WYKA
AD 6
Funkcjonały liniowe
Jacek Jędrzejewski
1
1 Funkcjonały liniowe, przestrzeń dualna
Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K. Ciało K two-
rzy przestrzeń liniową nad ciałem K; oczywiście przestrzeń ta jest jednowy-
miarowa. Jej bazę stanowi np. jedynka ciała K; bazę tę będziemy oznaczali
symbolem (1).
Definicja 1 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w ciało K nazywamy funk-
cjonałem liniowym (lub formą liniową) w przestrzeni V .
Zbiór wszystkich takich przekształceń liniowych, czyli zbiór Hom(V , K)
"
oznaczamy często symbolem V i nazywamy przestrzenią dualną do prze-
strzeni V lub przestrzenią sprzężoną do przestrzeni V .
Załóżmy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową. Zgodnie z twier-
dzeniem o określaniu przekształcenia liniowego każdy funkcjonał liniowy prze-
strzeni V jest jednoznacznie określony przez zdefiniowanie wartości tego
funkcjonału dla wektorów bazy przestrzeni V .
Niech Ć będzie funkcjonałem liniowym przestrzeni V i niech B będzie bazą
przestrzeni V . Przyjmijmy, że
B = (b1, . . . , bn).
Oznaczmy teraz przez ąi wartość funkcjonału Ć dla wektora bi, dla wszyst-
kich liczb i ze zbioru {1, . . . , n}.
Wtedy dla dowolnego wektora x, mającego przedstawienie
x = x1�b1 + . . . + xn�bn,
mamy
Ć(x) = x1�Ć(b1) + . . . + xn�Ć(bn),
czyli
Ć(x) = x1�ą1 + . . . + xn�ąn.
Z tego samego twierdzenia wynika, że dla ustalonych elementów �1, . . ., �n
z ciała K i ustalonej bazy B przestrzeni V istnieje jedyny funkcjonał liniowy
� określony w przestrzeni V i taki, że �(bi) = �i dla każdego elementu i ze
zbioru {1, . . . , n}.
Tak więc macierzą funkcjonału liniowego względem baz B i (1) jest ma-
cierz, mająca jeden wiersz.
2
Możemy więc zapisać wartości funkcjonału liniowego Ć dla argumentu x
w sposób następujący:

"
Ć(x) = Ć x , gdzie Ć = Ć .
B B B (1),B
W efekcie wartość Ć(x) jest równa
n

xi�ąi. (1)
i=1
Załóżmy, że w przestrzeni V mamy dwie bazy B i B . W ciele K, oczywiście,
wybraliśmy 1 jako bazę przestrzeni K nad ciałem K.
Jeśli
B = (b1, . . . , bn) i B = (b , . . . , b )
1 n

i C jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B , gdzie C = łij , to z twier-
dzenia o zmianie baz wynika, że

"
Ć = Ć C,
B B
gdyż macierzą przejścia od bazy złożonej z jedynki ciała K do tej samej bazy
jest macierz jednostkowa stopnia pierwszego.
Twierdzenie 2 Jeśli V jest n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem
K, to przestrzeń dualna do niej ma też wymiar n.
D o w ó d. Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą przestrzeni liniowej
V .
Dla każdej liczby i ze zbioru {1, . . . , n} istnieje funkcjonał liniowy b" w
i
przestrzeni V taki, że
b"(bj) = �ij.
i
"
Udowodnimy, że funkcjonały b", . . . , b" stanowią bazę przestrzeni V
1 n
Jeśli
ą1�b" + . . . + ąn�b" = Ś,
1 n
gdzie Ś jest funkcjonałem zerowym, to dla każdego wektora x z przestrzeni V
mamy
ą1�b"(x) + . . . + ąn�b"(x) = Ś(x).
1 n
3
Podstawiając w miejsce wektora x wektor bi z bazy B mamy
ą1�b"(bi) + . . . + ąi�b"(bi) + . . . + ąn�b"(bi) = 0,
1 i n
skąd wynika, że ąi = 0.
I tak się dzieje, gdy i przebiega zbiór {1, . . . , n}.
Zatem funkcjonały b", . . . , b" są liniowo niezależne.
1 n
Niech teraz Ć będzie dowolnym funkcjonałem w przestrzeni V .
Jeśli przyjmiemy, że Ć(bi) = �i, to
Ć = �1�b" + . . . + �n�b",
1 n
n

gdyż dla każdego wektora x, mającego postać x = ąi�bi, mamy
i=1
�ł �ł
n n

�ł łł
�j �b" (x) = �j �b"(x) =
j j
j=1 j=1

n n

= �j �b" ąi�bi =
j
j=1 i=1
n n n

= �j �ąi�b"(bi) = �i�ąi�b" (bi) =
j i
j=1 i=1 i=1
n n

= ąi��i = ąi�Ć (bi) =
i=1 i=1

n

= Ć ąi�bi = Ć(x).
i=1
Z rozważań tych wynika, że funkcjonały b", . . . , b" stanowią bazę prze-
1 n
strzeni sprzężonej do przestrzeni V .
"
W taki sposób udowodniliśmy, że dim(V ) = n.
Definicja 3 Bazę (b", . . . , b") opisaną w powyższym twierdzeniu nazywamy
1 n
bazą dualną do bazy (b1, . . . , bn).
""
Z tego twierdzenia możemy wywnioskować, że przestrzeń V , dualna do
"
przestrzeni V , ma wymiar n; przestrzenie te są więc izomorficzne.
""
Przestrzeń V nazywamy czasami przestrzenią bidualną lub dwusprzężo-
ną.
4
Udowodnimy teraz, że wśród izomorfizmów przestrzeni V na przestrzeń
""
V istnieje izomorfizm, który jest określony bez odwoływania się do baz
tych przestrzeni.
Twierdzenie 4 Dla każdego wektora x z przestrzeni V funkcja fx określona
wzorem
fx(Ć) = Ć(x)
dla każdego funkcjonału liniowego Ć przestrzeni V , jest funkcjonałem linio-
"
wym w przestrzeni V .
D o w ó d. Oczywiście funkcja fx ma wartości w ciele K.
Pokażemy, że jest ona funkcjonałem liniowym.
Niech Ć i � będą dowolnymi funkcjonałami liniowymi w przestrzeni V
" "
(czyli Ć " V , � " V ) oraz niech ą będzie dowolnym elementem z ciała K.
Wtedy
fx(Ć + �) = (Ć + �)(x) =
= Ć(x) + �(x) = fx(Ć) + fx(�)
a także
fx(ą�Ć) = (ą�Ć)(x) = ą�Ć(x) = ą�fx(Ć).
""
Tak więc fx " V .
""
Twierdzenie 5 Przekształcenie T : V - V , określone wzorem
T (x) = fx
dla każdego wektora x z przestrzeni V , jest izomorfizmem przestrzeni V na
przestrzeń bidualną.
D o w ó d. Udowodnimy najpierw, że funkcja T jest przekształceniem li-
niowym.
Niech więc x i y będą dowolnymi wektorami z przestrzeni V oraz ą do-
wolnym elementem z ciała K.
"
Wtedy dla dowolnego funkcjonału Ć, należącego do przestrzeni V mamy:
T (x + y)(Ć) = fx+y(Ć) =
5
= Ć(x + y) = Ć(x) + Ć(y) =

= fx(Ć) + fy(Ć) = fx + fy (Ć) = T (x) + T (y) (Ć),
co dowodzi równości
T (x + y) = T (x) + T (y)
oraz podobnie
T (ą�x)(Ć) = fą�x(Ć) =
Ć(ą�x) = ą�Ć(x) = ą � fx(Ć) =

= ą � fx (Ć) = ą�T (x) (Ć),
czyli
T (ą�x) = ą�T (x).
Tak więc funkcja T jest homomorfizmem.
Niech teraz (b1, . . . , bn) będzie bazą przestrzeni V .
"
Istnieje dualna do niej baza przestrzeni V , jak zwykle oznaczmy ją jako
(b", . . . , b").
1 n
"" "
Przestrzeń V jest przestrzenią dualną do przestrzeni V . Zatem
T (x)(Ć) = Ć(x)
dla każdego wektora x z przestrzeni V i każdego funkcjonału liniowego Ć
z tej przestrzeni.
W szczególności

T (bi) b" = b"(bi) = �ij,
j j
""
co dowodzi, że wektory T (b1), . . . , T (bn) stanowią bazę przestrzeni V du-
alną do bazy (b", . . . , b").
1 n
Ponieważ homomorfizm T przekształca wektory bazy przestrzeni V w wek-
""
tory bazy przestrzeni V , więc T jest izomorfizmem.
Opisany w powyższym twierdzeniu izomorfizm nazywa się kanonicznym,
gdyż nie zależy on od wyboru baz w rozważanych przestrzeniach.
O ile w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych przestrzenie V
""
i V są izomorficzne, to nie zawsze tak być musi, gdy przestrzeń V jest
nieskończenie wymiarowa.
Przestrzeń liniową, dla której przestrzeń bidualna jest izomorficzna z nią,
nazywamy przestrzenią samosprzężoną.
6
W przypadku przestrzeni samosprzężonej V możemy utożsamić wektor x
""
z jego obrazem T (x) w przestrzeni V .
Wtedy możemy przyjąć, że
x(Ć) = Ć(x)
dla dowolnego funkcjonału liniowego Ć w przestrzeni V .
Twierdzenie 6 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to
"
każda baza przestrzeni V jest dualna do pewnej bazy przestrzeni V .
"
D o w ó d. Niech b", . . . , b" będzie dowolną bazą przestrzeni V .
1 n
""
W przestrzeni bidualnej V istnieje baza dualna do bazy b", . . . , b"; oznacz-
1 n
my ją jako y1, . . . , yn.
Jeśli T jest izomorfizmem kanonicznym przestrzeni V na przestrzeń bidu-
""
alną V , opisanym w poprzednim twierdzeniu, to wektory
-1 -1
T (y1), . . . , T (yn)
stanowią bazę przestrzeni V .
Wtedy

-1
b" T (yi) = yi b" = �ij,
j j
Wnioskujemy stąd, że baza złożona z wektorów b", . . . , b" jest dualna do
1 n
-1 -1
bazy T (y1), . . . , T (yn).
7
2 Przekształcenia sprzężone
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A  przekształ-
ceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Dla każdego funkcjonału liniowego Ć w przestrzeni W możliwe jest złożenie
Ć ć% A.
" " "
Tak więc w przestrzeni W możemy określić przekształcenie A" : W - V
określone wzorem
A"(Ć) = Ć ć% A
dla każdego funkcjonału liniowego w przestrzeni W .
Przekształcenie to (czyli A") nazywamy przekształceniem transponowa-
nym (lub sprzężonym lub dualnym) do przekształcenia A.
"
Udowodnimy, że to przekształcenie jest liniowe w przestrzeni W .
Istotnie, niech Ć1 i Ć2 będą dowolnymi funkcjonałami liniowymi w prze-
strzeni W oraz ą  dowolną liczbą z ciała K.
Wtedy:
A"(Ć1 + Ć2) = (Ć1 + Ć2) ć% A = Ć1 ć% A + Ć2 ć% A = A"(Ć1) + A"(Ć2) =
= A"(Ć1) + A"(Ć2)
oraz
A"(ą � Ć1) = (ą � Ć1) ć% A = ą � (Ć1 ć% A) = ą � A"(Ć1).
Powyższe warunki dowodzą liniowości przekształcenia A".
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi i B
oraz D bazami w tych przestrzeniach.
Symbolami B" i D" oznaczmy bazy sprzężone z bazami B i D odpowiednio.
Twierdzenie 7 Jeśli przekształcenie liniowe A przestrzeni V w przestrzeń
W ma macierz A względem baz B i D, to macierz At jest macierzą prze-
kształcenia A" względem baz D" i B".
8