Rozdzial 6
Funkcjonaly liniowe
6.1 Funkcjonaly
6.1.1 Definicja i przyklady
Niech X|K bedzie przestrzenia liniowa, dim(X|K) < ".
Definicja 6.1 Odwzorowanie
s : X K
nazywamy funkcjonalem (liniowym) na X|K gdy dla dowolnych a, b " X i
Ä…, ² " K
s(a " Ä… + b " ²) = s(a) " Ä… + s(b) " ².
"
Zbiór wszystkich funkcjonalów (liniowych) na X|K oznaczamy przez X .
Podamy teraz kilka przykladów funkcjonalów.
W przestrzeni wektorów Kn funkcjonalami sa przeksztalcenia postaci
|K
s(x) = âT " x, "x " Kn,
gdzie â " Kn jest ustalonym wektorem. (Tu wyjaÅ›nia sie tajemnica nazwania
wcześniej funkcjonalem macierzy jednowierszowej.)
W przestrzeni macierzy Km,n funkcjonalami sa np. s1(A) = a2,3, s2(A) =
|K
min(m,n)
tr(A) := aj,j (jest to ślad macierzy), przy czym A = (ai,j) " Km,n.
j=1
53
54 ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
n
W przestrzeni wielomianów P|R funkcjonalami sa np. s1(p) = p(2),
s2(p) = 3 " p(-1) - 7 " p(3),
1
d2p
s3(p) = = p (1), s4(p) = p(t)dt,
dt2 t=1
0
przy czym p " Pn.
6.1.2 Przestrzeń sprzeżona
"
Na zbiorze X możemy w naturalny sposób zdefiniować dodawanie funk-
"
cjonalów s1, s2 " X ,
(s1 + s2)(a) := s1(a) + s2(a), "a " X ,
"
oraz mnożenie funkcjonalu s " X przez skalar ą " K,
(Ä… " s)(a) := Ä… " s(a), "a " X .
"
Twierdzenie 6.1 Zbiór X z powyżej zdefiniowanymi dzialaniami dodawa-
nia funkcjonalów i mnożenia przez skalar jest przestrzenia liniowa nad K.
Dowód tego twierdzenia jest trywialny i polega na bezpośrednim spraw-
dzeniu warunków bycia przestrzenia liniowa. Tutaj zauważymy tylko, że
"
elementem zerowym X|K jest funkcjonal zerowy, 0"(a) = 0 "a " X , a
"
elementem przeciwnym do s " X jest funkcjonal (-s) zdefiniowany jako
(-s)(a) = -s(a) "a " X .
"
Definicja 6.2 Przestrzeń X|K nazywamy przestrzenia sprzeżona do X|K.
"
Skoro X|K jest przestrzenia liniowa to możemy spytać o jej wymiar i baze.
Twierdzenie 6.2 Mamy
"
dim X|K = dim X|K .
Ponadto, jeśli uklad wektorów (a1, a2, . . . , an) jest baza X|K to uklad funk-
cjonalów (s1, s2, . . . , sn) zdefiniowany warunkami
1, j = k,
sk(aj) =
0, j = k,

"
gdzie 1 d" j, k d" n, jest baza X|K.
6.2. REFLEKSYWNOŚĆ 55
Dowód. Zauważmy najpierw, że sk sa formalnie dobrze zdefiniowanymi
n
funkcjonalami. Dla dowolnego a = aj " Ä…j " X mamy bowiem
j=1
n n
sk(a) = sk aj " Ä…j = sk(aj) " Ä…j = Ä…k.
j=1 j=1
Stad sk  zwraca k-ta wspólrzedna rozwiniecia wektora a w bazie wektorów
(a1, . . . , an).
Pokażemy najpierw liniowa niezależność funkcjonalów sk, 1 d" k d" n. W
n
tym celu zalóżmy, że liniowa kombinacja s := sk " ąk = 0". Wtedy, w
k=1
szczególności, dla każdego j mamy s(aj) = 0, a ponieważ
n n
s(aj) = sk " Ä…k (aj) = sk(aj) " Ä…k = Ä…j
k=1 k=1
to Ä…j = 0.
"
Pozostaje pokazać, że funkcjonaly sk, 1 d" k d" n, rozpinaja X . Rze-
n
"
czywiście, dla dowolnego s " X oraz a = aj " ąj " X mamy
j=1
n n
s(a) = s aj " Ä…j = s(aj) " Ä…j
j=1 j=1
n n
= Ãj " sj(a) = Ãj " sj (a),
j=1 j=1
n
gdzie Ãj = s(aj). Stad s = Ãj "sj jest kombinacja liniowa funkcjonalów
j=1
"
sj i w konsekwencji X = span(s1, . . . , sn).
6.2 Refleksywność
""
6.2.1 Równość X i X
Dla wygody wprowadzimy oznaczenie
"
s · a := s(a), s " X , a " X .
Zauważmy, że zapis s · a możemy traktować jako dzialanie funkcjonalu s
na wektor a, ale też odwrotnie, jako dzialanie wektora a na funkcjonal s.
"
Ponieważ dodatkowo idla dowolnych s1, s2 " X i ą1, ą2 " K mamy
(Ä…1 " s1 + Ä…2 " s2) · a = Ä…1 " (s1 · a) + Ä…2 " (s2 · a),
56 ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
" "" "
możemy traktować wektor a jako funkcjonal na X|K, tzn. a " X := (X )".
" ""
Mamy wiec X ą" X , a ponieważ na podstawie twierdzenia 6.2
" ""
dim X|K = dim X|K = dim X|K
to
""
X = X .
1
Ostatnia wlasność nazywa sie refleksywnościa.
"
Doadajmy jeszcze, że jeśli (s1, . . . , sn) jest baza X sprzeżona z baza
""
(a1, . . . , an) to również odwrotnie, (a1, . . . , an) jest baza X = X sprzeżona
do (s1, . . . , sn). Wynika to bezpoÅ›rednio z faktu, że sj · ak wynosi 1 dla j = k
oraz zero dla j = k.

6.2.2 Przyklady
Podamy teraz przyklady baz i baz sprzeżonych.
Niech X|K = Kn . Baza sprzeżona do bazy (e1, . . . , en) przestrzeni wek-
|K
torów Kn jest (eT , . . . , eT ).
1 n
|K
W ogólnym przypadku, baza sprzeżona do dowolnej bazy (a1, . . . , an) jest
(âT , . . . , âT ), gdzie wektory âj sa tak dobrane, że transpozycja macierzy  :=
1 n
[â1, . . . , ân] jest odwrotnoÅ›cia macierzy A := [a1, . . . , an], tzn. ÂT = A-1.
(Póz
niej pokażemy, że taka macierz istnieje.) Innymi slowy, znalezienie bazy
sprzeżonej sprowadza sie do znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A.
n
Niech X|K = P|R. Wtedy baze sprzeżona do bazy potegowej wielomianów
(1, t, t2, . . . , tn-1) tworza funkcjonaly (s1, . . . , sn) zdefiniowane jako
1 dk-1p p(k-1)(0)
sk(p) = = , "p " Pn.
(k - 1)! dtk-1 t=0 (k - 1)!
JeÅ›li zaÅ› sk(p) = p(tk), 1 d" k d" n, gdzie t1 < t2 < · · · < tn sa ustalo-
nymi punktami, to baze sprzeżona do bazy funkcjonalów (s1, . . . , sn) tworza
wielomiany Lagrange a (l1, . . . , ln) zdefiniowane jako
n
t - ti
lj(t) = .
tj - ti
j=i=1

1
Pokazaliśmy, że przestrzenie skończenie wymiarowe sa refleksywne. Warto dodać, że
wlasność ta w ogólności nie zachodzi dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych.
6.3. ROZSZERZENIE FORMALIZMU MACIERZOWEGO 57
Rzeczywiście, latwo sprawdzić, że
1, j = k,
sk(lj) = lj(tk) =
0, j = k.

6.3 Rozszerzenie formalizmu macierzowego
6.3.1 Macierze wektorów i funkcjonalów
W tym miejscu rozszerzymy nieco formalizm rachunku macierzowego na
macierze nieliczbowe, których elementami sa wektory, a nawet funkcjonaly.
Pomoże nam to uprościć pewne rachunki na macierzach.
Niech X|K bedzie przestrzenia liniowa i aj " X , 1 d" j d" k. Wtedy
możemy formalnie zdefiniować macierz jednowierszowa wektorów
1,k
A = [a1, . . . , ak] " X .
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä…1
ïÅ‚ śł
.
.
Dla ą = " Kk definiujemy w naturalny sposób mnożenie
ðÅ‚ ûÅ‚
.
Ä…k
k
A " Ä… := aj " Ä…j,
j=1
bedace skrótowym zapisem kombinacji liniowej wektorów aj.
"
Podobnie, majac dane sj " X , 1 d" j d" l, możemy zdefiniować macierz
jednokolumnowa funkcjonalów
îÅ‚ Å‚Å‚
s1
ïÅ‚ śł
.
"
.
S = " (X )l,1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
.
sl
Dla x " X definiujemy w naturalny sposób mnożenie
îÅ‚ Å‚Å‚
s1 · x
ïÅ‚ śł
.
.
S · x := " Kl,1.
ðÅ‚ ûÅ‚
.
sl · x
58 ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
Co wiecej, iloczyn S · A definiujemy również w naturalny sposób jako
macierz
S · A := (si · aj) " Kl,k.
Rzeczywiście, tak wlaśnie mnożymy macierz jednowierszowa przez macierz
jednokolumnowa w przypadku macierzy liczbowych. Ponadto, dla dowolnego
ą " Kk spelnona jest równość
S · (A " Ä…) = (S · A) " Ä….
Idac dalej możemy zapytać, czy ma sens mnożenie A przez S. W przy-
padku macierzy liczbowych, mnożenie wektora-wiersza przez wektor-kolumne
jest możliwe tylko wtedy gdy wektory te maja tyle samo wspólrzednych. Tak
jest też teraz; jeśli k = l to definiujemy
k
A " S := aj " sj
j=1
i interpretujemy ten zapis jako przeksztalcenie X w X zdefiniowane wzorem
n
(A " S)(x) := A " (S · x) = aj " sj · x.
j=1
"
W szczególnoÅ›ci, a·s dla a " X i s " X jest przeksztalceniem  zwracajacym
wektor a pomnożony przez wartość funkcjonalu s.
6.3.2 Postać macierzowa izomorfizmów
Zalóżmy teraz, że dim X|K = n oraz (a1, . . . , an) jest baza X . Niech
1,n
A = [a1, . . . , an] " X . Jasne jest, że wtedy odwzorowanie f : Kn X
zdefiniowane wzorem
f(Ä…) := A " Ä…, "Ä… " Kn,
-1
jest izomorfizmem Kn w X . Ponadto, izomorfizm odwrotny f : X Kn
dany jest wzorem
f-1(x) = S · x, "x " X ,
îÅ‚ Å‚Å‚
s1
ïÅ‚ śł
.
"
.
gdzie S = " (X )n,1 oraz (s1, . . . , sn) jest baza sprzeżona do bazy
ðÅ‚ ûÅ‚
.
sn
(a1, . . . , an).
6.3. ROZSZERZENIE FORMALIZMU MACIERZOWEGO 59
Sprawdzamy, że w tym przypadku
S · A = (si · aj)n = In
i,j=1
jest identycznościa w Kn, oraz że dla dowolnego x = A " ą z ą " Kn
(A " S)(x) = (A " S)(A " Ä…) = A " (S · A) " Ä… = A " Ä… = x,
czyli A " S jest identycznościa w X .
Możemy wiec uznać, że S jest odwrotnościa A, jak również, że A jest
odwrotnościa S, tj.
S = A-1 oraz A = S-1.