ÿþG e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
G e o m e t r i a o b l i c z e n i o w a
W y p u k Ba
o t o c z k a
z a j c i a 8 .
B a r t o s z G ó r s k i , T o m a s z K u l c z y Ds k i , B Ba |e j O s i Ds k i
G e o m e t r i a d l a i n f o r m a t y k a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
w y Bc z n i e o b l i c z e n i a
W y p u k Ba
o t o c z k a
w s z y s t k o o p a r t e n a l i c z b a c h , w s p ó Br z d n y c h , m i a r a c h
p r o g r a m i s t a i / l u b u |y t k o w n i k m u s i p r z e Bo |y g e o m e t r i
n a j z y k k o m p u t e r o w y c h o b l i c z e D a p ó zn i e j
z i n t e r p r e t o w a w y n i k
G e o m e t r i a d l a i n f o r m a t y k a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
w y Bc z n i e o b l i c z e n i a
W y p u k Ba
o t o c z k a
w s z y s t k o o p a r t e n a l i c z b a c h , w s p ó Br z d n y c h , m i a r a c h
p r o g r a m i s t a i / l u b u |y t k o w n i k m u s i p r z e Bo |y g e o m e t r i
n a j z y k k o m p u t e r o w y c h o b l i c z e D a p ó zn i e j
z i n t e r p r e t o w a w y n i k
G e o m e t r i a d l a i n f o r m a t y k a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
w y Bc z n i e o b l i c z e n i a
W y p u k Ba
o t o c z k a
w s z y s t k o o p a r t e n a l i c z b a c h , w s p ó Br z d n y c h , m i a r a c h
p r o g r a m i s t a i / l u b u |y t k o w n i k m u s i p r z e Bo |y g e o m e t r i
n a j z y k k o m p u t e r o w y c h o b l i c z e D a p ó zn i e j
z i n t e r p r e t o w a w y n i k
P o d s t a w o w e p o j c i a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
p u n k t
o t o c z k a
p r o s t a , p ó Bp r o s t a , o d c i n e k
t r ó j k t , w i e l o k t
o k r g , e l i p s a
P o d s t a w o w e p o j c i a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
p u n k t
o t o c z k a
p r o s t a , p ó Bp r o s t a , o d c i n e k
t r ó j k t , w i e l o k t
o k r g , e l i p s a
P o d s t a w o w e p o j c i a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
p u n k t
o t o c z k a
p r o s t a , p ó Bp r o s t a , o d c i n e k
t r ó j k t , w i e l o k t
o k r g , e l i p s a
P o d s t a w o w e p o j c i a
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
p u n k t
o t o c z k a
p r o s t a , p ó Bp r o s t a , o d c i n e k
t r ó j k t , w i e l o k t
o k r g , e l i p s a
O d l e g Bo [
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e ( x 2 , y 2 )
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
y 2 - y 1
x 2 - x 1
( x 1 , y 1 )
2
)
1
y
-
2
y
(
+
2
)
1
x
-
2
x
(
I l o c z y n s k a l a r n y
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
( x 2 , y 2 )
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
( x 1 , y 1 )
( x 0 , y 0 )
( x 1 - x 0 ) · ( x 2 - x 0 ) + ( y 1 - y 0 ) · ( y 2 - y 0 ) =
= d 1 · d 2 · c o s ±
2
d
d
1
I l o c z y n w e k t o r o w y
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
( x 2 , y 2 )
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
( x 1 , y 1 )
( x 0 , y 0 )
( x 1 - x 0 ) · ( y 2 - y 0 ) - ( x 2 - x 0 ) · ( y 1 - y 0 ) =
= d 1 · d 2 · s i n ±
2
d
d
1
R ó w n a n i e p r o s t e j
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
J e s t k i l k a c h a r a k t e r y z a c j i p r o s t y c h :
W y p u k Ba
o t o c z k a
A · x + B · y + C = 0
y = a · x + b
( x 0 + t · x d , y 0 + t · y d )
d w a r ó |n e p u n k t y l e |c e n a n i e j
R ó w n a n i e p r o s t e j
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
J e s t k i l k a c h a r a k t e r y z a c j i p r o s t y c h :
W y p u k Ba
o t o c z k a
A · x + B · y + C = 0
y = a · x + b
( x 0 + t · x d , y 0 + t · y d )
d w a r ó |n e p u n k t y l e |c e n a n i e j
R ó w n a n i e p r o s t e j
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
J e s t k i l k a c h a r a k t e r y z a c j i p r o s t y c h :
W y p u k Ba
o t o c z k a
A · x + B · y + C = 0
y = a · x + b
( x 0 + t · x d , y 0 + t · y d )
d w a r ó |n e p u n k t y l e |c e n a n i e j
R ó w n a n i e p r o s t e j
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
J e s t k i l k a c h a r a k t e r y z a c j i p r o s t y c h :
W y p u k Ba
o t o c z k a
A · x + B · y + C = 0
y = a · x + b
( x 0 + t · x d , y 0 + t · y d )
d w a r ó |n e p u n k t y l e |c e n a n i e j
T r ó j k t
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
I l o c z y n w e k t o r o w y j e s t d o k Ba d n i e t y m c z e g o c h c e m y !
W i e l o k t
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
P o m y s B
d z i e l i n a t r ó j k t y
W i e l o k t
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o m y s B
d z i e l i n a t r ó j k t y
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
p
W i e l o k t
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a P o m y s B
d z i e l i n a t r ó j k t y
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
p
O b o j t n i e , g d z i e l e |y p u n k t p !
O p i s p r o b l e m u
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
p u n k t y n a p Ba s z c z y zn i e
s z n u r e k w o k ó B g w o zd z i
O p i s p r o b l e m u
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
p u n k t y n a p Ba s z c z y zn i e
s z n u r e k w o k ó B g w o zd z i
R o z w i z a n i e b r u t a l n e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
R o z w i z a n i e b r u t a l n e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
D l a k a |d e g o o d c i n k a , s p r a w d z a m y c z y w s z y s t k i e p o z o s t a Be
p u n k t y l e | p o t e j s a m e j s t r o n i e . O ( n 3 ) .
R o z w i z a n i e o p t y m a l n e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
O t o c z k a d o l n a i g ó r n a
d z i e l i m y p r o b l e m n a d w o j e
R o z w i z a n i e o p t y m a l n e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba O t o c z k a d o l n a i g ó r n a
o t o c z k a
d z i e l i m y p r o b l e m n a d w o j e
S o r t o w a n i e p u n k t ó w o d l e w e j d o p r a w e j .
R o z w i z a n i e o p t y m a l n e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
O t o c z k a d o l n a i g ó r n a
W y p u k Ba
d z i e l i m y p r o b l e m n a d w o j e
o t o c z k a
S o r t o w a n i e p u n k t ó w o d l e w e j d o p r a w e j .
T r z e b a s k o r z y s t a z i l o c z y n u w e k t o r o w e g o !
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
J a k t o d z i a Ba ?
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
o t o c z k a
P o d s u m o w a n i e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
d r u g a p o Bó w k a a n a l o g i c z n i e
o t o c z k a
p o p r a w n o [
z Bo |o n o [ O ( n l o g n )
p r z y d a t n o [ o g ó l n e j i d e i t e g o a l g o r y t m u
P o d s u m o w a n i e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
d r u g a p o Bó w k a a n a l o g i c z n i e
o t o c z k a
p o p r a w n o [
z Bo |o n o [ O ( n l o g n )
p r z y d a t n o [ o g ó l n e j i d e i t e g o a l g o r y t m u
P o d s u m o w a n i e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
d r u g a p o Bó w k a a n a l o g i c z n i e
o t o c z k a
p o p r a w n o [
z Bo |o n o [ O ( n l o g n )
p r z y d a t n o [ o g ó l n e j i d e i t e g o a l g o r y t m u
P o d s u m o w a n i e
G e o m e t r i a
o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w y
P o l e
p o w i e r z c h n i
W y p u k Ba
d r u g a p o Bó w k a a n a l o g i c z n i e
o t o c z k a
p o p r a w n o [
z Bo |o n o [ O ( n l o g n )
p r z y d a t n o [ o g ó l n e j i d e i t e g o a l g o r y t m u
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