Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
1/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
1. príklad (212/Pr. 3)
Zadanie: Vhodnou itera%0Å„nou metódou vypo%0Å„ítajte hodnotu 7 aspoH
na 5 desatinnżch miest.
Riea
enie:
Aby sme mohli pou~
ie
itera%0Å„nÅ› metódu, musíme nájse
vhodnÅ› rovnicu tvaru g(x) = x , ktorej riea
ením
je x = 7 . Takżchto rovníc je ve>
a, my va
ak musíme zvolie
takÅ› funkciu g(x), aby iterácia
x2 + 7
konvergovala. Jednou z takżch vhodnżch rovníc je napríklad x = , ktorá má korene Ä… 7 .
2x
.
ëÅ‚ öÅ‚
Na za%0Å„iatku si zvolíme . 
ala
ie aproximácie dostaneme z rekurentného vze
ahu
x = 2 7 = 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
2
xn + 7
xn+1 = , a teda:
2xn
4 + 7
x2 = = 2,75
4
x3 = 2,647727273
x4 = 2,645752048
x5 = 2,645751311
x6 = x5 (pri danej presnosti vżpo%0ńtov)
Vypo%0Å„ítali sme teda hodnotu 7 s presnose
ou na 9 desatinnżch miest a táto hodnota je
2,645751311.
2. príklad (215/1)
Zadanie: Metódou polenia intervalov nájdite koreH
rovnice x sin x = 1 v intervale 0; 1,5 .
Riea
enie:
V prvom rade musíme rovnicu x sin x = 1 upravie
do tvaru f (x) = 0 , %0Å„i~
e x sin x - 1 = 0 . Za%0ńiato%0ńnż
interval a,b = 0; 1,5 máme danż (sp:
H
a podmienku f (a)Å" f (b) < 0 ). 
ala
í interval dostaneme tak,
~
e vypo%0Å„ítame funk%0Å„nÅ› hodnotu stredu s1 tohto intervalu a pou~
ijeme ho ako hranicu intervalu spolu
s jednou z pôvodnżch hraníc tak, aby pre hranice nového intervalu a1,b1 platilo f (a1)Å" f (b1)< 0 :
a + b
s1 = = 0,75
2
f (s1) < 0 Ò! a1,b1 = 0,75; 1,5
A tak pokra%0Å„ujeme 
alej:
a1 + b1 a2 + b2
s2 = = 1,125 s3 = = 0,9375
2 2
f (s2 ) > 0 Ò! a2,b2 = 0,75; 1,125 f (s3 ) < 0 Ò! a3,b3 = 0,9375; 1,125
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
2/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
a3 + b3 a4 + b4
s4 = = 1,03125 s5 = = 1,078125
2 2
f (s4 ) < 0 Ò! a4 ,b4 = 1,03125; 1,125 f (s5 )< 0 Ò! a5 ,b5 = 1,078125; 1,125
a6 ,b6 = 1,1015625 ; 1,125 a7 , b7 = 1,11328125 ; 1,125
a8 ,b8 = 1,11328125 ; 1,119140625 a9 , b9 = 1,11328125 ; 1,116210938
a10 ,b10 = 1,11328125 ; 1,114746094 a11,b11 = 1,114013672 ; 1,114746094
KoreH
om rovnice x sin x = 1 v danom intervale s presnose
ou na 3 desatinné miesta je
a11 + b11
= 1,114379883 .
2
3. príklad (215/3)
Zadanie: Newtonovou metódou nájdite koreH
rovnice x + ln x = 0 .
Riea
enie:
Aby sme mohli pou~
ie
Newtonovu metódu doty%0Å„níc, musíme si zistie
prvÅ› deriváciu funkcie
1
f (x) = x + ln x . Táto prvá derivácia je f '(x) = 1+ . Ako po%0Å„iato%0Å„nÅ› aproximáciu si zvolíme x1 = 1.
x
f (xn )
Ka~
dÅ› 
ala
iu aproximáciu získame z rekurentného vze
ahu xn+1 = xn - . Tak~
e:
f '(xn )
1+ ln1
x2 = 1- = 0,5
1
1+
1
x3 = 0,564382393
x4 = 0,567138987
x5 = 0,567143290
x6 = x5
KoreH
om rovnice x + ln x = 0 s presnose
ou na 9 desatinnżch miest je teda 0,567143290.
4. príklad (216/13)
Zadanie: Odvo
te z Newtonovej metódy doty%0Å„níc spôsob vżpo%0Å„tu tretích odmocnín.
Riea
enie:
Riea
enie predvedieme va
eobecne pre n - tÅ› odmocninu z %0Å„ísla a (a " R+) a potom odvodíme vzorec
pre tretiu odmocninu. Najprv si musíme ur%0Å„ie
funkciu, ktorej korene budeme ur%0Å„ovae
, a taktie~
jej
prvÅ› deriváciu:
n
x = a Ò! f (x) = xn - a = 0
f '(x) = n Å" xn-1
Teraz dostávame rekurentne zadanÅ› postupnose
, ktorá konverguje k n - tej odmocnine z %0Å„ísla
a = x0 :
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
3/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
n
îÅ‚ Å‚Å‚
xk - a
f (xk ) 1 a 1 a
xk +1 = xk - = xk - = xk - xk + = (n -1)Å" xk +
ïÅ‚ śł
n-1 n-1 n-1
f '(xk ) n n
n Å" xk n Å" xk ðÅ‚ xk ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 a
ìÅ‚ ÷Å‚
Konkrétne pre tretiu odmocninu je rekurentné vyjadrenie tejto postupnosti xk +1 = 2xk + .
2
ìÅ‚
3
xk ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
5. príklad (216/16)
1
Zadanie: Vypo%0Å„ítajte pribli~
nś hodnotu 10 nasledujścou metódou: vyu~
ite rovnose
10 = 3Å" 1+
9
a Mac Laurinov rad pre funkciu y = 1+ x .
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
4/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
Riea
enie:
"
xn-1
(n-1)
Va
eobecnż zápis MacLaurinovho radu je: f (x)= f (0)Å" . Aby sme ním vyjadrili funkciu
"
(n -1)!
n=1
f (x) = 1+ x , potrebujeme hodnotu jej derivácií v bode nula:
f (x) = 1+ x Ò! f (0) = 1
1
1 1
-
f '(x) = (1+ x) 2 Ò! f '(0) =
2 2
3
1 1
-
f ''(x) = - (1+ x) 2 Ò! f ''(0) = -
4 4
5
3 3
-
f '''(x) = (1+ x) 2 Ò! f '''(0) =
8 8
7
15 15
- IV
IV
f (x) = - (1+ x) 2 Ò! f (0) = -
16 16
1 1 x2 3 x3 15 x4
SpomínanÅ› funkciu teda mô~
eme vyjadrie
takto: 1+ x = 1+ x - Å" + Å" - Å" +K
2 4 2 8 3! 16 4!
.
1 1 3 15
îÅ‚1+ - 1
Teda platí: 10 = 3 Å" 1 + = 3 Å" + - + KÅ‚Å‚ =3,162276377
ïÅ‚ śł
9 2 Å" 9 4 Å" 2 Å"81 8 Å" 6 Å" 729 16 Å" 24 Å" 6561
ðÅ‚ ûÅ‚