22
Relacje
Niech X i Y oznaczają dowolne niepuste zbiory. Zbiór X �Y = {(x, y) : x " X '" y "Y} nazywamy produktem
2
kartezjańskim zbiorów X i Y. Jeśli Y = X, to produkt X � X oznaczamy symbolem X i nazywamy drugą potęgą
kartezjańską zbioru X.
Dowolny podzbiór ! produktu X � Y nazywamy relacją dwuczłonową zachodzącą między elementami zbio-
ru X i elementami zbioru Y. Jeśli !�" X � X , to mówimy, że relacja ! zachodzi między elementami zbioru X.
Niech ! �" X �Y . Rzut relacji na oś odciętych (poziomą) nazywamy dziedziną tej relacji, rzut relacji na oś
rzędnych (pionową) nazywamy jej zbiorem wartości.
1. Przykład
2 2
! = {(x, y) " R2 : x2 + y2 e" 4x} = {(x, y) " R : (x - 2)2 + y e" 4}
D! = R , V! = R
2. Przykład
ńł x
= 1 dla x > 0,
�ł
| x | �ł
x
! = {(x, y) " R2 : y = } =
�ł
- x
x
�ł -1 dla x < 0,
=
�ł
ół x
D! = R \ {0} , V! = {-1,1} .
42
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
Relacja !�"X�Y jest prawostronnie jednoznaczna, jeśli spełnia warunek
"x"X "y1, y2"Y[(x, y1) "! '" (x, y2)"! �! y1 = y2]
(proste pionowe (równoległe do osi rzędnych) przecinają ! w co najwyżej jednym punkcie).
23
Funkcje (odwzorowania)
Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Relację f �" X �Y nazywamy funkcją f : X Y , gdy ma
ona następujące własności:
1) jej dziedziną jest zbiór X, tzn. "x"X "y"Y (x, y) " f ;
2) jest ona prawostronnie jednoznaczna, tzn.
"x"X " [(x, y1) " f '" (x, y2 ) " f �! y1 = y2].
y1,y2"Y
Ponieważ dla danego x " X istnieje dokładnie jedno y takie, że (x, y) " f , przeto to jedyne y oznaczamy
przez f (x) i nazywamy wartością funkcji f w punkcie x.
Jeśli f : X Y , to czytamy: f jest funkcją ze zbioru X w zbiór Y. Zbiór X nazywamy przy tym dziedziną
(zbiorem argumentów) odwzorowania f, zbiór V = {f (x) :x " X}nazywamy zbiorem wartości funkcji f.
f
Funkcje x f (x) , x g(x) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
1� są określone na tej samej dziedzinie D,
2� "x"D f (x) = g(x) .
3. Przykład
1 x -1
Zbadaj równość funkcji: f : R �" D R, f (x) = ; g : R �" Dg R, g(x) = .
f
x +1
x2 -1
Ponieważ D = R \{-1}, Dg = R \{-1,1}, więc nie jest spełniony pierwszy warunek definicji.
f
4. Przykład
Zbadaj równość funkcji: f : R R, f (x) = x; g : R R, g(x) = x2 .
W tym przypadku D = R = Dg , lecz f (-1) = -1, g(-1) = 1 . Funkcje nie są równe.
f
24
Funkcje monotoniczne
Funkcja rosnąca
"x1,x2"D f [x1 < x2 �! f (x1) < f (x2 )]
Funkcja nierosnąca
"x1,x2"D f [x1 < x2 �! f (x1) e" f (x2 )]
Funkcja malejąca
"x1,x2"D f [x1 < x2 �! f (x1) > f (x2 )]
Funkcja niemalejąca
"x1,x2"D f [x1 < x2 �! f (x1) d" f (x2 )]
Funkcja stała
"x1,x2"Df [ f (x1) = f (x2 )]
43
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
Funkcję nazywamy przedziałami monotoniczną, jeśli jej dziedzinę można przedstawić w postaci sumy prze-
działów takich, że na każdym z tych przedziałów funkcja jest monotoniczna.
5. Przykład
Funkcja f = (x 2x - 4) :R R jest rosnąca. Jest to przykład funkcji liniowej. Funkcja liniowa określona jest wzo-
rem f = (x ax + b) :R R , gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Funkcja ta jest rosnąca wtedy i tylko
wtedy, gdy a > 0 ; jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy a < 0 ; dla a = 0 funkcja liniowa jest stała.
6. Przykład
1
Funkcja f : R \ {0} R, f (x) = jest przedziałami monotoniczna: jest malejąca w przedziale (-", 0) oraz malejąca w
x
przedziale (0, ") .
7. Przykład
2
Funkcja f : R R, f (x) = x jest przedziałami monotoniczna: jest malejąca w przedziale (-", 0] oraz rosnąca w
przedziale [0, ") .
25
Funkcja odwrotna
Jeśli w funkcji zdaniowej definiującej relację ! zamienimy miejscami zmienne x i y, to otrzymujemy funkcję
zdaniową definiującą relację odwrotną !-1 . Wykres relacji !-1 można otrzymać z wykresu relacji ! w tym samym
układzie współrzędnych Oxy przez symetryczne odbicie względem prostej o równaniu y = x .
44
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
8. Przykład
2
!2 = {(x, y) :y > x2 - 4} !2 -1 = {(x, y) :x > y - 4}
Funkcja jako relacja jest odwracalna, lecz relacja do niej odwrotna nie musi być też funkcją, np.
2
! = {(x, y) :y = x2 - 4} jest funkcją, !-1 = {(x, y) :x = y - 4} nie jest funkcją.
W sytuacji, gdy obie relacje ! i !-1 są funkcjami mówimy, że relacja ! jest funkcją odwracalną.
Funkcja f jest funkcją odwracalną, jeśli jest relacją lewostronnie jednoznaczną.
Relacja !�"X�Y jest lewostronnie jednoznaczna, jeśli spełnia warunek
"x1,x2"X "y"Y[(x1, y)"! '" (x2, y)"! �! x1 = x2]
(proste poziome (równoległe do osi odciętych) przecinają ! w co najwyżej jednym punkcie).
-1
Wykres funkcji f można otrzymać z wykresu funkcji f w tym samym układzie współrzędnych Oxy przez symetryczne
odbicie względem prostej o równaniu y = x .
9. Przykład
Zbuduj funkcję odwrotną funkcji f = (x 2x - 6): [-1;3] R .
Znajdujemy V = D -1
= [- 8;0].
f
f
-1
Funkcja f określona jest przez wzór x = 2y - 6 (w napisie y = 2x - 6 zamieniliśmy rolami zmienne). Po wyliczeniu
-1
1 1
y mamy y = x + 3 . Zatem f = (x x + 3) : [-8;0] R .
2 2
45
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
10. Przykład
Funkcjami wzajemnie odwrotnymi są funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna.
-1
f = (x ax), a > 1 f = (x loga x), a > 1
-1
f = (x ax), 0 < a < 1 f = (x loga x), 0 < a < 1
11. Przykład
Funkcje trygonometryczne nie są odwracalne w całych swoich dziedzinach. Każda z nich ma jednak przedziały, w któ-
rych jest różnowartościowa, czyli odwracalna. W związku z tym przyjmujemy następujące określenia:
f (x) = sin x
-1
�ł �ł
�łsin łł �ł
Funkcja odwrotna: arcsin = �ł- Ą Ą :[-1,1] R
,
�ł �ł
�ł śł
2 2
�ł �ł
�ł łł
46
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
f (x) = cos x
-1
�łcos �ł
Funkcja odwrotna arccos = �ł
[0,Ą]�ł :[-1,1] R
�ł łł
f (x) = tgx
-1
�ł �ł
�ł �ł
Ą Ą
Funkcja odwrotna arctg = tg �ł �ł : R R
�ł - , �ł
�ł �ł
2 2
�ł łł
�ł łł
f (x) = ctgx
-1
�łctg �ł
arcctg = �ł �ł : R R
(0,Ą)
�ł łł
Funkcje te nazywamy funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi).
47
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
26
Funkcja zło ona
Niech będą dane funkcje f1 i f2 . Jeśli V )" D `" " , to funkcję x f2(f1(x)) nazywamy funkcją złożoną
f1 f2
z funkcji f1 i f2 i oznaczamy symbolem f2 f1 .
12. Przykład
Zbuduj funkcje złożone f2 f1 , f1 f2 , jeśli: f1 : R R, f1(x) = x3; f2 : R R, f2 (x) = x -1 .
f2 f1 = (x x3 -1) : R R ,
f1 f2 = (x (x -1)3) : R R .
13. Przykład
Zbuduj funkcje złożone f2 f1 , f1 f2 , jeśli: f1 : R R, f1(x) = sin x; f2 : R R, f2 (x) = 2x -1 .
f2 f1 = (x 2sin x -1) : R R ,
f1 f2 = (x sin(2x -1)) : R R .
Fakt.
-1
Funkcja rosnąca oraz funkcja malejąca są odwracalne i przy tym obie funkcje f i f są tego samego rodzaju monoto-
niczności.
Fakt.
Funkcja złożona z dwu funkcji tej samej monotoniczności (tzn. rosnących albo malejących) jest funkcją rosnącą. Funkcja
złożona z dwu funkcji różnej monotoniczności (tzn. rosnącej z malejącą albo malejącej z rosnącą) jest funkcją malejącą.
14. Przykład
Zbadamy monotoniczność funkcji określonej wzorem f (x) = arcsin(log2 x) .
Ponieważ f = f2 f1 , gdzie f1 = (x log2 x) , f2 = (x arcsin x) są funkcjami rosnącymi, więc dana funkcja jest
funkcją rosnącą (jako złożenie dwu funkcji rosnących).
27
Funkcje elementarne
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygono-
metryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą
skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.
" Moduł jest funkcją elementarną, gdyż | x | = x2 dla każdego x " R .
" Wielomianem nazywamy funkcję W : R R określoną wzorem
W (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
gdzie n " N *"{0}, oraz ai " R dla 0 d" i d" n , przy czym an `" 0 . Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu W.
" Funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwu wielomianów, nazywamy funkcją wymierną.
48
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
a b
ax + b
Funkcję f : R �" D R, f (x) = ;c `" 0; `" 0 nazywamy homografią. Wykresem homografii jest hiper-
cx + d c d
bola.
Jeśli stopień wielomianu L(x) jest mniejszy niż stopień wielomianu M(x), to funkcję nazywamy funkcją wymierną
właściwą. Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
x4 + 2x2 + x (x4 + x2 ) + (x2 + x) x2 (x2 +1) + (x2 +1) + (x -1) x -1
= = = x2 +1+
x2 +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1
A
Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
(x - a)n
Ax + B
Ułamkiem prostym drugiego rodzaju jest funkcja ; " = b2 - 4ac < 0
(x2 + px + q)n
Fakt.
Każdą funkcję wymierną właściwą możemy zapisać w postaci sumy ułamków prostych właściwych.
15. Przykład
x + 1
Funkcję wymierną przedstawić w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
x2 - x
Rozwi zanie.
Mianownik jest rozkładalny na iloczyn czynników, więc dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na sumę ułamków
prostych:
x + 1 x + 1 A B A(x -1) + Bx (A + B)x - A
= = + = =
x(x
x2 - x -1) x x -1 x(x -1) x(x -1)
Współczynniki A, B wyznaczamy z tożsamości
x + 1 = (A + B)x - A
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
A + B =1,
ńł
�ł
- A =1.
ół
x + 1 1 2
Dlatego = - + .
x x -1
x2 - x
16. Przykład
x2 +1
Funkcję wymierną przedstawić w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
x2 -1
Rozwi zanie.
Nie jest to funkcja wymierna właściwa (stopień licznika nie jest mniejszy od stopnia mianownika), wykonujemy dziele-
nie wielomianów.
x2 + 1 (x2 -1) + 2 2
= =1 + .
x2 -1 x2 -1 x2 -1
Do drugiego składnika stosujemy rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych.
2 2 A B A(x - 1) + B(x + 1) (A + B)x + (-A + B)
= = + = =
(x + 1)(x -1) x + 1 x - 1 (x + 1)(x -1) (x + 1)(x -1)
x2 -1
Współczynniki A, B wyznaczamy z tożsamości
49
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
2 = (A + B)x + (-A + B)
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
ńł A + B = 0,
�ł
ół- A + B = 2.
2 1 1
Dlatego = - + . Ostatecznie mamy
x +1 x -1
x2 -1
x2 + 1 1 1
=1 - + .
x + 1 x -1
x2 -1
17. Przykład
x2 - 4x - 5
Funkcję wymierną przedstawić w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
x3 + 2x2 + 2x
Rozwi zanie.
x2 - 4x - 4 x2 - 4x - 4 A Bx + C A(x2 + 2x + 2) + (Bx + C)x
= = + = =
x
x3 + 2x2 + 2x x(x2 + 2x + 2) x2 + 2x + 2 x(x2 + 2x + 2)
A(x2 + 2x + 2) + (Bx + C)x (A + B)x2 + (2A + C)x + 2A
= =
x(x2 + 2x + 2) x(x2 + 2x + 2)
ńł A + B =1 A = -2
ńł
x2 - 4x - 4 2 3x
�ł �ł
B = 3 = - +
�ł2A + C = -4 �ł
x
x3 + 2x2 + 2x x2 + 2x + 2
�ł �ł
2A = -4 C = 0
ół ół
18. Przykład
x2 -1
Funkcję wymierną przedstawić w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
x3 + 2x2
Rozwi zanie.
x2 -1 x2 -1 A B C Ax(x + 2) + B(x + 2) + Cx2 (A + C)x2 + (2A + B)x + 2B
= = + + = =
x
x3 + 2x2 x2(x + 2) x2 x + 2 x2(x + 2) x2(x + 2)
1
ńł
A =
ńł A + C = 1
�ł
x2 -1 1 1 3
�ł �łB = -4
1
= - +
�ł2A + B = 0 �ł
2
x3 + 2x2 4x 2x2 4(x + 2)
�ł �ł
3
2B = -1
C =
ół �ł
ół 4
19. Przykład
x4 - x3 + x2 +1
Funkcję wymierną przedstawić w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
x3 + x
Rozwi zanie.
Ponieważ wielomian występujący w mianowniku ma stopień mniejszy niż wielomian występujący w liczniku, więc w
wyniku dzielenia otrzymamy
x4 - x3 + x2 +1 x +1
= x -1+ .
x3 + x x3 + x
Z kolei
x +1 x +1 A Bx + C
= = + .
x
x3 + x x(x2 +1) x2 +1
Współczynniki A, B i C wyznaczamy z tożsamości
x +1 = A(x2 +1) + (Bx + C)x = (A + B)x2 + Cx + A
(przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach):
50
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.
A + B = 0,
ńł
�ł
C = 1,
�ł
�łA = 1
ół
x +1 1 x -1
Dlatego = - . Ostatecznie mamy
x
x3 + x x2 +1
x4 - x3 + x2 +1 x +1 1 x -1
= x -1+ = x -1+ - .
x
x3 + x x3 + x x2 +1
51
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcja jako relacja  wykład 4.