plik


ÿþOBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWAADNOZCI FIGUR PAASKICH, TWIERDZENIE STEINERA  LABORATORIUM RACHUNKOWE Przy obliczeniach wytrzymaBo[ciowych dotyczcych niektórych przypadków obci|enia (np. zginanie) potrzebna jest znajomo[ pewnych wielko[ci geometrycznych charakteryzujcych przekroje poprzeczne prtów. Wielko[ciami tymi s momenty bezwBadno[ci wzgldem osi, moment wzgldem ukBadu osi, nazywany równie| momentem dewiacji lub od[rodkowym oraz momenty biegunowe. Moment bezwBadno[ci Ax figury pBaskiej wzgldem osi x nazywamy sum iloczynów elementarnych pól dA tego pola przez kwadrat odlegBo[ci tych pól od osi x (rys.1). Momenty bezwBadno[ci: - osiowe momenty bezwBadno[ci Jx, Jy (wzgldem prostej lub osi). - biegunowy moment bezwBadno[ci JO (moment bezwBadno[ci wzgldem ustalonego punktu O, zwanego czsto biegunem), - dewiacyjny moment bezwBadno[ci Jxy (zboczeniowy moment lub od[rodkowy)  moment bezwBadno[ci wzgldem ukBadu osi. Rys.1. Oznaczenie elementarnego pola dA. Jednostk wymiarow momentów bezwBadno[ci jest m4. Momenty osiowe oraz moment biegunowy s zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny mo|e by dodatni lub ujemny lub równy zero. 1 Definicja momentów bezwBadno[ci: 1. Osiowe momenty bezwBadno[ci Jx = y2dA J = x2dA y +" +" A A 2. Biegunowy moment bezwBadno[ci Moment bezwBadno[ci biegunowy figury pBaskiej wzgldem pocztku ukBadu prostoktnego równa si sumie momentów bezwBadno[ci wzgldem dwu osi ukBadu le|cego w pBaszczyznie figury. 2 2 J0 = dA = x2dA + y2dA =J + Jx y +"Á +"(x + y2)dA = +" +" A A A A 3. Moment dewiacyjny (zboczenia, od[rodkowy) Jxy = xydA +" A Momenty bezwBadno[ci wzgldem osi równolegBych. Twierdzenie Steinera PrzesuDmy prostoktny ukBad wspóBrzdnych w stosunku do pierwotnie przyjtego Oxy o skBadowe przesunicia a, b. Znajc dla pierwotnego ukBadu osi momenty bezwBadno[ci Jx, Jy i moment dewiacyjny Jxy  wyznacza si dla nowego ukBadu momenty Jxc, Jyc i Jxcyc. Rys.2. Oznaczenie do wzoru Steinera. W przypadku gdy pocztek ukBadu xy pokrywa si ze [rodkiem ci|ko[ci figury, momenty statyczne s równe zero i twierdzenie Steinera mo|na przedstawi: Jxc = Jx + Aa2 J = J + Ab2 yc y Jxcyc = Jxy + Aab 2 Moment bezwBadno[ci figury pBaskiej wzgldem osi odlegBej od [rodka ci|ko[ci o a jest równy momentowi bezwBadno[ci wzgldem osi równolegBej przechodzcej przez [rodek ci|ko[ci, zwikszonemu o iloczyn caBej powierzchni figury przez kwadrat odlegBo[ci a (Aa2). Twierdzenie Steinera umo|liwia obliczanie momentów bezwBadno[ci figur pBaskich wzgldem osi równolegle przesunitych w stosunku do osi centralnych (osi przechodzcych przez [rodek ci|ko[ci przekroju). Momenty bezwBadno[ci figur zBo|onych s sum momentów bezwBadno[ci prostych figur skBadowych. Figura zBo|ona mo|e skBada si z figur  peBnych oraz  pustych . Przy sumowaniu momentów bezwBadno[ci figury  puste uwa|a si za figury z ujemnymi polami powierzchni. Rys.3. PodziaB figury zBo|onej na figury proste (jeden z mo|liwych do zastosowania podziaBów figury). 3 Definicja momentu statycznego w ukBadzie osi X i Y. Rys.4. Definicja momentu statycznego W zale|no[ci od poBo|enia przekroju wzgldem osi ukBadu wspóBrzdnych mog przyjmowa warto[ci dodatnie i ujemne. Wykorzystujc znane ze statyki pojcie [rodka siB, dla [rodka ci|ko[ci mo|na napisa: Obliczanie wspóBrzdnych [rodka ci|ko[ci figur pBaskich. Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych figur pBaskich wspóBrzdne [rodka ci|ko[ci figury pBaskiej obliczymy ze wzorów: Sy Sx xc = yc = A A Przydatne twierdzenia do obliczania wspóBrzdnych [rodka ci|ko[ci figury pBaskiej: - gdy figura pBaska ma o[ symetrii, to [rodek ci|ko[ci le|y na tej osi, - je|eli figura pBaska ma dwie osie symetrii, to [rodek ci|ko[ci le|y w punkcie przecicia tych osi. 4 Je|eli przekrój skBada si z n cz[ci o znanych polach powierzchni Ai oraz wspóBrzdnych [rodków ci|ko[ci xi i yi to wspóBrzdne [rodka ci|ko[ci oblicza si ze wzorów. n n Ai Å" yi Ai Å" xi " " i=1 i =1 xc = yc = n n Ai Ai " " i=1 i=1 PrzykBad [3] Okre[li poBo|enie [rodka ci|ko[ci figury przedstawionej na rysunku. Przekrój podzielono na trzy prostokty o nastpujcych polach powierzchni: A1 = 1Å"1 = 1 cm2, A2 = 2Å"5 = 10 cm2, A3 = 2Å"2 = 4 cm2. WspóBrzdne [rodka ci|ko[ci caBej figury wynosz Celem laboratorium jest wyznaczenie osiowych momentów bezwBadno[ci Jx i Jy oraz dewiacyjnego momentu bezwBadno[ci Jxy Kolejno[ postpowania przy wyznaczaniu poBo|enia gBównych centralnych osi bezwBadno[ci i warto[ci gBównych centralnych momentów bezwBadno[ci: - przyjcie pocztkowego ukBadu osi wspóBrzdnych Oxy. - podziaB figury na proste figury skBadowe, - obliczenia pola powierzchni i wyznaczenie [rodków ci|ko[ci figur skBadowych, - obliczenia pola powierzchni i wyznaczenie poBo|enia [rodka ci|ko[ci pola caBej figury, - wyznaczenie osiowych momentów bezwBadno[ci Jx i Jy oraz dewiacyjnego momentu bezwBadno[ci Jxy. 5 Literatura: [1] Dylg ZdzisBaw, Jakubowicz Antoni, OrBo[ Zbigniew, WytrzymaBo[ materiaBów. Tom I, WNT, 2007. [2] NiezgodziDski MichaB E., NiezgodziDski Tadeusz WytrzymaBo[ materiaBów, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010. [3] Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika PoznaDska; e-skrypty: www.sms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/9momentybezwladnos cifigurplaskich.pdf 6 7

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Obliczenia geometryczne II stopien
Obliczenia geometryczne II stopien
PRZYKLAD OBLICZENIOWY GEOMETRII TRASY
Mechanika ogólna Geometria Mas momenty bezwładności mgr Perek
19 20 Obliczanie powierzchni figur geometrycznych(1)
Program do obliczania pól figur geometrycznych Polek 1 2 pl
Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojow(1)
Geometria obliczeniowa
Obliczanie momentu plastycznego przy zginaniu
geometra obliczeniowa
fert60 momenty obliczeniowe
cw6 arkusz obliczeniowy przyklad
GeometricProbabilityDistribution

więcej podobnych podstron