WYKA
AD 7
Funkcjonały dwuliniowe
Jacek Jędrzejewski
1
1 Funkcjonały dwuliniowe
Definicja 1 Funkcjonałem dwuliniowym w przestrzeni V nad ciałem K na-
zywamy funkcję Ć : V � V - K, która jest przekształceniem liniowym ze
względu na każdą ze zmiennych
czyli funkcję spełniającą następujące warunki:

Ć(a + a , b) = Ć(a, b) + Ć(a , b) ,
" " "
a"V a "V b"V

Ć(a, b + b ) = Ć(a, b) + Ć(a, b ) ,
" " "
a"V b"V b "V

Ć(ą�a, b) = ą�Ć(a, b) ,
"ą"K a"V b"V
" "

Ć(a, ą�b) = ą�Ć(a, b) .
"ą"K a"V b"V
" "
Określając w tradycyjny sposób dodawanie funkcjonałów dwuliniowych
i mnożenie tychże przez elementy z ciała K, zauważamy bez trudu, że zbiór
wszystkich funkcjonałów dwuliniowych w przestrzeni liniowej V nad cia-
łem K jest też przestrzenią liniową nad ciałem K.
Przestrzeń wszystkich funkcjonałów dwuliniowych określonych w prze-
2
strzeni V oznaczamy symbolem L (V , K).
Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą przestrzeni V i niech Ć będzie
dowolnym funkcjonałem dwuliniowym w przestrzeni V .
Dla dowolnych wektorów x i y, mających przedstawienia
n n

x = xi�bi i y = yi�bi, (1)
i=1 i=1
mamy
�ł �ł
n n n n

�ł
Ć(x, y) = Ć xi�bi, yj �bjłł = xi�yj �Ć(bi, bj).
i=1 j=1 i=1 j=1
Wartości Ć(bi, bj) są zależne tylko od funkcjonału dwuliniowego Ć. Ozna-
czając przez ąij wartości Ć(bi, bj), możemy przedstawić funkcjonał Ć w po-
staci
n n

ąij �xi�yj.
i=1 j=1
Współczynniki ąij występujące w powyższym wzorze tworzą macierz A,
gdzie
2
�ł łł
ą11 ą12 . . . ą1n
�ł
ą21 ą22 . . . ą2n śł
�ł śł
A = �ł śł ,
�ł �ł
. . . . . . . . . . . .
ąn1 ąn2 . . . ąnn
którą nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego Ć względem bazy B.
Wtedy, oczywiście,
A = [Ć(bi, bj)]
oraz
" "
Ć(x, y) = [x] A [y]t,
gdzie [x] = [x1, . . . , xn] i [y] = [y1, . . . , yn].
Twierdzenie 2 Niech B i B : B = (b1, . . . , bn) i B = (b , . . . , b ) będą
1 n
dwiema bazami przestrzeni V oraz macierz C, gdzie
�ł łł
c11 c12 . . . c1n
�ł
c21 c22 . . . c2n śł
�ł śł
C = �ł śł ,
�ł �ł
. . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 . . . cnn
będzie macierzą przejścia od bazy B do bazy B . Jeśli funkcjonał dwuliniowy
Ć ma względem bazy B macierz A, a względem bazy B  macierz A , to
" "
A = Ct A C.
D o w ó d. Niech
�ł łł �ł łł

ą11 . . . ą1n ą11 . . . ą1n
�ł śł �ł śł
A = . . . . . . . . . �ł i A = . . . . . . . . . .
�ł �ł �ł

ąn1 . . . ąnn ąn1 . . . ąnn

n n



Wtedy ąij = Ć b , b = Ć cki�bk, clj �bl =
i j
k=1 l=1
n n n n

= cki�clj �Ć(bk, bl) = cki�clj �ąkl =
k=1 l=1 k=1 l=1

n n

= cki� ąkl�clj ,
k=1 l=1
" "
a stąd wynika równość A = Ct A C.
3
Definicja 3 Rzędem funkcjonału dwuliniowego nazywamy rząd jego macie-
rzy.
Twierdzenie 4 Rząd funkcjonału dwuliniowego nie zależy od wyboru bazy.
2
Definicja 5 Funkcjonał dwuliniowy Ć : V - K nazywamy symetrycznym,
jeśli
Ć(x, x ) = Ć(x , x)
dla dowolnych wektorów x i x z przestrzeni V .
2
Definicja 6 Funkcjonał dwuliniowy Ć : V - K nazywamy skośnie syme-
trycznym (lub antysymetrycznym), jeśli
Ć(x, x ) = -Ć(x , x)
dla dowolnych wektorów x i x z przestrzeni V .
Definicja 7 Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli
At = A.
Definicja 8 Macierz kwadratową A nazywamy skośnie symetryczną, jeśli
At = -A.
Twierdzenie 9 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to
funkcjonał dwuliniowy w tej przestrzeni jest symetryczny wtedy i tylko wte-
dy, gdy jego macierz względem jakiejkolwiek bazy jest symetryczna.
Twierdzenie 10 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to
funkcjonał dwuliniowy w tej przestrzeni jest skośnie symetryczny wtedy i tylko
wtedy, gdy jego macierz względem jakiejkolwiek bazy jest skośnie symetryczna.
Definicja 11 Mówimy, że baza B, gdzie B = (b1, . . . , bn), przestrzeni linio-
wej V jest bazą kanoniczną dla funkcjonału dwuliniowego Ć przestrzeni V ,
jeśli Ć(bi, bj) = 0, gdy i = j.

Inaczej można określić bazę kanoniczną w sposób następujący: Baza B jest
bazą kanoniczną dla funkcjonału dwuliniowego Ć przestrzeni V , jeśli Ć(x, y)
ma postać
n

Ć(x, y) = łi�xi�yi
i=1
dla każdych wektorów x i y takich, że
n n

x = xi�bi i y = yi�bi.
i=1 i=1
4
2 Formy kwadratowe
W dalszym ciągu tego rozdziału zakładamy, że V jest przestrzenią liniową
skończenie wymiarową nad ciałem K, gdzie jak zwykle K = R lub K = C.
Definicja 12 Funkcję q : V - K nazywamy formą kwadratową, jeśli ist-
nieje funkcjonał dwuliniowy symetryczny Ć w przestrzeni V taki, że
q(x) = Ć(x, x), gdy x " V .
Funkcjonał dwuliniowy Ć z powyższej definicji nazywamy funkcjonałem
stowarzyszonym z formą q, a także mówimy, że forma kwadratowa q jest
stowarzyszona z funkcjonałem Ć.
Z równości
q(x + y) = Ć(x + y, x + y) = Ć(x, x) + Ć(y, y) + 2�Ć(x, y) =
= q(x) + q(y) + 2�Ć(x, y)
wynika, że

1
Ć(x, y) = � q(x + y) - q(x) - q(y) .
2
Wnioskujemy stąd, że dla danej formy kwadratowej q istnieje jedyny sy-
metryczny funkcjonał dwuliniowy Ć taki, że
q(x) = Ć(x, x), gdy x " V .
Definicja 13 Macierzą formy kwadratowej q stowarzyszonej z funkcjonałem
dwuliniowym symetrycznym Ć nazywamy macierz funkcjonału Ć.
Z powyższej uwagi i definicji macierzy formy kwadratowej zauważamy, że
po ustaleniu bazy przestrzeni liniowej V , macierz formy kwadratowej jest
określona jednoznacznie.
Definicja 14 Rzędem formy kwadratowej nazywamy rząd jej macierzy.
Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie ustaloną bazą przestrzeni V .
Wtedy
n n

q(x) = aij ��i��j. (2)
i=1 j=1
5
gdzie aij = Ć(bi, bj), dla każdego wektora x, mającego przedstawienie
n

x = �i�bi.
i=1
Forma kwadratowa jest więc jednorodnym wielomianem drugiego stopnia.
Definicja 15 Jeśli dla pewnej bazy przestrzeni V forma kwadratowa, mająca
postać (2), spełnia warunek
aij = 0, gdy i = j,

to mówimy, że forma kwadratowa ma postać kanoniczną względem tej bazy.
Wtedy możemy przedstawić formę q w postaci
n n

2
q(x) = aii��i , gdy x = �i�bi.
i=1 i=1
Bazę przestrzeni liniowej, względem której forma kwadratowa q ma postać
kanoniczną nazywamy bazą kanoniczną formy q.
W takim przypadku, funkcjonał dwuliniowy Ć, stowarzyszony z formą q,
ma względem tej bazy postać
n

Ć(x, y) = Ć(bi, bi)�xi�yi.
i=1
Tę postać funkcjonału dwuliniowego też będziemy nazywali postacią ka-
noniczną tego funkcjonału i, oczywiście, bazę przestrzeni liniowej, względem
której funkcjonał dwuliniowy symetryczny Ć ma postać kanoniczną też na-
zywamy bazą kanoniczną funkcjonału Ć.
Twierdzenie 16 (Lagrange) Dla każdego symetrycznego funkcjonału dwu-
liniowego Ć w przestrzeni n-wymiarowej V istnieje baza, względem której
funkcjonał Ć ma postać kanoniczną.
W praktyce znajdowanie bazy kanonicznej dla symetrycznego funkcjonału
dwuliniowego Ć odbywa się następująco.
Przykład 17 Sprowadz
my do postaci kanonicznej formę kwadratową q, okre-
śloną wzorem
x1�x2 + x1�x3 + x2�x3.
6
Rozważana forma kwadratowa nie ma ani jednego różnego od zera współ-
czynnika przy zmiennej występującej w kwadracie, musimy więc zastosować
przekształcenie, określone wzorami:
x1 = y1 + y2, x2 = y1 - y2, x3 = y3,
czyli
1 1 1 1
y1 = �x1 + �x2, y2 = �x1 - �x2, y3 = x3,
2 2 2 2
Wtedy forma q przyjmuje postać
2 2 2 2
y1 - y2 + y1�y3 + y2�y3 + y1�y3 - y2�y3 = y1 - y2 + 2y1�y3.
Zauważmy teraz, że formę tę możemy przedstawić w postaci
2 2 2 2
y1 + 2�y1�y3 + y3 - y2 - y3,
czyli
2 2
(y1 + y3)2 - y2 - y3.
Zatem stosując przekształcenie
z1 = y1 + y3, z2 = y2, z3 = y3
otrzymujemy postać kanoniczną
2 2 2
z1 - z2 - z3.
Składając stosowane w naszych obliczeniach przekształcenia otrzymujemy
ostatecznie
1 1
z1 = �x1 + �x2 + x3,
2 2
1 1
z2 = �x1 - �x2,
2 2
z3 = x3.
Macierz tego przekształcenia ma więc postać
�ł łł
1 1
1
2 2
�ł śł
1
�ł -1 0 .
�ł
2 2
0 0 1
Macierz ta jest jednocześnie iloczynem macierzy składanych przekształceń,
czyli macierzy
�ł łł �ł łł
1 1
1 0 1 0
2 2
�ł śł �ł śł
1
�ł 0 1 0 i �ł -1 0 .
�ł �ł
2 2
0 0 1 0 0 1
7
3 Rzeczywiste formy kwadratowe
W ciągu dalszym V będzie oznaczać przestrzeń liniową n-wymiarową nad
ciałem R.
Postać kanoniczna formy kwadratowej zależy od sposobu, jaki stosujemy,
sprowadzając tę formę kwadratową do postaci kanonicznej.
Każdą rzeczywistą formę kwadratową q, bo tak będziemy nazywali for-
my kwadratowe określone w przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej nad
ciałem liczb rzeczywistych, możemy przedstawić w postaci
q(x) = �1�x2 + . . . + �n�x2,
1 n
gdzie �i " {0, 1, -1} dla każdej liczby naturalnej i ze zbioru {1, . . . , n}. Taką
postać formy kwadratowej nazywamy postacią normalną formy kwadrato-
wej q.
Istotnie, jeśli rozważana forma kwadratowa q jest przedstawiona w postaci
kanonicznej (twierdzenie Lagrange a)
n

ai�x2
i
i=1
to po zastosowaniu przekształcenia
yi = ci�xi, gdzie


|ai|, gdy ai = 0,

ci =
1, gdy ai = 0,
nasza forma kwadratowa będzie miała postać
2 2
�1�y1 + . . . + �n�yn,
gdzie �i = sgn ai dla każdej liczby naturalnej i ze zbioru {1, . . . , n}.
Wniosek 18 Jeśli niezerowa macierz symetryczna ma współczynniki rzeczy-
8
" "
wiste, to istnieje nieosobliwa macierz C taka, że macierz Ct A C ma postać
�ł łł
1 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
�ł śł
0 1 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł śł
�ł śł
0 0 . . . 1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
�ł 0 0 . . . 0 -1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 śł .
�ł śł
�ł śł
0 0 . . . 0 0 . . . -1 . . . 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0
Twierdzenie 19 (Sylvester, twierdzenie o bezwładności)
Dla symetrycznego funkcjonału dwuliniowego Ć w przestrzeni n-wymiarowej
V nad ciałem liczb rzeczywistych i dla dowolnych dwóch przedstawień kano-
nicznych tego funkcjonału liczby współczynników dodatnich w obu postaciach
kanonicznych są równe, liczby współczynników ujemnych w obu postaciach
kanonicznych są równe oraz liczby współczynników równych zeru są równe.
Definicja 20 Niech q będzie dowolną formą kwadratową w przestrzeni n-
wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Trójkę (r0, r+, r-), gdzie
r0 jest liczbą współczynników równych 0 w postaci normalnej formy q,
r+ jest liczbą współczynników równych 1 w postaci normalnej formy q,
r- jest liczbą współczynników równych -1 w postaci normalnej formy q,
nazywamy sygnaturą formy kwadratowej q.
Czasami, jeśli r0 = 0, to sygnaturą formy kwadratowej q nazywa się też
liczbę r+ - r-. Oczywiście, liczba r+ + r- jest rzędem formy kwadratowej q.
Definicja 21 Formę kwadratową q w rzeczywistej przestrzeni liniowej V na-
zywamy określoną dodatnio, jeśli q(x) > 0 dla każdego niezerowego wektora
x, należącego do przestrzeni V .
Definicja 22 Formę kwadratową q w rzeczywistej przestrzeni liniowej V na-
zywamy określoną ujemnie, jeśli q(x) < 0 dla każdego niezerowego wektora
x, należącego do przestrzeni V .
Definicja 23 Dwuliniowy funkcjonał symetryczny Ć w rzeczywistej prze-
strzeni liniowej V nazywamy określonym dodatnio, jeśli stowarzyszona z nim
forma kwadratowa jest określona dodatnio, tzn., gdy Ć(x, x) > 0 dla każdego
niezerowego wektora x, należącego do przestrzeni V .
9
Definicja 24 Dwuliniowy funkcjonał symetryczny Ć w przestrzeni liniowej
V nazywamy określonym ujemnie, jeśli stowarzyszona z nim forma kwadra-
towa jest określona ujemnie, tzn., gdy Ć(x, x) < 0 dla każdego niezerowego
wektora x, należącego do przestrzeni V .
Z definicji tej wynika, oczywiście, że forma kwadratowa q jest określo-
na dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy forma kwadratowa -q jest określona
ujemnie. Wystarczy zatem rozważać własności form kwadratowych określo-
nych dodatnio.
Twierdzenie 25 Funkcjonał dwuliniowy symetryczny (forma kwadratowa)
w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych
jest określony dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej postaci kanonicznej
wszystkie współczynniki tego funkcjonału są dodatnie.
D o w ó d. Niech Ć będzie dowolnym symetrycznym funkcjonałem dwuli-
niowym w przestrzeni liniowej V i B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą
kanoniczną funkcjonału Ć.
Jeśli wszystkie współczynniki Ć(bi, bi) tego funkcjonału są dodatnie, czyli
Ć(bi, bi) > 0, gdy i " {1, . . . , n},
to

n
n
Ć(x, x) = Ć �i�bi, �j �bj =
i=1 j=1
n n n

2
= �i��j �Ć (bi, bj) = �i �Ć (bi, bi) > 0
i=1 j=1 j=1
dla dowolnego niezerowego wektora x takiego, że
x = �1�b1 + . . . + �n�bn,
gdyż któryś ze współczynników �i jest różny od zera.
Tak więc funkcjonał dwuliniowy symetryczny (forma kwadratowa) jest
określony dodatnio.
Odwrotnie, jeśli symetryczny funkcjonał dwuliniowy Ć jest określony do-
datnio, to dla każdego wektora b z dowolnej bazy B spełniona jest nierówność
Ć(b, b) > 0, czyli wszystkie współczynniki postaci kanonicznej tego funk-
cjonału są dodatnie.
10
Niech
�ł łł
a11 . . . a1n
�ł śł
A = . . . . . . . . . .
�ł �ł
an1 . . . ann
Jeśli Ak oznacza macierz
�ł łł
a11 . . . a1k
�ł śł
�ł . . . . . . . . . ,
�ł
ak1 . . . akk
gdzie k " {1, . . . , n},
to det Ak nazywamy minorem głównym stopnia k macierzy A.
Twierdzenie 26 (Sylvester) Forma kwadratowa q, mająca macierz A, jest
określona dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne tej ma-
cierzy są dodatnie.
Wniosek 27 Forma kwadratowa q, mająca macierz A, jest określona ujem-
nie wtedy i tylko wtedy, gdy (-1)k � det Ak > 0.
11