(P) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.
1. Rozwiąż równanie / nierówność; układ nierówności:
1 (x
2 - 7)(x + 7)
a) 2 - x = (x +1) - odp : x = -1
2 2
b) 2x < 5(x +1)i wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające tę nierówność. odp: {-9,-8,& -1}
2
3 2
c) (x - 2) +10x2 e" (x - 2)(x + 3) odp : x "< - ;+")
3
x + 4 2
Å„Å‚ 2
(x
ôÅ‚ - 2) + d" (x - 4)(x + 4)-
d) odp : x "< 6;+"}
òÅ‚ 3 3
3
ôÅ‚
x3 - (x +1) < -3(x2 - 5)
ół
Å„Å‚
( 2 - x)( 2 +1)e" 2 2 + 3
e) odp : x " "
òÅ‚
( 3 - 3)(x - 2) < 6 - 2 3
ół
2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że wykres przechodzi:
3
a) przez punkt P(2;4) i jest nachylony do osi OX pod kątem ą = Ą i wyznacz zbiór tych
4
argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne,
odp: y = -x + 2; x "< -2;+")
b) przez dwa punkty A(6; 3) oraz B(0;- 3) i wyznacz kÄ…t nachylenia wykresu tej funkcji do
3 Ä„
osi OX, odp: y = x - 3;Ä… =
3 6
1
c) przez punkt A(4;4) i jest równoległy do wykresu funkcji y = - x + 4 i wyznacz jej punkty
2
1
przecięcia z osiami, odp: y = - x + 6; A(0;6); B(12;0)
2
d) przez punkt A(-1;4 + 2 2) i jest prostopadły do wykresu funkcji y = (3 - 2 2)x i wyznacz
jej miejsca zerowe, odp: y = -(2 2 + 3)x +1; x0 = 3 - 2 2
e) f (1) = 6 '" f (x) > 0 Ô! x " (-";3) odp: y = -3x + 9
f) f (- 3) = -3 '" "x " R : f (x) < 0 odp: y = -3
3. O funkcji liniowej f wiadomo, że osiąga wartości dodatnie tylko dla x>2 oraz dla argumentu 4
przyjmuje wartość 5.
5
a) napisz wzór tej funkcji i sporządz
jej wykres, odp : y = x - 5 , x " R
2
b) wyznacz wzór proporcjonalności prostej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f.
2
odp : y = - x , x " R
5
1
Å„Å‚
ôÅ‚- x - 2 dla x " (-";-3 >
3
4. Narysuj wykres funkcji f(x) = . Wyznacz jej miejsca zerowe i zbiór
òÅ‚
2
ôÅ‚
x +1 dla x " (-3;+")
ół 3
3
wartości. odp: x = -6 (" x = - ; ZW =< -1;+")
2
5. Wierzchołkami "ABC są punkty: A(-1;1), B(8;-2), C(2;4). Wyznacz równanie prostej zawierającej
bok AB oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka C. Wykonaj
rysunek. Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na tym trójkącie.
1 2 7 1
odp: AB : y = - x + ; hc : y = 3x - 2; S( ;- )
3 3 2 2
6. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(-1;0), B(3;2). odp: y = -2x + 3
1 4 7
7. Wyznacz obraz punktu P(4;5) w symetrii względem prostej y = - x + 3. odp: P'( ;- )
2 5 5
(PP) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.
3
1. Rozwiąż równanie (x -1) = 2(2x -1) + x2 (x - 3) i sprawdz
, czy rozwiązanie tego równania jest
x =
miejscem zerowym funkcji y = ( 2 +1)x +1. odp: -1- 2;tak
2. Rozwiąż nierówność:
1 1
îÅ‚
a) x +1Å‚Å‚ d" 3 odp : x " (-6;+") ; b) [2x - 3]> 1 odp : x "< 2 ;+")
ïÅ‚- śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
3. SporzÄ…dz
wykres funkcji f (x) = x - 9 - 6x + x2 + 2 . Zapisz wzór funkcji, nie używając symbolu
wartości bezwzględnej i określ jej przedziały monotoniczności.
odp: rosn w < 0;3 >; const w (-";0 >;< 3;+")
4. Rozwiąż algebraicznie nierówności:
a) x - 3 - 1- 4x + 4x2 > 1 odp : x " (-1;1) ;
b) 2x + 5 - 4 - 4x + x2 e" 9 odp : x " (-";-16 > *" < 2;+")
5. Wyznacz wartości parametru m, dla których wykres funkcji: f (x) = (2m -1 - 2)x + (1- m)
a) przechodzi przez III, IV i I ćwiartkę układu współrzędnych,
b) przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych,
c) jest równoległy do prostej AB, gdzie A(-3;-1), B(-1;3),
d) jest prostopadły do prostej CD, gdzie C(2;-4), D(-3;1),
e) ma miejsce zerowe x0 = -1,
Ä„ 3
f) jest nachylony do osi OX pod kÄ…tem < Ä… d" Ä„ .
2 4
6. Przeprowadz
dyskusję liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru p:
1
a) p(px -1) = 4x - 2 odp :1 dla p " R -{- 2;2}, x = ; 0 dla p = -2; nwr dla p = 2
p + 2
p + 2
b) p2 x - 4 px = p2 - 4(1+ x) odp :1 dla p " R -{2}, x = ; nwr dla p = 2
p - 2
7. Zbadaj dla jakich wartości parametru m ( m " R ) równanie ma rozwiązania:
a) mx - x - x = 2 b) m + 2 Å" x +1 = 3x + 3 - 2
8. Średnie zużycie paliwa dla samochodu marki Chrysler Voyager wynosi 12 l na 100 km. Wiedząc,
że samochód początkowo miał w baku 50 l paliwa, opisz zależność między ilością paliwa, które
pozostanie w baku (p), a przebytÄ… drogÄ… (s). Narysuj wykres tej funkcji. Po ilu kilometrach paliwo
zostanie zużyte. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
12 1250
odp: p(s) = 50 - s; s " )#0; *#; H" 416,7km
100 3
9. Sekretarka prezesa pewnej firmy otrzymuje stałą pensję miesięczną w wysokości 1800zł, 10%
premię uznaniową oraz dodatkowe wynagrodzenie za nadgodziny. W styczniu miała 20 nadgodzin i
otrzymała, wraz z premią 2220zł. A) oblicz stawkę za godzinę nadliczbową, b) napisz wzór funkcji
wyrażającej wynagrodzenie sekretarki (z premią) w zależności od liczby przepracowanych godzin
nadliczbowych. odp: a) 12;b) w(n) = 1980 +12n, n " N