1
Wykład z matematyki nr. 2
Złożenie funkcji
Niech symbole A,B,C oznaczają niepuste zbiory oraz funkcje f : A B, g : B C, przy założeniu, że f(A) �� D .
g
Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję oznaczaną gć%f określoną następująco: Punktowi x " A przyporządkowujemy
punkt g(f(x)) " C. Funkcję, która  działa w pierwszej kolejności (w powyższej sytuacji jest to funkcja f) nazywamy
funkcją wewnętrzną, a funkcję, która  działa potem (w naszej sytuacji jest to funkcja g) nazywamy funkcją
zewnętrzną. Dziedziną funkcji gć%f będzie zbiór takich x z dziedziny funkcji f, że f(x) należy do dziedziny funkcji g.
Funkcje różnowartościowe i funkcja odwrotna
Funkcję f : A B nazywamy różnowartościową, jeśli
x,y �� D x `" y �! f(x) `" f(y) . .
f ^
Jeśli funkcja f jest różnowartościowa, to dla każdego y ze zbioru wartości funkcji f istnieje tylko jeden x " A, taki że
f(x) = y.
To przyporządkowanie każdemu y jednego x oznaczamy x = f -1(y), a funkcję f -1 nazywamy funkcją odwrotną do
(albo względem) funkcji f.
Funkcje rosnące, malejące, parzyste, nieparzyste
Zajmować się będziemy teraz wyłącznie funkcjami określonymi na zbiorach liczb rzeczywistych i o wartościach
rzeczywistych. Niech A �" Ą� . Mówimy, że funkcja f : A Ą� jest
�� rosnąca, jeśli x > y �! f(x) > f(y).
�� malejąca, jeśli x > y �! f(x) < f(y).
�� nierosnąca, jeśli x > y �! f(x) d" f(y).
�� niemalejąca, jeśli x > y �! f(x) e" f(y).
Wszystkie powyższe funkcje nazywamy funkcjami monotonicznymi. Funkcję rosnącą i malejącą nazywamy funkcjami
ściśle monotonicznymi.
Funkcję f : Ą� Ą� nazywamy:
ż� parzystą, jeśli f(-x) = f(x),
ż� nieparzystą jeśli f(-x) = -f(x).
2 4 3
Przykładami funkcji parzystych są funkcje x , x , cos x a nieparzystych x, x , sin x.
Funkcje elementarne
Omówimy najważniejsze funkcje występujące w zastosowaniach. Podstawowymi funkcjami elementarnymi są:
funkcja liniowa f(x) = ax + b, a`"0,
funkcja potęgowa f(x) = xą, gdzie ą " Ą� ,
funkcja wykładnicza f(x) = ax, gdzie a > 0,
funkcja sinus f(x) = sin x.
2
Mając do dyspozycji operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, złożenia i funkcję odwrotną,
otrzymujemy z powyższych wszystkie funkcje elementarne.
Omówmy niektóre z nich.
Wielomianem stopnia n-tego nazywamy funkcję W(x)= a xn+a xn-1+& +a x+a , a0`"0 Funkcja liniowa f(x)
0 1 n-1 n
= ax + b, a`"0 jest wielomianem 1-go rzędu. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Funkcja liniowa jest rosnąca gdy
a > 0 i malejąca gdy a < 0. Gdy a `" 0 funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe w punkcie x = -b/a. Funkcja liniowa
opisuje wiele zjawisk ekonomicznych.
Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci f(x)=xą. Dziedzina funkcji xą zależy od ą. Np. gdy ą jest liczbą
całkowitą dodatnią dziedziną jest Ą� , gdy liczbą całkowitą ujemną dziedziną jest Ą� \{0}, gdy liczbą niewymierną
dziedziną jest zbiór {x " Ą� : x > 0}.
Funkcja wykładnicza jest to funkcja postaci f(x)=ax, gdzie a>0 i a`"1. Dziedziną funkcji wykładniczej jest Ą� .
Funkcja wykładnicza jest rosnąca gdy a>1 i malejąca gdy a<1. Szczególnie ważną rolę w matematyce (i nie tylko)
odgrywa funkcja wykładnicza ex, gdzie liczba e równa się w przybliżeniu 2,7182.
Rysunek. Wykres funkcji y = ex
Funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej ax nazywamy funkcją logarytmiczną f(x) = log x, gdzie a > 0 i a `"
a
1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.
Funkcję odwrotną do funkcji ex nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy ln x.
Rysunek. Wykres funkcji y = ln x .
Wystarczy dobrze znać jedną funkcję wykładniczą i jedną funkcję logarytmiczną, aby móc badać wszystkie inne. Niech
bowiem a, b > 0. Wówczas ze wzoru b=alogab mamy
(1) bx = a {logab } x.
Zatem funkcja wykładnicza h(x) = bx jest złożeniem funkcji liniowej f(x) = (log b)�x (funkcja wewnętrzna) oraz
a
funkcji wykładniczej g(y) = ay (funkcja zewnętrzna).
W szczególności gdy a = e otrzymujemy bx = elnb�x. Podobną sytuację mamy w przypadku logarytmów. Mamy
mianowicie wzór
(2) log x = log x/ log b .
b c c
Zatem funkcja log x jest iloczynem funkcji log x i funkcji stałej 1/log b. W szczególności wstawiając c = e mamy
b c c
3
(3) log x = lnx / lnb
b
Funkcje trygonometryczne
Wykres funkcji sinus
Wykres funkcji cosinus
Wykres funkcji tangens :
Wykres funkcji cotangens
Funkcje trygonometryczne. Tą nazwą określamy funkcje
sin(x), cos(x) =sin(Ą/2-x), tg(x) = sin x/cosx i ctg x =1/tg x.
4
Funkcje te są tzw. funkcjami okresowymi. Mianowicie okresem funkcji sin i cos jest liczba 2Ą (to znaczy, że sin(x+2Ą)
= sinx i cos(x+2Ą) = cosx), a okresem funkcji tg i ctg jest liczba Ą (to znaczy tg(x+Ą) = tg x i ctg(x + Ą) = ctg x). Dziedziną
funkcji sin i cos jest zbiór Ą� , a zbiorem wartości przedział [-1; 1].
Dziedziną funkcji tg jest zbiór Ą� \ {Ą/2 + kĄ : k = 0, ą1, ą2, . . .} a funkcji ctg zbiór Ą� \ {kĄ : k = 0, ą1, ą2, . . .}.
Zbiorem wartości funkcji tg i ctg zbiór Ą� .
Funkcje trygonometryczne opisują zjawiska mające charakter cykliczny, powtarzający się.
FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE (funkcje kołowe)
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do
pewnych przedziałów.
Funkcja sinus nie jest funkcją różnowartościową w Ą� . Jest natomiast funkcją różnowartościową w przedziale [-Ą/2;
Ą/2] i przekształca go w przedział [-1; 1].Istnieje więc funkcja odwrotna, oznaczana arcsin, przekształcająca przedział
[-1; 1]w przedział [-Ą/2; Ą/2]. Analogicznie funkcja cos jest różnowartościowa w przedziale[0; Ą] i przekształca go w
przedział [-1; 1]. Istnieje więc funkcja odwrotna, oznaczana arccos, przekształcająca przedział [-1; 1] w przedział
[0; Ą].
Podobnie funkcja tg nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie, ale jest różnowartościowa w przedziale (otwartym!)
(-Ą/2; Ą/2) i przekształca ten przedział w Ą� . Zatem funkcja odwrotna arctg przekształca Ą� w przedział (-Ą/2; Ą/2).
Analogicznie funkcja arcctg przekształca Ą� w przedział (0; Ą).
Definicja 1. Funkcję odwrotną do funkcji sin (sinus) obciętej do przedziału [-Ą/2 , Ą/2] nazywamy arc sin (arkus
sinus). Mamy zatem arc sin x = y �!�! sin y = x dla - 1d" x d"1,-Ą/2d" y d"Ą/2. Dziedziną funkcji arc sin jest przedział [-1,
1] , zaś zbiorem wartości przedział [-Ą/2, Ą/2] .
Definicja 2. Funkcję odwrotną do funkcji cos (cosinus) obciętej do przedziału [0, Ą] nazywamy arccos (arkus cosinus).
Mamy zatem arc cos x = y �!�! cos y = x dla - 1 d" x d" 1, 0 d" y d" Ą. Dziedziną funkcji arc cos jest przedział [-1, 1], zaś
zbiorem wartości przedział [0, Ą].
5
Definicja 3. Funkcję odwrotną do funkcji tg (tangens) obciętej do przedziału (-Ą/2 , Ą/2) nazywamy arctg (arkus
tangens). Mamy zatem arc tg x = y �!�! tg y = x dla x " Ą� , -Ą/2wartości przedział (-Ą/2, Ą/2) .
Definicja 4. Funkcję odwrotną do funkcji ctg (cotangens) obciętej do przedziału (0, Ą) nazywamy
arcctg (arkus cotangens). Mamy zatem arc ctg x = y �!�! ctg y = x dla x " Ą� , 0 < y < Ą.Dziedziną funkcji arc ctg
jest Ą� , zaś zbiorem wartości przedział (0, Ą).
Uwaga 5. Wykresy funkcji cyklometrycznych otrzymujemy odbijając symetrycznie względem prostej y = x wykresy
funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów:
6
Podstawowe tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi
arcsin x + arccos x =Ą/2, dla każdego x " [-1, 1].
arctg x + arcctg x =Ą/2, dla każdego x " Ą� .
Definicja
Ciągiem f w zbiorze liczb rzeczywistych R, nazywamy funkcję f : N� �� R� , określoną na zbiorze liczb naturalnych N�
o wartościach w zbiorze R�.
Oznaczenie ciągu:
xn n��Ą� , gdzie
(� )�
xn =� f (�n)�
dla n �� Ą�
tj. zamiast funkcji f operujemy zbiorem jej wartości zapisanych w powyższy sposób.
xn , xn zamiast xn n��N , xn n��N
Będziemy często pisali w skrócie (� )� {� }� (� )� {� }�
Ciąg liczbowy nazywamy ograniczonym jeśli jego zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym. Możemy to zapisać tak:
ciąg jest ograniczony gdy
Ciąg liczbowy nazywamy rosnącym (malejącym), jeśli
a > a (a < a ).
n+1 n n+1 n
Ciąg liczbowy nazywamy niemalejącym (nierosnącym), jeśli
a e" a (a d" a ).
n+1 n n+1 n
Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym. W wypadku funkcji będącej ciągiem mamy możliwość
tzw. rekurencyjnego definiowania ciągu. Robi się to w sposób następujący:
Krok 1: Podajemy wartość pierwszego wyrazu ciągu.
Krok 2: Podajemy wzór na n+1-szy wyraz ciągu w zależności od n-tego wyrazu ciągu.
Ważnymi przykładami ciągów są znane ze szkoły ciągi arytmetyczne i geometryczne. Ciąg (a ) nazywamy ciągiem
n
arytmetycznym jeśli spełnia warunki:
" a jest dowolną liczbą rzeczywistą,
1
" każdy następny wyraz różni się od poprzedniego o ustaloną liczbę r.
Daje to wzór na n-ty wyraz a = a + (n - 1)r.
n 1
Warto przytoczyć wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S = a + a + � � � + a = na + n(n - 1)r/2.
n 1 2 n 1
Ciąg (a ) nazywamy ciągiem geometrycznym jeśli spełnia warunki:
n
" a jest dowolną liczbą rzeczywistą,
1
" każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie przez ustaloną liczbę q `" 1 (jeśli q = 1, to ciąg
jest ciągiem stałym).
7
Daje to wzór na n-ty wyraz
a = a q(n-1).
n 1
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest następujący:
S = a + a + � � � + a = a (qn  1)/(q  1).
n 1 2 n 1
Zastosowanie tych ciągów można zilustrować poniższymi ważnymi przykładami.
Oprocentowanie proste. Składamy w banku kwotę K. Co pewien ustalony okres tylko kwota K podlega
oprocentowaniu ze stopą procentową p. Zatem po pierwszym okresie będziemy dysponować kwotą
K = K + pK = K(1 + p).
1
Po drugim okresie będziemy mieli kwotę
K = K + pK = K(1 + 2p)
2 1
i po n okresach kwotę
K = K(1 + np).
n
Zatem (K ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy pK.
n
Oprocentowanie składane. Przy tego rodzaju oprocentowaniu na końcu okresu odsetki obliczamy od całej kwoty jaką
mieliśmy na początku okresu. I tak po pierwszym okresie będziemy mieli kwotę
K = K + pK = K(1 + p),
1
czyli tyle samo co przy oprocentowaniu prostym. Ale po drugim okresie będziemy mieli kwotę
K = K + K p = K(1 + p)2,
2 1 1
a po n-tym kwotę
K = K(1 + p)n.
n
Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1 + p.
Ciągi zbieżne
Niech (a ) będzie ciągiem liczbowym i niech a " Ą� . Mówimy, że ciąg (a ) jest zbieżny do a wtedy i tylko wtedy,
n n
gdy
Ł� �� Ł�
an-�a<�e�
e� >�0 N0��Ą� n>�N0
To, że ciąg (a ) jest zbieżny do a oznaczamy symbolicznie
n
a a lub =� a ,
n lim an
n��Ą�
a liczbę a nazywamy granicą ciągu (a ).
n
Ciągi, które nie są zbieżne (nie maja granicy) nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Można pokazać, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Niech ciągi (a ) i (b ) będą zbieżne, wówczas słuszne są wzory:
n n
Jeśli dodatkowo założymy, że b `" 0 i ą� 0, to
n limbn
n��Ą�
8
Zauważmy, że ciąg (a +b ), (a b ) może być zbieżny ale ciągi (a ) i (b ) nie muszą być zbieżne.
n n n n n n
Na przykład a =n i b =-n, a =n2 i b =1/n2.
n n n n
Wśród ciągów rozbieżnych rozróżniamy ciągi rozbieżne do plus i minus nieskończoności.
Mówimy, że ciąg (a ) jest rozbieżny do +" (-") jeśli
n
an>�R (an<�-�R)
Ł� �� Ł�
R>�0 N0��Ą� n>�N0
.
Oczywistym jest, że jeśli ciąg (a ) jest rozbieżny do +" (-"), to ciąg b =1/a jest zbieżny do zera.
n n n
Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
Liczba e i oprocentowanie ciągłe
Zajmiemy się teraz pewnym ważnym ciągiem powstającym w sposób naturalny przy naliczaniu tzw. oprocentowania
ciągłego. Przypuśćmy, że oprocentowanie wynosi p w skali okresu i bank dzieli cały okres na n równych podokresów i
po każdym z nich nalicza oprocentowanie składane. Wówczas procent każdego podokresu wynosi p/n i na mocy
znanego nam już wzoru na oprocentowanie składane kwota po m-tym podokresie wyniesie
m
p
ć�1+� ��
K =� K ,
m �� ��
n
Ł� ł�
(K jest kwotą początkową złożoną w banku). Przypuśćmy, że dzielimy nasz okres na coraz więcej podokresów.
Odpowiada to sytuacji, że n dąży do ". Pytamy się, do czego wówczas dąży K (zależne od n). Na początek załóżmy,
m
że K = 1, p = 1 i m = n. Mamy wówczas ciąg
n
1
ć�1+� ��
.
�� ��
n
Ł� ł�
Okazuje się, że granicą tego ciągu istnieje i jest nią liczba e, poznana już przy okazji wprowadzania funkcji
wykładniczej, która jest postawą logarytmów naturalnych.
Wiedząc o tym możemy teraz przyjąć K, p dowolne, a t niech będzie czasem, po którym chcemy sprawdzić naszą
kwotę, mierzonym w jednostce równej długości naszego okresu, np. w latach, miesiącach itd. Wtedy na czas t musimy
 zużyć tn podokresów. Czyli k= tn. Podstawmy n/p = k. Otrzymujemy wówczas
m
ć� ��
m �� ��
p
ć�1+� ��
��1+� 1 ��
=� K =� K =�
lim Km lim lim
�� ��
�� ��
n ć� ��
n
Ł� ł�
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
�� ��
�� ��
p
Ł� ł�
Ł� ł�
tn
m/k
n
��ć� 1 ��k ł� ��ć� 1 ��k ł�
p
= K =� K =� Ketp
lim ę���1+� �� ś� lim ę���1+� �� ś�
ę�Ł� k ł� ś� ę�Ł� k ł� ś�
k ��Ą� k ��Ą�
�� �� �� ��
Ostatecznie otrzymujemy więc wzór na stan konta po okresie t przy oprocentowaniu ciągłym w skali p:
K (t) =� etp
.