ÿþO B L I C Z A N I E G E O M E T R Y C Z N Y C H M O M E N T Ó W
B E Z W AA D N O ZC I F I G U R P AA S K I C H ,
T W I E R D Z E N I E S T E I N E R A L A B O R A T O R I U M R A C H U N K O W E
P r z y o b l i c z e n i a c h w y t r z y m a Bo [c i o w y c h d o t y c z c y c h n i e k t ó r y c h p r z y p a d k ó w
o b c i |e n i a ( n p . z g i n a n i e ) p o t r z e b n a j e s t z n a j o m o [ p e w n y c h w i e l k o [c i g e o m e t r y c z n y c h
c h a r a k t e r y z u j c y c h p r z e k r o j e p o p r z e c z n e p r t ó w . W i e l k o [c i a m i t y m i s m o m e n t y
b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i , m o m e n t w z g l d e m u k Ba d u o s i , n a z y w a n y r ó w n i e |
m o m e n t e m d e w i a c j i l u b o d [r o d k o w y m o r a z m o m e n t y b i e g u n o w e .
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i A x f i g u r y p Ba s k i e j w z g l d e m o s i x n a z y w a m y s u m
i l o c z y n ó w e l e m e n t a r n y c h p ó l d A t e g o p o l a p r z e z k w a d r a t o d l e g Bo [c i t y c h p ó l o d o s i x
( r y s . 1 ) .
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i :
- o s i o w e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i J x , J y ( w z g l d e m p r o s t e j l u b o s i ) .
- b i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i J O ( m o m e n t b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m
u s t a l o n e g o p u n k t u O , z w a n e g o c z s t o b i e g u n e m ) ,
- d e w i a c y j n y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i J x y ( z b o c z e n i o w y m o m e n t l u b
o d [r o d k o w y ) m o m e n t b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m u k Ba d u o s i .
R y s . 1 . O z n a c z e n i e e l e m e n t a r n e g o p o l a d A .
J e d n o s t k w y m i a r o w m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i j e s t m 4 . M o m e n t y o s i o w e o r a z
m o m e n t b i e g u n o w y s z a w s z e d o d a t n i e , n a t o m i a s t m o m e n t d e w i a c y j n y m o |e b y
d o d a t n i l u b u j e m n y l u b r ó w n y z e r o .
1
D e f i n i c j a m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i :
1 . O s i o w e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
J x = y 2 d A J = x 2 d A
y
+" +"
A A
2 . B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i b i e g u n o w y f i g u r y p Ba s k i e j w z g l d e m p o c z t k u u k Ba d u
p r o s t o k t n e g o r ó w n a s i s u m i e m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m d w u o s i u k Ba d u
l e |c e g o w p Ba s z c z y zn i e f i g u r y .
2 2
J 0 = d A = x 2 d A + y 2 d A = J + J x
y
+"Á +"( x + y 2 ) d A = +" +"
A A A A
3 . M o m e n t d e w i a c y j n y ( z b o c z e n i a , o d [r o d k o w y )
J x y = x y d A
+"
A
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i r ó w n o l e g By c h .
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a
P r z e s u Dm y p r o s t o k t n y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h w s t o s u n k u d o p i e r w o t n i e
p r z y j t e g o O x y o s k Ba d o w e p r z e s u n i c i a a , b .
Z n a j c d l a p i e r w o t n e g o u k Ba d u o s i m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i J x , J y i m o m e n t
d e w i a c y j n y J x y w y z n a c z a s i d l a n o w e g o u k Ba d u m o m e n t y J x c , J y c i J x c y c .
R y s . 2 . O z n a c z e n i e d o w z o r u S t e i n e r a .
W p r z y p a d k u g d y p o c z t e k u k Ba d u x y p o k r y w a s i z e [r o d k i e m c i |k o [c i f i g u r y ,
m o m e n t y s t a t y c z n e s r ó w n e z e r o i t w i e r d z e n i e S t e i n e r a m o |n a p r z e d s t a w i :
J x c = J x + A a 2 J = J + A b 2
y c y
J x c y c = J x y + A a b
2
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i f i g u r y p Ba s k i e j w z g l d e m o s i o d l e g Be j o d [r o d k a c i |k o [c i o
a j e s t r ó w n y m o m e n t o w i b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i r ó w n o l e g Be j p r z e c h o d z c e j p r z e z
[r o d e k c i |k o [c i , z w i k s z o n e m u o i l o c z y n c a Be j p o w i e r z c h n i f i g u r y p r z e z k w a d r a t
o d l e g Bo [c i a ( A a 2 ) .
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a u m o |l i w i a o b l i c z a n i e m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i f i g u r
p Ba s k i c h w z g l d e m o s i r ó w n o l e g l e p r z e s u n i t y c h w s t o s u n k u d o o s i c e n t r a l n y c h
( o s i p r z e c h o d z c y c h p r z e z [r o d e k c i |k o [c i p r z e k r o j u ) .
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i f i g u r z Bo |o n y c h s s u m m o m e n t ó w
b e z w Ba d n o [c i p r o s t y c h f i g u r s k Ba d o w y c h .
F i g u r a z Bo |o n a m o |e s k Ba d a s i z f i g u r p e Bn y c h o r a z p u s t y c h . P r z y
s u m o w a n i u m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i f i g u r y p u s t e u w a |a s i z a f i g u r y z u j e m n y m i
p o l a m i p o w i e r z c h n i .
R y s . 3 . P o d z i a B f i g u r y z Bo |o n e j n a f i g u r y p r o s t e
( j e d e n z m o |l i w y c h d o z a s t o s o w a n i a p o d z i a Bó w f i g u r y ) .
3
D e f i n i c j a m o m e n t u s t a t y c z n e g o w u k Ba d z i e o s i X i Y .
R y s . 4 . D e f i n i c j a m o m e n t u s t a t y c z n e g o
W z a l e |n o [c i o d p o Bo |e n i a p r z e k r o j u w z g l d e m o s i u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h m o g
p r z y j m o w a w a r t o [c i d o d a t n i e i u j e m n e .
W y k o r z y s t u j c z n a n e z e s t a t y k i p o j c i e [r o d k a s i B, d l a [r o d k a c i |k o [c i m o |n a
n a p i s a :
O b l i c z a n i e w s p ó Br z d n y c h [r o d k a c i |k o [c i f i g u r p Ba s k i c h .
P r z y w y k o r z y s t a n i u d e f i n i c j i m o m e n t ó w s t a t y c z n y c h f i g u r p Ba s k i c h w s p ó Br z d n e [r o d k a
c i |k o [c i f i g u r y p Ba s k i e j o b l i c z y m y z e w z o r ó w :
S y
S x
x c = y c =
A A
P r z y d a t n e t w i e r d z e n i a d o o b l i c z a n i a w s p ó Br z d n y c h [r o d k a c i |k o [c i f i g u r y p Ba s k i e j :
- g d y f i g u r a p Ba s k a m a o [ s y m e t r i i , t o [r o d e k c i |k o [c i l e |y n a t e j o s i ,
- j e |e l i f i g u r a p Ba s k a m a d w i e o s i e s y m e t r i i , t o [r o d e k c i |k o [c i l e |y w p u n k c i e
p r z e c i c i a t y c h o s i .
4
J e |e l i p r z e k r ó j s k Ba d a s i z n c z [c i o z n a n y c h p o l a c h p o w i e r z c h n i A i o r a z
w s p ó Br z d n y c h [r o d k ó w c i |k o [c i x i i y i t o w s p ó Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i o b l i c z a s i z e
w z o r ó w .
n
n
A i Å" y i
A i Å" x i
" "
i = 1 i = 1
x c = y c =
n n
A i A i
" "
i = 1 i = 1
P r z y k Ba d [ 3 ]
O k r e [l i p o Bo |e n i e [r o d k a c i |k o [c i f i g u r y p r z e d s t a w i o n e j
n a r y s u n k u .
P r z e k r ó j p o d z i e l o n o n a t r z y p r o s t o k t y o n a s t p u j c y c h
p o l a c h p o w i e r z c h n i :
A 1 = 1 Å"1 = 1 c m 2 ,
A 2 = 2 Å"5 = 1 0 c m 2 ,
A 3 = 2 Å"2 = 4 c m 2 .
W s p ó Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i c a Be j f i g u r y w y n o s z
C e l e m l a b o r a t o r i u m j e s t w y z n a c z e n i e o s i o w y c h m o m e n t ó w
b e z w Ba d n o [c i J x i J y o r a z d e w i a c y j n e g o m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i J x y
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a p r z y w y z n a c z a n i u p o Bo |e n i a g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h o s i
b e z w Ba d n o [c i i w a r t o [c i g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i :
- p r z y j c i e p o c z t k o w e g o u k Ba d u o s i w s p ó Br z d n y c h O x y .
- p o d z i a B f i g u r y n a p r o s t e f i g u r y s k Ba d o w e ,
- o b l i c z e n i a p o l a p o w i e r z c h n i i w y z n a c z e n i e [r o d k ó w c i |k o [c i f i g u r s k Ba d o w y c h ,
- o b l i c z e n i a p o l a p o w i e r z c h n i i w y z n a c z e n i e p o Bo |e n i a [r o d k a c i |k o [c i p o l a c a Be j f i g u r y ,
- w y z n a c z e n i e o s i o w y c h m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i J x i J y o r a z d e w i a c y j n e g o m o m e n t u
b e z w Ba d n o [c i J x y .
5
L i t e r a t u r a :
[ 1 ] D y l g Z d z i s Ba w , J a k u b o w i c z A n t o n i , O r Bo [ Z b i g n i e w , W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w .
T o m I , W N T , 2 0 0 7 .
[ 2 ] N i e z g o d z i Ds k i M i c h a B E . , N i e z g o d z i Ds k i T a d e u s z W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w ,
W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N , 2 0 1 0 .
[ 3 ] O s t w a l d M a r i a n , P o d s t a w y m e c h a n i k i , P o l i t e c h n i k a P o z n a Ds k a ; e - s k r y p t y :
w w w . s m s . a m . p u t . p o z n a n . p l / e s k r y p t y _ p l i k i / p o d s t a w y m e c h a n i k i / 9 m o m e n t y b e z w l a d n o s
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