Kozub Szymon
Informatyka niestacjonarne gr.11
BRAMKI LOGICZNE
Układy logiczne, takie jak bramki i funktory, to układy elektroniczne, które wykonują
oparte na algebrze Boole a operacje. Układy cyfrowe mogą być sklasyfikowane ze względu
na użytą technologię wytwarzania albo zasadniczy schemat podstawowego funktora.
Funkcjonalnie dzieli się je na układy kombinacyjne i sekwencyjne. Ze względu na stopień
skomplikowania dzisiejszych układów wykonuje się je w postaci układów scalonych.
Użyte przeze mnie definicje, aksjomaty i twierdzenia, którymi posłużyłem się w
rozwiÄ…zaniach algebraicznych:
" + = , ab = a + b - prawo deMorgana
" a = a  prawo podwójnej negacji
" a a" b = ab + ab - bramka XOR czyli  suma modulo 2
" a | b = ab = a + b - bramka NAND czyli  funkcja Sheffera
" a“!b = a + b = ab - bramka NOR czyli  funkcja Pierce a
" a1=a
" a + 0 = a
Powyższe przekształcenie zaczerpnięte zostały z książki W. Głocki  Układy cyfrowe
Zadanie 1
MajÄ…c do dyspozycji bramki AND i NOT zbuduj bramkÄ™ OR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
+ = + =
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:


a b a+b
0 0 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 1 1 0 1
Zadanie 2
MajÄ…c do dyspozycji bramki OR i NOT zbuduj bramkÄ™ AND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
+ = = +
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b ab + 
+ 
0 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
1 1 1 0 1
Zadanie 3
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ XOR zbuduj bramkÄ™ NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
= 0 + = 0 + 1 = a" 1
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a 1 a"
1 1 0 0
0 1 1 1
Zadanie 4
MajÄ…c do dyspozycji bramki XOR i AND zbuduj bramkÄ™ OR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
+ = = + = + 0 + 0 = 1 + 0 1 + 0 =
a" 1 a" 1 = a" 1 a" 0 " 1 + a" 0 a" 0 )*0 = a" 1 a" 1 a" 1
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
( a" )( a"
a b 1 a+b a" a" a" a" a"
0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 1
Zadanie 5
MajÄ…c do dyspozycji bramki XOR i OR zbuduj bramkÄ™ AND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
+ = = + = + 0 + + 0 = 1 + 0 + 1 + 0 =
a" 1 + a" 1 = a" 1 + a" 1 " 1 + a" 1 + a" 1 )*0
= a" 1 + a" 1 a" 1
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
( a" )+( a"
a b 1 ab a" a" a" + a" a"
0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1
Zadanie 6
MajÄ…c do dyspozycji bramki AND, OR i NOT zbuduj bramkÄ™ XOR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a a" b = ab + ab
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b a"   +
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
Zadanie 7
Zbuduj bramkÄ™ NAND korzystajÄ…c z bramek AND oraz NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a | b = ab = a + b
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b a|b ab
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
Zadanie 8
Zbuduj bramkÄ™ NOR korzystajÄ…c z bramek OR oraz NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a“!b = a + b = ab
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b a“!b a+b +
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
1 1 0 1 0
Zadanie 9
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a = a + 0 = a|1
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a 1 a|1
1 1 0 0
0 1 1 1
Zadanie 10
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ AND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
|
ab = a|b= a b | a|b
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b ab a|b (a|b)|(a|b)
0 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
1 1 1 0 1
Zadanie 11
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ OR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
|
+ = = |b = a a | b|b
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b a+b | 
a|a b|b (a|a)|(b|b)
0 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
Zadanie 12
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a = a " 1 = a “! 0
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a 0 a“!0
1 0 0 0
0 0 1 1
Zadanie 13
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ OR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a + b = a + b = a “! b " 1 = a “! b “! 0
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b 0 a+b a“!b “! “!
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
Zadanie 14
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ AND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
ab = ab = a “! b = a " 1 “! b " 1 = a “! 0 “! b “! 0
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b 0 ab a“!0 b“!0 “! “! “!
0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
Zadanie 15
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ NOR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a “! b = ab = a1 b1 = a|1 b|1 = a|1 b|1 = a|1 | b|1 = a|1 | b|1 1
= a|1 | b|1 |1
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
| | | |
a b 1 a“!b a|1 b|1 | | |
0 0 1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 1 0
Zadanie 16
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ NAND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a|b = ab = ab1 = ab “! 0 = ab “! 0 = a “! b “! 0 = a1 “! b1 “! 0 =
a “! 0 “! b “! 0 “! 0
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
a b 0 a|b “! “! “! “! “! “! “! “! “!
0 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 1 0
Zadanie 17
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ XOR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
| |
a" = + = + 0 + + 0 = 1 + 1
| | |
= 1 1 + 1 1 = | 1 |1 |1| |1 | |1 |1
ż 9,10 11
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
| | | | |
a b 0 a" | | | | | | | | | |
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 0 0
Zadanie 18
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ XOR
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne:
a" = + = “! 0 + “! 0 = “! 0 “! “! 0 “! 0 + “! 0 “! 0
“! “! 0 = “! 0 “! “! 0 “! 0 “! “! 0 “! 0 “! “! 0 “! 0
ż 12,13 14
b) Schemat logiczny:
c) Tabelka:
d)
a b 0 a" “! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “! “!
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0
 “! “! “! “! “! “! “! “! “! “!
0
1
1
0
WNIOSKI
Każda z bramek logicznych może zostać przedstawiona w postaci kombinacji
kilku innych. Nie zawsze takie rozwiązanie jest proste co można zaobserwować na 2
ostatnich przykładach. Zmiana taka jest jednak stosowna choćby dla zależności
miedzy prędkością działania poszczególnych bramek. W stosunku do bramki NOR
bramka NAND ma krótszy czas zapisu i kasowania co sprawia ją bardziej korzystną.
Powyższe przykłady nie zostały sprawdzone żadną z metod minimalizacji
funkcji boolowskich.