Przykład 10.1. Obliczenie momentu plastycznego przy zginaniu
Obliczyć momenty plastyczne przy zginaniu dla następujących przekrojów i wartości granicy
plastyczności:
c r
a) Ãpl = 2Ãpl = 2Ãpl
C
M
3a 2a 3a
c r
b) Ãpl = Ãpl = Ãpl
C
M
2a 2a
1
2a
6a
6a
RozwiÄ…zanie
c r
a) Ãpl = 2Ãpl = 2Ãpl
C
M
3a 2a 3a
Rozwiązywanie zadania zacząć należy od określenia położenia osi obojętnej w stanie pełnego
uplastycznienia przekroju. Szukane położenie osi można znalez
ć z równania równowagi sił
normalnych w przekroju. W dalszych obliczeniach założono, że szukana oś obojętna przechodzi
przez środnik przekroju.
r
Ã
A
pl
r
x
M
pl
Mpl
A
c
c
Ã
pl
y
r c
ÃplAr = ÃplAc =Ò! ÃplAr = 2ÃplAc =Ò! Ar = 2Ac
gdzie
Ar - pole rozciąganej części przekroju
Ac - pole ściskanej części przekroju
2
2a
6a
d
Ponieważ
Ar + Ac = A
gdzie
A = 2a · 8a + 6a · 2a = 28a2 - pole przekroju poprzecznego
to
1 28
2Ac + Ac = A =Ò! Ac = A =Ò! Ac = a2
3 3
StÄ…d
28 14
Ac = 2a · d = a2 =Ò! d = a
3 3
14
Ponieważ d = a < 6a, więc założenie dotyczące położenia osi obojętnej jest poprawne.
3
Równanie sumy momentów zginających w przekroju pozwala obliczyć szukaną wartość mo-
mentu plastycznego.
r r c c r c
Mpl - Ãpl |Sx| + Ãpl |Sx| = 0 =Ò! Mpl = Ãpl (|Sx| + 2 |Sx|)
r c
Sx i Sx oznaczają odpowiednio moment statyczny rozciąganej i ściskanej części przekroju.
14
a - 6a
14 14
r 3
Sx = 2a · 8a · a - 6a - a + 2a · 6a - a · =
3 3 2
7 4 4 112 16 336 + 16 352
= 16a2 · - a + a2 · - a = - a3 - a3 = - a3 = - a3
3 3 3 3 9 9 9
14
a
14 196
c 3
Sx = 2a · a · = a3
3 2 9
Tak więc
352 196 248
Mpl = Ãpl a3 + 2 · a3 = a3Ãpl H" 82,667a3 · Ãpl
9 9 3
c r
Z uwagi na nierówność wartoÅ›ci granicy plastycznoÅ›ci przy Å›ciskaniu i rozciÄ…ganiu (Ãpl = Ãpl),

a także z powodu niesymetryczności przekroju względem osi obojętnej przekroju w stanie peł-
nego uplastycznienia, moment plastyczny przy zmienionym znaku będzie miał inną wartość.
Ten przypadek przedstawiony został na rysunku na następnej stronie. Tym razem założono, że
oś obojętna przechodzi przez półkę przekroju.
3
Mpl
A
c
x
c
M
Ã
pl
pl
A
r
r
Ã
pl
y
Wartości Ac i Ar oczywiście nie zmieniają się, czyli
28 7
Ac = 8a · f = a2 =Ò! f = a
3 6
7
Ponieważ f = a < 2a więc założenie dotyczące położenia osi obojętnej w stanie pełnego
6
uplastycznienia było poprawne.
StÄ…d
7
2a - a
7 1 7
r 6
Sx = 2a · 6a · 2a - a + · 6a + 2a - a · 8a · =
6 2 6 2
23 20 5 25 414 + 25 439
= 12a2 · a + a2 · a = 46a3 + a3 = a3 = a3
6 3 12 9 9 9
7 -7a
49
c 6
Sx = 8a · a · = - a3
6 2 9
Tak więc
439 49 537 179
Mpl = Ãpl a3 + 2 · a3 = a3Ãpl = a3Ãpl H" 59,667a3 · Ãpl
9 9 9 3
Podsumowując można stwierdzić, że jeżeli moment zginający ma taki zwrot, że rozciągane
są włókna górne przekroju, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nastąpi przy
wartoÅ›ci Mpl H" 82,667a3 · Ãpl, jeÅ›li zaÅ› moment zginajÄ…cy ma znak przeciwny, tj. rozciÄ…-
gane są włókna dolne, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nastąpi przy wartości
Mpl H" 59,667a3 · Ãpl.
4
f
c r
b) Ãpl = Ãpl = Ãpl
C
M
2a 2a
W tym przypadku ze względu na równość dopuszczalnych naprężeń ściskających i rozciągają-
cych położenie osi obojętnej określone jest równaniami
r
Ã
A
r pl
x
Mgr
Mgr
A
c
c
Ã
y
pl
s
Å„Å‚
1
· 4a · 6a
A 12
ôÅ‚
2
ôÅ‚
Ac = Ar = = = a2 = 6a2
òÅ‚
2 2 2
=Ò! (6a - d)2 = 18a2 =Ò!
ôÅ‚ 1 d (6a - d)2
ôÅ‚
ół
Ar = · 4a · 1 - · (6a - d) =
2 6a 3
=Ò! d2 - 12ad + 18a2 = 0
Stąd wartość d wynosi
" " " " "
" = 144a2 - 4 · 18a2 = 144a2 - 72a2 = 72a = 6 2a
"
"
12a - 6 2a
d = = 3 2 - 2 a H" 1,757a
2
Wymiar s jest natomiast równy
" "
2 2
s = (6a - d) = 6a - 3 2 - 2 a = 2 2a H" 2,828a
3 3
5
6a
d
Momenty statyczne rozciąganej i ściskanej części przekroju wynoszą odpowiednio:
" " "
3
r
Sx = 2 2a · 3 2 - 2 a · - 2 - 2 a +
2
"
" "
1 4a - 2 2a 2
+ 2 · · · 3 2 - 2 a · - · 3 2 - 2 a =
2 2 3
" " 2 " 3
= -9 2 2 - 2 a3 - 6 2 - 2 a3 =
" 2 " " " 2 "
= - 2 - 2 9 2 + 12 - 6 2 a3 = - 2 - 2 12 + 3 2 a3 =
" " " "
= - 4 - 4 2 + 2 12 + 3 2 a3 = - 72 + 18 2 - 48 2 - 24 a3 =
" "
= - 48 - 30 2 a3 = -6 8 - 5 2 a3 H" -5,574a3
" " " "
1 1
c
Sx = · 2 2a · 3 2a · · 3 2a = 6 2a3 H" 8,485a3
2 3
Wyznaczenie wartości momentów statycznych pozwala nam policzyć moment plastyczny.
" " "
r c
Mpl = (|Sx| + |Sx|) Ãpl = 6 8 - 5 2 a3 + 6 2a3 Ãpl = 48 - 24 2 a3Ãpl =
"
= 24 2 - 2 a3Ãpl H" 14,059a3 · Ãpl
6