to całość jest fałszywa.
e) (Niektórzy niscy studenci są wyżsi od wyrośniętych przedszkolaków) wtedy i tylko wtedy, gdy (nie
jest tak, że syn żony ojca Jana III Sobieskiego nie przegrał bitwy pod Wiedniem).
Prawdziwe. Opisuje je równoważność p a" ~q. p  to zdanie o studentach, q  to zadanie o
Sobieskim.
f) Jeżeli (jedna cegła waży 1 kg i pół cegły, a waga półtorej cegły jest mniejsza od dwukrotności
wagi jednej cegły), to (połowa wagi dwóch cegieł jest większa od wagi półtorej cegły lub jedna
cegła waży 2 kg).
Prawdziwe. Oddaje je implikacja pierwszego i drugiego zdania.
3. Ustal, z jakich wyrażeń rachunku zdań powstały następujące zdania:
a) Nie jest tak, że {jeśli (Piotr idzie na wykład wtedy i tylko wtedy, gdy Piotr niesie notatnik) to, [nie
jest tak, że (Piotr nie idzie na wykład)]}.
~{(p a" q) [~(~p)]}, gdzie p to zdanie Piotr idzie na wykład, a q to zdanie Piotr niesie notatki.
b) Antek wie, że [Tomek myśli, że (Antek nie zda egzaminu z logiki lub Antek nie zda egzaminu ze
wstępu do prawoznawstwa)].
p, gdzie p to całe powyższe zdanie
c) (Poznań leży nad Wisłą lub Jarocin leży nad Wisłą) wtedy i tylko wtedy, gdy (Jarocin nie jest
miastem portowym).
(p (" q) a" ~r, gdzie p to zdanie Poznań leży nad Wisłą, q to zdanie Jarocin leży nad Wisłą,
r to zdanie Jarocin jest miastem portowym.
d) [(Kasia nie spóz
nia się na wykłady) i (Bronek nie spóz
nia się na wykłady)], a (Zosia nie spóz
nia
się na wykłady wtedy i tylko wtedy, gdy Kasia spóz
nia się na wykłady).
[(~p) '" (~q )] '" (~r a" p), gdzie p to zdanie Kasia spóz
nia się na wykłady, q to zdanie Bronek
spóz
nia się na wykłady, z to zdanie Zosia spóz
nia się na wykłady
e) [(Francja jest większa od Belgii) a (Hiszpania jest mniejsza od Szwecji lub Szwecja jest równa
Hiszpanii)], natomiast (Portugalia nie jest większa od Grecji).
[p '" (q (" r)] '" ~s, gdzie p to zdanie Francja jest większa od Belgii, q to zdanie Hiszpania jest
mniejsza od Szwecji, r to zdanie Szwecja jest równa Hiszpanii, s to zdanie Portugalia jest
większa od Grecji.
Strona 1 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) (Każdy uniwersytet jest szkołą wyższą, o czym wie każdy student), a (żadna spółka jawna nie ma
osobowości prawnej, o czym wiedzą tylko niektórzy prawnicy).
p '" q, gdzie p to zdanie Każdy uniwersytet jest szkołą wyższą, o czym wie każdy student,
q to zdanie żadna spółka jawna nie ma osobowości prawnej, o czym wiedzą tylko niektórzy
prawnicy.
4. Wskaż, które z podanych niżej sekwencji są wyrażeniami rachunku zdań:
a) (q '" r) a" [(~ p q) '" (p (" (" r)]
b) ~ ~ ~ ~ p q
c) (r a" ~ r) a" [(~ q a" q) a" (p a" ~ p)]
d) Marian wie, że [(p (" ~ q) a" (~ p q)]
e) [(p r) (" ~ (q '" (" ~ [(~ s q) a" (t '" s)]
(" '" (" '"
(" '" ~ p)] (" '"
(" '" (" '"
f) (p '" q '" r) = (p '" q '" r)
5. Wykaż, że następujące sekwencje są wyrażeniami rachunku zdań:
a) p (" ~ p
1. p
2. ~p
3. p (" ~ p
b) (q a" p) '" (~ p ~ q)
1. p, q
2. ~p, ~q
3. q a" p, ~ p ~ q
3. (q a" p) '" (~ p ~ q)
c) [(~ p '" q) '" ~ q] (" [q '" (~ p '" q)]
1. p, q
2. ~p, ~q
3. ~ p '" q
3. (~ p '" q) '" ~ q, q '" (~ p '" q)
3. [(~ p '" q) '" ~ q] (" [q '" (~ p '" q)]
d) ~ {[(p ~ q) a" p] '" [~ (~ q (" p) a" q]}
1. p, q
2. ~q
3. p ~ q, ~ q (" p
2. ~(~ q (" p)
3. (p ~ q) a" p, ~(~ q (" p) a" q
3. [(p ~ q) a" p] '" [~ (~ q (" p) a" q]
2. ~ {[(p ~ q) a" p] '" [~ (~ q (" p) a" q]}
e) [p (q r)] [~ r (~ q ~ p)]
1. p, q, r
2. ~p, ~q, ~r
3. q r, ~ q ~ p
3. p (q r), ~ r (~ q ~ p)
3. [p (q r)] [~ r (~ q ~ p)]
Strona 2 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) {r '" ~ [(p ~ q) (" ~ (~ r a" p)]} (" ~ p
1. p, q, r
2. ~p, ~q, ~r
3. p ~ q, ~ r a" p
2. ~ (~ r a" p)
3. (p ~ q) (" ~ (~ r a" p)
2. ~[(p ~ q) (" ~ (~ r a" p)]
3. r '" ~ [(p ~ q) (" ~ (~ r a" p)]
3. {r '" ~ [(p ~ q) (" ~ (~ r a" p)]} (" ~ p
6. Sprawdz
metodą 0-1, które z następujących wyrażeń są tezami rachunku zdań:
a) (~ p ~ q) (q p)
p q ~p ~q ~ p ~ q q p (~ p ~ q) (q p)
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1
b) [q (" (p r)] a" [~ r a" (p ~ q)]
p q r ~q ~r p r p ~ q q (" (p r) ~ r a" (p ~ q) [q (" (p r)] a" [~ r a" (p ~ q)]
1 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
c) [(~ r (" ~ p) (q a" r)] '" (p (" q)
p q r ~p ~r ~ r (" ~ p q a" r (~ r (" ~ p) (q a" r) p (" q [(~ r (" ~ p) (q a" r)] '" (p (" q)
1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
d) [(r a" q) '" (~ q p)] (" [(p '" ~ q) (p (" r)]
p q r ~q r a" q ~ q p (r a" q) '" (~ q p) p '" ~ q p (" r (p '" ~ q) (p (" r) całość
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
Strona 3 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
e) [(q '" ~ p) r] a" ~ [(p (" r) '" ~ (r a" q)]
p q r ~p q '" ~ p (q '" ~ p) r (p (" r) r a" q ~ (r a" q) (p (" r) '" ~ (r a" q) ~ [(p (" r) '" ~ (r a" q)] całość
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
f) [(p (" q) a" ~ (r '" ~ s)] [(~ p a" q) (" s]
p q r s ~p ~s p (" q r '" ~ s ~ (r '" ~ s) (p (" q) a" ~ (r '" ~ s) ~ p a" q (~ p a" q) (" s całość
1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
7. Wyprowadz
z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły podstawiania:
a)
1. (q (" r) (" ~ (q '" r),
2. (p q) [(q a" p) (" (~ p a" q)],
3. [~ p (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" q],
4. ~ [(q a" ~ p) '" ~ (q a" ~ p)],
5. (r '" p) a" ~ (~ r (" ~ p),
6. (p (" q (" r) (r (" p (" q)
b)
1. {[~ r a" (q '" p)] (" r} (" ~ {[~ r = (q '" p)] '" r},
2. (q (" r (" p) (p (" q (" r),
3. ~ {[(r (" s) a" ~ (r s) '" ~ [(r (" s) a" ~ (r s)]},
4. [(p q) '" (r (" q)] a" ~ [~ (p q) (" ~ (r (" q)],
5. (r r) [(r a" r) (" (~ r a" r)],
6. [~ (s r) (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" (q '" ~ s)]
odp. 1 (b1)
1)
(q (" r) (" ~ (q '" r)
2)
{[~ r a" (q '" p)] (" r} (" ~ {[~ r = (q '" p)] '" r} 1, q / ~r a" (q '" p)
'" '"
'" '"
'" '"
{[~ r a" (q '" p)] (" r} (" ~ {[~ r = (q '" p)] '" r}
Strona 4 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
odp. 2 (b5)
1)
(p q) [(q a" p) (" (~ p a" q)]
2) 1, p / r
(r q) [(q a" r) (" (~ r a" q)]
3) 2, q / r
(r r) [(r a" r) (" (~ r a" r)]
(r r) [(r a" r) (" (~ r a" r)]
odp. 3 (b6)
1)
[~ p (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" q]
2) 1, p / s r
[~(s r) (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" q]
3)
[~(s r) (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" (q '" 2, q / q '" ~ s
'" ~ s)]
'"
'"
[~ (s r) (" (r a" r)] '" [(~ r a" ~ r) (" (q '" ~ s)]
odp. 4 (b3)
1)
~ [(q a" ~ p) '" ~ (q a" ~ p)]
2)
~ {[(r (" s) a" ~ p] '" ~ (q a" ~ p)} 1, q / r (" s
("
("
("
3) 2, p / r s
~ {[(r (" s) a" ~ (r s)] '" ~ [q a" ~ ((r s)]}
~ {[(r (" s) a" ~ (r s) '" ~ [(r (" s) a" ~ (r s)]}
odp. 5 (b4)
1)
(r '" p) a" ~ (~ r (" ~ p)
2) 1, r / s
(s '" p) a" ~ (~ s (" ~ p)
3)
[s '" (r (" (" 2, p / r (" q
(" q)] a" ~ [~ s (" ~ (r (" q)]
(" ("
(" ("
4) 3, s / p q
[(p q) '" (r (" q)] a" ~ [~ (p q) (" ~ (r (" q)]
[(p q) '" (r (" q)] a" ~ [~ (p q) (" ~ (r (" q)]
odp. 6 (b2)
1)
(p (" q (" r) (r (" p (" q)
2) 1, p / s
(s (" q (" r) (r (" s (" q)
3) 2, r / p
(s (" q (" p) (p (" s (" q)
4) 3, q / r
(s (" r (" p) (p (" s (" r)
5) 4, s / q
(q (" r (" p) (p (" q (" r)
(q (" r (" p) (p (" q (" r)
8. Wyprowadz
z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły odrywania:
a)
1. (q a" q) ~ (~ p '" p),
2. (r (" ~ r) {(r (" ~ r) [q (p (" q)]},
3. (q a" q),
4. (p '" ~ q) p,
5. (p p) {(r (" ~ r) [~ (~ p '" p) (~ q (" q)]},
6. [(p '" ~ q) p] (r (" ~ r),
7. [q (p (" q)] {[(~ r '" q) a" (q '" ~ r)] (p p)},
8. ~ (~ p '" p) {(q a" q) [(~ r '" q) a" (q '" ~ r)]},
b)
1. ~ (~ p '" p),
2. (r (" ~ r),
3. (p p),
4. ~ q (" q,
5. (~ r '" q) a" (q '" ~ r),
6. q (p (" q)
Strona 5 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
odp. Uwaga! Od 9 tezy kolejność na ćwiczeniach może być inna, chodzi o pokazanie metody.
Podkreślone zostały tezy z grupy b.
1)
(q a" q) ~ (~ p '" p)
2)
(r (" ~ r) {(r (" ~ r) [q (p (" q)]}
3) (q a" q)
4)
(p '" ~ q) p
5)
(p p) {(r (" ~ r) [~ (~ p '" p) (~ q (" q)]}
6)
[(p '" ~ q) p] (r (" ~ r)
7)
[q (p (" q)] {[(~ r '" q) a" (q '" ~ r)] (p p)
8)
~ (~ p '" p) {(q a" q) [(~ r '" q) a" (q '" ~ r)]}
9) Od, 6, 4
(r (" ~ r)
10) Od, 11, 3
~ (~ p '" p)
11) Od, 8,10
{(q a" q) [(~ r '" q) a" (q '" ~ r)]}
12) Od, 11, 3
(~ r '" q) a" (q '" ~ r)
13) Od, 2, 9
(r (" ~ r) [q (p (" q)]
14) Od, 13, 9
q (p (" q)
15) Od, 7, 14
[(~ r '" q) a" (q '" ~ r)] (p p)
16) (p p) Od, 15, 12
17) Od, 5, 16
(r (" ~ r) [~ (~ p '" p) (~ q (" q)]
18) Od, 17, 9
~ (~ p '" p) (~ q (" q)
19) Od, 18, 10
~ q (" q
9. Wyprowadz
z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły zastępowania:
a)
a. (q a" ~ q) (~ p q),
b. ~ (r ~ p) (" (p ~ r),
c. ~ (r ~ q) (~ q r),
d. ~ [ ~ (p ~ q) '" (~ q '" p)],
e. (p (" r) a" (r (" p),
f. ~ {[~ (p ~ q) ~ (p ~ q)] [~ (p ~ q) ~ (p ~ q)]}
b)
1. (r '" q) (q (" r),
2. (r '" p) (" (p ~ r),
3. (q a" ~ q) (p (" q),
4. (p '" q) a" (p '" q),
5. ~ [(p '" q) '" ~ (~ q ~ p)],
6. ~ {[(p (" r) (r (" p) ~ [(r (" p) (p (" r)]}
(D1) ChD =df ~(C ~D)
(D2) CgD =df ~C D
(D3) Ca"D =df ~[(C D) ~(D C)]
odp. a (b3)
1) (q a" ~ q) (~ p q)
2) 1, D2
(q a" ~ q) (p (" q)
("
("
("
(q a" ~ q) (p (" q)
odp. b (b2)
1)
~ (r ~ p) (" (p ~ r)
2) 1, D1
(r '" p) (" (p ~ r)
'"
'"
'"
(r '" p) (" (p ~ r)
Strona 6 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
odp. c (b1)
1) ~ (r ~ q) (~ q r)
2) 1, D1
(r '" q) (~ q r)
'"
'"
'"
3) 2, D2
(r '" q) (q (" r)
("
("
("
(r '" q) (q (" r)
odp. d (b5)
1)
~ [ ~ (p ~ q) '" (~ q '" p)]
2) 1, D1
~ [(p '" q) '" (~ q '" p)]
'"
'"
'"
3) 2, D1
~ [(p '" q) '" ~ (~ q ~ p)]
~ [(p '" q) '" ~ (~ q ~ p)]
odp. e (b6)
1)
(p (" r) a" (r (" p)
2) 1, D3
~ {[(p (" r) (r (" (" (" r)]}
(" (" (" ("
(" (" p) ~ [(r (" p) (p ("
(" (" (" ("
~ {[(p (" r) (r (" p) ~ [(r (" p) (p (" r)]}
odp. f (b4)
wariant preferowany przez profesora
1) ~ {[~ (p ~ q) ~ (p ~ q)] ~ [~ (p ~ q) ~ (p ~ q)]}
2) 1, D1
~ {[(p ("
(" q) ~ (p ~ q)] ~ [~ (p ~ q) ~ (p ~ q)]}
("
("
3) 2, D1
~ {[(p (" q) (p (" q)] ~ [~ (p ~ q) ~ (p ~ q)]}
("
("
("
4) 3, D1
~ {[(p (" q) (p (" q)] ~ [(p ("
(" q) ~ (p ~ q)]}
("
("
5) 4, D1
~ {[(p (" q) (p (" q)] ~ [(p (" q) (p (" q)]}
("
("
("
6) ~ (p ~ q) a" ~ (p ~ q) 5, D3
~ (p ~ q) a" ~ (p ~ q)
drugi wariant
1) ~ {[~ (p ~ q) ~ (p ~ q)] ~ [~ (p ~ q) ~ (p ~ q)]}
2) ~ (p ~ q) a" ~ (p ~ q) 1, D3
3) 2, D1
(p '" '"
'" q) a" (p '" q)
'" '"
'" '"
(p '" q) a" (p '" q)
10. Spróbuj udowodnić następujące tezy:
a) (q (" r) [~ (~ q r) q] (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj regułę podstawiania, a następnie
regułę zastępowania - definicje 2),
b) [(r '" q) (r ~ q)] (r ~ q) (wykorzystaj aksjomat 2, zastosuj regułę podstawiania, a
następnie regułę zastępowania - definicję 1),
c) [p (~ p q)] (" q (wykorzystaj udowodnioną już tezę 1 z punktu 9 (tego rozdziału), zastosuj
regułę podstawiania, a następnie do tego, co otrzymałeś i do aksjomatu 3 zastosuj regułę
odrywania),
d) [(p q) ~ (q p) (" (p a" q) (wykorzystaj udowodnioną już tezę 8 z punktu 9 (tego rozdziału),
zastosuj regułę podstawiania, a następnie regułę zastępowania - definicję 3),
e) (p (" ~ p) (" q (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj regułę podstawiania, następnie zastosuj regułę
odrywania odrywając od tego, co otrzymałeś udowodnioną już tezę 8 z punktu 9 (tego rozdziału),
na zakończenie zastosuj regułę zastępowania definicyjnego - definicję 2),
f) [(p (" q) (p '" q)] [p (p '" q)] (wykorzystaj aksjomat 1, zastosuj regułę podstawiania,
następnie zastosuj regułę odrywania i od tego, co otrzymałeś poprzednio oderwij udowodnioną już
tezę 1 z punktu 9 (tego rozdziału), na zakończenie zastosuj ponownie regułę podstawiania).
Strona 7 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
(A1) (p q) [(q r) (p r)] (D1) ChD =df ~(C ~D)
(A2) (~p p) p (D2) CgD =df ~C D
(A3) p (~p q) (D3) Ca"D =df ~[(C D) ~(D C)]
ad. a
(q ("
(" r) [~ (~ q r) q]
("
("
A3 p (~p q)
1)
(q (" (" A3, p / q (" r
(" r) [~(q (" r) q]
(" ("
(" ("
2) 1, D2
(q (" r) [~(~ q r) q]
ad. b
[(r '"
'" q) (r ~ q)] (r ~ q)
'"
'"
A2
(~p p) p
1) [~ (r ~q) (r ~q)] (r ~q) A2, p / r ~q
2) 1, D1
[(r '" q) (r ~ q)] (r ~ q)
'"
'"
'"
ad. c
[p (~ p q)] (" q
("
("
("
19)
p (p (" q)
2) 19, p / p (~ p q)
p (~ p q) {[p (~ p q)] (" q}
A3 p (~p q)
3) Od, 2, A3
[p (~ p q)] (" q
ad. d
[(p q) ~ (q p)] (" (p a" q)
("
("
("
89
p (" ~p
1) 89, p / (p q) ~ (q p)
[(p q) ~ (q p)] (" ~[(p q) ~ (q p)]
2) 1, D3
[(p q) ~ (q p)] (" (p a" q)
ad. e
(p (" ("
(" ~ p) (" q
(" ("
(" ("
A3
p (~p q)
1) (p (" (" A3, p / (p (" ~p)
(" ~p) [~(p (" ~p) q]
(" ("
(" ("
89) (p (" ~p)
2) [~(p (" ~p)] q Od, 1, 89
3) (p (" ~ p) (" q 2, D2
Strona 8 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
ad. f
[(p (" '" q)] [p (p '" q)]
(" q) (p '" '"
(" '" '"
(" '" '"
A1
(p q) [(q r) (p r)]
2) [p (p (" (" A1, q / p (" q
(" q)] {[(p (" q) r] (p r)}
(" ("
(" ("
19) p (p (" q)
3) [(p (" q) r] (p r) Od, 1, 29
4) [(p (" q) (p '" '" 3, r / p '" q
'" q)] [p (p '" q)]
'" '"
'" '"
Rozdział 2.
1. Wymień wszystkie terminy jednostkowe występujące w poniższych zdaniach. Oddziel imiona
własne od deskrypcji:
a. Ojciec Władysława Mickiewicza był najwybitniejszym polskim poetą romantycznym,
b. Zwłoki Bolesława Chrobrego spoczywają w Katedrze Poznańskiej,
c. Główny budowniczy Kanału Sueskiego wiedział, że 2 + 3 = 5,
d. Irek słyszał jak jego matka chrzestna mówiła, że Rysiek studiuje na wydziale prawa Uniwersytetu
im. Adama Mickiewicza,
e. Najwybitniejszy logik starożytności nauczał w najbardziej demokratycznym mieście Grecji,
f. Ta, która urodziła tę, która urodziła tę, która urodziła tę, która urodziła tego, który jako pierwszy
człowiek stanął na Księżycu nie znała tego, który był ojcem tego, który był ojcem tego, który był
ojcem tego, który odkrył Amerykę.
2. Wymień wszystkie funktory występujące w poniższych zdaniach. Podaj argumenty każdego z tych
funktorów.
a) Mąż Krystyny jest wiceprezesem do spraw handlu najprężniejszej spółdzielni w Wielkopolsce.
funktor argument
mąż Krystyna
wiceprezes do spraw handlu najprężniejsza spółdzielnia w Wielkopolsce
najprężniejsza spółdzielnia Wielkopolska
b) 4 + (-37) = 43 / 8  log10 1000
funktor argument
+ 4, -37
- 37
- 43 / 8, log10 1000
/ 43, 8
ukryte potęgowanie 4, 3
log 10, 1000
c) Cena najdroższego biletu na premierowe przedstawienie  Halki w Operze Poznańskiej była
równa ćwierci ceny wywoławczej jedynego egzemplarza pierwszego numeru  Głosu
Wielkopolskiego na aukcji zorganizowanej po raz drugi przez Michała.
funktor argument
cena najdroższy bilet na premierowe przedstawienie
 Halki w Operze Poznańskiej
najdroższy bilet premierowe przedstawienie  Halki w Operze
Poznańskiej
premierowe przedstawienie  Halki w Operze Poznańskiej
ćwierci ceny wywoławczej jedynego egzemplarza
pierwszego numeru  GÅ‚osu Wielkopolskiego na
aukcji zorganizowanej po raz drugi przez
Michała
Strona 9 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
ceny wywoławczej jedynego egzemplarza pierwszego numeru
 GÅ‚osu Wielkopolskiego
jedynego egzemplarza pierwszego numeru  GÅ‚osu Wielkopolskiego
pierwszego numeru  GÅ‚osu Wielkopolskiego
aukcji zorganizowanej po raz drugi przez Michała
d) Siła grawitacji między Słońcem a Ziemią jest wprost proporcjonalna do sumy masy Słońca i masy
Ziemi, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między Słońcem a Ziemią.
funktor argument
siła grawitacji między Słońce, Ziemia
suma mas masa Słońca, masa Ziemi
masa Słońce
masa Ziemia
odległość między Słońce, Ziemia
e) Ten, który zabił tego, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył największy sekret mafii
naraził się temu, który skłócił Billa z Jimem.
funktor argument
ten, który zabił tego, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył największy
sekret mafii
ten, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył największy sekret mafii
ten, który zniszczył tego, który odkrył największy sekret mafii
ten, który odkrył największy sekret mafii
największy sekret mafia
naraził się ten, który skłócił Billa z Jimem
ten, który skłócił Bill, Jim
f) Różnica między wysokością nad poziomem morza stolicy Francji a wysokością nad poziomem
morza stolicy Włoch jest mniejsza niż różnica między wysokością nad poziomem morza szczytu
najwyższej góry Chin a wysokością nad poziomem morza ujścia najdłuższej rzeki Afryki.
funktor argument
różnica między a wysokość nad poziomem morza stolicy Francji, wysokość
nad poziomem morza stolicy WÅ‚och
wysokość nad poziomem morza stolica Francji
stolica Francja
wysokość nad poziomem morza stolica Włoch
stolica WÅ‚ochy
różnica między a wysokość nad poziomem morza szczytu najwyższej góry
Chin, wysokość nad poziomem morza ujścia najdłuższej
rzeki Afryki
wysokość nad poziomem morza szczyt najwyższej góry Chin
szczyt najwyższej góry Chin
najwyższa góra Chiny
ujście najdłuższa rzeka Afryki
najdłuższa rzeka Afryka
3. Oddziel te przypadki, w których poprawnie wstawiono terminy jednostkowe za zmienne
indywiduowe, od tych przypadków, w których tę operację wykonano niepoprawnie:
a) Jeżeli x jest wyższy od y, zaś y jest równy z, to x nie jest niższy od z;
Jeżeli Robert jest wyższy od Piotra, zaś Piotr jest równy Ani, to Robert nie jest niższy od Ani.
x y y z x z
“! “! “! “! “! “!
Robert Piotr Piotr Ania Robert Ania
poprawnie
Strona 10 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) Suma x oraz y jest równa z wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między z oraz x równa się y;
Suma 3 oraz 3 jest równa 7 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między 7 oraz 3 równa się 3;
x y z z x y
“! “! “! “! “! “!
3 3 7 7 3 3
poprawnie
c) W indeksie y jest x ocen niedostatecznych, zaś według karty egzaminacyjnej y ma z ocen
niedostatecznych;
W indeksie Janka jest 5 ocen niedostatecznych, zaś według karty egzaminacyjnej Janek ma 6
ocen niedostatecznych,
y x y z
“! “! “! “!
Janek 5 Janek 6
poprawnie
d) x1 oświadczył x2, że x3 leży nad x4;
Burek oświadczył Poznaniowi, że 9 leży nad Giewontem,
x1 x2 x3 x4
“! “! “! “!
Burek Poznań 9 Giewont
poprawnie
e) x = y wtedy i tylko wtedy, gdy y = x;
5 = 8 wtedy i tylko wtedy, gdy 5 = 8,
x y y x
“! “! “! “!
5 8 5 8
niepoprawnie
f) x1 jest starszy od y1 i x1 jest większy od x2 i x1 jest piękniejszy od y2 i y1 jest mniejszy od y2 i y1 jest
mniejszy od x2 i y1 jest bogatszy od y2 i x2 jest czystszy od y2;
Poznań jest starszy od Krakowa i Poznań jest większy od Krakowa i Poznań jest piękniejszy od
Wałbrzycha i Kraków jest mniejszy od Wałbrzycha i Kraków jest większy od Krakowa i Kraków jest
bogatszy od Wałbrzycha i Kraków jest czystszy od Wałbrzycha,
x1 y1 x1 x2 x1 y2 y1 y2 y1 x2 y1 y2 x2 y2
“! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “!
Poz Krk Poz Krk Poz Wał Krk Wał Krk Krk Krk Wał Krk Wał
poprawnie
4. Wymień wszystkie predykaty występujące w poniższych zdaniach. Podaj argumenty każdego z tych
predykatów:
a) Staś śpi,
predykat argument
śpi Staś
b) Basia spaceruje a Mirek rozmawia z Elą, zaś Bartek, godzi Michała z Pawłem,
predykat argument
spaceruje Basia
rozmawia z Mirek, Ela
godzi z Bartek, Michał, Paweł
Strona 11 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
c) /\x1/\x2/\y[x1 kupił y od x2 \/z (x1 zapłacił x2 za y kwotę z)],
predykat argument
kupił od x1, y, x2
zapłacił za kwotę x1, x2, y, z
d) Newton potwierdził teorię heliocentryczną, a Darwin zanegował pogląd o niezmienności gatunków,
predykat argument
potwierdził Newton, teoria heliocentryczna
zanegował Darwin, pogląd o niezmienności gatunków
e) Nie jest tak, że Kasia nie lubi Włodka i nie jest tak, że Jola nie siedzi między Zosią a Witkiem,
predykat argument
lubi Kasia, WÅ‚odek
siedzi między Jola, Zosia, Witek
f) Minister Spraw Zagranicznych Rzeczpospolitej Polskiej starannie przeanalizował wszystkie
możliwe warianty reakcji Litwy na porozumienie Polski z Białorusią o wspieranie zabiegów Ukrainy
o przyjęcie A
otwy do Unii Europejskiej.
predykat 7 argumentowy argument
starannie przeanalizował wszystkie możliwe Minister Spraw Zagranicznych
warianty reakcji na porozumienie z o wspieranie Rzeczpospolitej Polskiej, Litwa, Polska,
zabiegów o przyjęcie do Białoruś, Ukraina, A
otwa, Unia Europejska
5. Wskaż, które z następujących zdań są:
a) zdaniami atomowymi,
b) zdaniami; prostymi, lecz nie atomowymi,
c) zdaniami molekularnymi,
d) zdaniami złożonymi, lecz nie molekularnymi:
a) \/x(x zna język hiszpański), b
b) PikuÅ› warknÄ…Å‚ na Reksa, a
c) Wykładowca dyktuje, a studenci piszą, d (studenci piszą  ukryty duży kwantyfikator)
d) Największy stan Stanów Zjednoczonych Ameryki jest większy od największego kraju Republiki
Federalnej Niemiec, a
e) Janka nie lubi czereśni, zaś Kazia nie lubi wiśni, c
f) /\x (jeżeli x zdawał egzamin maturalny z historii, to x nie zdawał egzaminu maturalnego z biologii).
d
6. Określ zasięgi poszczególnych kwantyfikatorów w następujących wyrażeniach:
a) Dla każdego x, [jeżeli x skończył studia prawnicze, to istnieje taki y, że (x pisał pracę magisterską
pod kierunkiem y-a)],
x ----- [jeżeli x skończył studia prawnicze, to istnieje taki y, że (x pisał pracę magisterską pod
kierunkiem y-a)]
y ----- (x pisał pracę magisterską pod kierunkiem y-a)
b) \/z{P(x,z) a" /\y[R(y,z)]},
\/z ----- P(x,z) a" /\y[R(y,z)]
/\y ----- R(y,z)
Strona 12 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
c) /\x/\z{\/y[R(x,y,z] '" /\x[S(x,y,z)]} ~/\z\/x{P(z,x) (" /\yP(z,y)},
/\x ----- /\z {\/y[R(x,y,z] '" /\x[S(x,y,z)]}
/\z ----- \/y[R(x,y,z] '" /\x[S(x,y,z)]
\/y ----- R(x,y,z)
/\x ----- S(x,y,z)
/\z ----- \/x {P(z,x) (" /\yP(z,y)}
\/x ----- P(z,x) (" /\yP(z,y)
/\y ----- P(z,y)
d) /\y{R(x,z) \/z[R(x,z)]},
/\y ----- R(x,z) \/z[R(x,z)]
\/z ----- R(x,z)
e) Jeżeli każdy student prawa złamie jedną gałąz
drzewa genealogicznego, to drzewo genealogiczne
obumrze,
każdy student prawa ----- student prawa złamie jedną gałąz
drzewa genealogicznego
f) \/x|S(x) a" ~ \/y{P(x,y) a" \/z[R(x,y,z)]}|.
\/x ----- S(x) a" ~ \/y{P(x,y) a" \/z[R(x,y,z)]}
\/y ----- P(x,y) a" \/z[R(x,y,z)]
\/z ----- R(x,y,z)
7. Wskaż w których miejscach poniższych wyrażeń poszczególne zmienne występują jako zmienne
wolne, a w których jako zmienne związane (przez które kwantyfikatory);
a) /\x{[P(x,y)] \/y ~[P(x,y,x)]},
/\x{[P(x,y)] \/y ~[P(x,y,x)]},
b) /\z\/x(z kocha x-a) \/x/\z(x jest kochany przez z-a)
c) ~ [P(x, y, z)] a" /\y|S(x) '" /\x{S(x, z) '" /\z[S(x, z, z)]}|,
d) /\x|R(x) '" \/x{S(x) /\x[P(x)]}|,
e) \/z|P(z, y) (" /\y{S(x, y) a" \/x[S(x, z)]}| (" ~/\z[R(z, y)],
f) \/x{(x jest bratem y-a) \/z[(z jest matkÄ… x-a) '" (z jest matkÄ… y-a)]}.
8. Wykaż, że następujące wyrażenia są formułami zdaniowymi rachunku predykatów:
a) /\x[P(x)] a" \/y[P(y)],
1. P(x), P(y)
4. /\x[P(x)], \/y[P(y)]
3. /\x[P(x)] a" \/y[P(y)]
Strona 13 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) \/y{~[P(x)] '" ~[R(y)]} /\z/\x{R(x) (" ~[P(z)]},
1. P(x), R(y), R(x), P(z)
2. ~[P(x)], ~[R(y)], ~[P(z)]
3. ~[P(x)] '" ~[R(y)], R(x) (" ~[P(z)]
4. \/y{~[P(x)] '" ~[R(y)]}, /\x{R(x) (" ~[P(z)]}
4. /\z/\x{R(x) (" ~[P(z)]}
3. \/y{~[P(x)] '" ~[R(y)]} /\z/\x{R(x) (" ~[P(z)]}
c) ~+"/\x|~{S(x) (" ~[S(x)]}| '" {\/x[S(x)] (" ~\/x~[S(x)]}+",
1. S(x),
2. ~[S(x)]
3. S(x) (" ~[S(x)]
2. ~{S(x) (" ~[S(x)]},
4. /\x|~{S(x) (" ~[S(x)]}|, \/x[S(x)], \/x~[S(x)]
2. ~\/x~[S(x)]
3. \/x[S(x)] (" ~\/x~[S(x)]
3. /\x|~{S(x) (" ~[S(x)]}| '" {\/x[S(x)] (" ~\/x~[S(x)]}
2. ~+"/\x|~{S(x) (" ~[S(x)]}| '" {\/x[S(x)] (" ~\/x~[S(x)]}+"
d) ~{R(x) (" \/y[R(y)]} a" /\x{~[R(y)] (" ~\/z[R(x)]},
1. R(x), R(y)
4. \/y[R(y)], \/z [R(x)]
2. ~[R(y)], ~\/z [R(x)]
3. R(x) (" \/y[R(y)], ~[R(y)] (" ~\/z [R(x)]
2. ~{R(x) (" \/y[R(y)]},
4. /\x{~[R(y)] (" ~\/z [R(x)]}
3. ~{R(x) (" \/y[R(y)]} a" /\x{~[R(y)] (" ~\/z [R(x)]}
e) |/\x[P(x,y) '" /\y {~ /\z[P(y,z)]}| (" ~\/x[P(x,y)],
1. P(x,y), P(y,z), P(x,y)
4. /\x[P(x,y), /\z[P(y,z)], \/x[P(x,y)]
2. ~ /\z[P(y,z)], ~\/x[P(x,y)]
4. /\y {~ /\z[P(y,z)]}
3. /\x[P(x,y) '" /\y {~ /\z[P(y,z)]}
3. |/\x[P(x,y) '" /\y {~ /\z[P(y,z)]}| (" ~\/x[P(x,y)]
f) \/x\/y\/z{~ ~ ~[P(x)]} {/\x[P(x)] a" ~/\z[P(y)]},
1. P(x), P(y)
2. ~[P(x)]
4. /\x[P(x)], /\z[P(y)]
2. ~~[P(x)], ~/\z[P(y)]
3. /\x[P(x)] a" ~/\z[P(y)]
2. ~~~[P(x)]
4. \/z{~ ~ ~[P(x)]}
4. \/y\/z{~ ~ ~[P(x)]}
4. \/x\/y\/z{~ ~ ~[P(x)]}
3. \/x\/y\/z{~ ~ ~[P(x)]} {/\x[P(x)] a" ~/\z[P(y)]}
9. Przekształć te z poniższych wyrażeń, które są zdaniami języka polskiego na zdania rachunku
predykatów, a te, które są zdaniami rachunku predykatów na zdania języka polskiego:
a) Każdy, kto zdawał egzamin z prawa cywilnego, zdawał też egzamin z logiki,
/\x[P(x) R(x)] lub /\x[S(x,a) S(x,b)]
Strona 14 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) P(a) \/x[R(x,a)],
Jeżeli Poznań jest miastem, to istnieje taki ktoś, kto jest prezydentem Poznania.
c) Nikt nie był w Honolulu,
~\/xP(x,a) lub /\x~P(x,a)
d) /\x/\y[P(x,y)] \/x\/y[P(x,y)],
Jeżeli każdy Palestyńczyk nienawidzi każdego Żyda, to istnieje taki Palestyńczyk, który nienawidzi
jakiegoś Żyda.
e) Nie istnieje nikt taki, kto by rozmawiał z Mieszkiem I i walczył pod Grunwaldem, i widział każdego
husarza polskiego,
~\/x {P(x,a) '" R(x,b) '" /\y [T(y) S(x,c)]} (T(y)  być husarzem polskim)
f) \/x{[S(x,a) '" S(x,b)] a" \/y[R(y,a) '" R(y,b) '" R(y,x)]}.
Istnieje taki Jurek, który ma tę samą matkę co Michał i ma tę samą matkę co Basia wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje taka kobieta, która jest matką Michała i jest matką Basi i jest matką Jurka
10. Wskaż, jakie tezy rachunku predykatów egzemplifikowane są przez następujące zdania języka
polskiego:
a) Jeżeli istnieje taki student prawa, który umie grać na trąbce i umie tańczyć walca, to istnieje taki
student prawa, który umie grać na trąbce i istnieje taki student prawa, który umie tańczyć walca,
\/x(A '" B) \/x(A) '" \/x(B) - prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem koniunkcji
b) Jeżeli każdy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy studiuje na pierwszym
roku, to każdy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy każdy student prawa
studiuje na pierwszym roku,
/\x(A a" B) [/\x(A) a" /\x(B)] - prawo ekstensjonalności dla dużego kwantyfikatora
c) Nie istnieje taki student prawa, który był na Marsie wtedy i tylko wtedy, gdy żaden student prawa
nie był na Marsie,
~\/x(A) a" /\x ~(A)  prawo negowania małego kwantyfikatora [/\x ~ należy czytać jako  żaden ]
d) Nie jest tak, że każdy student prawa zdaje egzamin poprawkowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taki student prawa, który nie zdaje egzaminuj poprawkowego,
~/\x(A) a" \/x ~(A) - prawo negowania dużego kwantyfikatora
e) Istnieje taki student prawa, który interesuje się logiką wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że
żaden student prawa nie interesuje się logiką,
\/x(A) a" ~/\x ~(A)  prawo zastępowania małego kwantyfikatora
f) Każdy student prawa ma maturę i ma prawo jazdy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy student prawa
ma maturę i każdy student prawa ma prawo jazdy.
/\x(A '" B) a" [/\x(A) '" /\x(B)] - prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem koniunkcji
Strona 15 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
Rozdział 3
1. Podaj po trzy przykłady:
zbiorów pięcioelementowych,
1. zbiór hokeistów danej drużyny na lodowisku
2. zbiór członków kwintetu muzycznego
3. zbiór liczb naturalnych od 1 do 5
zbiorów dziesięcioelementowych,
1. zbiór paciorków w 10 różańca
2. zbiór centurii w samodzielnej kohorcie
3. zbiór 10 przykazań
zbiorów dwunastoelementowych,
1. zbiór miesięcy w roku
2. zbiór tuzina jajek
3. zbiór apostołów
zbiorów skończonych,
1. zbiór dni w roku
2. zbiór godzin w dobie
3. zbiór śliwek w słoiku
mających ponad sto elementów,
1. zbiór studentów 1 roku prawa chodzących na wykład z logiki
2. zbiór studentów UAM
3. zbiór posłów na Sejm
zbiorów nieskończonych,
1. zbiór liczb naturalnych
2. zbiór tez rachunku zdań
rodzin zbiorów.
1. zbiór zbiorów narodowości
2. zbiór gatunków zwierząt
3. zbiór studentów poszczególnych wydziałów UAM
2. Za pomocą trzech kół na jednym rysunku zilustruj stosunki między:
a) zbiorem zdań prawdziwych (Z), zbiorem zdań złożonych (Y), zbiorem zdań nie zawierających
kwantyfikatorów (X),
X Y
Z
Strona 16 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) zbiorem ssaków (Z), zbiorem zwierząt żyjących w wodzie (Y), zbiorem delfinów (X),
Z
Y
X
c) zbiorem predykatów jednoargumentowych (Z), zbiorem wyrażeń (Y), zbiorem predykatów
dwuargumentowych (X),
Y
Z
X
d) zbiorem dni 1990 r. (Z), zbiorem tygodni 1990 r. (Y), zbiorem miesięcy 1990 r. (X),
X
Z Y
e) zbiorem zbiorów jednoelementowych (Z), zbiorem zbiorów dwuelementowych oraz zbiorów
trójelementowych (Y), zbiorem zbiorów trójelementowych oraz zbiorów czteroelementowych (X),
Z Y X
f) zbiorem podzbiorów dopełnienia zbioru studentów do zbioru ludzi (Z ), zbiorem podzbiorów zbioru
brunetów (Y), zbiorem podzbiorów zbioru łysych analfabetów (X).
Z
Y
X
zbiór pusty Ø
Strona 17 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
3. Podaj przykłady takich trójek zbiorów, miedzy którymi zachodzą stosunki zilustrowane na
następujących rysunkach:
X
X
Y
Y
X Z
Y
Z
Z
X
Y X
Y
Y
X
Z
Z
Z
e) f)
a) X - zbiór zwierząt, Y - zbiór kotów, Z  zbiór zwierząt domowych
b) X - zbiór mieszkańców Poznania, Y - zbiór studentów, Z  zbiór mieszkańców Gniezna
c) X - zbiór ryb, Y - zbiór rekinów, Z  zbiór ptaków
d) X - zbiór zwierząt, Y - zbiór ryb, Z  zbiór rekinów
e) X - zbiór zwierząt ze sklepu zoologicznego, Y - zbiór kotów, Z  zbiór kotów perskich
f) X  zbiór osób o wzroście do 180 cm, Y  zbiór osób o wzroście ponad 160 cm, Z  zbiór
brunetów
4. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz sumy następujących zbiorów:
a) zbioru kobiet (X), zbioru studentów (Y), zbioru sportowców (Z),
X Y
Z
b) zbioru wróbli (Z), zbioru ptaków (Y), zbioru kręgowców (X),
X Y
Z
c) zbioru motyli (X), zbioru znaczków pocztowych (Y), zbioru rzek (Z),
X Y
Z
Strona 18 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
d) zbioru przedszkolaków (X), zbioru kaliszan (Y), zbioru studentów (Z),
X Y Z
e) zbioru oficerów (X), zbioru kapitanów (Y), zbioru majorów (Z),
X
Z
Y
f) zbioru ryb (X), zbioru ssaków (Y), zbioru małp (Z).
Y
X
Z
5. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz iloczyny następujących
zbiorów:
a) zbioru lekarzy (X), zbioru sportowców (Y), zbioru szatynów (Z),
Y
X
Z
Strona 19 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) zbioru szczupaków (Z), zbioru ryb (Y), zbioru kręgowców (X),
Z
Y
X
c) zbioru domów (X), zbioru gór (Y), zbioru miast (Z),
X Y Z
zbiór pusty Ø
d) zbioru Polaków (X), zbioru studentów (Y), zbioru poznaniaków studiujących prawo (Z),
X Y
Z
e) zbioru Amerykanów (X), zbioru nowojorczyków (Y), zbioru pływaków (Z),
Z
X
Y
Strona 20 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) zbioru stołów (X), zbioru zdań atomowych (Y), zbioru zdań prawdziwych (Z).
Z
Y
X
zbiór pusty Ø
6. Na dwóch odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz różnice między:
a) zbiorem książek (Z) a zbiorem podręczników (Y),
Z
Y
b) zbiorem zdań złożonych (Z) a zbiorem zdań fałszywych (Y),
Z Y
c) zbiorem koni (Z) a zbiorem słoni (Y),
Y
Z
d) zbiorem funktorów (Z) a zbiorem wyrażeń (Y),
Y
Z
zbiór pusty Ø
Strona 21 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
e) zbiorem lekkoatletów (Z) a zbiorem filatelistów (Y),
Z Y
f) zbiorem kartofli a zbiorem ziemniaków,
Z
Y
zbiór pusty Ø
7. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz:
a) sumę różnicy między zbiorem studentów (X) a zbiorem Wielkopolan (Y) oraz różnicy między
zbiorem licealistów (Z) a zbiorem Wielkopolan,
Z
X Y
b) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) (U) iloczynu zbioru prawników (Y) i zbioru
poznaniaków (Z).
U
Y Z
c) sumę iloczynu zbioru róż (Z) i zbioru żółtych kwiatów (Y) oraz iloczynu zbioru żółtych kwiatów i
zbioru tulipanów (X),
X
Z Y
Strona 22 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
d) różnicę między zbiorem studentów (Z) a iloczynem zbioru sportowców (Y) i zbioru siatkarzy (X),
Y
Z
X
e) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) (U) sumy zbioru krów (Y) i zbioru owiec (Z),
U
Y Z
f) iloczyn zbioru ptaków (Z) i różnicy między zbiorem kaczek (Y) a zbiorem cyranek (X).
Z
Y
X
8. Określ wartość logiczną następujących zdań:
a) iloczyn zbioru harcerek i zbioru łyżwiarek zawiera się w sumie zbioru łyżwiarek i zbioru harcerek,
PRAWDA
b) zbiór zbiorów pustych jest zbiorem pustym, FAA
SZ (jest to jednoelementowy zbiór zawierający
zbiór pusty)
c) Poznań jest elementem zbioru podzbiorów zbioru miast polskich, FAA
SZ (elementem tego
zbioru są zbiory, a nie poszczególne miasta)
d) zbiór medyków jest podzbiorem właściwym zbioru lekarzy, FAA
SZ
e) zbiór dni tygodnia nie zawiera się w zbiorze zbiorów siedmioelementowych, PRAWDA (bo dni
tygodnia nie sÄ… zbiorami siedmioelementowymi)
f) zbiór zbiorów gwiazd jest zbiorem jednoelementowym. FAA
SZ (jeśli przez zbiór gwiazd
rozumiemy z zbiór zawierający tylko gwiazdy, ale nie wszystkie gwiazdy)
9. Uzupełnij poniższe wyrażenia tak, aby stały się one egzemplifikacjami określonych twierdzeń
rachunku zbiorów. Wskaż, które twierdzenia egzemplifikują poszczególne uzupełnienia:
a) suma zbioru grzybów oraz sumy zbioru psów i zbioru jamników jest identyczna z sumą sumy
zbioru grzybów oraz zbioru psów i zbioru jamników.
Z *" (Y *" X) = (Z *" Y) *" X
Strona 23 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) iloczyn zbioru inżynierów oraz iloczynu zbioru Niemców i zbioru tenisistów jest identyczny z
iloczynem iloczynu zbioru inżynierów i zbioru Niemców oraz zbioru tenisistów.
Z )" (Y )" X) = (Z )" Y) )" X
c) iloczyn zbioru brunetek oraz sumy zbioru Litwinek i zbioru Polek jest identyczny z sumÄ… iloczynu
zbioru brunetek i zbioru Litwinek oraz iloczynu zbioru brunetek i zbioru Polek.
Z )" (Y *" X) = (Z )" Y) *" (Z )" X)
d) suma zbioru kwiatów oraz iloczynu zbioru much i zbioru gęsi jest identyczna z iloczynem sumy
zbioru kwiatów i zbioru much oraz sumy zbioru kwiatów i zbioru gęsi.
Z *" (Y )" X) = (Z *" Y) )" (Z *" X)
e) różnica zbioru studentów oraz sumy zbioru studentów prawa i zbioru studentów historii jest
identyczna z iloczynem różnicy zbioru studentów i zbioru studentów prawa oraz różnicy
zbioru studentów i zbioru studentów historii.
Z - (Y *" X) = (Z - Y) )" (Z - X)
f) dopełnienie (do zbioru ludzi) sumy zbioru Wielkopolan i zbioru studentów jest identyczne z
iloczynem dopełnienia (do zbioru ludzi) zbioru Wielkopolan i dopełnienia (do zbioru ludzi)
zbioru studentów.
(Z *" Y) = Z )" Y
10. Podaj przykład:
a) dychotomicznego podziału zbioru samochodów,
samochody z hakiem holowniczym  samochody bez haka holowniczego
samochody z katalizatorem  samochody bez katalizatora
samochody ABS  samochody bez ABS
b) podziału wedle pewnej zasady zbioru miast,
podział ze względu na liczbę mieszkańców ( do 10 tys., od 10 tys. do 50 tys., powyżej 50 tys.)
c) naturalnego z punktu widzenia botaniki podziału zbioru roślin,
rośliny jednolistne i rośliny dwulistne,
rośliny z korzeniem palowym i rośliny z korzeniem poziomym
d) sztucznego z punktu widzenia mechaniki podziału zbioru rowerów,
podział względem koloru ramy
e) dwustopniowej klasyfikacji zbioru książek,
książki
w twardej w miękkiej
okładce okładce
do 200 stron powyżej do 200 stron powyżej
200 stron 200 stron
Strona 24 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) trójstopniowej klasyfikacji zbioru psów.
psy
psy rasowe psy nierasowe
psy z obwisłymi psy ze psy z obwisłymi psy ze
uszami sterczÄ…cymi uszami sterczÄ…cymi
uszami uszami
psy
psy
psy
psy
długowłose
długowłose długowłose
długowłose
psy nie- psy nie- psy nie- psy nie-
długowłose długowłose długowłose długowłose
Rozdział 4
1. Określ dziedzinę, przeciwdziedzinę i pole następujących relacji: bycia dziadkiem, posiadania,
implikowania, bycia wynalazcą, identyczności, zaufania.
R D(R) Å» D(R) P(R)
relacja
/\ x [x "D(R) a" \/y(xRy)] /\x[x "Å» D(R) a" \/y(yRx)] /\ x [x "P(R) a" x "D(R) (" x "Å» D(R)]
bycia dziadkiem zbiór dziadków zbiór wnucząt zbiór dziadków i wnucząt
posiadania zbiór posiadaczy zbiór obiektów zbiór posiadaczy i
posiadanych przez przedmiotów posiadanych
kogoÅ› przez kogoÅ›
implikowania zbiór wszystkich zdań zbiór wszystkich zdań zbiór zdań w sensie
w sensie logicznym, w sensie logicznym, logicznym
które implikują inne które są implikowane
zdanie (zbiór przez inne zdanie
wszystkich zdań (zbiór wszystkich zdań
stanowiÄ…cych stanowiÄ…cych
poprzednik implikacji) następniki implikacji)
bycia wynalazcą zbiór wynalazców zbiór wynalazków zbiór wynalazców i
wynalazków
identyczności zbiór wszystkich zbiór wszystkich zbiór wszystkich obiektów
obiektów obiektów
zaufania zbiór obiektów, które zbiór obiektów, zbiór obiektów, które komuś
komuś ufają którymś ktoś ufa ufają i obiektów, którymś ktoś
ufa
2. Wskaż, która z następujących relacji jest zwrotna, która jest niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, a
która jest przeciwzwrotna:
" sprzeczności (w zbiorze zdań), przeciwzwrotna
" głosowania na (w zbiorze Polaków uprawnionych do głosowania), niezwrotna, ale nie
przeciwzwrotna
" egzaminowania (w zbiorze społeczności akademickiej), przeciwzwrotna
Strona 25 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
" bycia podzbiorem (w zbiorze zbiorów jednoelementowych), zwrotna (bo każdy zbiór jest swoim
podzbiorem)
" bycia równokolorowym (w zbiorze kwiatów), zwrotna
" uśmiercania (w zbiorze ludzi). niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna
3. Wskaż, która z następujących relacji jest symetryczna, która jest niesymetryczna, ale nie
przeciwsymetryczna, a która jest przeciwsymetryczna:
" równoważności (w zbiorze zdań), symetryczna
" okrążania (w zbiorze ciał niebieskich), niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna (są
gwiazdy podwójne, które się wzajemnie okrążają),
" łączenia się (w zbiorze spółdzielni), symetryczna
" krzyżowania (w zbiorze zbiorów pięcioelementowych), symetryczna
" obmawiania (w zbiorze ludzi) niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna
" bycia większym (w zbiorze jezior) przeciwsymetrzyczna
4. Wskaż, która z następujących relacji jest przechodnia, która jest nieprzechodnia, ale nie
przeciwprzechodnia, a która jest przeciwprzechodnia:
" wykluczania się (w zbiorze zbiorów dwuelementowych), nieprzechodnia, ale nie
przeciwprzechodnia
" bycia następcą (w zbiorze królów Polski), przeciwprzechodnia
" bycia powinowatym (w zbiorze ludzi), nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia
" bycia wierzycielem (w zbiorze osób prawnych), nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia
(bo sąd może przenieść wierzytelność)
" bycia babciÄ… (w zbiorze ludzi), przeciwprzechodnia
" zawierania większej ilości negacji (w zbiorze zdań). przechodnia
5. Mając na uwadze znane ci rodzaje relacji zakwalifikuj następujące relacje:
" bycia podwójną negacją (w zbiorze zdań), przeciwzwrotna, przeciwsymetryczna i
przeciwprzechodnia
" bycia równoszybkim (w zbiorze samochodów), zwrotna, symetryczna i przechodnia
" dręczenia (w zbiorze ludzi), niezwrotna, niesymetryczna ale nie przeciwsymetryczna i
nieprzechodnia ale nie przeciwprzechodnia
" implikowania (w zbiorze zdań), zwrotna, niesymetryczna i przechodnia (prawo sylogizmu
hipotetycznego)
" bycia pojętniejszym (w zbiorze psów), niezwrotna, przeciwsymetryczna i przechodnia
" bycia pełnomocnikiem procesowym (w zbiorze osób występujących w procesach cywilnych).
przeciwzwrotna (nie można być swoim pełnomocnikiem), niesymetryczna ale nie
przeciwsymetryczna (bo jeden adwokat może prowadzić klika spraw) i nieprzechodnia ale nie
przeciwprzechodnia
6. Podaj konwersy następujących relacji:
" bycia nadzbiorem właściwym, bycia podzbiorem właściwym
" bycia sprzecznym z, bycia sprzecznym
" implikowania, implikowania
" kochania, bycia kochanym
" bycia podziwianym, podziwiania
" sÄ…siadowania. sÄ…siadowania
7. Wskaż, jakich relacji iloczynami względnymi są następujące relacje:
" bycia teściem, relacja bycia ojcem, relacja bycia małżonkiem
" bycia ciociÄ…, relacja bycia siostrÄ…, relacja bycia ojcem
" bycia stryjenką, relacja bycia żoną, relacja bycia stryjem
" bycia wujenką, relacja bycia żoną, relacja bycia wujem
" bycia bratową, relacja bycia żoną, relacja bycia bratem
" bycia szwagrem. relacja bycia mężem, relacja bycia siostrą
Strona 26 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
8. Pośród następujących relacji wskaż relacje równościowe:
" równoważności (w zbiorze zdań),
" posiadania tej samej grupy krwi (w zbiorze ludzi),
" dowodzenia (w zbiorze żołnierzy),
" identyczności (w zbiorze liczb),
" bycia silniejszym (w zbiorze atletów),
" podpowiadania (w zbiorze studentów zdających egzamin pisemny).
9. Pośród następujących relacji wskaż relacje liniowo porządkujące:
" starszeństwa stopniem (w zbiorze żołnierzy),
" bycia dłużnikiem (w zbiorze spółek),
" wyższości (w zbiorze koszykarzy jednej drużyny), jeśli nie ma identycznych
" naśladowania (w zbiorze artystów),
" bycia większym (w zbiorze państw europejskich), jeśli nie ma identycznych
" znania (w zbiorze mieszkańców jednej kamienicy).
10. Wskaż, które z następujących relacji są funkcjami:
a) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest jedynym spadkobiercą x-a,
b) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest dowodem osobistym x-a,
c) relacja zachodzÄ…ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest silniejszy od x-a,
d) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest kierownicą x-a,
e) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest pradziadkiem x-a,
f) relacja zachodzÄ…ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest prezydentem x-a.
Rozdział 5
1. Ustal, ze względu na uchybienia jakiego typu regułom poniższe sekwencje nie są wyrażeniami
jeżyka polskiego:
a) frigmo jest zielone, słownikowe
b) myśli o stolicy Wielkopolski nie siedzi przy, gramatyczne
c) jeżeli Antek, to Władek gra w szachy z Janka, gramatyczne
d) rozstrzyga spór miedzy Francją prasim lub śpiewa, słownikowe
e) najstarszy brat ifri a najmłodszy brat tańczy z obserwuje, słownikowe i gramatyczne
f) każdy student pierwszego roku prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje
taki student pierwszego roku prawa, który berde egzamin poprawkowy z prawa rzymskiego.
słownikowe
2. Wskaż, które z poniższych zdań a) nie są tezami języka polskiego, b) są jego tezami, ale nie są
tautologiami, c) sÄ… tautologiami:
a) Nie jest tak, że (Hiszpania jest większa od Włoch i Hiszpania nie jest większa od Włoch), c -
~(p'"
'"~p)
'"
'"
b) Jeżeli Kasia jest wyższa od Ani, to Ania jest wyższa od Kasi, a
c) Istnieje taki Wielkopolanin, który byt na Antarktydzie lub był na Alasce wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje taki Wielkopolanin, który był na Antarktydzie, lub istnieje taki Wielkopolanin, który był na
Alasce, c - \/x[P(x,a) (" P(x,b)] a" \/xP(x,a) ("
(" ("
(" (" \/xP(x,b)
(" ("
d) Mirek jest ojcem Stasia lub StaÅ› jest ojcem Mirka. a
e) Basia nie lubi porzeczek lub Janek nie lubi agrestu wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że (Basia
lubi porzeczki, a Janek lubi agrest). c - ~(p(" '"~q)
("q) a" (~p'"
(" '"
(" '"
f) Jeżeli Paryż leży nad Sekwaną, to Paryż nie leży nad Tamizą. b
3. Wskaż, które z poniższych zdań a) nie są kontrtezami języka polskiego, b) są jego kontrtezami, ale
nie sÄ… kontrtautologiami, c) sÄ… kontrtautologiami:
a) Nie jest tak, że (jeśli ojciec Zosi był w Moskwie, to ojciec Zosi zwiedzał Kreml), a
b) Nie jest tak, że (Bożena jest matką Henia wtedy i tylko wtedy, gdy Heniek jest synem Bożeny), b
c) Nie jest tak, że jednym ze składników wody jest tlen, a (zdanie to jest aksjomatem  nie tezą)
d) Nie jest tak, że (jeśli każdy poznaniak był nad morzem, to istnieje taki poznaniak, który był nad
morzem), c - /\x(A) \/x(A)
e) Nie jest tak, że nie jest tak, że nie jest tak, że (Wielkopolska graniczy ze Śląskiem lub
Wielkopolska nie graniczy ze ÅšlÄ…skiem), c - p("
("~p
("
("
Strona 27 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) Nie jest tak, że każdy masarz jest rzez
nikiem. b
4. Wśród poniższych zdań wyszukaj zdania równoznaczne:
a) Nie jest tak, że (Marek jest wyższy od Ewy i Halina jest starsza od Józia), ~(p'"
'"q)
'"
'"
b) Marek nie jest wyższy od Ewy lub Halina jest starsza od Józia, ~p("
("q
("
("
c) Nie jest tak, że (Halina nie jest starsza od Józia i Marek jest niższy od Ewy), ~(~q'"
'"p)
'"
'"
d) Marek nie jest wyższy od Ewy lub Józio nie jest starszy od Haliny. ~p("
("q
("
("
e) Nie jest tak, że (Józio jest starszy od Haliny i Marek jest wyższy od Ewy), ~(~q'" ("~p)
'"p) a" (q("
'" ("
'" ("
f) Józio jest młodszy od Haliny lub Marek nie jest niższy od Ewy. q("
("~p
("
("
 b i  f ,  b i  e ,  c i  e ,  d i  e
5. W poniższych zdaniach wyszukaj wyrażenia równoznaczne:
a) Każdy, kto uczy się w średniej szkole ogólnokształcącej, jest przekonany, że Wrocław jest stolicą
Grecji,
b) Jeśli Onufry jest najstarszym mieszkańcem Poznania, to Onufry nie prowadzi auta,
c) Nie jest tak, że bezpośredni żeński ascendent Irka jest dentystą i jest uczniem liceum,
d) Wszelki ten, kto jest stomatologiem, uważa, że nie żyje już pradziadek najdłużej żyjącego
mieszkańca Wielkopolski,
e) Matka Pawia kieruje samochodem w mieście, w którym znajduje się siedziba rządu polskiego,
f) Jeżeli Wiesiek jest licealistą, to Wiesiek sądzi, że najwcześniej urodzony z żyjących mieszkańców
Piły nie uczy się w liceum, oraz Wiesiek jest przeświadczony, że ojciec dziadka Mieszka I żył w
Wielkopolsce.
a) kto uczy się w średniej szkole ogólnokształcącej,
c) jest uczniem liceum,
f) jest licealistÄ…
f) uczy siÄ™ w liceum
a) jest przekonany, że
d) uważa, że
f) sadzi, że
f) jest przeświadczony, że
a) stolica
e) miasto, w którym znajduje się siedziba rządu
b) najstarszy mieszkaniec
d) najdłużej żyjący mieszkaniec
f) najwcześniej urodzony z żyjących mieszkańców
b) nie
c) nie jest tak, że
b) prowadzi auto
e) kieruje samochodem
c) bezpośredni żeński ascendent
e) matka
c) jest dentystÄ…
d) jest stomatologiem
d) pradziadek
f) ojciec dziadka
d) mieszkaniec Wielkopolski
f) żyjący w Wielkopolsce
6. Wśród poniższych zdań wskaż zdania wynikające logicznie ze zdania  Każdy student przeczytał
jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza oraz zdania, które z niego wynikają, choć nie wynikają logicznie:
/\x\/y[P(x,y,a)]
a) Pewien student przeczytał wszystkie dzieła Henryka Sienkiewicza,
nie wynika w ogóle
/\x\/y[P(x,y,a)] \/x/\y[P(x,y,a)]
Strona 28 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b) Pewien student przeczytał jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,
wynika logicznie gdyż implikacja jest tautologią
/\x\/y[P(x,y,a)] \/x\/y[P(x,y,a)]
c) Pewna osoba ucząca się w szkole wyższej przeczytała jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,
wynika, ale nie logicznie
/\x\/y[P(x,y,a)] \/z\/y[P(x,y,a)]
d) Nie istnieje taki student, który nie przeczytał żadnego dzieła Henryka Sienkiewicza,
wynika logicznie gdyż implikacja jest tautologią
/\x\/y[P(x,y,a)] ~\/x~\/y[P(x,y,a)]
\/y[P(x,y,a)] = B
/\x(B) ~\/x~(B)
e) Żaden student nie przeczytał wszystkich dzieł Henryka Sienkiewicza lub każdy student przeczytał
jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,
wynika logicznie gdyż implikacja jest tautologią,
p = /\x\/y[P(x,y,a)]
p ( p (" q )
("
("
("
f) Istnieje takie dzieło Henryka Sienkiewicza, które przeczytał każdy student.
nie wynika w ogóle
7. Wśród poniższych zdań wskaż zdania, z których wynika logicznie zdanie  Jeden ze stryjów Maćka
umie pływać stylem klasycznym , oraz zdania, z których to zdanie wynika, choć nie wynika logicznie:
\/xP(x,a) = p
a) Jeden z braci ojca Maćka umie pływać stylem klasycznym,
wynika, ale nie logicznie
p p
b) Jeżeli jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym, to nie jest tak, że jeden ze stryjów
Maćka umie pływać stylem klasycznym,
nie wynika w ogóle
(p ~ p) p
c) Jeden ze stryjów Maćka umie pływać żabką,
wynika, ale nie logicznie
q p
d) Jeden z wujów Maćka umie pływać stylem motylkowym, a jeden ze stryjów Maćka umie pływać
stylem klasycznym,
wynika logicznie
(q '"
'" p) p
'"
'"
e) Jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym lub jeden z braci ojca Maćka umie
pływać stylem klasycznym,
nie wynika w ogóle
(q ("
(" p) p
("
("
Strona 29 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) Jeżeli nie jest tak, że jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym, to jeden ze stryjów
Maćka umie pływać stylem klasycznym.
wynika logicznie
(~p p) p
8. Przyjmując, że wyrażenie  Poznań leży nad Wartą jest zdaniem języka przedmiotowego, ustal, do
jakich języków należą następujące zdania:
a) Piotr oznajmił Tomkowi, że zdanie  Poznań leży nad Wartą nie jest fałszywe, metajęzyk
b) Skoro nie jest tak, że Poznań leży nad Wartą, to nie każdy student wie, że Poznań leży nad
Wartą, język przedmiotowy
c) Zdanie  Zdanie   Zdanie    Zdanie     Poznań leży nad Wartą    zawiera termin jednostkowy  
składa się z kilku słów  jest prawdziwe jest skomplikowane, meta- meta- meta- metajęzyk
d) Andrzeja zdziwiÅ‚o zdanie  PaweÅ‚ uważa zdanie «PoznaÅ„ leży nad WartÄ… za niezrozumiaÅ‚e ,
meta- metajęzyk
e) Janek przypomina sobie, że Michał twierdził, iż Ela sądzi, że nie jest tak, iż Poznań nie leży nad
Wartą, język przedmiotowy
f) Każde zdanie równoważne ze zdaniem  Poznań leży nad Wartą jest prawdziwe wtedy i tylko
wtedy, gdy zdanie  Poznań leży nad Wartą jest prawdziwe. metajęzyk
9. Wykaż wieloznaczność następujących wyrażeń:
a) Hanka najbardziej lubi tę siostrę, która po każdym zastrzyku obdarowuje ją obrazkiem z
wizerunkiem jakiegoś świętego, o jaką siostrę chodzi: rodzoną, pielęgniarkę czy zakonną?
b) Wszystkie obręcze ważyły ponad 10 kg, jak dużo ponad? każda osobno, czy razem?
c) Tu jest pies pogrzebany, dosłownie czy w przenośni?
d) Mundek gra na perkusji i na klarnecie, jednocześnie, czy też umie grać na obu tych
instrumentach, ale osobno?
e) Zenek wpuścił Jurka w maliny, dosłownie czy w przenośni?
f) Od każdego skredytowanego rachunku bank pobiera prowizję w wysokości 3% sumy z odsetkami
od dnia realizacji przedmiotowej kwoty. czy 3% pobierane jest od kwoty netto czy z
odsetkami?
10. Ustal wartości logiczne następujących zdań:
a) Reguły formowania danego języka dzielą się na reguły ustalające słownik, reguły gramatyczne i
reguły dedukcyjne, fałsz
b) W zbiorze wyrażeń danego języka relacja równoważności jest relacją równościową, prawda
c) W zbiorze języków relacja bycia fragmentem jest relacją przechodnią, prawda
d) W zbiorze języków relacja jednorodności gramatycznej jest relacją symetryczną, prawda
e) Zdanie prawdziwe jest równoznaczne ze zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie
fałszywe jest równoznaczne ze zdaniem prawdziwym, prawda
f) Ilekroć z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie, tylekroć z owego drugiego zdania wynika
logicznie to pierwsze zdanie. fałsz
Rozdział 6
1. Przeformułuj poniższe definicje metajęzykowe na definicje przedmiotowe, a definicje przedmiotowe
na definicje metajęzykowe:
a) Wyrażenie  być licealistą ma takie samo znaczenie, jak wyrażenie  być uczniem szkoły średniej ,
/\x(x jest licealistą a" x jest uczniem szkoły średniej)
b) x jest panną wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kobietą niezamężną,
Wyrażenie  być panna ma takie samo znaczenie jak wyrażenie  być kobietą niezamężną .
c) Wyrażenie  stolica znaczy tyle samo, co wyrażenie  miasto, w którym znajduje się siedziba
rzÄ…du ,
/\x/\y(x jest stolicą y a" x jest miastem, w którym znajduje się siedziba rządu y)
d) Zwrot  być przełożonym jest równoznaczny ze zwrotem  być bezpośrednim zwierzchnikiem ,
/\x/\y(x jest przełożonym y a" x jest bezpośrednim zwierzchnikiem y)
e) x jest odyńcem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosłym samcem dzikiej świni,
Wyrażenie  być odyńcem znaczy tyle samo co wyrażenie  być dorosłym samcem dzikiej
świni .
Strona 30 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
f) x jest cięższy od y-a w momencie t wtedy i tylko wtedy, gdy x waży więcej niż y w momencie t.
Wyrażenie  być cięższym od w danym momencie znaczy tyle samo co  ważyć więcej od w
danym momencie .
2. W każdej z poniższych definicji wydziel definiendum, wyrażenie definiowane, definiens i spójkę
definicyjnÄ…:
a) x jest łanią wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosłą samicą jelenia,
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
x jest łanią być łanią x jest dorosłą samicą jelenia wtedy i tylko wtedy, gdy
b) x jest doktorem prawa wtedy i tylko wtedy, gdy x obronił pracę doktorską z prawa,
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
x jest doktorem x obronił pracę doktorską z
być doktorem prawa wtedy i tylko wtedy, gdy
prawa prawa
c) x jest przyjacielem y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest serdecznym kolegÄ… y-a w okresie
t,
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
x jest przyjacielem być przyjacielem y-a w x jest serdecznym kolegą
wtedy i tylko wtedy, gdy
y-a w okresie t okresie t y-a w okresie t
d) 2 = następnik (następnik(0)),
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
2 2 następnik (następnik(0)) =
e) y = ojciec chrzestny (x) wtedy i tylko wtedy, gdy y jest mężczyzną, który trzymał x-a do chrztu,
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
y = ojciec y jest mężczyzną, który
bycie ojcem chrzestnym (x) wtedy i tylko wtedy, gdy
chrzestny (x) trzymał x-a do chrztu
f) logyx = z a" yz = x.
definiendum wyrażenie definiowane definiens spójka definicyjna
logyx = z log yz = x a"
3. Korzystając z powyższych definicji, przełóż następujące zdania na zdania nie zawierające wyrażeń
wyżej zdefiniowanych:
a) \/x\/y(x jest Å‚aniÄ… i y jest Å‚aniÄ… i x jest matkÄ… y),
\/x\/y(x jest dorosłą samicą jelenia i y jest dorosłą samicą jelenia i x jest matką y)
b) \/x/\y/\t(jeżeli x jest przyjacielem y-a w okresie t, to x nie jest doktorem nauk prawnych),
\/x/\y/\t(jeżeli x jest serdecznym kolegą y-a w okresie t, to x nie obronił pracy doktorskiej z
nauk prawnych)
Wyrażenie definiowane w zadaniu 2 brzmiało  być doktorem prawa , co nie jest jednoznaczne z
wyrażeniem  być doktorem nauk prawnych , stąd w tym przykładzie z zadania 3 będzie bardziej
poprawne zdanie
\/x/\y/\t(jeżeli x jest serdecznym kolegą y-a w okresie t, to x nie jest doktorem nauk
prawnych)
Strona 31 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
c) /\x(jeżeli x jest doktorem nauk prawnych, to x wie, że 2 " 2 + 2 " 2 = 23),
/\x(jeżeli x jest doktorem nauk prawnych, to x wie, że następnik (następnik (0)) " następnik
(następnik (0)) + następnik (następnik (0)) " następnik (następnik (0)) = następnik (następnik
(0))3)
d) \/x\/y\/t\/z(x jest przyjacielem y-a w okresie t i x widział z w okresie t i z jest łanią),
\/x\/y\/t\/z(x jest serdecznym kolegą y-a w okresie t i x widział z w okresie t i z dorosłą samicą
jelenia),
e) \/x(ojciec chrzestny x-a jest doktorem nauk prawnych),
\/x(mężczyzna, który trzymał x-a jest doktorem nauk prawnych)
f) log327 - 1 = 2.
log327  1 = następnik (następnik (0)) lub 3  1 = następnik (następnik (0))
4. Sformułuj:
a) definicję przez abstrakcję ciężaru ciała, opierając się na relacji równoważenia się na wadze
rzetelnej,
Ciężar ciała x jest taki sam jak ciężar ciała y wtedy i tylko wtedy, gdy x równoważy na
wadze rzetelnej y.
b) definicję przez abstrakcję kierunku prostych danej płaszczyzny, opierając się na relacji
równoległości,
Kierunek prostej x danej płaszczyzny jest identyczny z kierunkiem prostej y tej samej
płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy x jest równoległa do y.
c) definicję cząstkową bycia młodzieńcem,
Jeżeli x jest osobą mającą poniżej 20 lat, to x jest młodzieńcem.
d) definicjÄ™ czÄ…stkowÄ… bycia chudym,
Jeżeli x ma w pasie nie więcej niż 25 cm, to x jest chudy.
e) definicję indukcyjną wyrażenia rachunku zdań, opierając się na określeniu podanym na stronie 21,
Warunek wstępny: Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań.
Warunek indukcyjny: Jeżeli x, y są wyrażeniami rachunku zdań to ~x, ~y są wyrażeniami
rachunku zdań, a ponadto również sekwencje x '" y, x (" y, x y, x a" y są wyrażeniami
'" ("
'" ("
'" ("
rachunku zdań.
f) definicję indukcyjną formuły zdaniowej rachunku predykatów, opierając się na określeniu podanym
na stronie 58.
Warunek wstępny: Każda formuła zdaniowa jest formułą zdaniową rachunku predykatów.
Warunek indukcyjny: Jeżeli x, y są formułami zdaniowymi rachunku predykatów to ~x, ~y,
x '" ("
'" y, x (" y, x y, x a" y są formułami zdaniowymi rachunku predykatów, a ponadto również
'" ("
'" ("
sekwencje /\xi(x) oraz \/xi(x) (dla dowolnego i) są formułami zdaniowymi rachunku
predykatów.
5. Podaj definicje sprawozdawcze następujących wyrażeń:
a) być brunetem, x jest brunetem wtedy i tylko wtedy, gdy x ma ciemne włosy
b) być komputerem, x jest komputerem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest mózgiem elektronowym
c) być wujkiem, x jest wujkiem y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest bratem matki x
Strona 32 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
d) być bliz
niakiem, x jest bliz
niakiem y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dzieckiem z tej samej
ciąży co y
e) przystawać do, x przystaje do y wtedy i tylko wtedy, gdy x identyczny z y
f) dowód osobisty. x jest dowodem osobistym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dokumentem
stwierdzającym tożsamość innym niż paszport lub karta pobytu.
6. Wskaż, które z poniższych definicji są definicjami konstrukcyjnymi, a które definicjami regulującymi:
a) x jest wieżowcem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest budynkiem mającym ponad 8 pięter, regulująca
b) x jest konkubiną y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest główną ulicą y-a w okresie t,
konstrukcyjna
c) x jest brisem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest samolotem zdolnym do przekraczania pierwszej
prędkości kosmicznej, konstrukcyjna
d) x jest przedszkolakiem w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem klasy zerowej w okresie
t, konstrukcyjna
e) x jest dobroczyńcą y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x dobrowolnie łoży na utrzymanie y-a, regulująca
f) x jest niskim mężczyzną wtedy i tylko wtedy, gdy x jest mężczyzną mierzącym poniżej 160 cm.
regulujÄ…ca
7. Podaj definicje regulujące następujących wyrażeń:
a) być szybkim samochodem, x jest szybkim samochodem wtedy i tylko wtedy, gdy może
rozwiną prędkość większą od 200 km/h
b) jechać z nadmierną prędkością, x jedzie z nadmierną prędkością wtedy i tylko wtedy, gdy
jedzie z prędkością ponad 140 km/h
c) być doświadczonym kierowcą, x jest doświadczonym kierowcą wtedy i tylko wtedy, gdy x
przez 5 lat przejechał jako kierowca ponad 150 000 km
d) być prawdomównym, x jest prawdomówny wtedy i tylko wtedy, gdy x zawsze mówi prawdę
e) zaczynać się starzeć, x zaczyna się starzeć wtedy i tylko wtedy, gdy x ukończy 50 lat
f) być niedouczonym z logiki. x jest niedouczony z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy x nie zna
wszystkich tez rachunku zdań
8. Wskaż definicje perswazyjne wśród następujących definicji:
a) x jest bandziorem wtedy i tylko wtedy, gdy x trudni się sprzedażą narkotyków, perswazyjna
b) x jest poręczycielem y-a wobec z-a wtedy i tylko wtedy, gdy x gwarantuje własnym majątkiem
spłatę przez y-a długu wobec z-a, nieperswazyjna
c) x jest chlebodawcÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy x tworzy miejsca pracy dla bezrobotnych,
perswazyjna
d) x jest chuliganem ekologicznym wtedy i tylko wtedy, gdy x bezcelowo niszczy przyrodÄ™,
perswazyjna
e) x jest taksówkarzem wtedy i tylko wtedy, gdy x utrzymuje się z odpłatnego przewożenia
pasażerów samochodem osobowym, nieperswazyjna
f) x jest mediatorem między y-iem a z-em wtedy i tylko wtedy, gdy x pośredniczy w sporze między
y-iem a z-em. nieperswazyjna
9. Ustal, jakimi biedami obarczone są następujące definicje:
a) x jest maklerem giełdowym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest stałym pośrednikiem operacji
giełdowych, ignotum per ignotum
b) x jest hipocykloidą wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krzywą zakreśloną przez punkt okręgu koła
toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie stałego koła, ignotum per ignotum
c) x jest sÄ…siadem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy y jest sÄ…siadem x-a, idem per idem
d) x jest bozonem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest cząsteczką, która interferuje ze znakiem dodatnim,
ignotum per ignotum
e) x jest stałym pośrednikiem operacji giełdowych wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zawodowym
stokbrokerem, ignotum per ignotum
f) x jest zawodowym stokbrokerem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest maklerem giełdowym. ignotum
per ignotum
a), e), f) błąd obarcza w tym przypadku zestaw 3 definicji, a jest nim błąd nazwany błędnym
kołem pośrednim
Strona 33 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
10. Ustal, które z poniższych definicji sprawozdawczych są adekwatne, a które są nieadekwatne i z
jakiego względu:
a) x jest prostokątem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest płaską figurą czteroboczną, definicja
nieadekwatna, gdyż jest definicją zbyt szeroką (np. romb)
b) x jest dziadkiem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ojcem ojca x-a, definicja nieadekwatna, gdyż
jest definicją zbyt wąską (nie uwzględnia ojca matki y)
c) x jest trójkątem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest figurą o trzech bokach, adekwatna
d) x jest bliskim y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest rodzicem y-a, definicja nieadekwatna, gdyż jest
definicją zbyt wąską (nie uwzględnia wstępnych i zstępnych)
e) x jest kuzynem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krewnym w linii bocznej y-a, definicja
nieadekwatna, gdyż jest definicją zbyt szeroką
f) x jest różą wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kwiatem koloru różowego. definicja nieadekwatna,
gdyż jest definicją krzyżującą ( bo są róże w innym kolorze i są inne kwiaty koloru
różowego)
Rozdział 7
1. Poniższe zdania wyrażają pewne wnioskowania. Wskaż przesłanki i wniosek każdego z nich.
Zapisz te wnioskowania w sposób podany w punkcie 1 niniejszego rozdziału;
a) Skoro Finlandia jest większa od Polski, a Polska jest większa od A
otwy, to Finlandia jest większa
od A
otwy,
/P1/ Finlandia jest większa od Polski
/P2/ Polska jest większa od A
otwy
/W/ Finlandia jest większa od A
otwy
b) Agnieszka studiuje prawo, bo Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego, a jeśli Agnieszka
zdaje egzamin z prawa rzymskiego, to Agnieszka studiuje prawo,
/P/ Agnieszka studiuje prawo, bo Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego
/W/ Jeśli Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego, to Agnieszka studiuje prawo
c) Bogdan jest starszy od Przemka, gdyż Bogdan jest ojcem Przemka,
/P/ Bogdan jest ojcem Przemka
/W/ Bogdan jest starszy od Przemka
d) Ponieważ dzieci jeżdżą na łyżwach, jeśli jest lód i jest lód, jeśli jest mróz, dlatego dzieci jeżdżą na
łyżwach, jeśli jest mróz,
/P1/ Dzieci jeżdżą na łyżwach, jeśli jest lód
/P2/ Jest lód, jeśli jest mróz
/W/ Dzieci jeżdżą na łyżwach, jeśli jest mróz
e) Monika mieszka w Europie, skoro Monika mieszka w Polsce, zaś Polska leży w Europie,
/P1/ Monika mieszka w Polsce
/P2/ Polska leży w Europie
/W/ Monika mieszka w Europie
f) Jako że Michał lubi czekoladę, przeto nie jest tak, że Michał nie lubi czekolady.
/P/ Michał lubi czekoladę
/W/ Nie jest tak, że Michał nie lubi czekolady
Strona 34 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
2. Ustal, które z poniższych wnioskowań są wnioskowaniami dedukcyjnymi:
a)
/P/ Na gruszach rosną jabłka
/W/ Na gruszach rosną jabłka i na gruszach rosną jabłka
wnioskowanie dedukcyjne p (p '" p)  teza rachunku zdań
'"
'"
'"
b)
/P1/ A
ukasz jest bratem Marii wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest siostrÄ… A
ukasza
/P2/ Maria jest siostrÄ… A
ukasza
/W/ A
ukasz nie jest bratem Marii
wnioskowanie dedukcyjne (p a" ~p) '" p ~p  teza rachunku zdań
'"
'"
'"
c)
/P/ Każdy Polak wie, że Warszawa jest stolicą Polski
/W/ Warszawa jest stolicÄ… Polski
nie jest to wnioskowanie dedukcyjne
d)
/P/ Istnieje taki matematyk, który zna prawo lub zna filozofię
/W/ Istnieje taki matematyk, który zna prawo lub istnieje taki matematyk, który zna filozofię
nie jest to wnioskowanie dedukcyjne
e)
/P1/ Andrzej woli pomarańczę od banana
/P2/ Andrzej woli banana od jabłka
/W/ Andrzej woli pomarańczę od jabłka
nie jest to wnioskowanie dedukcyjne
f)
/P/ Każdy prawnik widział kodeks cywilny lub kodeks karny
/W/ Każdy prawnik widział kodeks cywilny lub każdy prawnik widział kodeks karny
nie jest to wnioskowanie dedukcyjne
3. Do poniższych wnioskowań entymematycznych dodaj takie przesłanki, aby każde z nich było
wnioskowaniem dedukcyjnym:
a)
/P/ Czyn jest dobry wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest użyteczny
/P2/ Czyn jest użyteczny wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest szczęściodajny
/W/ Czyn jest dobry wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest szczęściodajny
[(p a" q) '" (q a" r)] (p a" r)
'"
'"
'"
p q r p a" q q a" r p a" r
[(p a" q) '" (q a" r) [(p a" q) '" (q a" r)] (p a" r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
powyższe jest tezą rachunku zdań
Strona 35 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b)
/P/ Każdy szczupak jest rybą
/P2/ Żaden szczupak nie jest ptakiem
/W/ Żaden szczupak nie jest ptakiem
/\x(A) '" /\x~(B) /\x~(B)
'"
'"
'"
c)
/P/ Rzez
biarstwo jest sztukÄ… lub rzez
biarstwo jest rzemiosłem
/P2/ Rzez
biarstwo jest sztukÄ…
/W/ Rzez
biarstwo jest sztukÄ…
(p (" q) '"
(" '"
(" '" p p
(" '"
p q
p (" q (p (" q) '" p (p (" q) '" p p
1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
0 1 1 0 1
0 0 0 0 1
powyższe jest tezą rachunku zdań
d)
/P/ /\ x (jeśli x jest cywilistą, to x jest prawnikiem)
/P2/ /\ x (x jest cywilistÄ…)
/W/ /\ x (x jest prawnikiem)
/\x(A B) '"
'" /\x(A) /\x(B)
'"
'"
e)
/P1/ Nietoperze umieją latać
/P2/ A
abędzie umieją latać
/P3/ Sroki umieją latać i motyle umieją latać
/W/ Nietoperze umieją latać i sroki umieją latać, i łabędzie umieją latać, i motyle umieją latać
[p '" '" '" s)] (p '" q '" r '" s)
'" q '" (r '" '" '" '"
'" '" '" '" '" '"
'" '" '" '" '" '"
f)
/P/ \/x (x jest jeleniem)
/P2/ /\x(x jest ssakiem)
/W/ \/x(x jest ssakiem)
\/x (x jest jeleniem) '" /\x(x jest ssakiem) \/x(x jest ssakiem)
'"
'"
'"
4. Ustal, które z poniższych wnioskowań są wnioskowaniami redukcyjnymi. Wskaż co z czego wynika
w tych wnioskowaniach redukcyjnych.
a)
/P/ Nie jest tak, że nie jest tak, że pewne krzesła są igłami
/W/ Pewne krzesła są igłami
wnioskowanie redukcyjne
z /W/ wynika /P/
Strona 36 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
b)
/P1/ /\ x(x jest kinomanem)
/P2/ /\ x(x jest szaradzistÄ…)
/W/ /\ x(x jest szaradzistÄ… i x jest kinomanem)
wnioskowanie redukcyjne
z /W/ '" /P1/ wynika /P2/
'"
'"
'"
z /W/ '" /P2/ wynika /P1/
'"
'"
'"
z /W/ wynika /P1/
z /W/ wynika /P2/
c)
/P1/ Piotr umie wistować
/P2/ Piotr umie grać w brydża
/P3/ Piotr umie licytować
/W/ Jeśli Piotr umie licytować, to jeśli Piotr umie wistować, to Piotr umie grać w brydża
wnioskowanie redukcyjne
z /W/ '" /P1/ '" /P3/ wynika /P2/
'" '"
'" '"
'" '"
d)
/P/ Istnieje takie drzewo, które rodzi owoce
/W/ Każde drzewo rodzi owoce lub żadne drzewo nie rodzi owoców
nie jest to wnioskowanie redukcyjne
e)
/P1/ /\ x(x zna język włoski)
/P2/ /\ x(x zna język włoski lub zna język hiszpański)
/W/ /\ x(x zna język hiszpański)
wnioskowanie redukcyjne
z /W/ '" /P1/ wynika /P2/
'"
'"
'"
f)
/P/ Każdy ośmiotysięcznik został zdobyty przez jakiegoś himalaistę
/W/ Istnieje taki himalaista, który zdobył każdy ośmiotysięcznik
wnioskowanie redukcyjne
z /W/ wynika /P/
5. Zrekonstruuj trzy przykłady wnioskowań przez indukcję enumeracyjną niezupełną.
/P1 /, /P1  / Anna jest blondynkÄ…, Anna ma wielbiciela
/P2 /, /P2  / Jagoda jest blondynkÄ…, Jagoda ma wielbiciela
/P3 /, /P3  / Marta jest blondynkÄ…, Marta ma wielbiciela
/P4 /, /P4  / Justyna jest blondynkÄ…, Justyna ma wielbiciela
/W/ Każda blondynka ma wielbiciela
/P1 /, /P1  / Marek jest głupi, Marek ma BMW
/P2 /, /P2  / Paweł jest głupi, Paweł ma BMW
/P3 /, /P3  / Jurek jest głupi, Jurek ma BMW
/P4 /, /P4  / Tomek jest głupi, Tomek ma BMW
/W/ Każdy głupek ma BMW
Strona 37 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
/P1 /, /P1  / Marek jest politykiem, Marek bierze łapówki
/P2 /, /P2  / Paweł jest politykiem, Paweł bierze łapówki
/P3 /, /P3  / Jurek jest politykiem, Jurek bierze łapówki
/P4 /, /P4  / Tomek jest politykiem, Tomek bierze łapówki
/P5 /, /P5  / Grzesiek jest politykiem, Grzesiek bierze łapówki
/P6 /, /P6  / Donald jest politykiem, Donald bierze łapówki
/P7 /, /P7  / Jarek jest politykiem, Jarek bierze łapówki
/W/ Każdy polityk bierze łapówki
6. Zrekonstruuj trzy przykłady pierwszego typu wnioskowania przez analogię i trzy przykłady drugiego
typu wnioskowania przez analogiÄ™.
Przykłady pierwszego typu wnioskowania przez analogię
/P1 /, /P1  / Czarek uczy się w szkole, Czarek umie czytać
/P2 /, /P2  / Zosia uczy się w szkole, Zosia umie czytać
/P3 /, /P3  / Michał uczy się w szkole, Michał umie czytać
/P4/ Wojtek uczy siÄ™ w szkole
/W/ Wojtek umie czytać
/P1 /, /P1  / Jan skończył studia, Jan jest bezrobotny
/P2 /, /P2  / Paweł skończył studia, Paweł jest bezrobotny
/P3 /, /P3  / Wojtek skończył studia, Wojtek jest bezrobotny
/P4 /, /P4  / Paulina skończyła studia, Paulina jest bezrobotna
/P5/ Jagoda skończyła studia
/W/ Jagoda jest bezrobotna
/P1 /, /P1  / Warszawa organizuje EURO2012, Warszawa ma długi
/P2 /, /P2  / Gdańsk organizuje EURO2012, Gdańsk ma długi
/P3 /, /P3  / Wrocław organizuje EURO2012, Wrocław ma długi
/P4 /, /P4  / Kijów organizuje EURO2012, Kijów ma długi
/P5/ Poznań organizuje EURO2012
/W/ Poznań ma długi
Przykłady drugiego typu wnioskowania przez analogię
/P1 /, /P1  / Jan skończył studia, Paweł skończył studia
/P2 /, /P2  / Jan ma laptopa, Paweł ma laptopa
/P3 /, /P3  / Jan jest wysoki, Paweł jest wysoki
/P4 /, /P4  / Jan ma dziewczynę, Paweł ma dziewczynę
/P5/ Jan zdał egzamin z logiki
/W/ Paweł zdał egzamin z logiki
/P1 /, /P1  / Ania jest blondynkÄ…, Paulina jest blondynkÄ…
/P2 /, /P2  / Ania ma wrotki, Paulina ma wrotki
/P3 /, /P3  / Ania mieszka w Poznaniu, Paulina mieszka w Poznaniu
/P4/ Ania jest w ciąży
/W/ Paulina jest w ciąży
/P1 /, /P1  / Skłodowska-Curie była naukowcem, Kopernik był naukowcem
/P2 /, /P2  / Skłodowska-Curie jest znana, Kopernik jest znany
/P3/ Skłodowska-Curie była kobietą
/W/ Kopernik była kobietą :)
Strona 38 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
7. Wskaż, które z następujących wnioskowań są obarczone błędem materialnym:
a)
/P/ Jeśli Poznań leży nad Wisłą, to Poznań leży w Tatrach
/W/ Jeśli Poznań nie leży w Tatrach, to Poznań nie leży nad Wisłą
nie jest obarczone błędem materialnym
b)
/P/ 8 jest podzielne przez 2
/W/ 8 jest podzielne przez 3
nie jest obarczone błędem materialnym
c)
/P1/ Estry pochodzą z kwasów karboksylowych
/P2/ Aminy sÄ… organicznymi pochodnymi amoniaku
/W/ Estry są pochodnymi kwasów karboksylowych lub aminy są organicznymi
pochodnymi amoniaku
nie jest obarczone błędem materialnym
d)
/P1/ Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Rzymie
/P2/ Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Tokio
/W/ Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Rzymie i Zdzisław Krzyszkowiak zdobył
złoty medal w Tokio
jest obarczone błędem materialnym
e)
/P1/ Abraham był ojcem Izaaka
/P2/ Izaak był ojcem Judy
/W/ Abraham był dziadkiem Judy
jest obarczone błędem materialnym
f)
/P1/ Każde postanowienie jest orzeczeniem
/P2/ Każdy wyrok jest orzeczeniem
/W/ Niektóre orzeczenia są postanowieniami i niektóre orzeczenia są wyrokami
nie jest obarczone błędem materialnym
8. Podaj, jakimi błędami obarczone są następujące wnioskowania:
a)
/P/ W 2034 r. lato będzie upalne
/W/ W 2034 r. lato będzie chłodne
błąd bezpodstawności
b)
/P/ StolicÄ… Holandii jest Amsterdam
/W/ StolicÄ… Holandii jest Rotterdam
błąd formalny
c)
/P1/ Zosia lubi lody
/P2/ Zosia nie lubi lodów
/P3/ Nie jest tak, że Zosia nie lubi lodów
/W/ Zosia nie lubi lodów
błędne koło
Strona 39 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
d)
/P/ Wszystkie mrówki są zadowolone z życia
/W/ Nie ma nieszczęśliwych mrówek
błąd bezpodstawności
e)
/P/ Nie powtórzy się już koszmar gułagów
/W/ Ludzkość zmierza ku lepszej przyszłości
błąd formalny
f)
/P/ Konie żyją dłużej od krów lub krowy żyją dłużej od koni
/W/ Konie żyją dłużej od krów lub krowy żyją dłużej od koni
błędne koło
9. Przeprowadzający poniższe wnioskowania uznał je za wnioskowania dedukcyjne. Ustal, w których
przypadkach popełnił błąd formalny:
a)
/P/ Każdy Polak jest Europejczykiem lub każdy Niemiec jest Europejczykiem
/W/ Niektórzy Polacy są Europejczykami i niektórzy Niemcy są Europejczykami
błąd formalny  z przesłanek nie wynika logicznie wniosek
/\xP(x) (" /\yP(y) \/xP(x) '" \/yP(y)
(" '"
(" '"
(" '"
\
b)
/P/ Jeśli gołębie mają skrzydła, to gołębie umieją fruwać
/W/ Gołębie nie mają skrzydeł lub gołębie umieją fruwać
brak błędu
(p q) (~p (" q)
("
("
("
p q ~p p q
~p (" q (p q) (~p (" q)
1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
powyższe jest tezą rachunku zdań
c)
/P/ Babcia Joanny jest siostrÄ… Nikodema
/W/ Nikodem jest starszy od Joanny
błąd formalny
d)
/P/ Rysy sÄ… w Tatrach i Giewont jest w Tatrach
/W/ Giewont jest w Tatrach i Rysy sÄ… w Tatrach
brak błędu
Strona 40 z 41
Rozwiązania zadań z podręcznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2  poprawiona.
Pomimo moich usilnych starań do przedstawionych rozwiązań mogły wkraść się błędy.
e)
/P1/ Poker jest trudniejszy od skata lub brydż jest trudniejszy od skata
/P2/ Brydż jest trudniejszy ód skata lub skat jest trudniejszy od oczka
/W/ Brydż jest trudniejszy od skata
błąd formalny  z przesłanek nie wynika logicznie wniosek
(p (" '" (q (" r) q
(" q) '" ("
(" '" ("
(" '" ("
p q r
p (" q q (" r (p (" q) '" (q (" r) (p (" q) '" (q (" r) q
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1
powyższe nie jest tezą rachunku zdań
f)
/P/ Ren jest dłuższy od Dunaju wtedy i tylko wtedy, gdy Dunaj nie jest węższy od Renu
/W/ Dunaj jest węższy od Renu wtedy i tylko wtedy, gdy Ren nie jest dłuższy od Dunaju
brak błędu
(p a" ~q) (q a" ~p)
(p a" ~q) (~p a" q)
p q ~p ~q p a" ~q q a" ~p (p a" ~q) (q a" ~p)
1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1
powyższe jest tezą rachunku zdań
10. Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe.
a) Wnioskowanie redukcyjne przebiega od wniosku do przesłanek, fałszywe
b) Pewne wnioskowania są obarczone zarówno błędem materialnym, jak i błędnym kołem,
prawdziwe
c) Nie jest wykluczone, że wniosek, który nie wynika logicznie z przesłanek, jest prawdziwy,
prawdziwe
d) Niekiedy pewne przesłanki jednego wnioskowania wynikają logicznie z innych jego przesłanek,
prawdziwe
e) Niektóre wnioskowania redukcyjne nie są wnioskowaniami niededukcyjnymi, fałszywe
f) Każde wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest wnioskowaniem
entymematycznym. prawdziwe
Strona 41 z 41