Przykład 10.5. Obliczenie wskaz
nika plastyczności przy skręcaniu
Obliczyć wskaz
niki plastyczności przy skręcaniu dla następujących przekrojów:
a) n-kąta foremnego
b) przekroju złożonego
17a
29a
c) przekroju cienkościennego
10a
9.5a a
20a
1
16a
17a
6a
a
10a
a
Rozwiązanie
a) n-kąt foremny
Wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu dla przekrojów jednospójnych można łatwo policzyć
korzystając z tzw. analogii Nadaia, zwanej również analogią wzgórza piaskowego. Zgodnie
z nią wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu takiego przekroju równy jest podwojonej objętości
bryły powstałej poprzez nasypanie piasku na przekrój, jeżeli kąt u podstawy owej bryły wynosi
45ć%.
r
Tak więc, w rozpatrywanym przypadku wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu będzie równy
podwojonej objętości ostrosłupa o podstawie n-kąta foremnego.
1
Wpl = 2V = 2 � SH
3
gdzie
V - objętość ostrosłupa
S - pole powierzchni podstawy
H - wysokość ostrosłupa
Rozpatrywany przekrój można podzielić na n trójkątów, tak więc pole powierzchni n-kąta fo-
remnego jest równe:
1
S = n � ah
2
Ponieważ boku ostrosłupa tworzą z podstawą kąt 45ć%, więc zachodzi zależność
H = h
Jeżeli założyć, że rozpatrywany wielokąt można wpisać w okrąg o promieniu r, to prawdą jest,
że
360ć% a
180ć%
n 2
sin = =�! a = 2r sin
2 r n
360ć%
h 180ć%
n
cos = =�! h = r cos
2 r n
2
a
h
Tak więc
1 n 180ć% 180ć% n 180ć% 180ć%
S = n � ah = � 2r sin � r cos = � r2 � 2 sin cos =
2 2 n n 2 n n
n 360ć%
= r2 sin
2 n
Objętość nasypanego ostrosłupa jest więc równa
1 1 n 360ć% 180ć% n 360ć% 180ć%
V = Sh = � r2 sin � r cos = r3 sin cos
3 3 2 n n 6 n n
Ostatecznie można zapisać wzór na wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu przekroju w kształ-
cie n-kąta foremnego:
n 360ć% 180ć% 2 180ć% 180ć%
Wpl = 2V = r3 sin cos = nr3 sin 1 - sin2
3 n n 3 n n
3
b) przekrój złożony
17a
29a
W celu obliczenia wskaz
nika plastyczności przy skręcaniu powyższego przekroju ponownie
zastosujemy analogię wzgórza piaskowego Nadaia.
Widok z góry usypanego wzgórza przedstawia poniższy rysunek.
12a 17a
29a
Obliczenie objętości pokazanej bryły wymaga podzielenia jej na prostsze elementy.
4
16a
17a
6a
5a
16a
17a
6a
12a 17a
B
A
1.
E C
D
2.
6.
3.
4. 5.
6a 3a 3a 14a 3a
Zgodnie z analogią Nadaia wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu wynosi zatem
Wpl = 2V = 2 (V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6)
Figurą pierwszą jest ostrosłup o podstawie trapezu. Stąd
1
V1 = � S1 � h1
3
gdzie S1 oznacza pole podstawy ostrosłupa, a h1 jego wysokość.
Ponieważ kąt nachylenia boków do podstawy ostrosłupa wynosi 45ć%to
12a
h1 = = 6a
2
Jeśli oznaczymy wymiary ostrosłupa tak jak na rysunku poniżej, to możemy zapisać
1
S1 = (b + b + 5a) � 12a = 6a (2b + 5a)
2
Nieznaną długość boków b i z można łatwo policzyć wykorzystując twierdzenie Pitagorasa,
ponieważ trójkąt ABD jest prostokątny, co wykazaqno poniżej.
"
z2 = (5a)2 + (12a)2 =�! z = 25a2 + 144a2 = 13a
Ponieważ kąty nachylenia wszystkich boków bryły do podstawy są równe, więc odcinki AD

i BD muszą leżeć na dwusiecznych odpowiednio EAD i ABC. Czyli
1

EAD = DAB = EAB
2
1

ABD = DBC = ABC
2
5
b
5a
16a
6a
6a
z = 13a
y
x

Ponieważ podstawą bryły 1. jest czworokąt, w którym BCE = CEA = 90ć%, więc

EAB + ABC + BCE + CEA = 360ć% =�!

=�! EAB + ABC = 180ć% =�!

=�! 2 DAB + 2 ABD = 180ć% =�! DAB + ABD = 90ć%
Suma kątów w trójkącie wynosi 180ć%, więc

ADB = 180ć%- ( DAB + ABD) = 180ć%- 90ć%= 90ć%
co oznacza, że trójkąt ABD jest trójkątem prostokątnym.
Tak więc można zapisać:
ńł ńł
x2 = b2 + (6a)2
�ł �ł x2 = b2 + 36a2
�ł �ł
y2 = (b + 5a)2 + (6a)2 =�! y2 = b2 + 10ab + 61a2
�ł �ł
ół ół
x2 + y2 = 169a2
x2 + y2 = z2 = (13a)2
Stąd
b2 + 36a2 + b2 + 10ab + 61a2 = 169a2 =�! 2b2 + 10ab - 72a2 = 0 =�!
=�! b2 + 5ab - 36a2 = 0
Pierwiastek z delty jest równy
" " "
" = 25a2 + 4 � 36a2 = 169a2 = 13a
zaś wartość a
-5a + 13a
b = = 4a
2
Tak więc
S1 = 6a (2 � 4a + 5a) = 78a2
1
V1 = � 78a2 � 6a = 156a3
3
Bryła druga to graniastosłup o podstawie trójkątnej, którego objętość wynosi
1
V2 = � 12a � 6a � (17a - 4a - 6a) = 252a3
2
Bryłą trzecią jest ostrosłup o podstawie prostokątnej.
1
V3 = � 6a � 12a � 6a = 144a3
3
Bryła czwarta to ostrosłup o podstawie trójkątnej, tak więc
1 1
V4 = � � 6a � 3a � 3a = 9a3
3 2
6
Bryły piąta i szósta to odpowiednio graniastosłup o podstawie trójkątnej i ostrosłup o podstawie
prostokątnej, stąd
1
V5 = � 6a � 3a � (17a - 3a) = 126a3
2
1
V6 = � 6a � 3a � 3a = 18a3
3
Ostatecznie więc objętość bryły nasypanego piasku jest równa
6
V = Vi = 156a3 + 252a3 + 144a3 + 9a3 + 126a3 + 18a3 = 705a3
i=1
Stąd szukany wskaz
nik plastyczności przy skręcaniu wynosi
Wpl = 2V = 2 � 705a3 = 1410a3
7
c) przekrój cienkościenny
10a
9.5a a
20a
Podobnie jak w przypadku b) aby obliczyć wartość wskaz
nika plastyczności przy skręcaniu
należy podwoić objętość bryły, która powstałaby w wyniku nasypania piasku na rozpatrywany
przekrój, przy założeniu, że kąt u podstawy tej bryły byłby równy 45ć%.
0.5a 4a a 4a 0.5a
0.5a 9a a 9a 0.5a
8
a
10a
a
a
10a
a
1 a 1 a a
Wpl = 2� � � (9a + a + 9a + 10a + 4a + a + 4a) + 4 � � � a � +
2 2 3 2 2
1 1 a a 38 1 1 5
+ 2 � � � a � � = 2 � + + a3 = 19 a3 H" 19,83a3
3 2 2 2 4 3 12 6
W wielu przypadkach obliczenie dokładnej wartości wskaz
nika plastyczności przy skręcaniu
może być czasochłonne. Jeśli przekrój można podzielić na n prostokątów o wymiarach ai � hi,
przy czym ai hi sensowne jest użycie wzoru uproszczonego, który ma następującą postać:
n
1
u
Wpl = aihi2
2
i=1
W rozpatrywanym przypadku można wyodrębnić trzy prostokąty.
rys.
Tak więc
1
u
Wpl = 10a � a2 + 10a � a2 + 20a � a2 = 20a3
2
Różnica pomiędzy rozwiązaniem dokładnym, a przybliżonym wynosi w tym przypadku
u
Wpl - Wpl 20a3 - 195a3
6
" = � 100% = � 100% H" 0,84%
Wpl 195a3
6
9