3 RELACJE
3 Relacje
odstawy teorii relacji lub teorii stosunków stworzyli logik amerykański Char-
P
les Saunders Peirce (1839-1914) oraz logik niemiecki Ernst Schr�der (1841-
1902). Teoria ta była następnie rozwijana przez wielu innych matematyków (w tym
polskich) w ramach ogólnej teorii mnogości (porównaj liczne odniesienia do relacji
w [2]).
3.1 Podstawowe definicje
3.1.1 Definicja relacji
Definicja 3.1 Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami. Wtedy podzbiór R
iloczynu kartezjańskiego X � Y nazywamy relacją dwuczłonową (relacją binarną)1
między elementami zbioru X i Y . Jeżeli X = Y , to mówimy, że R jest relacją w X.
Jeżeli (x, y) " R, to mówimy, że elementy x, y pozostają do siebie w relacji R;
tradycyjnie piszemy wtedy: xRy i czytamy  x pozostaje (jest) w relacji R do y .
Przykład 3.1 Oznaczmy symbolem W - zbiór liczb oznaczających wiek poszczegól-
nych osób w Polsce (liczony w latach i utożsamiony tutaj ze zbiorem No). Symbolem
P oznaczamy zbiór wszystkich obywateli polskich. Relację W �" P � W określamy
następująco: n pozostaje w relacji do p, jeżeli wiek p wynosi n lat.
Definicja 3.2 Wykresem relacji R nazywamy zbiór {(x, y) " X � Y : xRy}. Przy-
jąć można utożsamienie R = {(x, y) " X � Y : xRy}.
Przykład 3.2 Relację R w R określamy następująco: xRy �! x2 + y2 1. Przed-
stawmy wykres relacji na płaszczyz
nie:

(0,1)

(-1,0) (1,0)


(0,-1)
3.1.2 Dziedzina i przeciwdziedzina relacji
Definicja 3.3 Dziedziną relacji R �" X � Y nazywamy następujący podzbiór DR
zbioru X:
DR = {x " X : "y"Y xRy}.
-1
Definicja 3.4 Przeciwdziedziną relacji R nazywamy podzbiór DR zbioru Y :
-1
DR = {y " Y : "x"XxRy}.
1
Ogólniej, relacją n - członową (n - arną ) nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X1 �
X2 � . . . � Xn (porównaj [2], str. 76); będzie o tym mowa przy omawianiu systemów relacyjnych.
34
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Przykład 3.3 W przykładzie 3.1 trudno jest podać dziedzinę relacji; jest nią oczy-
wiście pewien skończony podzbiór zbioru No, ale ponieważ w każdej minucie ludzie
rodzą się i umierają, więc trudno jest w danej chwili ustalić DW. Z tego samego
-1
powodu trudno jest ustalić zbiór DR .
Przykład 3.4 W przypadku relacji R z przykładu 3.2, ustalenie dziedziny i prze-
-1
ciwdziedziny relacji nie nastręcza trudności. Mamy tutaj DR = [-1, 1] oraz DR =
[-1, 1].
3.1.3 Cięcie relacji
Definicja 3.5 Przyjmujemy następującą definicję cięcia relacji binarnej R �" X�Y
w punkcie x zbioru X:
df
R[x] = {y " Y : xRy}.
Przykład 3.5 W przypadku relacji binarnej z przykładu 3.1, jest oczywiste, że np.
z wyznaczeniem cięcia relacji W po n " DW mogą być kłopoty. Co prawda, nie
ulega wątpliwości, że R[1000] = " ale z (precyzyjnym) wyznaczeniem zbioru R[0]
możemy mieć oczywiste kłopoty zważywszy, że niemal w każdej minucie w Polsce
rodzi się dziecko a niektóre z niemowląt umierają i trudno jest uchwycić aktualny
stan populacji niemowląt w Polsce. Wszelkie badania demograficzne mają zatem ze
zrozumiałych powodów charakter przybliżony - statystyczny. Można np. powiedzieć,
że z prawdopodobieństwm takim to a takim, liczba ludności w Polsce w tej chwili
jest równa tyle to a tyle, itd.1
Przykład 3.6 W przypadku relacji R �" R2 z przykładu 3.2 wyznaczenie cięcia tej
relacji w dowolnym punkcie x " R nie stanowi problemu. Mamy zatem np.
R[-10] = ", R[-1] = {0}, R[0] = [-1, 1] itd.
Definicja 3.6 Jeżeli R �" X � Y , to relację R-1 = {(x, y) : (y, x) " R} nazywamy
relacją odwrotną do relacji R.
1
** Zbiory rozmyte. Teoria zbiorów rozmytych pojawiła się w 1965 roku wraz z pierwszą pracą
Zadeha L.A. na ten temat: Fuzzy sets, Inf. and Control, vol. 8, 338 - 353. W poznanej przez nas
wcześniej algebrze zbiorów przyjmuje się, że albo a " A albo a " A. W nauce, a zwłaszcza w
niektórych naukach technicznych, ustalenie, czy dany element jest  na pewno elementem danego
zbioru lub nim nie jest, nie zawsze jest rzeczą prostą. Raczej da się w takich razach powiedzieć, że
x jest elementem zbioru X z prawdopodobieństwem takim to a takim. Zatem zbiór rozmyty A w
�A : X [0, 1]
przestrzeni X można utożsamiać z pewną funkcją a więc można przyjąć
x �A(x)
A = {(x, �A(x))|x " X}, gdzie funkcja �A zwana jest funkcją przynależności zbioru rozmytego A.
Na gruncie  czystej matematyki teoria zbiorów rozmytych nie stanowi rewolucji. W ramach logiki
(w tym również wielowartościowej), teorii prawdopodobieństwa, topologii i teorii miary, matematy-
cy bardzo szybko skonstruowali odpowiednie teorie dla zbiorów rozmytych, które nie są w matema-
tyce żadnym  nowum . Trzeba jednak stwierdzić, że teoria ta jest w dalszym ciągu przedmiotem
wielu nieraz bardzo kontrowersyjnych dyskusji.
W fizyce, w ekonomii a zwłaszcza w niektórych naukach technicznych teoria zbiorów rozmytych
święci ostatnio tryumfy, dając naukowcom bardzo pomocne narzędzie przy rozwiązywaniu różnych
problemów, np. niektórych zadań w teorii sterowania.
35
3.2 Relacja równoważności 3 RELACJE
Ważnym przykładem relacji binarnej jest relacja funkcyjna (inaczej funkcja).
Mówimy, że relacja R �" X � Y jest funkcją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X
w zbiór Y , jeżeli dla każdego x " X cięcie relacji R[x] jest zbiorem 1 - elementowym:
"x"Xcard(R[x]) = 1 �! "x"X"!y"Y (x, y) " R.
3.2 Relacja równoważności
3.2.1 Definicja i przykłady
Definicja 3.7 Relację R �" X � X nazywamy relacją równoważności1 w X, jeżeli
R ma własności:
1o. jest zwrotna : "x"XxRx,
2o. jest symetryczna : "x,y"XxRy �! yRx,
3o. jest przechodnia : "x,y,z"XxRy '" yRz �! xRz.
Zbiór " = {(x, x) : x " X} powszechnie nazywamy deltą w X2 lub (na gruncie teorii
relacji) relacją tożsamościową. Własność zwrotności relacji R można opisać następująco:
" �" R.
Przykład 3.7 Relację podzielności Rp w zbiorze liczb całkowitych Z przez liczbę
p " N określamy następująco:
xRpy �! p|(y - x) �! "k"Z(y - x) = k � p.
Jest to relacja równoważności w zbiorze liczb całkowitych.
Istotnie, ponieważ dla dowolnej liczby x " Z, x - x = 0 a zero jest podzielne przez p, więc
relacja podzielności Rp jest zwrotna. Jeżeli dla pewnych x, y " Z, xRpy, to istnieje k " Z
takie, że y - x = k � p. Wtedy jednak x - y = (-k) � p, (-k " Z), co oznacza w myśl
definicji relacji Rp, że yRpx. Tak więc wykazaliśmy własność symetrii dla relacji Rp.
Jeżeli dla pewnych x, y, z " Z, xRpy '" yRpz, to istnieją k, l " Z takie, że y - x = k � p
oraz z - y = l � p. Stąd, z - y + y - x = l � p + k � p = (l + k) � p. Zatem w myśl definicji
relacji podzielności przez p, xRpz, co kończy dowód przechodności tej relacji.
Wykazaliśmy zatem, że relacja podzielności w zbiorze Z przez dowolną liczbę całkowitą
nieujemną p jest relacją równoważności w zbiorze liczb całkowitych.
1
Relację tę wyróżnił jako pierwszy G. Frege w 1884 r.. Polka Wanda Szmielew badała n - arne
relacje równoważności.
36
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
3.2.2 Zasada abstrakcji
Szereg konstrukcji matematycznych związanych jest z pojęciem relacji równoważno-
ści a ściślej z następującą Zasadą Abstrakcji1:
Twierdzenie 3.1 Jeżeli R jest relacją równoważności w zbiorze X, to odwzorowa-
nie
� : X P(X)
not df
x �(x) = [x] = {y " X : xRy}
ma własności:
1o "x"X�(x) = ",

2o "y"X"x"Xy " �(x) = [x],
3o "x,y"X[([x] = [y]) (" ([x] )" [y] = ")].
Dw. ad 1o. Ze zwrotności relacji R, dla każdego x " X, x należy do zbioru2 [x].
ad 2o. Ponieważ dla każdego y " X, y " [y], więc każde y należy do któregoś ze
zbiorów [x].
ad 3o. (Dw. nie wprost). Przypuśćmy, że własność 3o nie ma miejsca:
<" "x,y"X[([x] = [y]) (" ([x] )" [y] = ")] �! "x ,yo"X <" [([xo] = [yo]) (" ([xo] )" [yo] = ")] �!
o
"x ,yo"X[([xo] = [yo]) �! ([xo] )" [yo] = ")].
o
Wykażemy, że zdanie
(@) ([xo] = [yo]) �! ([xo] )" [yo] = ")
jest zdaniem fałszywym.
Istotnie, jeżeli [xo] = [yo], to np. xo " [xo] = [yo], skąd [xo] )" [yo] = ".

Jeżeli [xo] )" [yo] = " i [xo] = [yo], to xo " [xo] )" [yo] i [xo] )" [yo] = ", wbrew założeniu.

Ponieważ (@) jest zdaniem fałszywym, więc prawdziwa jest własność 3o.
Uwaga 3.1 Z Zasady Abstrakcji wynika, że relacja równoważności R w zbiorze X
wyznacza rozkład tego zbioru na rozłączne podzbiory (tzw. klasy abstrakcji relacji
R. Mamy zatem:

a) "S =""A={X �"X:s"S}X = Xs,
s
s"S

b) "s =s Xs )" Xs = ",
1
abstract [34] - to co jest oddzielone i rozpatrywane w oderwaniu.
2
Zbiór [x] nazywa się klasą abstrakcji elementu x ze względu na relację R.
37
3.2 Relacja równoważności 3 RELACJE
c) xRy �! "s"Sx, y " Xs.
Ale i na odwrót: dla każdego rozkładu zbioru X na zbiory rozłączne Xs, s " S,
spełniające warunki a) - c) warunek:
xRy �! "s"Sx, y " Xs
określa w X relację równoważności R.
Istotnie, zwrotność relacji R jest oczywista. Symetria jest natychmiastowym wnio-
skiem z definicji tej relacji. Dla dowodu przechodniości, załóżmy, że xRy '" yRz.
Mamy zatem: "s"Sx, y " Xs '" "v"Sy, z " Xv. Stąd y " Xs )" Xv. Z własności rozkła-
du, Xs = Xv i oczywiście x, z " Xs, co oznacza, że xRz.
Zbiory [x], x " X nazywamy klasami równoważności lub klasami abstrakcji, na
które relacja R dzieli zbiór X. Dla klasy [x] (wskazany) element x nazywamy repre-
zentantem tej klasy. Jest oczywiste, że dla klasy [x] takiej, że card([x]) > 1 (mającej
co najmniej 2 elementy1) można wskazać więcej niż jednego reprezentanta tej klasy.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności R �" X2 oznaczać będziemy
X/R.
J. Musielak [5]:  Zasada abstrakcji służy w matematyce do określania nowych
przedmiotów, klas abstrakcji, za pomocą danych przedmiotów.
Przykład 3.8 ([5]). (Kierunki na płaszczyz
nie).  ... wez
my za zbiór X zbiór wszyst-
kich prostych na płaszczyz
nie, a relacja l1Rl2 między prostymi l1 i l2 niech oznacza,
że proste l1 i l2 są do siebie równoległe. Jest to relacja równoważności. Jakie są klasy
abstrakcji odpowiadające tej relacji? Jeśli wez
miemy pęk prostych równoległych, to
należą one wszystkie do tej samej klasy abstrakcji; żadna inna prosta, nierównoległa
do nich, nie należy do tej klasy. Zatem w tym wypadku klasami abstrakcji są pęki
prostych równoległych (rys. ). Ponieważ proste równoległe wyznaczają, intuicyjnie
rzecz biorąc, kierunek na płaszczyz
nie, więc sensowna będzie następująca definicja
kierunku: kierunkami na płaszczyz
nie nazywamy klasy abstrakcji prostych ze względu
na relację równoległości.
Przykład 3.9 (Wektor swobodny w przestrzeni). Za zbiór X wez
my zbiór wszyst-

kich wektorów AB w R3 o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. Relację R
między wektorami określamy następująco1:
ńł
�ł
�ł 1o |AB| = |A1B1|,
�ł


ABRA1B1 �!
2o AB A1B1,
�ł
�ł
ół

3o zwroty wektorów AB i A1B1 są zgodne.

Relacja R jest relacją równoważności. Do klasy [AB] należą wszystkie wektory
a,

które mają ten sam kierunek, tę samą wartość i ten sam zwrot co wektor AB. Tę
klasę określa się w matematyce mianem wektora swobodnego.
1
Symbol card(A) oznacza moc zbioru A lub  liczność zbioru A i omówiony będzie szczegółowiej
w ramach teorii mocy.
1
Podana tutaj definicja przystawania wektorów nie jest precyzyjna, bo nie wiadomo bliżej co
oznacza termin  zgodny zwrot wektorów . Poprawną definicję przystawania wektorów studenci
znajdą w każdym  dobrym podręczniku geometrii analitycznej
38
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Przykład 3.10 (Definicja zbioru Zp). Jeżeli Rp jest relacją podzielności z Przykła-
du 3.8, to
Zp not Z/Rp = {[0], . . . , [p - 1]},
=
gdzie
[0] = {. . . , -p, 0, p, . . .}
[1] = {. . . , 1 - p, 1, 1 + p, . . .}
. . . . . .
[p - 1] = {. . . , -1 - p, -1, -1 + p, . . .} .
* Zbiór Zp z przykładu 3.10 jest bardzo ważnym (skończonym) zbiorem liczbowym. W Zp
wprowadza się w naturalny sposób działania: binarne: dodawanie i mnożenie, jednoargumentowe
 branie elementu przeciwnego oraz wyróżnia się stałe: zero i jeden:
+ : Zp � Zp Zp
df
([x], [y]) [x] + [y] = [x + y],
� : Zp � Zp Zp
df
([x], [y]) [x] � [y] = [x � y],
1 = [1], O = [0].
Wykazuje się bez trudu, że tak określone działania nie zależą od wyboru (w definicjach) reprezen-
tantów klas (por. [6], zagadnienie tzw. kongruencji). Okazuje się, że Zp z określonymi w ten sposób
działaniami jest pierścieniem liczbowym. Dowodzi się w algebrze, że jeżeli p jest liczbą pierwszą,
to Zp stanowi ciało (skończone!). Ciała te mają istotne zastosowania w technice (np. ciało Z2 ma
zastosowania w teorii sieci przełączających).
Dla przykładu ułóżmy tabelki działań binarnych + i � w Z3:
+ 0 1 2 � 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
Zbiór Z3 z działaniami +, �, -, 0, 1 jest ciałem liczbowym. W szczególności w ciele tym można
a 1 1
wprowadzić ułamki: , a, b " Z3, b = 0: = 1, = 2 itd. a prawa działań na tych ułamkach są

b 1 2
takie same jak w innych ciałach liczbowych (np. w R lub w Q).
3.3 Relacja częściowego porządku
3.3.1 Definicja i przykłady
Definicja 3.8 Relację binarną w X nazywamy relacją częściowo porządkującą
zbiór X, jeżeli jest ona:
1) zwrotna : "x"X x x,
2) przechodnia : "x,y,z"X (x y '" y z) �! x z,
3) słaboantysymetryczna : "x,y"X (x y '" y x) �! x = y.
39
3.3 Relacja częściowego porządku 3 RELACJE
Jeżeli x y, to mówimy, że x jest nie większe od y (lub, że x jest mniejsze równe y).
Piszemy też wtedy y x. Jeżeli <" (x y) ((x, y) " ), to o elementach x i y mówimy, że
są one nieporównywalne (w relacji ). Piszemy wtedy x y1
Przykład 3.11 (Częściowy porządek w P(X)). Niech X = " i niech P(X) będzie

rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Relację w P(X) określamy następująco:
A B �! A �" B, A, B " P(X).
Mamy oczywiście:
1) "A"P(X) A A , bo A �" A,
2) "A,B,C"P(X) A B '" B C �! A C,
bo A �" B '" B �" C �! A �" C.
3) "A,B"P(X) A B '" B A �! A = B,
bo ma miejsce zasada równości zbiorów: A �" B '" B �" A �! A = B. Oznacza to, że relacja
jest rel. częściowo porządkującą zbiór P(X).
Przykład 3.12 (Porządek leksykograficzny na płaszczyz
nie). W R2 określamy re-
lację �" R2 � R2 następująco:
(x1, y1) (x2, y2) �! x1 x2 '" y1 y2.
Sprawdzamy łatwo, że relacja porządkuje częściowo R2 (punkty płaszczyzny).
3.3.2 Porządek liniowy
Definicja 3.9 Relację częściowego porządku w X nazywamy relacją porządkującą
zbiór X liniowo (G. Cantor, 1895), jeżeli relacja jest dodatkowo:
4) spójna : "x,y"X x y (" y x.
Przykład 3.13 a) Zbiór liczb naturalnych N jest uporządkowany liniowo przez
relację .
b) Zbiór liczb rzeczywistych R jest uporządkowany liniowo przez relację .
Przykład 3.14 Porządek w P(X) zdefiniowany w przykładzie 3.11 (dla zbiorów
zawierających conajmniej 2 elementy!) nie jest porządkiem liniowym.
Istotnie, jeżeli A = " = B i A )" B = ", to A B i B A.

Przykład 3.15 Porządek leksykograficzny na płaszczyz
nie nie jest porządkiem li-
niowym.
Istotnie, np. elementy (0, 1) i (1, 0) nie są porównywalne w tej relacji!
1
Jeżeli x y i x = y, to mówimy, że element x jest mniejszy od y lub, że y jest większy od x i

piszemy x z" y lub y x.
40
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
3.4 Elementy wyróżnione
3.4.1 Elementy: maksymalny i minimalny
Dany jest zbiór niepusty X uporządkowny częściowo przez relację oraz " = A �" X.

Definicja 3.10 Mówimy, że element x0 " A jest elementem maksymalnym (mini-
malnym) zbioru A, jeżeli
"x"A[x0 x �! x = x0] , ("x"A[x x0 �! x = x0]) .
Przykład 3.16 W P(X) każda rodzina S zbiorów, do której należy zbiór pusty,
ma element minimalny: zbiór pusty właśnie, bo dla dow. A " S, " �" A, czyli " A.
Przykład 3.17 Na płaszczyz
nie uporządkowanej częściowo przez relację z przy-
kładu 3.17 dany jest zbiór
A = {(x, y) " R2 : |x| + |y| 1}.
Rys.
(0,1)


(1,0)






Każdy punkt (x, y) o własności |x| + |y| = 1, x 0, y 0, jest elementem maksymalnym
zbioru A. Każdy punkt (x, y) o własności |x| + |y| = 1, x 0, y 0, jest elementem
minimalnym zbioru A.
Jeżeli wez
miemy zbiór B postaci
B = {(x, y) " R2 : |x| + |y| < 1},
to łatwo stwierdzić, że w zbiorze B nie ma ani elementów minimalnych ani maksymalnych.
3.4.2 Element największy i najmniejszy
Dany jest zbiór niepusty X uporządkowany częściowo przez relację oraz " = A �"

X.
Definicja 3.11 Mówimy, że element x0 " A jest elementem największym (najmniej-
szym ) w zbiorze A, jeżeli
"x"A[x x0] , ("x"A[x0 x].) .
Przykład 3.18 Zbiór A na płaszczyz
nie, z przykładu 3.17 nie ma elementów: naj-
większego i najmniejszego. Ale zbiór
B = {(x, y) " R2 : max {|x|, |y|} 1}
ma element największy (1, 1) oraz element najmniejszy (-1, -1).
41
3.4 Elementy wyróżnione 3 RELACJE
3.4.3 Kresy zbiorów
Dany jest zbiór niepusty X uporządkowny częściowo przez relację oraz " = A �" X.

Definicja 3.12 Mówimy, że element a " X jest ograniczeniem górnym (ogranicze-
niem dolnym) zbioru A i że zbiór A jest ograniczony z góry (jest ograniczony z dołu),
jeżeli spełniony jest następujący warunek:
"x"Ax a , ("x"Aa x) .
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu, to jest ograniczony.
Zbiór ograniczeń górnych (dolnych) jest albo zbiorem pustym, jeżeli zbiór A nie jest
zbiorem ograniczonym z góry (z dołu) albo zawiera co najmniej jeden element.
Definicja 3.13 Jeżeli zbiór ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy,
to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup {A}.
Jeżeli zbiór ograniczeń dolnych ma element największy, to nazywamy go kresem
dolnym zbioru A i oznaczamy inf {A}.
Jeżeli istnieje sup {A} = a oraz a " A (istnieje sup {A} = a oraz a " A), to mówimy,
że w zbiorze A osiągnięty jest kres górny (dolny).
Przykład 3.19 Dowolna rodzina S w zbiorze P(X) (uporządkowanym przez relację
inkluzji) jest ograniczona z dołu: do zbioru ograniczeń dolnych rodziny S należy
(zawsze) zbiór pusty ". Zatem istnieje inf {S} ". Dowolna rodzina niepusta S nie
musi być jednak ograniczona z góry!
Przykład 3.20 W R2, uporządkowanym leksykograficznie wez
my pod uwagę zbio-
ry A (patrz Rys.1) i B (patrz Rys.2 ):
A = {(x, y) " R2 : |x| + |y| 1} oraz B = {(x, y) " R2 : max{|x|, |y|} 1}.

(1,1) (1,1)





(-1,-1) (-1,-1)
Rys.1 Rys.2
W obu przypadkach istnieją kresy: inf {A} = inf {B} = (-1, -1), sup {A} =
sup {B} = (1, 1). Jednak w przypadku zbioru A kresy te nie są osiągnięte a w
przypadku zbioru B mamy inf {B} = min {B} = (-1, -1) " B i kres dolny jest ele-
mentem najmnieszym zbioru B oraz sup {B} = max {B} = (1, 1) " B i oczywiście
kres górny jest największym elementem zbioru B.
Definicja 3.14 Załóżmy, że zbiór X jest uporządkowany częściowo przez relację .
Każdy podzbiór A
zbioru X, uporządkowany liniowo nazywamy łańcuchem w X.
Przykład 3.21 W przykładzie 3.20 łańcuchem w R2 jest np. podzbiór A
= " =
1
{(x, y) " R2 : x = y '" (0, 0) (x, y) (1, )}. A
jest przykładem łańcucha ograni-
2 2
czonego.
42
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
3.5 Dobry porządek
3.5.1 Definicja dobrego porządku
Definicja 3.15 Zbiór X uporządkowany liniowo przez relację nazywamy zbiorem
dobrze uporządkowanym1, jeżeli każdy jego niepusty podzbiór ma element najmniej-
szy.
Przykład 3.22 Zbiór liczb naturalnych z relacją jest uporządkowany dobrze. Na-
tomiast relacja nie porządkuje dobrze zbioru liczb całkowitych (brak w Z elementu
najmniejszego).
3.5.2 Lemat Kuratowskiego - Zorna
W matematyce wykorzystuje się następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.2 (Lemat Kuratowskiego - Zorna1). Jeżeli w zbiorze częściowo upo-
rządkowanym X każdy łańcuch posiada kres górny, to w X istnieje element maksy-
malny.
Dw. - pomijamy (dowód tego lematu znalez
ć można między innymi w [6], w [2] i w
[5]).
Wnioskiem z Lematu Kuratowskiego - Zorna jest następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.3 (Zermelo). Dla każdego zbioru X istnieje relacja �" X2, która
dobrze porządkuje zbiór X.
Dw. - pomijamy.
Przykład 3.23 Uzasadnić, że ([4], VIII, zad. 71 ): Dla dowolnego zbioru X upo-
rządkowanego częściowo przez relację �" X2 istnieje relacja taka, że �"
oraz porządkuje zbiór X liniowo.
* Niech ś będzie zbiorem wszystkich par uporządkowanych < X, >, gdzie jest
relacją częściowego porządku w X taką, że �" . W ś określamy relację następują-
co: < X, 1> < X, 2>�! 1�" 2. A
atwo widzieć, że relacja jest relacją częściowego
porządku w ś. Wez
my pod uwagę dowolny łańcuch A
w ś. A
ańcuch A
jest ograniczony z
góry; ograniczeniem górnym tego łańcucha jest np. < X, R >, gdzie R jest relacją pełną
tzn. R = X2. Odpowiedzmy teraz na pytanie: czy w zbiorze O(A
) wszystkich ograniczeń
górnych łańcucha A
istnieje element najmniejszy? Jeśli tak, to łańcuch ten ma kres gór-
ny. Zbiór O(A
) jest uporządkowany częściowo i O(A
) jest ograniczony z dołu np. przez
dowolny element łańucha A
. Co więcej w O(A
) istnieje element najmniejszy, bo A
, jest
uporządkowany liniowo. Zatem kres górny łańcucha A
istnieje a tym samym dowolny łań-
cuch w ś ma kres górny, bo przecież łańcuch A
wybrany był dowolnie. Na mocy lematu
Kuratowskieg-Zorna stwierdzamy, że w zbiorze ś istnieje element maksymalny < X, j">
1
Definicję zbioru dobrze uporządkowanego podał G. Cantor w 1883 roku.
1
Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna sformułował i udowodnił K. Kuratowski w 1922 roku
(Fund. Math. 3, str. 89). Zorn podał to twierdzenie w 1935 roku. Dowód Twierdzenia 3.3 został
podany przez Zermelo w 1904 roku (powołuje się on tam na pewnik wyboru).
43
3.6 *Systemy relacyjne 3 RELACJE
a więc taki, że jeśli < X, j"> < X, >, to < X, j">=< X, >. Relacja j" w X jest
relacją spójną. Jaką parę uporządkowaną (x, y) punktów zbioru X by nie wziąć, to istnieje
relacja taka, że (x, y) " ale �"j" i z własności inkluzji, (x, y) "j".
3.6 *Systemy relacyjne
Niech A będzie zbiorem. R0, R1, . . . , Rk-1 oznaczają relacje (niekoniecznie binarne),
l
Rl �" Ap , l = 0, 1, . . . , k - 1, o p0, p1, . . . , pk-1 argumentach nazywamy systemem
relacyjnym1 i oznaczamy symbolem < A, R0, . . . , Rk-1 >.
Przykład 3.24 Zbiorem skierowanym indeksów ([6], str. 124) nazywamy parę uporządkowaną
< S, >, gdzie S jest dowolnym ustalonym zbiorem indeksów a jest przechodnią relacją binarną
w S spełniającą warunek Moore a-Smitha2:
"x"S"y"S"z"S(x z '" y z).
Jest to system relacyjny o charakterystyce (2).
Przykład 3.25 Podstawowy system relacyjny w algebrze: grupa.
Grupę stanowi zbiór G oraz działanie dwuargumentowe ć% : G2 G o własnościach:
1o działanie ć% jest łączne,
2o istnieje element neutralny e działania ć% taki, że "x"Gx ć% e = e ć% x = x,
3o dla dowolnego x " G istnieje element symetryczny x-1 " A taki, że x ć% x-1 =
x-1 ć% x = e.
Mamy tutaj system relacyjny < G, R >, gdzie R �" G3, (x, y, z) " R �! x ć% y = z. Jest to
system relacyjny o charakterystyce (3).
Definicja 3.16 Dwa systemy < A, R > i < B, S > (o charakterystyce 2) nazywamy
izomorficznymi, jeśli istnieje bijekcja3 f : A B taka, że
2
"(x,y)"A (x, y) " R �! f(x, y) " S.
Piszemy wtedy < A, R >a"< B, S >.
Twierdzenie 3.4 Jeżeli A jest dowolnym ustalonym zbiorem systemów relacyjnych
o charakterystyce (2), to a" jest relacją równoważności w A.
Dowód jest trywialny.
Wykażemy, że każda własność systemu, która daje się zapisać przy pomocy
symboli rachunku zdań oraz kwantyfikatorów ograniczonych do pola systemu jest
niezmiennikiem izomorfizmu.
1
W logice matematycznej rozważa sie obecnie systemy relacyjne, w których oprócz relacji wy-
różnia sie osobno operacje, w tym operacje 0 - argumentowe (patrz np [8]), co przydaje się przy
badaniu systemów w algebrze.
2
Pojęcie zbioru skierowanego wystąpi przy omawianiu w topologii i w analizie ciągów Moore a-
Smitha.
3
bijekcja - odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (patrz $4).
44
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Niech Ś będzie funkcją zdaniową (k+1) zmiennych, gdzie k jest dowolną ustaloną
liczbą całkowitą dodatnią; są to zmienne wolne x, y i zmienne wolne u0, u1, . . . , uk-1
i funkcja zdaniowa Ś zbudowana jest z funkcji zdaniowych postaci:
(1) ui = uj,
(2) (ui, uj) " y
przy pomocy operacji rachunku zdań i kwantyfikatorów "u"x, "u"x przy czym za-
strzega się, że zmienne x i y nie mogą być związane ze sobą kwantyfikatorami.
Twierdzenie 3.5 (patrz [16]) Jeśli funkcja f ustala izomorfizm systemów relacyj-
nych < A, R > i < B, S > i jeśli a0, a1, . . . ak-1 " A, to
(3) Ś(A, R, a0, . . . , ak-1) a" Ś(B, S, f(a0), . . . , f(ak-1)).
Dowód. Krok pierwszy. Jeśli Ś jest postaci (1), to równoważność (3) wynika z faktu,
że f jest bijekcją.
Krok drugi Jeśli Ś ma postać (2), to równoważnośc (3) wynika z założenia, że f
ustala izomorfizm systemów < A, R > i < B, S >.
Krok trzeci. Z przyjętych aksjomatów rachunku zdań wynika, że jeśli równoważność
(3) jest prawdziwa dla funkcji zdaniowych Ś i Ś , to równoważność ta zachodzi też
dla funkcji zdaniowych <" Ś i Ś("Ś a to oznacza, że (3) zachodzi również dla wszyst-
kich funkcji zdaniowych dających się otrzymać z Ś i Ś przez operacje dopuszczone
w rachunku zdań.
Krok czwarty. Aby wykazać słusznośc twierdzenia dla wszystkich funkcji zdanio-
wych (porównaj [16]), wystarczy udowodnić, że równoważnośc (3) jest spełniona
dla funkcji zdaniowych powstających z Ś przez poprzedzenie tej funkcji zdaniowej
kwantyfikatorem ograniczonym do x.
Wystarczy rozpatrywać tylko jeden z tych kwantyfikatorów (bo spełnione są
prawa de Morgana rachunku kwantyfikatorów), np. szczegółowy.
a) Wykażemy, że
(4) �(A, R, a1, . . . , ak-1) �! �(B, S, f(a1), . . . , f(ak-1).
Niech zatem � będzie funkcją zdaniową "u "xŚ i załóżmy, że a1, . . . , ak-1 " A. Jeśli
0
�(A, R, a1, . . . , ak-1), to dla pewnego a0 " A jest Ś(A, R, a0, . . . , ak-1). W takim
razie, Ś(B, S, f(a0), f(a1), . . . , f(ak-1), skąd �(B, S, f(a1), f(a2), . . . , f(ak-1). Udo-
wodniliśmy implikację (4).
b) Implikację przeciwną:
(4 ) �(B, S, f(a1), . . . , f(ak-1) �! �(A, R, a1, . . . , ak-1)
wykazuje sie analogicznie.
Uwaga 3.2 W myśl twierdzenia 3.5 następujące własności systemu A, R są nie-
zmiennikami izomorfizmu:
1. Zwrotność: "x"AxRx.
2. Przeciwzrotność: "x"A <" (xRx).
3. Symetria: "x,y"A[xRy �! yRx].
45
3.7 Zbiory liniowo uporządkowane podobne 3 RELACJE
4. Antysymetria: "x,y"A[xRy �!<" (yRx].
5. Słaba antysymetria: "x,y"A[xRy '" yRx �! (x = y)].
6. Przechodniość: "x,y,z"A[(xRy) '" (yRz) �! (xRz)].
7. Spójność: "x,y"A[(xRy) (" (x = y) (" (yRx)].
O dwóch systemach relacyjnych izomorficznych mówimy (patrz [2]), że mają ten
sam typ1.
Do systemu aksjomatów teorii mnogości wprowadzamy pojęcie pierwotne T R;
wzór ąT R < A, R > czytamy: ą jest typem relacyjnym systemu < A, R > oraz
dokładamy nowy aksjomat:
AKSJOMAT VIII (Typów Relacyjnych). Dla każdego systemu < A, R >, gdzie
R �" A2, istnieje dokładnie jeden przedmiot ą taki, że ąRT < A, R >. Przy tym dla
dowolnych systemów < A, R > i < B, S > zachodzi wzór
(ąT R < A, R >) '" (�T R < B, S >) �! [(ą = �) a"< B, S > .]
Przedmiot ą (jedyny!) taki, że ąT R < A, R >, oznaczamy przez < A, R > lub -
jeśli nie zachodzi obawa nieporozumienia - przez R i nazywamy go typem
2
relacyjnym .
3.7 Zbiory liniowo uporządkowane podobne
W przypadku relacji liniowo porządkujących zamiast o izomorfiz
mie systemów mówi
się o podobieństwie relacji.
W. Sierpiński [25]: O dwóch zbiorach (liniowo) uporządkowanych A i B
mówimy, że są podobne, jeśli między ich elementami istnieje przyporząd-
kowanie wzajemnie jednoznaczne, przy którym dla każdych dwóch róż-
nych elementów zbioru A wcześniejszemu elementowi zbioru A odpowia-
da wcześniejszy element zbioru B.
Ma miejsce twierdzenie:
Twierdzenie 3.6 ([2], tw. 2, str. 195). Na to, by zbiory A i B liniowo uporządko-
wane przez relacje R i S były podobne potrzeba i wystarcza, by istniała taka funkcja
f odwzorowująca zbiór A wzajemnie jednoznacznie na zbiór B, że
(") "(x,y)"A�A(x, y) " R �! (f(x), f(y)) " S
dla dowolnych x, y " A.
1
G. Cantor budował teorię mnogości (porównaj [2], str 87) używając od samego początku po-
jęcia; typ relacyjny.
2
Jak piszą autorzy monografii [2]:  Cantor nie mówił o typach relacji (lub systemów), lecz o
typach zbiorów liniowo uporządkowanych. Wprowadzał on pojęcie typu w dość niejasny sposób,
określając typ jako własność zbioru, która pozostaje, gdy abstrahujemy od jakości elementów, ale
nie od ich porządku. Pojedyńcza kreska nad symbolem zbioru miała przypominać ten pojedyńczy
proces abstrakcji.
46
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Dowód. �!:. Dowód wynika natychmiast z określenia izomorfizmu odpowiednich sys-
temów relacyjnych: < A, R > oraz < B, S >.
�!:. Wystarczy wykazać, że jeśli warunek ("), to spełniony jest również warunek
(""):
("") "(x,y)"A�A(f(x), f(y)) " S �! (x, y) " R.
Dowód prowadzimy nie wprost. Przypuśćmy zatem, że (f(x), f(y)) " S oraz
(x, y) " R. Wobec spójności relacji R, (y, x) " R. Zatem ponownie z (") dostajemy
(f(y), f(x)) " S. Ze słabej antysymetryczności relacji S otrzymujemy f(x) = f(y).
Z różnowartościowości funkcji f, wynika, że x = y. Tym samym (x, y) " R, wbrew
założeniu. Dochodzimy do sprzeczności.
Niech zbiór A będzie uporządkowany liniowo przez relację R.
Definicja 3.17 Mówimy, że  x poprzedza y,gdy
(x, y) " R '" x = y;

piszemy wówczas: xz"Ry (lub krócej x z" y, o ile nie zachodzi potrzeba wymieniania
relacji R), lub też y Rx (lub y x).
Definicja 3.18 Mówimy, że y leży między x i z, jeżeli
x z" y z" z lub x y z.
Definicja 3.19 Jeśli x " A i w zbiorze {y : x z" y} istnieje element pierwszy
(najmniejszy), to element ten nazywamy następnikiem elementu x (w relacji R).
Ostatni element zbioru {y : y z" x} (o ile istnieje) nazywamy poprzednikiem elementu
x.
Zauważmy, że każdy element x " A ma co najwyżej jeden poprzednik i co najwyżej
jeden następnik.
Definicja 3.20 Podzbiór właściwy X zbioru A nazywa się odcinkiem zbioru A, jeśli
z x " X wynika, że każdy element wcześniejszy (póz
niejszy) od x należy do X.
Definicja 3.21 Zbiór X �" A nazywa się przedziałem, jeśli z warunku x, y " X
wynika, że każdy element leżący między x i y należy do X.
O przedziałach X i Y mówimy, że X poprzedza Y , jeśli
"x,y[(x " X) '" (y " Y ) �! x z" y].
Przykład 3.26 W zbiorze liczb rzeczywistych R uporządkowanym liniowo przez re-
lację zbiory postaci (-"; 0] = {x " R : x 0} i (0; ") = {x " R : 0 < x} są
odcinkami. Zbiory [0; 1] = {x " R : 0 x 1} i (1, 2] = {x " R : 1 < x 2} są
przedziałami i oczywiście przedział [0; 1] poprzedza przedział (1; 2].
47
3.8 Zbiory uporządkowane gęste 3 RELACJE
3.8 Zbiory uporządkowane gęste
Definicja 3.22 ([25], str. 28, [2], str. 197). O zbiorze A uporządkowanym linio-
wo mówimy, że jest gęsty, jeżeli między każdymi dwoma jego elementami leży co
najmniej jeden element zbioru A:
"x,y"A[x z" y �! "z"Ax z" z z" y].
Przykład 3.27 Zbiór pusty " oraz zbiór o jednym elemencie, są gęste z definicji.
Jeśli zbiór gęsty A ma więcej niż jeden element, to jak pisze W. Sierpiński w [25]:
łatwo widzieć, że wówczas między każdymi dwoma elementami zbioru A leży nie-
skończenie1 wiele pośrednich elementów tego zbioru. Na przykład zbiory: wszystkich
liczb wymiernych, wszystkich liczb rzeczywistych, uporządkowane według wielkości2,
są gęste.
Uwaga 3.3 (Porównaj [2], str. 197). Zbiór, który nie jest gęsty, może zawierać nie-
skończony podzbiór gęsty. Za przykład może tu posłużyć następujący podzbiór zbioru
liczb rzeczywistych: A = (-"; 0) *" N0. Między 1 i 2 nie lezy żaden element zbioru
A ale zbiór (-"; 0) jest gęsty.
Uwaga 3.4 W teorii mnogości wprowadza się pojęcie zbioru rozproszonego jako
takiego, który nie zawiera żadnego nieskończonego podzbioru gęstego. Przykładem
zbioru rozproszonego jest zbiór liczb całkowitych Z (oczywiście uporządkowany li-
niowo przez relację ). Ciekawe, że suma zbiorów rozproszonych jest zawsze zbiorem
rozproszonym (porównaj Tw.1, str.197 z [2]).
Przekrój Dedekinda.
Definicja 3.23 Przekrojem zbioru liniowo uporządkowanego X (porównaj [25]) na-
zywamy każdy podział wszystkich elementów tego zbioru na dwie klasy A i B niepuste
i takie, że każdy element klasy A jest wcześniejszy od każdego elementu klasy B. Po-
dział taki oznaczamy tradycyjnie [A, B].
Jeżeli w danym przekroju [A, B] klasa A ma element ostatni, a zarazem klasa B ma
element pierwszy, to mówimy, że przekrój daje skok.
Przykład 3.28 Dowolny przekrój w zbiorze liczb całkowitych Z uporządkowanym
liniowo przez relację daje skok.
Jeżeli w przekroju [A, B] klasa A nie ma elementu ostatniego, zaś klasa B nie ma
elementu pierwszego, to mówimy, że przekrój daje lukę.
1
Formalnie pojęcie nieskończoności  pojawi się w $5.
2
Chodzi tu o tradycyjną relację częściowego porządku w zbiorze R.
48
3 RELACJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Przykład 3.29 a) Wez
my zbiór wszystkich liczb wymiernych bez zera Q \ {0} i
zdefiniujmy przekrój [A, B] następująco: A = {x " Q \ {0} : x < 0}, B = {x "
Q \ {0} : x > 0}. Przekrój ten daje lukę.
b) Wez
my ([25], str.30) zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich Q+ =
{x " Q : x > 0} oraz zdefiniujmy przekrój [A, B] jak nastepuje: do klasy A zaliczymy
wszystkie liczby x " Q+ takie, że x2 < 2, zaś do klasy B - wszystkie pozostałe liczby
x " Q+. Przekrój ten jest zdefiniowany poprawnie. Obie klasy są niepuste: do klasy
A należy np. liczba 1, bo 12 < 2, do klasy B należy np. 4, bo 42 < 2. Wykażemy, że

jeśli x " A, y " B, to x z" y. Przypuśćmy, żę jest przeciwnie: x z" y to jest y x.
Wtedy jednak y2 x2 < 2 oznacza, że y " A, wbrew założeniu, że y " B. W klasie
A brak jest elementu ostatniego. Przypuśćmy, że z jest elementem ostatnim w klasie
1
A: "x"Ax z" z i z2 < 2. Twierdzimy, że istnieje liczba naturalna n taka, że z + " A.
n
1
Przypuśćmy, że tak nie jest. W takim razie "n"N(z+ )2 2. Przy n " dostajemy
n
w granicy z2 2, co oznacza, że z " A, wbrew założeniu. Nie istnieje element ostatni
w klasie A. Jeżeli założymy, że w klasie B istnieje element pierwszy, nazwijmy go s,
to nie może być to element taki, że s2 = 2, bo liczba wymierna o tej własności nie
istnieje. Jeżeli zaś przyjmiemy, że s2 > 2, to rozumując analogicznie jak poprzednio
1
jesteśmy w stanie uzasadnić, że istnieje n takie, że s - też jest elementem klasy
n
B - mniejszym od s. Sprzeczność ta dowodzi, że elementu pierwszego klasa B nie
posiada. Przekrój [A, B] daje, jak widzimy, lukę.
Zbiór ciągły
Mówimy, że przekrój [A, B] jest właściwy, jeżeli A = " = B.

Definicja 3.24 Zbiór X nazywamy ciągłym, jeśli żaden jego przekrój właściwy nie
wyznacza luki.
Przykład 3.30 Jest oczywiste (patr przykład poprzedni), że zbiór liczb wymier-
nych nie jest ciągły.
Zacytujmy W. Sierpińskiego [25]: Jeżeli dany zbiór liniowo uporządkowa-
ny X ma luki, to można je zapełnić przez dołączenie do zbioru X nowych
elementów w następujący sposób. Każdemu przekrojowi [A, B], dające-
mu lukę, przyporządkowujemy nowy element (nie należący do X), ktory
uważamy za póz
niejszy od każdego elementu klasy A oraz wcześniejszy od
każdego elementu klasy B. Z dwóch zaś takich dołączonych elementów,
na przykład przyporządkowanym przekrojom [A, B] i [A1, B1], uważamy
pierwszy za wcześniejszy albo póz
niejszy od drugiego, zależnie od tego,
czy klasa A jest częścią (właściwą) klasy A1, czy tez na odwrót.
Można też okazać (patrz Tw. 2 i Wniosek ze str 198 [16]), że dołączając
te nowe elementy do zbioru X otrzymamy nowy zbiór liniowo uporząd-
kowany Y , który już nie ma luk.
49
3.8 Zbiory uporządkowane gęste 3 RELACJE
Uwaga 3.5 Opisaną wyżej metodę uzupełniania zbioru mającego luki do zbioru
ciągłego zastosował jako pierwszy R. Dedekind1 do przedstawienia teorii liczb
niewymiernych.
Uwagi uzupełniające do rozdziału 3
Oto krótkie wyznanie2 autora notatek:
Przedmiot Wstęp do Matematyki jest, jak już Słuchacze zdążyli się zapewne zoriento-
wać, chociażby na podstawie podręcznika profesor Rasiowej,  niemożebnie rozbudowany .
Bo czego tam nie ma? Są elementy logiki, teorii zbiorów i teorii mocy, jest omówienie
zasady indukcji i indukcji pozaskończonej i wiele faktów dotyczących relacji binarnych.
A poważnie, w owych zaledwie 30 godzinach wykładu i 30 godzinach ćwiczeń można za-
ledwie  dotknąć niektórych problemów. Na pytanie: Czego tam nie ma? ale stawiane
poważnie, należy odpowiedzieć poważnie: Nie ma wielu ważnych i potrzebnych tematów.
Jednak trzeba też dodać skwapliwie, że student pierwszego semestru w pierwszym roku
studiów dysponuje, przy całym szacunku do naszych Szanownych Studentek i Sudentów,
ograniczoną (jak na razie!) możliwościa percepcji niektórych abstrakcyjnych teorii mate-
matycznych. Czując się częściowo rozgrzeszonym z owej  niemożności bardziej wnikliwej
realizacji programu wykładu, przyznaję ze skruchą co następuje:
1. W rozdziale 6 powrócimy, ale bardzo pobieżnie, do teorii zbiorów uporządkowanych
liniowo aby omówić podstawowe typy porządkowe oraz zasadę indukcji pozaskończonej,
których znajomość jest nieodzowna przy studiowaniu wielu współczesnych dziedzin mate-
matyki.
2. Przy badaniu relacji, zwłaszcza tych, które częściowo porządkują dany zbiór a szcze-
gólnie wtedy, kiedy zbiór z określoną w nim relacją jest zbiorem skończonym, wygodnie
jest posłużyć się tzw. diagramem (patrz np. [4], str. 47). Do tych  technik nawiążemy
na ćwiczeniach3. Wypada dodać, że studenci nauczą się korzystać z wszelakich diagramów
relacji w ramach teorii grafów - przedmiotu wykładanego w toku dalszych studiów na
Wydziale.
3. W rozdziale poświęconym relacjom nie omówiliśmy prawie wcale zagadnień teorio-
mnogościowych takich jak dodawanie czy mnożenie relacji, składanie relacji itd. - temat
bardzo ważny i studenci będą musieli w toku dalszych studiów przestudiować tę rzecz
samodzielnie.
4. Zarówno przy poznawaniu teorii grafów, matematyki dyskretnej jak i innych przed-
miotów (zwłaszcza informatycznych) nie może zabraknąć ważnej umiejętności jaką jest
wykonywanie działań na relacjach przy pomocy macierzy relacji w zbiorze skończonym z
wykorzystaniem arytmetyki boolowskiej - jest to kolejne (dodajmy: bardzo istotne!) za-
gadnienie z teorii relacji, którego nie omawiamy w trakcie wykładu. Zainteresowanych tym
tematem odsyłam np. do [28].
1
Ryszard Dedekind (1831-1916), matematyk niemiecki; główną domeną jego działalności była
teoria liczb. Wprowadził szereg nowych pojęć jak pierścień, grupa i struktura. Zajmował się również
arytmetyką i teorią mnogości.
2
Dodajmy: pierwsze i ostatnie wyznanie autora dotyczące  niemożności ...
3
Przy okazji rozwiązywania zadań z relacji porządkujących będziemy się  wspomagać diagra-
mem Hassego.
50
4 FUNKCJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
4 Funkcje
unkcja jest rodzajem relacji. Jest podstawowym pojęciem matematycznym,
F
występującym we wszystkich jej dyscyplinach, między innymi w analizie ma-
tematycznej i w algebrze. Ponadto znane są odrębne teorie pewnych szczególnych
funkcji jak np. teoria funkcji rzeczywistych, teoria funkcji zespolonych itd.
4.1 Definicja funkcji
Definicja 4.1 Relację1 f �" X � Y nazywamy funkcją, jeżeli dla każdego x należą-
cego do dziedziny relacji f, cięcie2 f[x] jest zbiorem jednoelementowym3:
"x"D "!y f[x] = {y}.
f
Definicja 4.2 Dziedzinę relacji funkcyjnej Df nazywamy dziedziną funkcji4 a prze-
-1
ciwdziedzinę tej relacji Df - przeciwdziedziną funkcji5 f.
Uwaga 4.1 a) Funkcje f(x) = sin x, x " [-Ą/2, Ą/2] oraz g(x) = sin x, x " R są różne,
bo ich dziedziny są różne6.
" b) Często zdarza się, że nie znamy dziedziny Df funkcji f �" X � Y . Generalnie,
dziedzinę można wtedy dobrać na wiele sposobów; każdorazowo dostajemy wtedy inną funk-
cję.
W wielu zadaniach z analizy matematycznej poszukujemy tzw. dziedziny naturalnej
funkcji y = f(x), x " X. Jest to największy w sensie mnogościowym zbiór Df tych wszyst-
kich x należących do zbioru X, dla których wyrażenie y = f(x) ma sens.
"" c) Relacja R �" R2 zdefiniowana następująco: xRy �! x2 + y2 = 1 nie jest relacją
1
Słowem funkcja posłużył się jako pierwszy Leibniz (patrz uwaga w [31], str 352) ale rozumiał
on ten termin zbyt wąsko. Podana tutaj definicja funkcji jako relacji pochodzi od G. Peano z
roku 1905 (porównaj uwagi z [1], str. 54 i [2], str 73). Peano opierał się na intuicyjnym pojęciu
pary uporządkowanej, której formalną definicję podał jak wiemy K. Kuratowski w 1922 roku.
2
Cięcie f[x] (zbiór 1-no elementowy) identyfikuje sie tradycyjnie z wartością f(x) funkcji f dla
elementu x.
3
Zapis "!x�(x) czytamy:  istnieje dokładnie 1-no x takie, że �(x).
4
Dziedzinę funkcji f oznaczamy również (patrz np. [14]) symbolem Dom(f), D(f) lub dm(f).
5
Piszemy również R(f), Rg(f), rg(f).
6
Jak rozumiano pojęcie funkcji przed Peano? P.J. Davis i R. Hersh przybliżają nam w [33] tę
kwestię. Piszą między innymi: Trzeba sobie jednak zdawać sprawę z tego, że d Alemebert i jego
współcześni rozumieli przez  funkcję to, co dzisiaj nazwano by  formułą czy  wyrażeniem ana-
litycznym . A w innym miejscu wyjaśniają sprawę dokładniej: ...może się zdarzyć, że mamy dwie
funkcje, identyczne w pewnym zakresie, powiedzmy od 0 do Ą, i poza nim [poza przedziałem] nie
związane. Jest to możliwość, której d Alemebert, Euler i Lagrange nigdy nie rozważali. ... Tym, kto
podjął przykłady Fouriera oraz nieudowodnione hipotezy i obrócił je w przyzwoitą matematykę, był
Dirichlet (1805-1859). Podstawowym warunkiem była jasna i wyraz
na definicja funkcji. Dirichlet
podał definicję po dziś dzień stosowaną. Funkcja y(x) jest dana, jeśli mamy jakiekolwiek prawidło
przypisujące określoną wartość y każdemu x z pewnego zbioru punktów.  Nie jest rzeczą konieczną,
żeby y podlegał temu samemu prawidłu odnoszącemu się do x na całym przedziale , pisał Dirichlet,
 w istocie, można nawet nie potrafić wyrazić tego związku przez matematyczne operacje... Nie ma
znaczenia, czy [o tej odpowiedniości] myśli się w ten sposób, że różne części dane są przez różne
reguły, czy ustala się ją całkowicie bez reguł... Jeśli funkcja jest określona tylko na części odcinka,
to sposób jej przedłużania na resztę odcinka jest całkowicie dowolny .
51
4.1 Definicja funkcji 4 FUNKCJE
funkcyjną, bo np. cięcie R[0] = {-1, 1} nie jest zbiorem jednoelementowym.
Odwzorowanie
W : [-1, 1] P([-1, 1])
df
x W (x) = R[x]
jest tzw. odwzorowaniem wielowartościowym (elementowi x zbioru [-1, 1] odpowiada zbiór
W (x) = R[x]; w naszym przypadku cięcia są zbiorami conajwyżej dwuelementowymi .
Jest oczywiste, że możemy łatwo zdefiniować teraz tzw. funkcję wyboru albo selekcję f w
następujący sposób:
f : [-1, 1] [-1, 1]
x f(x) " W (x) = R[x].
W przypadku naszej relacji R owych selekcji jest nieskończenie wiele. Postawmy pytanie
inaczej: czy istnieje na [-1, 1] selekcja ciągła? Nietrudno tutaj dać odpowiedz
twierdzącą:
"
są dwie takie selekcje i można je opisać w sposób jawny: f1(x) = + 1 - x2, x " [-1, 1]
"
oraz f2(x) = - 1 - x2, x " [-1, 1]. Co więcej, obie te selekcje są różniczkowalne w (-1, 1).
Pytanie o istnienie selekcji ciągłej (różniczkowalnej) określonej na pewnym przedziale
otwartym w R dla relacji R �" R2 jest jednym z najważniejszych pytań, na które stara-
my się odpowiedzieć w ramach analizy matematycznej. Twierdzenia tego typu noszą nazwę
twierdzeń o funkcjach uwikłanych.
d) Zawężeniem albo restrykcją1 funkcji f : X Y do zbioru A �" X nazywamy
funkcję (różną od f) postaci g : A Y , g(x) = f(x) dla x " A i zapisujemy ją
symbolem f|A.
Uwaga 4.2 Oto kilka przykładów znanych nam rodzajów funkcji:
a) funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej: f : R R,
b) funkcja rzeczywista n - zmiennych: f : Rn R,
c) funkcja zespolona f : C C,
d) metryka: dla dow. X = ", mamy tutaj funkcję d : X2 [0, "), spełniającą

warunki (M.1) - (M.3)2,
e) funkcja charakterystyczna zbioru3:dla X = " oraz ustalonego podzbioru A �"

X przyjmujemy:
fA : X {0, 1}

1 jeżeli x " A
df
x fA(x) =
0 jeżeli x " A = X \ A,
f) prawdopodobieństwo: dla zbioru zdarzeń elementarnych &! i �-ciała S(&!) przyj-
mujemy:
P : S(&!) R
, gdzie
A P (A)
P (&!) = 1,
P (A) 0, A " P(&!),
A )" B = " �! P (A *" B) = P (A) + P (B), A, B " P(&!).
1
restrykcja funkcji - patrz np. [17], str. 41.
2
metryka w zbiorze X - patrz np. [26]. (M.1.)jednoznaczność: d(x, y) = 0 �! x = y, (M.2)
symetria: d(x, y) = d(y, x), (M.3)nier. trójkąta: d(x, y) d(x, z) + d(z, y).
3
funkcja charakterystyczna zbioru - patrz np. [6], str. 108, [2], str. 119 lub [11], str. 174.
52
4 FUNKCJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
ć% X � X X
g) działanie binarne w niepustym zbiorze X:
not
(x, y) ć%(x, y) = x ć% y,
-1
: X X
h) działanie jednoargumentowe:
not
-1
x (x) = x-1,
i) działanie zeroargumentowe (wyróżniona stała):
� : X" X
df
gdzie X" = "
not
" �(") = e.
4.2 Obrazy i przeciwobrazy zbiorów dla danej funkcji
4.2.1 Definicje i przykłady
Dana jest funkcja f : X Y oraz zbiory A �" X oraz B �" Y .
Definicja 4.3 Zbiór
f(A) = {y " Y : "x"Ay = f(x)} �" Y,
nazywa się obrazem zbioru1 A (przy odwzorowaniu f), natomiast zbiór
f-1(B) = {x " X : "y"By = f(x)} = {x " X : f(x) " B} �" X,
nazywa się przeciwobrazem2 zbioru B (przy odwz. f).

x jeżeli x " R \ Q
Przykład 4.1 Dla funkcji rzeczywistej f(x) = znalez
ć
0 jeżeli x " Q
a) obrazy zbiorów Q, R \ Q, [0; 1].
b) przeciwobrazy zbiorów N, R \ Q, (1; 3].
Rozwiązanie.
ad a) f(Q) = {0}, bo "x"Qf(x) = 0,
f(R \ Q) = R \ Q, bo "x"(R\Q)f(x) = x,
f([0; 1]) = {y " R : y = 0 (" y " (0; 1) )" (R \ Q)}.
ad b) f-1(N) = ", bo <" "y"N y = f(x),
f-1(R \ Q) = R \ Q bo "y"R\Q"x"R\Qy = f(x) = x,
f-1((1, 3]) = (1; 3) )" (R \ Q), bo jeżeli y " (1; 3] )" Q, to <" "xy = f(x) a jeżeli y "
(1; 3] )" (R \ Q), to dla x = y, f(x) = y.
4.2.2 Prawa dla obrazów i przeciwobrazów zbiorów
Twierdzenie 4.1 (por. [5]) Dla funkcji f : X Y oraz zbiorów A1, A2 " X, B1, B2 "
Y mamy:
f(A1 *" A2) = f(A1) *" f(A2) f(A1 )" A2) �" f(A1) )" f(A2)
f-1(B1 *" B2) = f-1(B1) *" f-1(B2) f-1(B1 )" B2) = f-1(B1) )" f-1(B2)
1
Zbiór f(Df ) nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.
2
Piszemy również f�!(B).
53
4.2 Obrazy i przeciwobrazy zbiorów dla danej funkcji 4 FUNKCJE
Dw. ad 1). Z definicji obrazu zbioru przy odwzorowaniu f oraz z praw logiki mamy:
y " f(A1 *" A2) �! "x"A1*"A2y = f(x) �! "x[(x " A1) (" (x " A2)] '" (y = f(x)) �!
"x[(x " A1) '" y = f(x)] (" [(x " A2) '" y = f(x)] �! "x"A1y = f(x) (" "x"A2y = f(x) �!
y " f(A1) (" y " f(A2) �! y " f(A1) *" f(A2).
ad 2) y " f(A1 )" A2) �! "x"A1)"A2y = f(x) �!
"x[(x " A1) '" (x " A2) '" (y = f(x))] �! "x1"A1y = f(x1) '" "x2"A2y = f(x2) �!
y " f(A1) '" y " f(A2) �! y " f(A1) *" f(A2).
ad 3) x " f-1(B1 *" B2) �! f(x) " B1 *" B2 �!
f(x) " B1 (" f(x) " B2 �! x " f-1(B1) (" x " f-1(B2) �! x " f-1(B1) *" f-1(B2).
ad 4) x " f-1(B1 )" B2) �!
f(x) " B1 )" B2 �! f(x) " B1 '" f(x) " B2 �!
x " f-1(B1) '" x " f-1(B2) �! x " f-1(B1) )" f-1(B2).
Formalnie, należy jeszcze wykazać, że znaku inkluzji �" w 2) nie można zastąpić generalnie
znakiem równości. Wskażemy odpowiedni kontrprzykład.
Ą
f : [-Ą , ] [0, 1]
2 2
Wez
my funkcję oraz przyjmijmy
x f(x) = cos x
A1 = [-Ą/2, 0], A2 = (0, Ą/2]. Wtedy f(A1 )" A2) = f(") = " oraz f(A1) = f([-Ą/2, 0]) =
[0, 1] i f(A2) = f((0, Ą/2]) = (0, 1]. Zatem f(A1) )" f(A2) = [0, 1] )" (0, 1] = (0, 1] = ".

Twierdzenie 1 można uogólnić na przypadek działań uogólnionych.
Twierdzenie 4.2 Niech f : X Y i niech {Aą : ą " A} będzie indeksowaną
rodziną podzbiorów zbioru X a {B� : � " B} - indeksowaną rodziną podzbiorów
zbioru Y . Wtedy

f ( Aą) = f(Aą) f ( Aą) �" f(Aą)
ą"A ą"A ą"A ą"A


f-1 B� = f-1(B�) f-1 B� = f-1(B�)
�"B �"B �"B �"B
Dw. Ograniczymy się do dowodu własności 1"). Mamy



y " f Aą �! "
x" Aą)y = f(x) �!
(
ą"A
ą"A
"x"ą"Ax " Aą '" y = f(x) �! "ą"Ay " f(Aą) �!

y " f(Aą).
ą"A

54
4 FUNKCJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
4.2.3 Injekcja
Definicja 4.4 Funkcję f : X Y nazywamy injekcją lub odwzorowaniem
różnowartościowym albo jednoznacznym, jeżeli f ma własność:
1) "x ,x2"X[x1 = x2 �! f(x1) = f(x2)].

1
W oparciu o znane prawo rachunku zdań1:
"p,q"L p �! q �!<" q �!<" p,
2
warunek 1) można zapisać równoważnie:
2) "x ,x2"X[f(x1) = f(x2) �! x1 = x2].
1
4.2.4 Surjekcja
Definicja 4.5 Funkcję f : X Y nazywamy surjekcją lub odwzorowaniem  na ,
jeżeli f ma własność:
3) "y"Y "x"Xy = f(x).
Własność powyższą 3) można wysłowić znacznie prościej: obrazem zbioru X przy
odwzorowaniu f jest cały zbiór Y : f(X) = Y .
4.2.5 Bijekcja
Definicja 4.6 Funkcję f : X Y nazywamy bijekcją2, jeżeli f jest injekcją i
surjekcją, jednocześnie:
4) "y"Y "!x"Xy = f(x).
Przykład 4.2 Funkcja f : R2 R2 zdefiniowana jest następująco: f(x, y) =


a b

(ax + by, cx + dy), (x, y) " R2, detA = = 0. Sprawdzić, że f jest bijek-


c d
cją zbioru R2 na zbiór R2.
Uzasadnimy, że f jest odwzorowaniem różnowartościowym. Przypuśćmy, że f(x, y) =
f(u, v) dla pewnych (x, y), (u, v) " R2. Równość par uporządkowanych (ax+by, cx+dy) =

au + by = ax + by
(au + bv, cu + dv) jest równoważna układowi dwóch równości:
cu + dv = cx + dy
Tę zaś równość potraktujmy teraz jako układ dwóch równań (liniowych) o niewiadomych
u, v. Układ ten jest układem Cramera, ponieważ wyznacznik układu jest różny od zera.
Ze wzorów Cramera otrzymujemy rozwiazanie: u = x, v = y czyli (u, v) = (x, y). To zaś
dowodzi (patrz równoważny warunek różnowartościowości funkcji), że f jest injekcją.
1
Prawo kontrapozycji - tabelka ze strony 8, prawo nr. 18 (zobacz również  kwadrat logiczny
w przykładzie 1.10, str. 11.
2
bijekcja od bijection, w tłumaczeniu na język polski odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne
(zobacz [12], str.58.)
55
4.3 Złożenie funkcji 4 FUNKCJE
Wez
my dowolne (u, v) " R2 Wykażemy, że istnieje (x, y) " R2 takie, że f(x, y) = (u, v).
Rzecz sprowadza się zatem do wykazania, że istnieje rozwiązanie równania f(x, y) = (u, v)

ax + by = u
a więc do wykazania, że istnieje rozwiązanie układu równań (liniowych)
cx + dy = v

du-bv
x =
ad-bc
o niewiadomych x, y. A
atwo uzyskujemy rozwiazanie: , co dowodzi, że f
av-uc
y =
ad-bc
jest surjekcją. Funkcja f jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym1.
4.3 Złożenie funkcji
4.3.1 Definicja i własności superpozycji funkcji
Niech dane będą funkcje f : X Y, g : Y Z.
Definicja 4.7 Superpozycją lub złożeniem g ć% f funkcji f, g nazywamy odwzorowa-
nie
df
h = g ć% f : X Z, h(x) = (g ć% f)(x) = g[f(x)].
Złożenie h ilustruje diagram przemienny superpozycji:
f
X - Y
, h = g ć% f.
h �! g
Z
Własności podstawowe składania funkcji
Twierdzenie 4.3 Superpozycja funkcji ma własności:
1. Składanie funkcji jest łączne: jeżeli f : X Y, g : Y Z, h : Z W , to
h ć% (g ć% f) = (h ć% g) ć% f.
2. Składanie funkcji nie jest na ogół przemienne.
3. Superpozycja bijekcji jest bijekcją.
Dw. ad 1. Mamy [hć%(gć%f)](x) = h[(gć%f)(x)] = h[g(f(x))] a z drugiej strony [(hć%g)ć%f](x) =
(h ć% g)(f(x)) = h[g(f(x))]. Z porównania prawych stron równości wnioskujemy, że i lewe
strony tej równości są równe, co kończy dowód łączności superpozycji funkcji.
ad 2. Podamy prosty kontrprzykład:
Definiujemy funkcje f, g : R R następująco: f(x) = 2x, g(x) = x2, x " R. Mamy:
g ć%f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2 oraz (f ć%g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2. Mamy
dalej 4x2 = 2x2 �! x = 0. Zatem dla prawie wszystkich x " R, (f ć% g)(x) = (g ć% f)(x).

ad 3. Jeżeli f : X Y jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym i funkcja g : Y Z
jest bijekcją zbioru Y na zbiór Z, to złożenie g ć% f jest bijekcją zbioru X na zbiór Z.
Istotnie, g ć% f jest surjekcją. Niech z " Z. Wtedy istnieje y " Y takie, że z = g(y).
Dla y " Y istnieje x " X takie, że y = f(x) a więc z = g(f(x)) = (g ć% f)(x). Zatem dla
dowolnego z " Z istnieje x " X takie, że (g ć% f)(x) = z.
Odwzorowanie g ć% f jest injekcją. Przypuśćmy, że x1, x2 " X takie, że (g ć% f)(x1) =
1
W algebrze funkcja f nazywa się odwzorowaniem liniowym lub operatorem liniowym.
56
4 FUNKCJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
(g ć% f)(x2). Mamy wtedy (z definicji złożenia g(f(x1)) = g(f(x2)) a ponieważ g jest
injekcją, więc f(x1) = f(x2). Z kolei, f też jest injekcją i mamy stąd x1 = x2. To kończy
dowód jednoznaczności złożenia.
Przykład 4.3 Sprawdzimy, czy funkcje f i g można złożyć i ewentualnie znajdzie-
my g ć% f. Podobnie, odpowiemy na pytanie: czy można złożyć funkcję g z f, jeśli:
a) f(x) = x3 + 1, x " R, g(x) = 1 - x3, " R.
"x
b) f(x) = x2, x " (-"; +"), g(x) = x, x " [0; ").
c) f(x) = x2, x " R, g(x) = x3, x " R.
" "
d) f(x) = 1 - x2, x " [-1; 1], g(x) = 4 - x2, x " [-2; 2].
ad a) Ponieważ f(R) = Dg = R, więc istnieje złożenie g ć% f funkcji f i g oraz (g ć% f)(x) =
g(f(x)) = g(x3 +1) = 1-(x3 +1)3 dla x " R. Ponieważ g(R) = Df = R, więc istnieje f ć%g
i mamy (f ć% g)(x) = f(g(x)) = f(1 - x3) = 1 + (1 - x3)3, x " R. Oczywiście, g ć% f = f ć% g.

ad b) Ponieważ f((-"; +")) = [0; +") = Dg, więc istnieje g ć% f oraz (g ć% f)(x) =
"
g(f(x)) = g(x2) = x2 = |x|. Ponieważ g(R) = [0; +") �" Df = R, więc istnieje f ć% g i
" "
(f ć%g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x)2 = x. W tym wypadku g ć%f jest funkcją o dziedzinie
R a funkcja f ć% g ma dziedzinę [0; +") i z tego powodu są to różne funkcje. Zauważmy
też, że generalnie |x| = x.

ad c) Zależność f(R) = [0; ") �" R = Dg oznacza, że funkcje f i g można złożyć i wtedy
dostajemy: (g ć% f)(x) = g(f(x)) = g(x3) = (x3)2 = x6, x " R. A
atwo widzieć, że istnieje
również złożenie f ć% g i że g ć% f = f ć% g.
ad d) Istnieje g ć% f, bo f([-1; 1]) = [0; 1] oraz Dg = [-2; 2] i oczywiście, f([-1; 1]) �" Dg.

" " "
Mamy (gć%f)(x) = g(f(x)) = g( 1 - x2) = 4 - ( 1 - x2)2 = 4 - (1 - x2) = 3 + x2,
x " [-1; 1]. Funkcji g z f złożyć się nie da, bo g([-2, 2]) = [0; 2] �" [-1; 1] = Df .
Uwaga 4.3 Jeżeli f jest funkcją określoną na zbiorze X i owartościach w tym zbio-
rze oraz spełniony jest warunek f(Df) �" Df, to istnieje ciąg funkcji fn : Df Df,
n " N0 zwany ciągiem iteracji funkcji1 f postaci

f0 = idX
2
, gdzie idX = x, x " X.
fn+1 = f ć% fn n = 0, 1, . . .
Przykład 4.4 Znajdziemy dowolną iterację funkcji f, jeśli:
"
1
a) f(x) = , x " (0; "), b) f(x) = 1 - x2, x " [0; 1].
x2
1 1 1
ad a) f(Df ) = Df = (0; "). Mamy kolejno f1(x) = = x-2, f2(x) = = = x4.
1
x2 f1(x)
( )2
x2
1 1
f3(x) = = = x-8. Stawiamy hipotezę:
f2(x) (x4)2
n
(") fn(x) = x(-1) 2n, x " (0; "), n = 1, 2, . . . .
Wykażemy, że hipoteza jest twierdzeniem. Udowodnimy (") przez indukcję1. Dla n = 1,
1
1
f1(x) = f(x) = = x-2 = x(-1) �21 wzór (") jest prawdziwy. Wez
my dowolne n i załóżmy,
x2
1
że (") jest słuszne dla n. Wykażemy słuszność (") dla n + 1; mamy fn+1(x) = =
2
fn(x)
1
W wielu działach matematyki wykorzystuje się ciagi iteracji danej funkcji.
2
Funkcja idX omówiona jest np. w [6], str. 45.
1
Studenci, którzy nie przerabiali w szkole zasady indukcji mogą zapoznać się z tą zasadą w
oparciu o $6 niniejszego wykładu lub w [6], str. 33.
57
4.3 Złożenie funkcji 4 FUNKCJE
n n+1
1
= x-(-1) 2n�2 = x(-1) �2n+1. Z zasady indukcji wynika, że twierdzenie (") jest
(x(-1)n2n )2
prawdziwe dla dowolnego naturalnego n.

f(x) jeżeli n = 2k,
ad b) A
atwo sprawdzić, że tym razem fn(x) =
x jeżeli n = 2k + 1, k = 0, 1, . . .
.
4.3.2 Funkcje parami odwrotne
Twierdzenie 4.4 Funkcja f jest bijekcją zbioru X na zbiór Y w. i t. w., gdy istnieje
bijekcja f-1 zbioru Y na X taka, że
(Id) f-1 ć% f = idX '" f ć% f-1 = idY .
Funkcję f-1 nazywamy odwrotną do funkcji f.
Równości Id można przedstawić na diagramach:
f
f-1
X - Y
Y - X
, .
idX = f-1 ć% f �! f-1
idY = f ć% f-1 �! f
X
Y
Dw. �!:. Zakładamy, że f : X Y jest bijekcją X na Y . Niech dla y " Y , f-1(y) =
x �! f(x) = y. Określona została funkcja f-1 : Y X. Funkcja f-1 jest surjekcją, bo
dla dow. x " X istnieje y " Y (y = f(x)) takie, że f-1(y) = x. Wykażemy, że f-1 jest
injekcją. Przypuśćmy, że f-1(y1) = f-1(y2). Niech f-1(y1) = x1 oraz f-1(y2) = x2. Z
definicji funkcji f-1, y1 = f(x1), y2 = f(x2). Ponieważ f jest injekcją oraz x1 = x2, więc
y1 = y2. Funkcja f-1 jest więc bijekcją zbioru Y na zbiór X.
Niech f-1(f(x)) = x. Z definicji f-1, f(x) = f(x) a z jednoznaczności f, x = x, skąd
f-1 ć% f = idX. Jeżeli f(f-1(y)) = y, to z def. f-1, f-1(y) = f-1(y). Ponieważ f-1 jest
bijekcją, więc y = y, skąd f ć% f-1 jest identycznością na Y .
�!:. Załóżmy teraz, że istnieje bijekcja f-1 : Y X taka, że spełnione są równania
(Id). Z zależności f(f-1(y)) = y, y " Y wynika, że dla dowolnego y " Y , jeżeli f-1(y) = x,
to f(x) = y. Z równości f-1(f(x)) = x, x " X wynika, że dla dowolnego x " X, jeżeli
f(x) = y, to f-1(y) = x. Zatem warunek f(x) = y �! f-1(y) = x podaje związek między
parą funkcji f i f-1. Analogicznie jak w pierwszej części dowodu (zamieniając funkcje f i
f-1  rolami ) wykazuje się, że f jest bijekcją.
Przykład 4.5 Funkcje rzeczywiste: f(x) = ex, x " R oraz f-1(x) = ln x, x " (0, ")
stanowią parę funkcji wzajemnie odwrotnych. W szczególności:
ln ex = x, x " R , oraz eln x = x, x " (0, ").
Przykład 4.6 W analizie matematycznej wprowadza się funkcje cyklometryczne.
Funkcja arcsin. Wez
my f(x) = sin x, x " [-Ą/2, Ą/2]. Funkcja f jest bijekcją zbioru
[-Ą/2, Ą/2] na zbiór [-1, 1]. Zatem istnieje bijekcja f-1 : [-1, 1] [-Ą/2, Ą/2]
taka, że f-1 ć% f = id[-Ą/2,Ą/2] oraz f ć% f-1 = id[-1,1]. Piszemy arcsin(x) zamiast
f-1(x) i czytamy  arcus sinus x . Mamy oczywiście:
arcsin(sin x) = x, x " [-Ą/2, Ą/2], oraz sin arcsin(x) = x, x " [-1, 1].
58
4 FUNKCJE Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
Przykład 4.7 Uzasadnić (Mysior A. [20]), że funkcja f : R Y , gdzie Y =

4t 4-t2
S1 \ {(0, -1)} i S1 oznacza sferę 1-no wymiarową, dana wzorem f(t) = ; ,
4+t2 4+t2
t " R jest bijekcją1 zbioru R na zbiór Y . Znalez
ć funkcję odwrotną f-1 do funkcji
f oraz sprawdzić poprawność obliczeń.

(0,1)=f(0)


(-1, 0) = f(-2) (1,0)=f(2)




-1
(0, -1) " Df
Rys.1
4t
Funkcja �(t) = jest funkcją nieparzystą o wykresie Rys.2 (funkcja zazna-
4+t2
4-t2
czona jest szkicowo). Funkcja parzysta �(t) = przedstawiona jest (szkicowo) na
4+t2
Rys. 3.

1 1




-2 -2 2


2

-1
Rys.2. Rys.3.
Przypuśćmy, że f(t) = f(u) dla pewnych t, u " R i t = u. Przypuśćmy, że

t " [-2, 2] i u " [-2, 2]. Wtedy oczywiście �(t) = �(t) implikuje t = u. Przypuśćmy
zatem, że t " [-2, 2] i |u| > 2. Wtedy jednak �(t) > 0 i �(u) < 0, co być nie może.
Zatem generalnie f(t) = f(u) �! t = u, co dowodzi różnowartościowości funkcji
4t
f. Niech teraz (�(t), �(t)) = (u, v), (u, v) " S1 \ {(0, -1)}. Wtedy u = i
4+t2
8 u t 2u
v + 1 = . Stąd = i ostatecznie f-1(u, v) = , (u, v) " S1 \ {(0, -1)}.
4+t2 v+1 2 v+1
Mamy
4t 4 - t2 2 � 4t
4+t2
(f-1 ć% f)(t) = f-1( ; ) = = t, t " R.
4 + t2 4 + t2 4-t2
+ 1
4+t2
Mamy również
�ł �ł

2x 2x
4 - (y+1)2
2x
(y+1)
�ł łł
(f ć% f-1)(x, y) = f = 4 ; .
2x 2x
y + 1 4 + (y+1)2 4 + (y+1)2
Ponieważ (x, y) " S1 \ {(0, -1)}, więc x2 + y2 = 1. Zatem

2x(y + 1) 2y2 + 2y + 1 - (x2 + y2)
(f ć% f-1)(x, y) = ; =
y2 + 2y + 1 + x2 2(y + 1)

2x(y + 1) 2y(y + 1)
; = (x; y).
2(y + 1) 2(y + 1)
1
Funkcję odwracalną (bijekcję) naywa się czasem (por. [18]) relacją doskonałą.
59
4.3 Złożenie funkcji 4 FUNKCJE
Funkcję, która jest sama do siebie odwrotną, nazywamy inwolucyjną1 (porównaj
[12]).
Przykład 4.8 Sprawdzimy, że funkcje określone w (a), (b), (c) są inwolucyjne.2
(a) fa : R R, fa(x) = a - x, x " R (a " R),

b
jeżeli x = 0

x
(b) fb : R R, fb(x) = , b = 0,

0 jeżeli x = 0
b
(c) fa,b : R2 R2, fa,b(x, y) = (a - x, ), (x, y) " R2, (a, b) " R � (R \ {0}).
y
Rozwiązanie.
ad (a) Oczywiście, funkcja fa jest bijekcją zbioru R na siebie i f-1(x) = a-x, x " R.
Mamy (f-1 ć% f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(a - x) = a - (a - x) = x = (f ć% f-1)(x),
x " R.
ad (b) Sprawdzimy, że fb jest funkcją różnowartościową w R. Załóżmy, że fb(x) =
fb(y) dla ustalonych ale dowolnie wybranych x, y " R. Wtedy:
b b
jeżeli fb(x) = fb(y) = 0, to x = y = 0, a jeżeli = , to x = y. Zatem funkcja fb
x y
jest injekcją.
Sprawdzamy, że fb jest surjekcją R na R. Obierzmy dowolne y w R. Uzasadnimy,
że istnieje x " R takie, że y = fb(x). Z równania y = fb(x) łatwo znajdujemy
rozwiązanie x; jeśli bowiem y = 0, to z określenia funkcji fb otrzymujemy x = 0, a
b b
jeśli y = 0, to z równania = y, dostajemy x = . Funkcja fb jest bijekcją R

x y
-1
na R i ma funkcję odwrotną fb = fb. Faktycznie, mamy bowiem: (f-1 ć%f)(x) =
(f ć%f-1)(x) = x: dla x = 0, f-1(f(0)) = f-1(0) = 0 a dla x = 0 mamy (f-1(f(x)) =

b b
f-1(x) = = x.
b
( )
x
ad (c). Mamy tutaj fa,b(x, y) = (fa(x), fb(y)), x " R, y " R \ {0}. Z własności
pary uporządkowanej (patrz np. lemat 2.2, str. 28) wynika, że z różnowartościowości
funkcji fa i fb wynika różnowartościowość funkcji fa,b. Równanie (u, v) = fa,b(x, y) =
-1 -1
(fa(x), fb(y)) ma rozwiąznie (x, y) = (fa (u), fb (v) dla dowolnej pary (u, v) " R2.
-1 -1
Ma też miejsce równość fa,b (x, y) = fa,b(x, y), x, y " R oraz (fa,b ć% fa,b)(x, y) =
-1 -1 -1
-1
fa,b (fa(x), fb(y)) = (fa (fa(x)), fb (fb(y))) = (x, y) = (fa,b ć% fa,b )(x, y).
Uwaga 4.4 a) Należy zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku bijekcji rzeczywistej
f : R R, wykres funkcji odwrotnej f-1 otrzymujemy - jak pisze np. Lucienne
F�lix w [12]-  przez zamianę osi, to jest przez symetrię wzgledem osi x = y.
b) W analizie można (jeszcze!) spotkać zadanie sformułowane np. następująco:
Znalez
ć funkcję odwrotną do funkcji y = x4. Pokutuje pewna  niezdrowa tradycja .
Wiemy bowiem, że funkcja y w swej dziedzinie naturalnej nie jest bijekcją i jako
taka, funkcji odwrotnej nie posiada. Zadanie to1 powinno być sformułowane tak:
Wyznaczyć funkcję odwrotną do odpowiedniej restrykcji funkcji y = x4 do możliwie
1
Odnotujmy, że przekształcenia geometryczne płaszczyzny: symetria względem punktu oraz
inwersja względem okręgu lub sfery, są inwolucjami.
2
Termin inwolucja funkcjonuje również w biologii-oznacza ni mniej ni więcej jak wsteczne zmiany
budowy i funkcji komórek, tkanek lub narządów; np. zanik ogona u kijanek żab, ..., także powrót
do pierwotnego stanu macicy ssaków po porodzie-podaje Wielka Encyklopedia Powszechna PWN
z roku 1965.
1
L. F�lix podkreśla znaczenie znajdowania funkcji odwrotnej do odpowiedniej restrykcji danej
funkcji w analizie matematycznej.
60
5 TEORIA MOCY Antoni Miczko, Wstęp do Matematyki
największego (w sensie mnogościowym) zbioru X �" R, w którym owo zawężenie jest
bijekcją. W ramach ćwiczeń z analizy matematycznej studenci wyznaczają te zawę-
żenia funkcji y i piszą rozwiązanie: Funkcja f1 = f|[0;"), f1(x) = x4, x " [0; ") jest
"
-1
4
bijekcją i ma funkcję odwrotną f1 (x) = x, x " [0; ").
"Funkcja f2 = f|(-";0],
-1
4
f2(x) = x4, x " (-"; 0], ma funkcję odwrotną f2 (x) = - x, x " [0; ").
c) W ramach algebry, topologii lub analizy funkcjonalnej poszukuje się funkcji
odwrotnych do pewnych  specjalnych funkcji, które określone są na przestrzeniach
abstrakcyjnych i których wartości również nie muszą być liczbowe. Z tymi twier-
dzeniami słuchacze zetkną sie niebawem. Dla przykładu, Twierdzenie o lokalnym
odwracaniu odwzorowań (należy ono do analizy lecz dowodzone jest metodami to-
pologii), stanowi (studenci przekonają sie o tym naocznie) jedno z najważniejszych
narzędzi wykorzystywanych w analizie matematycznej a poznanie dowodu tego faktu
daje studentowi w okresie sesji egzaminacyjnej  pełnię szczęścia (zainteresowanych
pojęciem szczęścia w matematyce odsyłam wstępnie do [36]). A z formalnego punktu
widzenia twierdzenie to podaje  tylko warunki na to by istniała funkcja (operator)
odwrotna do danej.
5 Teoria mocy
akie są początki pojęcia nieskończoności w matematyce? Tego nie wiemy. Pew-
J
ne jest natomiast, że w Grecji od czasów Peryklesa1 pojęcie to funkcjonowało
jako to, co nie ma końca, co jest wieczne, nieśmiertelne, samoodnawialne i związane
z boską energią.
D. Hilbert ([36]): Nieskończoność jak żaden inny problem - zawsze głęboko poruszała
ludzkie dusze. Nieskończoność, jak żaden inny problem, wywierała płodny wpływ na umysł.
Ale nieskończoność, również jak żadne inne pojęcie, domaga się rozjaśnienia.
5.1 O nieskończoności aktualnej i nieskończoności poten-
cjalnej
Od zarania dziejów matematykom towarzyszyło pojęcie nieskończoności aktualnej i
potencjalnej.
Niektórzy z Greków uważali za naturalne istnienie nieskończoności aktualnej postulu-
jąc, że np. zbiór liczb całkowitych dodatnich jest aktualnie nieskończony. Drudzy, prze-
ciwnie, uznawali tylko nieskończonośc potencjalną i jak pisze R. Murawski nieskończoność
rozumiano wtedy powszechnie (patrz np [19]): jako nieskończoność procesów, kolekcji czy
wielkości i jako możliwość ich nieograniczonego przedłużania czy powiększania, i nic więcej.
Murawski pisze dalej, że jednym ze z
ródeł niechęci matematyków do przyjęcia istnienia
nieskończoności aktualnej (dodajmy: do końca XIX wieku) był lęk przed paradoksami z nią
związanymi.
1
Anaksagoras (500-424) [38] - filozof, przyjaciel Peryklesa a po 30 latach nauczania w Atenach
skazany przez współrodaków na wygnanie, wprowadził do matematyki pojęcie wielkości nieskoń-
czenie małej i nieskończenie dużej.
61