Wykład 8
PRz 2006
NASTAWIANIE REGULATORÓW METOD
LINII
PIERWIASTKOWYCH EVANSA
�� Nastawianie regulatorów P i PI
�� Regulator PD jako korektor przyspieszający
�� Regulator PID o podwójnym zerze
�� Linie pierwiastkowe dla obiektów z opóz
nieniem
�� Regulator PI dla obiektu inercyjnego z opóz
nieniem
Nastawianie regulatorów P i PI
PRz 2006
Metodę linii pierwiastkowych stosuje się, gdy opis obiektu jest dany w formie transmitancji
Nastawianie regulatora P jest klasycznym problemem doboru wzmocnienia
Regulator P
Obiekt
P
Gotw(s) =� k G(s)
e u
U(s)
G(s)
k
P =� kp ��e �� P(s) =� =� kp
E(s)
kp =� k
Problem
Dane: Szukane:
G(s), p% k =� kp, tr Gdy punkt rozwidlenia
p% =� 0 -
Tok projektowania
�� linie pierwiastkowe dla G(s)
2
1-�x�
ImsD
�� p% �� x� �� =� tgf� =� �� f�
Re sD x�
sD
�� - punkt przecięcia linii pierwiastkowej z prostą
��f�
4
1
�� tr =�
kp =� k =� -� ,
Re sD
G(sD)
Przykład  regulator P dla obiektu 3-go rzędu
PRz 2006
p%
ln
2
1
100
ImsD
1-�x�
4
G(s)
k
x� =� ,
G(s) =� , p% =�16.3%
tgf� =� =� , tr =�
p%
2 2 Re sD x�
Re sD
(s +�1)3
p� +� ln
100
clear all
clc
Pp=16.3
2
ksi=abs(log(Pp/100))/sqrt(pi^2+log(Pp/100)^2)
x� @� 0.5
1
fi=atan(sqrt(1-ksi^2)/ksi)*180/pi
f� =� 60��
L=1;
0
M=conv([1 1],conv([1 1],[1 1]));
k=0:0.01:10;
r=rlocus(L,M,k); -1
plot(r,'*');grid
-2
[k' r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi]
-4 -3 -2 -1 0 1
0.9800 -0.5034 + 0.8602i 59.6659
0.9900 -0.5017 + 0.8631i 59.8338
1.0000 -0.5000 + 0.8660i 60.0000 kp =�1, Re sD =� 0.5
1.0100 -0.4983 + 0.8689i 60.1646
kp=1;
0.5
tr=4/0.5
tr =� 8
0.4
yu =� 0.5
t=0:0.01:2*tr;
0.3
Lz=kp*L
Mz=M+[0 0 0 kp*L]
0.2
y=step(Lz,Mz,t);
plot(t,y);grid
0.1
p%real =�13.95% 0
Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Regulator PI
PRz 2006
1
ć� ��
U(s) 1 s +�1/Ti s +� z
1
k =� kp, z =�
gdzie
�� ��
G(s) =� , p% =�16.3% PI(s) =� =� kp��1+� =� kp =� k ,
��
Ti
(s +�1)3
E(s) Tis s s
Ł� ł�
G(s)
PI
Gdy zadane jest tylko przeregulowanie, zero regulatora PI
dobiera się eliminując dominujący biegun obiektu
s +�1 1 1
z =�1�� Gotw(s) =� k �� =� k Należy dobrać k  klasyczny problem doboru
s (s +�1)3 s(s +�1)2
wzmocnienia
1
L=1;
M=conv([1 0],conv([1 1],[1 1]));
0.5
k=0:0.01:1;
r=rlocus(L,M,k);
0
plot(r,'*');grid
-0.5
[k' r(:,1) 180-angle(r(:,1))*180/pi]
-1
1.0e+002 *
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.0037 -0.0025 + 0.0043i 0.5962
0.0038 -0.0025 + 0.0044i 0.6037
k =� 0.38, Re sD =� 0.25
0.0039 -0.0025 + 0.0045i 0.6110
k=0.38
1
tr=4/0.25 tr =� 16
0.8
yu =�1
Lz=k*L;
0.6
Mz=M+[0 0 0 k*L];
t=0:0.01:2*tr; 0.4
y=step(Lz,Mz,t);
0.2
plot(t,y);grid
p%real =�15.7%
Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100 0
0 5 10 15 20 25 30
Regulator PD jako korektor przyspieszający
PRz 2006
1
ć� ��
Td ć�1+� ��s +�1
�� ��
�� ��
D 1 p
U (s) Td s s +� z
p =� , z =� , k =� kp
�� ��
PD(s) =� =� kp 1+� =� kp Ł� D ł� =� k
1
Td z
Td Td
E(s) s +� p
��
Td ć�1+� ��
�� ��
s +�1�� s +�1
�� ��
D
Ł� ł�
Ł� D ł� D
s +� z
D(s) G(s)
D(s) =� k
- korektor przyspieszający (ang. lead)
s +� p
Regulator PD stosuje się wtedy, gdy szumy pomiarowe nie występują, bądz
są silnie tłumione
przez filtr wejściowy. Na potrzebę tłumienia wskazuje m.in. początkowa wartość D w regulatorach
przemysłowych, która np. u Siemensa wynosi 5, a u Honeywella 8
Problem
Dane: Szukane:
k, z, p
G(s), p%, tr
Ponieważ mamy dwie dane a trzy niewiadome k, z, więc wartość jednej z
p
p%, tr
niewiadomych należy założyć
Regulator PD jako korektor przyspieszający
PRz 2006
Im s
sD
2
w�n 1-�x� =� Im(sD )
Tok projektowania
�� na podstawie p% i tr  określenie docelowego sD
f�
p% Re s
-�x�w�n =� Re(sD)
ln 2
ImsD
1-�x� 4
100
tr =�
tgf� =� =� ,
P% �� x� =� ,
Re sD x� Re sD
p%
2 2
4
p� +� ln ��
Re sD =�
100
��
tr
��
��
ImsD =� Re sD ��tgf�
��
s +� z
�� wybór wartości z (zero korektora) D(s) =� k
s +� p
�� eliminacja dominującego bieguna  jak w przypadku PI
��
z =� Re sD - tzw.  pionowo w dół
�� wyznaczenie pozostałych niewiadomych k i p
�� dobór p tak aby dla s=sD układ otwarty spełniał warunek fazy ��Gotw(sD) =� ą�180��
1
�� dobór k tak aby układu zamknięty posiadał bieguny w sD k =� -�
D(sD)��G(sD)
Regulator PD jako korektor przyspieszający
PRz 2006
Dobór wartości p zapewniającej spełnienie warunku fazy
1 1
ó�
Gotw (s) =� k �� ��[�(s4�z2�4�(3�]�=� k �� ��G (s)
+� s)
1� 4�)��G4�
s +� p s +� p
dla danego z "nowy" obiekt
ó�
�� wyznaczenie fazy ��G (s) =� ��[�(s +� z)G(s)]� �� biegun p wprowadza kąt do mianownika
f�p
��Gotw (sD) =� ��G'(sD) -�f�p =� ą�180�� �� f�p =� ��G'(sD) ą�180�� (ą�360��)
Przez korektę staramy się doprowadzić
ą�360��
f� p do kąta ostrego. Udaje się to dla
typowych wymagań tzn. gdy zakładany tr nie jest zbyt mały. W innym przypadku należy
stosować korektor podwójny (patrz skrypt)
Im sD
ImsD
�� wyznaczenie wartości bieguna p p =� z +� ,
p =� z +� x, x =�
tgf�p
tgf�p
f�p <� 90��
Korektor przyspieszający PD - przykład
PRz 2006
1
G(s) =� , p% =�16.3%, tr =� 6
(s +�1)3
clear all
clc
Pp=16.3
tr=6
ksi=abs(log(Pp/100))/sqrt(pi^2+log(Pp/100)^2)
tgFi=sqrt(1-ksi^2)/ksi
ResD=4/tr;
ImsD=ResD*tgFi;
sD=-ResD+i*ImsD
sD=-0.6667 + 1.1546i
z=ResD;
ó�
��G (sD ) =� -�131.69��
f�p =� ��G'(sD) ą�180�� =� -�131.69 +�180 =� 48.3��
faza=angle((sD+z)/(sD+1)^3)*180/pi
Fip=180+faza
p=z+ImsD/tan(Fip*pi/180)
p =�1.6949
GsD=(sD+z)/(sD+p)*(1/(sD+1)^3)
katGsD=angle(GsD)*180/pi
��Gotw(sD) =�180��
k =� 2.3240 + 0.0000i
k=-1/GsD
k=real(k)
0.5
Lr=k*[1 z];
0.4
Mr=[1 p]
Lo=1;
yu =� 0.477
0.3
Mo=conv([1 1],conv([1 1],[1 1]));
L=conv(Lr,Lo);
M=conv(Mr,Mo); 0.2
Lz=L;
Mz=M+[0 0 0 L];
0.1
t=0:0.01:2*tr;
y=step(Lz,Mz,t);
0
plot(t,y);grid
0 2 4 6 8 10 12
p%real =�14.82%
Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100
Regulator PID o podwójnym zerze
PRz 2006
Ziegler i Nichols, 1943
niski poziom szumów
pomiarowych
ć� ��
ć� ��
�� �� 1
(s +� z)2
U (s) 1 Tds
�� ��
PID(s) =� kp��1+� +�Tds��
PID =� k
�� ��
PID(s) =� =� kp 1+� +�
Tis
Td
E(s) Tis Ł� ł� s
D >� 4
��
Ti
s +�1��
�� ��
Td =�
Ł� D ł�
4 Ti 2 Ti
k =� kp , z =� , Td =�
4 Ti 4
Dwie dane oraz dwie niewiadome
Problem
Dane: Szukane:
k, z
G(s), p%, tr
Tok projektowania
2
ImsD
4 1-�x�
p%, tr �� Re sD =� , ImsD =� Re sD ��tgf�, tgf� =� =�
�� docelowe sD
tr Re sD x�
�� dobór z tak aby dla s=sD układ otwarty spełniał warunek fazy
��Gotw(sD) =� ą�180��
1
�� dobór k tak aby układu zamknięty posiadał bieguny w sD
k =� -�
PID(sD)��G(sD)
Regulator PID o podwójnym zerze
PRz 2006
(s +� z)2 G(s)
�� ł�
ó�
Gotw (s) =� k �� ��G(s) =� k ��(s +� z)2 �� =� k ��(s +� z)2 ��G (s)
ę� ś�
s s
�� ��
1�2�3�
"nowy" obiekt
G(s)
�� wyznaczenie fazy y� z
ó�
��G (s) =� ���� ł� �� zero z wprowadza podwójny kąt do licznika
ę� ś�
s
�� ��
1
��Gotw (sD ) =� ��G'(sD ) +� 2y� =� ą�180�� (ą�360��) �� y� =� [�-� ��G'(sD ) ą�180��]� (ą�180��)
z z
2
y�
Przez korektę staramy się doprowadzić do kąta ostrego. Udaje się to dla
ą�180��
z
typowych wymagań tzn. gdy zakładany tr nie jest zbyt mały
�� wyznaczenie wartości zera z
z =� Re sD +� y
ImsD
z =� Re sD +�
ImsD
tgy�
z
y =�
tgy�
z
Regulator PID o podwójnym zerze - przykład
PRz 2006
1
G(s) =� , p% =�16.3%, tr =� 6
(s +�1)3
clear all
clc
Pp=16.3
tr=6
ksi=abs(log(Pp/100))/sqrt(pi^2+log(Pp/100)^2)
tgFi=sqrt(1-ksi^2)/ksi
ResD=4/tr;
ImsD=ResD*tgFi;
sD=-ResD+i*ImsD sD=-0.6667 + 1.1546i
1
ó� y� =� [�180�� -� ��G'(sD )]�=� 80.8456��
��G (sD ) =� 18.3087��
faza=angle(1/(sD*(sD+1)^3))*180/pi
z
2
Psiz=(180-faza)/2
z=ResD+ImsD/tan(Psiz*pi/180)
z =� 0.8527
GsD=(sD+z)^2/sD*1/(sD+1)^3
katGsD=angle(GsD)*180/pi
��Gotw(sD) =�180��
k=-1/GsD
k =�1.6918 + 0.0000i
k=real(k)
1
Lr=k*conv([1 z],[1 z]);
0.8
Mr=[1 0]
yu =�1
Lo=1;
0.6
Mo=conv([1 1],conv([1 1],[1 1]));
L=conv(Lr,Lo);
0.4
M=conv(Mr,Mo);
Lz=L;
0.2
Mz=M+[0 0 L];
t=0:0.01:2*tr;
0
y=step(Lz,Mz,t);
0 2 4 6 8 10 12
plot(t,y);grid
p%real =�14.54%
Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100
Obiekt z opóz
nieniem
PRz 2006
R(s)
G(s)e-�t�s
Go(s) =� G(s)e-�t� ��s
Metodę linii pierwiastkowych stosuje się, gdy opis obiektu jest dany w formie transmitancji
t�
-� s +�1
2
Aproksymacja Pade e-�t�s @�
- I stopień
t�
s +�1
2
Ze względu na małą wrażliwość sprzężenia zwrotnego na niedokładności modelowania (odporność),
do projektowania wystarczy aproksymacja Pade I rzędu. Do symulacji będziemy natomiast
wybierać aproksymacje wyższych rzędów np. III
(s +� z1)(s +� z2)K�
 minus
Go(s) =�
Dotychczas
(s +� p1)(s +� p2)K�
t� 2
 minus
-� s +�1 -� s +�
Z aproksymacją Pade
-� s +� A 2
2 t�
e-�t�s @� =� =� , A =�
t� 2
s +� A t�
s +�1 s +�
(-�s +� A)(s +� z1)K� (s -� A)(s +� z1)K�
2 t�
Go(s) =� =� -�
(s +� A)(s +� p1)K� (s +� A)(s +� p1)K�
Linie pierwiastkowe dla  ujemnych wzmocnień
PRz 2006
1 1
-� G(s)
k jf�
G(s) =� �� G(s) e =�
1-� kG(s) =� 0
k k
jf�
e =� cosf� +� j sinf�
��G(s) =� 0o�
Warunek fazy
Punkt na osi rzeczywistej należy do linii pierwiastkowej, jeżeli liczba biegunów i zer
rzeczywistych układu otwartego leżących na prawo od niego jest parzysta lub zerowa
1
Wyznaczenie wzmocnienia k =�
G(s)
s=�sD
Nowe wzory - stosowane tylko w przypadku, gdy uzyskanie  plusa przy najwyższej potędze
w liczniku wymagało wyłączenia  minusa . Jest tak dla projektowania z aproksymacją
Pad� 1-go rzędu (i ew. 3, 5, 7 itd.).
Regulator PI dla obiektu inercyjnego z opóz
nieniem
PRz 2006
s +� z
2 Go(s)
PI
PI(s) =� k ,
Go (s) =� e-�0.1��s, p% =� 16.3%
s
5s +�1
Zero regulatora PI dobiera się eliminując dominujący biegun obiektu
2
s +� z 0.4 0.4
2 0.4
5
Go(s) =� e-�0.1��s =� e-�0.1��s =� e-�0.1��s G(s) =� k �� e-�0.1��s z=�0.2 k e-�0.1��s
=�
1
5s +�1 s +� 0.2
s s +� 0.2 s
s +�
5
40
[Lp Mp]=pade(0.1,1);
k=0:0.1:300
Lo=0.4;
20
Mo=[1 0];
L=conv(Lo,Lp);
M=conv(Mo,Mp);
0
k=0:0.1:20;
r=rlocus(L,M,k); -20
plot(r,'*');grid
-40
[k' r(:,1) 180-angle(r(:,1))*180/pi]
-20 0 20 40 60
1.0e+002 *
k=19.1;
0.1900 -0.0620 + 0.1066i 0.5981
tr =� 0.65 1.2
tr=4/6.18
0.1910 -0.0618 + 0.1071i 0.6000
1
[Lp Mp]=pade(0.1,12);
0.1920 -0.0616 + 0.1075i 0.6020
L=k*conv(Lo,Lp);
0.8
M=conv(Mo,Mp);
Lz=L; 0.6
Mz=M+[0 L];
0.4
t=0:0.01:2.5*tr;
0.2
y=step(Lz,Mz,t);
plot(t,y);grid
0
p%real =� 26.65%
Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6