1. Podać def. Syg. Los. I zasadę jego opisu za pomocą realizacji. K0 14. Def i właściwości łańcuchów Markowa
(x(n)K0 x(n + l1)K1 ...x(n + lL )K L ) = E[X (n)K X (n + l1)K1 ...X (n + lL )K L ] dla dowolnych wartości przesunięć:
Sygn los naz f-cję dwóch zmiennych: czasu t i zdarz los e i oznaczamy X(t,e)=X(t) przy ustalonej chwili t=t0 syg los jest f-cją zdarz (") Syg los który przyjmuje tylko dyskretne wartości nazywamy łańcuchem Markowa jeżeli spełniony jest warunek: P{(X(n)=xn)|(X(n-
losowego, a więc zmienną los X(t=t0,e)X(t=t0). Przy ustalonym zdarzeniu los e=e0 syg los jest deterministyczną f-cją czasu. 1)=xn-1),(X(n-2)=xn-2),...}=P{(X(n)=xn)|(X(n-1)=xn-1)}. Wartości, które przyjmuje łańcuch Markowa oznaczymy S1,S2,...SM. Jeżeli
l1,l2,...,lL i dowolnych wartości potęg K0,K1,...,KL. Syg los X(n) dla którego spełniony jest warunek (x(n))(")=E[X(n)] nazywamy
X(t,e0)=x(t) jest nazywany realizacją syg los. X(n) równa się S1 to mówimy, że łańcuch jest w stanie S1. P-wa:
ergodycznym względem wart średniej. Syg los X(n) dla którego spełniony jest warunek (x(n)x(n+k))(")=E[X(n)X(n+k)] nazywamy
Opis za pomocą realizacji: zakładamy, że dysponujemy nieskończenie licznym zbiorem realizacji danego syg los. Dla dowolnej Pij(n,m)=P{(X(m)=Sj)|(X(n)=Si)} nazywamy prawdopodobieństwami przejść.
ergodycznym względem f-cji korelacji. p11(n, m) p12 ... p1M łł
îÅ‚
ustalonej chwili t0 dysponujemy zbiorem próbek realizacji syg los pobranych w chwili t0, próbki te są realizacjami zmiennej los X(t). Zbiór p-w przejść zapisujemy w postaci macierzy. Jest to macierz
ïÅ‚
p21 p22 ... p2M śł
Jeżeli syg los jest sygnałem o wartościach ze zbioru ciągłego, to zmienna los X(t) jest zmienną los ciągłą. Załóżmy, że jej gęstość p- 7. Podać i uzasadnić właściwości stacjonarnych w szerokim sensie syg los.
stochastyczna tzn suma elementów każdego wiersza tej macierzy jest równa
ïÅ‚ śł
(n, m) =
wa jest pX(x,t0). Ponieważ wartość tej zmiennej los należącej do wnętrza małego przedziału x0Jednowym gęstość p-wa nie zależy od czasu: p(x,t1)=p(x,t1-t1)=p(x); * Dwuwym gęstość p-wa zależy od długości odstępu
ïÅ‚ ... ... ... ... śł
realizacji o liczności proporcjonalnej do wartości pX(x0,t0), zatem wartość średnia zmiennej los X(t) równa oznaczamy Pi(n)=P(X(n)=Si) natomiast wektor bezwarunkowych p-w stanów
miÄ™dzy chwilami próbkowania p2(x1,x2,t1,t2)=p2(x1,x2,t1-t1,t2-t1)= p2(x1,x2,t2-t1)= p2(x1,x2,Ä). * Wartość Å›rednia jest staÅ‚a:
ïÅ‚ śł
" Å‚aÅ„cucha oznaczamy P(n)T=[P1(n) P2(n) ... PM(n)]. PeÅ‚ny opis statystyczny pM1 pM 2 ... pMM ûÅ‚
" ðÅ‚
prostego (mającego pamięć sięgającą tylko jeden krok wstecz) łańcucha
E(X (t0 )) = xpX (x,t0 )dx może być obliczona za pomocą uśrednienia po zbiorze wartości próbek
mX (t) = E(X (t)) = xp(x)dx = mX = const * F-cja korelacji i f-cja kowariancji nie zależy od bezwzględnych wartości
+"
+" Markowa otrzymujemy ustalając wektor p-w stanów w chwili początkowej P(0) oraz ciąg jednokierunkowych macierzy p-w przejść
-"
-" (i,i+1) gdzie i=0,1,....
N chwil t1 i t2, ale od odstÄ™pu Ä miÄ™dzy nimi:
1
mX (t0 ) = lim (t0 ) " " 15. Jednorodność i stacjonarność łańcucha Markowa
"xi
N " N
A
ańcuch Markowa nazywamy jednorodnym, jeżeli ma on następującą właściwość: (m,n)= (n-m) dla n>me"0. Jednorodny łańcuch
i=1 RX (t1,t2 ) = E( X (t1)X (t2 )) = x1x2 p2 (x1, x2,Ä )dx1dx2 = RX (Ä )C(t1,t2 ) = RX (Ä ) - m2
+" +" X
Markowa nazywamy stacjonarnym, jeżeli jego wektor p-w stanów nie zależy od czasu: P(n)=P dla n=0,1,..... W przeciwnym
-"
przypadku nazywamy go niestacjonarnym.
2. Podać sposób obl wart średniej jedno i dwuwymiarowej dystrybuanty, gęstości p-wa syg los za pomocą uśredniania po
2 2
zbiorze realizacji.
Wariancja (dyspersja): jest stała: à (t) = E[(X (t) - m2 )2]= CX (0) = à = const
X X X
16. Jak obliczamy p-wa stacjonarne stanów łańcucha Markowa?
Jednowym dystryb syg los X(t) może być wyznaczona dla ustalonej chwili t0, punkt po punkcie, ze wzoru
Dla stacjonarnego łańcucha Markowa spełnione jest równanie PST =PST, (PST(I- )=0), I=diag(1,1...1). Uwzględniając warunek
n1(xi ,t0 )
8. Podać i omówić def częściowej stacjonarności dla sygnałów niestacjonarnych.
FX (xi ,t0 ) = P(X (t0 ) < xi ) = lim xi=i", i=..-2,-1,0,1,2,.. gdzie n1(x1,t0) jest liczbą próbek realizacji syg los x(t) M
* Syg los X(t) nazywamy stacjonarnym rzędu k, jeżeli pn(x1...xn,t1-t0...tn-t0)= pn(x1...xn,t1...tn) dla nd"k. * Syg los X(t) nazywamy
N " N
normalizacyjny = 1 możemy z powyższych równań obliczyć stacjonarne p-wo stanów PSm; m=1,2...M
"PSm
asymptotycznie stacjonarnym w wąskim sensie jeżeli istnieje granica: limt0"pn(x1...xn,t1+t0...tn+t0). * Syg los X(t) nazywamy
pobranych w chwili t0 o wartościach mniejszych od xi. Dwuwym dystryb można obliczyć z analogicznego wzoru analaizując próbki
m=1
stacjonarnym w wąskim sensie o ograniczonym przedziale czasowym jeżeli pn(x1...xn,t1-t0...tn-t0)= pn(x1...xn,t1...tn) spełniony jest dla
realizacji syg los X(t) pobrane w dwóch różnych chwilach:
wszystkich chwil z tego przedziału, dla dowolnych wartości n.
n2 (xi , x ,t1,t2 )
j 17. Klasyfikacja stanów łańcucha Markowa
FX (xi , x ,t1,t2 ) = P(X (t1) < xi , X (t2 ) < x ) = lim xi=i", xj=j", i,j=..-2,-1,0,1,2,..
j j
Stan Sj łańcucha Markowa nazywamy niepowrotnym jeżeli istnieje taki stan Sk (k`"j) i taka liczba kroków, że Pj,k(n)>0 lecz Pk,j(m)=0
N " N 9. Objaśnić pojęcie stacjonarnego powiązania syg los.
dla wszystkich wartości m. Wszystkie inne stany nazywamy powrotnymi. Dwa stany łańcucha Markowa Sj i Sk nazywamy
Dwa syg los X(t) i Y(t) nazywamy stacjonarnie powiązanymi w szerokim sensie, jeżeli ich f-cja korelacji skrośnej jest niezmienna
´n1(xi ,t0 )
komunikującymi się jeżeli dla pewnych wartości n i m Pj,k(n)>0 Pj,k(m)>0. Zbiór stanów łańcucha Markowa może być podzielony na
Jednowym gÄ™stość p-wa: px (xi ,t0 ) Å" " = P(xi d" X (t0 ) < xi + ") = lim xi=i", i=..-2,-1,0,1,2,.. gdzie ´n1(x1,t0) wzglÄ™dem przesuniÄ™cia na osi czasu tzn: RXY(t1,t2)=e[X(t1)Y(t2)]=E[X(t1-t1)Y(t2-t1)]=RXY(Ä). Jeżeli każdy z syg los X(t) i Y(t) jest
podzbiory stanów komunikujących się.
N " N stacjonarny w szerokim sensie, to nie oznacza to, że są one powiązane stacjonarnie w szerokim sensie.
jest liczbą próbek realizacji syg los X(t) pobranych w chwili t0, o wartościach leżących w przedziale (xi, xi+").
18. Co to są p-wa finalne stanów łańcucha Markowa i jaki jest ich związek z p-mi stacjonarnymi stanów łańcucha.
Dwuwym gęstośc p-wa: 10. Proces Bernouliego i jego właściwości.
Dla regularnego ergodycznego łańcucha Markowa istnieje graniczny wektor p-w stanów Pfinal=limn"P(n) który nazywamy wektorem
CiÄ…g los X(n), -"´n2 (xi , x ,t1,t2 )
j
p-w finalnych stanów łańcucha
px (xi , x ,t1,t2 ) Å" "xi Å" "x = P(xi d" X (t1) < xi + "xi , x d" X (t2 ) < x + "x ) = lim . prawdopodobieÅ„stwami odpowiednio równymi p i 1-p. Jeżeli p=½ to sygnaÅ‚ ten nosi nazwÄ™ binarny biaÅ‚y szum. P-wo wystÄ…pienia
j j j j j
N " N
podciągu (1,-1,-1,1) rozpoczynającego się w dowolnej chwili n0 jest równe: P[(X(n0)=1), (X(n0+1)=-1),..., (X(n0+3)=1)]=p(1-p)(1-
20. Co to jest ukryty łańcuch Markowa
p)p=p2(1-p)2. P-wo to nie zależy od położenia podciągu w ciągu, będzie tak dla dowolnych podciągów, a więc proces Bernouliego jest
3. Podać i omówić def równoważnoÅ›ci i niezależnoÅ›ci syg los. stacjonarny. Jest również ergodyczny. Wart Å›rednia procesu Bernouliego mX=E[X(n)]=1p+(-1)(1-p)=2p-1; wariancja ÃX2=E[X(n)2]- Ukryty Å‚aÅ„cuch Markowa jest to syg podwójnie stochastyczny  losowy jest sygnaÅ‚ S(n) bÄ™dÄ…cy Å‚aÅ„cuchem Markowa
reprezentującym położenie klucza i losowy jest syg wynikowy X(n) utworzony z sygnałów wyjściowych dwóch z
ródeł, zależnie od
Dwa syg los, których n-wymiarowe rozkÅ‚ady p-wa sÄ… jednakowe nazywamy równoważnymi. Dwa syg los X(t), Y(t) nazywami (E[X(n)])2=(12p+(-1)2(1-p))-(2p-1)2=4p(1-p), stÄ…d dla binarnego szumu biaÅ‚ego mX=0, ÃX2=1.
położenia klucza. Sygnał S(n) nie może być obserwowany bezpośrednio  stąd nazwa. A
ańcuch Markowa jest ukryty w
niezależnymi jeżeli wektor los (X (t1), X (t2 ),..., X (tn ))T jest niezależny od wektora los (Y (t1),Y (t2 ),...,Y (tm ))T dla
obserwowanym sygnale X(n).
11. Proces dwumianowy i jego właściwości
dowolnych t1...tn, t1...tm. Warunkiem koniecznym i dostatecznym niezależności syg X(t) i Y(t) jest równość gęstości p-wa łącznego Jest to liczba dodatnich wartości w procesie Bernouliego począwszy od ustalonej chwili n0 do chwili bieżącej n>n0. Dla n0=0:
powyższych wektorów los iloczynowi gęstości p-wa obu tych wektorów. 21. Co to jest proces urodzin i śmierci i za pomocą jakiego grafu można go przedstawić.
n
1
n Jest to proces błądzenia przypadkowego.
Y (n) = (X (k) +1), P(Y (n) = m) = Cm Å" pm (1- p)n-m , m=0,1,2...n. Cmn oznacza tu liczbÄ™ kombinacji z n elementów
"
4. Podać def warunków gęstości p-wa dla sygnałów los i ich właściwości dla rzeczywistych syg los. 2 1- 0 0 łł
îÅ‚ Ä…1 Ä…1
k =1
"
ïÅ‚ śł
p2 (x1, x2,t1,t2 ) po m elementów.
²1 1-Ä…2 - ²1 Ä…2
0
p(x1,t1)(x2 ,t2 ) = gdzie p12 (x2,t2 ) = p2 (x1, x2,t1,t2 )dx1 WÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci: ïÅ‚ śł
+" Macierz przejść tego łańcucha
p12 (x2,t2 ) ïÅ‚ 0 ²2 ... Ä…4
śł
-" 12. Proces o niezależnych przyrostach, błądzenie przypadkowe, dyskretny proces Wienera
ïÅ‚ śł
n
lim p2 (x1, x2,t1,t2 ) = p11(x1,t1) p12 (x2,t2 ) lim p(x1,t1)(x2,t2) = p11(x1,t1) 0 0 ²4 1- ²4 ûÅ‚
ðÅ‚
|t2-t1|" |t2-t1|" Niech X (n) = (k) , gdzie ¾(k) jest procesem Bernouliego przyjmujÄ…cym wartoÅ›ci +1 i  1 z prawdopodobieÅ„stwami p i 1-p. Z
"¾
Markowa ma postać macierzy pasmowej (trójdiagonalnej). A
atwo
k =-"
,
lim p(x1,t1)(x2,t2) = ´ (x1 - x2 ) lim p2 (x1, x2,t1,t2 ) = p12 (x2,t2 )´ (x1 - x2 ) sprawdzić, że p-wa stacjonarne speÅ‚niajÄ… równania: PSm+1²m=PSm+1Ä…m
|t2-t1|0 |t2-t1|0 def procesu wynika, że przyrosty X(n)-X(n-1), X(n-1)-X(n-2),...,X(k)-X(k-1) są niezależne statystycznie. Proces mający taką cechę
gdzie m=1,2,3,4. Oznacza to, że w stanie stacjonarnym p-wo przejścia ze stanu wyższego do stanu niższego jest równe p-wu przejścia
nazywamy procesem o niezależnych przyrostach. Ma on tę właściwość, że zdarzenia określone na nie zachodzących na siebie
ze stanu niższego do stanu wyższego.
n
5. Podać def wart średniej, f-cji autokorelacji, f-cji autokowariancji, f-cji korelacji i kowariancji skrośnej dla rzecz syg los.
odcinkach czasu są niezależne. Definiujemy nowy syg los: X (n,n0 ) = X (n) - X (n0 ) = (k) dla n>n0 (zakładamy, że 22. Jaki sygnał nazywamy absolutnie fair a jaki martyngałem.
Wart Å›rednia: mX(t)=m(t)1=E(X(t)). F-cja autokorelacji: RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)] F-cja autokowariancji: CX(t1,t2)=E[(X(t1)- "¾
Syg los X(n) nazywamy syg absolutnie fair jeżeli ma on nast właściwość: E{X(n)|x(n-1), x(n-2),...}=0. Syg los mający następującą
mX(t1))(X(t2)-mX(t2))]=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2). F-cja korelacji skrośnej: RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]. F-cja kowariancji skrośnej: k =n0 +1
CXY(t1,t2)=E[(X(t1)-mX(t1))(Y(t2)-mY(t2))]=RXY(t1,t2)-mX(t1)mY(t2). właściwość: E{X(n)|x(n-1), x(n-2),...,y(n0)}=y(n-1) nosi nazwę martyngału.
X(n0,n0)=0). Sygnał ten jest znany jako błądzenie przypadkowe i najczęściej jest definiowany dla n0=0 lub n0=-1. W szczególnym
przypadku, gdy p=½ wtedy ¾(k) jest binarnym biaÅ‚ym szumem i syg los X(n,n0) jest nazywany dyskretnym procesem Wienera.
6. Zdefiniować i omówić pojęcia stacjonarności i ergodyczności syg los. 23. Syg los okresowy i cyklostacjonarny
Syg los X(t) nazywamy stacjonarnym w wąskim sensie (ściśle stacjonarnym), jeżeli jego wszystkie skończenie-wymiarowe f-cje Syg los X(n) nazywamy okresowym, jeżeli istnieje taka liczba całkowita M, że zachodzi nast. równość gęstości p-wa:
13. Def procesu Markowa
rozkÅ‚adu p-wa sÄ… niezmienne wzglÄ™dem przesuniÄ™cia na osi czasu, tzn pn(x1,x2,...,xn,t1,...,t2)= pn(x1,x2,...,xn,t1-t0,...,t2-t0) dla dowolnych p(x0,x1,...,xN,n0,n1,...,nN)= p(x0,x1,...,xN,n0+k0,n1+k1·M,...,nN+kN·M) dla dowolnych wartoÅ›ci n0,n1,...,nN, dowolnego zbioru liczb
Proces Markowa jest to syg los, dla którego wartość jednej próbki zależy od wartości próbki bezpośrednio ją poprzedzającej (proces
wartości n oraz t0. Oznacza to, że dla stacjonarnego w wąskim sensie syg los X(t) sygnały X(t) oraz X(t-t0) mają takie same całkowitych k0,k1,...,kN i dla dowolnej wartości N. Jeżeli równośc ta zachodzi tylko dla jednakowych wartości liczb kn tzn dla k0=k1-
Bernouliego  próbki są niezależne). Syg los nazywamy procesem Markowa jeśli rozkład p-wa warunkowego próbki X(n) przy
charakterystyki statystyczne (momenty dowolnego rzędu) dla dowolnej wartości t0. Stacjonarny syg los nazywamy ściśle ..=kN, to mówimy, że syg los jest cyklostacjonarny.
warunku że ustalone są wartości wszystkich poprzednich próbek, zależy tylko od wartości próbki poprzedniej tzn: p(xn|xn-1,xn-
ergodycznym jeżeli wszystkie jego charakterystyki statystyczne obliczone metodą uśredniania pojedynczej realizacji są równe, z
...)=p(xn|xn-1).
2
prawdopodobieństwem równym 1, odpowiednim charakterystykom obliczonym metodą uśredniania po zbiorze: 24. Opisać ideę przejścia od dyskretnego procesu Wienera do ciągłego procesu Wienera i objaśnić dlaczego jest on
gaussowskim syg los. Czy jest on stacjonarny?
Dyskretny proces Wienera może w każdej dyskretnej chwili, będącej wielokrotnością kwantu czasu "t, wzrosnąć lub zmaleć o 28. Macierz korelacji i macierz kowariancji dla syg los i ich właściwości 34. Definicje i właściwości f-cji korelacji, kowariancji i gęstości widmowej mocy dla zespolonych, ciągłych syg los.
k Mac korelacji syg los jest w pełni określona
F-cja korelacji: RX (t1,t2 ) = E(X (t1) Å" X (t2 )); f-cja kowariancji: CX (t1,t2 ) = E((X (t1) - mX (t1))Å"(X (t2 ) - mX (t2))).
îÅ‚ RX (0,0) RX (0,1) ... RX (0, N -1) Å‚Å‚
przez f-cjÄ™ korelacji syg los. Dla
wartość s z p-wem p=½: W (k Å" "t = Å"¾ (i) k>k0, gdzie ¾(i) jest binarnym biaÅ‚ym szumem. Wartość Å›rednia dyskretnego
"s
ïÅ‚ śł
stacjonarnego syg los f-cja korelacji jest
i=k0 +1 T RX (1,0) RX (1,1) ... RX (1, N -1) Zachodzi zwiÄ…zek: RX (t1,t2 ) = CX (t1,t2 ) + mX (t1) Å" mX (t2 ) .
öÅ‚
ïÅ‚ śł
RX = EëÅ‚ X Å"(X ) = zależna tylko od jednego argumentu i
ìÅ‚ ÷Å‚
k íÅ‚ Å‚Å‚ ... ... ... ... śł Dla stacjonarnego syg los: RX (t1,t2 ) = RX (Ä ) CX (t1,t2 ) = CX (Ä )
ïÅ‚
macierz korelacji przyjmuje specyficznÄ…
procesu Wienera jest równa zeru: E(W (k Å" "t)) = Å" E[¾ (i)] = 0 , natomiast wariancja ïÅ‚ śł
"s " "
(N
ðÅ‚RX -1,0) RX (N -1,1) ... RX (N -1, N -1)ûÅ‚ postać:
i=k0 +1
WÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci RX(Ä): RX (Ä ) = RX (-Ä ) - symetria Hermite a; ) Å" RX (t2 - t1) Å" a(t1)dt1dt2 - dla dowolnej f-cji a(t)
2
+" +"a(t
Jest to macierz Toeplitza.
îÅ‚ RX (0) RX (1) ... RX (N - 2) RX (N -1) Å‚Å‚
k
-" -"
ïÅ‚
Var(W (k Å" "t)) = Å"Var[¾ (i)] = s2 Å"(k - k0 ) . WprowadzajÄ…c dodatkowe oznaczenia t=k·"t, t0=k0·"t obliczamy dodatnia półokreÅ›loność.
"s2 RX (-1) RX (0) ... RX (N - 3) RX (N - 2)śł
ïÅ‚ śł
i=k0 +1 "
ïÅ‚ ... ... ... ... ... śł
F-cja gÄ™stoÅ›ci widmowej mocy dla stacjonarnych syg los: S ( f ) = (Ä ) Å" e- j2Ä„fÄ dÄ
t - t0 ïÅ‚ śł X X
+"R
Var(W (t)) = s2 Å" . Jeżeli zaÅ‚ożymy ze "t zmierza do zera oraz do zera zmierza też przyrost s w taki sposób że stosunek s2/"t (-N + 2) RX (-N + 3) ... RX (0) RX (1)
ïÅ‚RX śł
-"
"t
ïÅ‚ śł WÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci: - przyjmuje wartoÅ›ci rzeczywiste; - SX(f)e"0 -"RX (-N +1) RX (-N + 2) ... RX (-1) RX (0)
ðÅ‚ ûÅ‚
t - t0
zmierza do staÅ‚ej Â0, to otrzymamy Var(W (t)) = lim s2 Å" =  (t - t0 ) . Tak okreÅ›lony proces W(t) nazywamy ciÄ…gÅ‚ym
0
T
Å‚Å‚
"t " "t 35. Wykazać że dla Å‚Ä…cznie stacjonarnych ciÄ…gÅ‚ych sygnałów X(t) i Y(t) zachodzi RXY(Ä)=RYX(-Ä)
Podobnie macierz kowariancji syg los X(t) zdefiniowana wzorem CX = EîÅ‚(X - mX )Å"((X - mX )) jest caÅ‚kowicie okreÅ›lona
ïÅ‚ śł
procesem Wienera. Jest on gaussowskim syg los, ponieważ gÄ™stość p-wa dowolnego rzÄ™du ciÄ…gÅ‚ego procesu Wienera jest ðÅ‚ ûÅ‚
RXY (Ä ) = E(X (t)) Å"(Y (t +Ä )) RYX (-Ä ) = E(Y (t))Å"(X (t -Ä ))= E(X (t -Ä ))Å"(Y (t))= RXY (Ä )
gaussowska. Proces Wienera jest niestacjonarny, ponieważ wariancja procesu Wienera jest zależna od czasu. przez f-cję kowariancji i dla stacjonarnego syg los jest Hermitowską symetryczną macierzą Toeplitza. Właściwości dodatniej
półokreśloności f-cji korelacji (kowariancji) implikuje dodatnią półokreśloność macierzy korelacji (kowariancji).
36. Wykazać że dla łącznie stacjonarnych ciągłych syg X(t) i Y(t) zachodzi SXY(f)=SYX(f)
25. Właściwości gaussowskich syg los.
" " "
* GSL jest w pełni określony przy znajomości wartości średniej mX(t) i f-cji kowariancji CX(t1,t2). * Dla GSL brak korelacji między 29. F-cja korelacji i kowariancji skrośnej, ortogonalność, nieskorelowanie i łączna stacjonarność syg los zespolonych.
wartościami procesu jest równoważny ich niezależności. * Dla GSL pojęcie stacjonarności w sensie szerokim i w sensie wąskim są
S ( f ) = (Ä ) Å" e- j2Ä„fÄ dÄ SYX ( f ) = (Ä ) Å"e- j2Ä„fÄ dÄ = (Ä ) Å" e dÄ =
F-cja korelacji skroÅ›nej dla dwóch syg los X(n) i Y(n): RXY (n1,n2 ) = E(X (n1) Å"Y (n2 )). XY XY +"R +"R j2Ä„fÄ
+"R YX YX
tożsame. * Warunkowe gęstości p-wa dla GSL są także gaussowskie. * Liniowe przekształcenie GSL jest też GSL. *
-" -" -"
Niegaussowski syg los podany na wejście inercyjnego układu liniowego powoduje pojawienie się na jego wyjściu sygnału zbliżonego
F-cja kowariancji skroÅ›nej: CXY (n1,n2 ) = E[(X (n1) - mX (n1))Å"(Y (n2 ) - mY (n2 ))]
"
do GSL i przybliżenie jest tym lepsze im większa jest stała czasowa układu.
Syg los sÄ… ortogonalne jeżeli RXY(n1,n2)=0 i sÄ… nieskorelowane jeżeli CXY(n1,n2)=0 ( RXY (n1,n2 ) = mX (n1) Å" mY (n2 ) ). Dwa syg
XY XY
+"R (-Ä ) Å"e- j2Ä„f (-Ä )dÄ = S ( f )
26. Funkcje korelacji i kowariancji dla zespolonych syg los  definicje i właściwości los X(n) i Y(n) są łącznie stacjonarne w szerokim sensie, jeżeli: X(n) i Y(n) są stacjonarne w szerokim sensie oraz f-cja korelacji
-"
skrośnej jest f-cją tylko odstępu między próbkami tzn RXY(n1,n2)=RXY(n2-n1). F-cja korelacji skrośnej i f-cja kowariancji skrośnej nie
F-cja korelacji: RX (n1,n2 ) = E(X (n1) Å" X (n2 )).
są dodatnio półokreślone i nie mają właściwości symetrii.
37. Podać twierdzenie o próbkowaniu dla syg los.
F-cja kowariancji: CX (n1, n2 ) = E((X (n1) - mX (n1))Å" X (n2 ) - mX (n2 )).
Jeżeli f-cja gęstości widmowej mocy ciągłego syg los XC(t) ma wartość równą zero na zewnątrz przedziały (-b,b), to syg los
30. Def i właściwości gęstości widmowej mocy dyskretno-czasowych syg los.
"
Dla stacjonarnego sygnaÅ‚u losowego: RX (n1,n2 ) = RX (n2 - n1) = RX (l) = E(X (n) Å" X (n + l))
F-cją gęstości widmowej mocy nazywamy transformatę Fouriera f-cji autokorelacji stacjonarnego syg los: sin(x)
X1C (t) = X (n) Å"sin c(2Ä„Bt - nÄ„ ) , gdzie sin c(x) = , a X(n) jest dyskretnym syg los otrzymanym przez
"
"
CX (n1,n2 ) = CX (n2 - n1) = CX (l) = E((X (n) - mX )Å" X (n + l) - mX ), gdzie l=n2-n1 x
jÉ
n=-"
sX (e ) = (l)e- jÉl , sX(ejÉ) ma wymiar mocy na jednostkÄ™ czÄ™stotliwoÅ›ci. WÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci: sX(ejÉ) przyjmuje wartoÅ›ci
Właściwości: 1. f-cje korelacji i kowariancji stacjonarnych syg los są symetrycznie sprzężonymi f-cajmi swoich argumentów tzn "RX
próbkowanie syg los XC(t) w odstępach T=1/2B i jest rekonstrukcją syg los XC(t) w tym sensie, że E[(|XC(t)-X1C(t)|)2]=0
RX(l)=[RX(-l)]*; CX(l)=[CX(-l)]*; dla rzeczywistych syg los f-cje korelacji i kowariancji są parzystymi f-cjami odstępu l: RX(l)=RX(-l); l =-"
CX(l)=CX(-l). rzeczywiste; sX[ej(É+2kÄ„)]=sX(ejÉ); sX(ejÉ)e"0; dla rzeczywistych syg los jest parzystÄ… funkcjÄ… pulsacji tzn: sX(ejÉ)= sX(e-jÉ).
38. Definicja i właściwości białego szumu, białego szumu pasmowego i dyskretnego białego szumu.
2. f-cja korelacji i f-cja kowariancji stacjonarnego syg los są dodatnio półokreślone tzn:
Białym szumem nazywamy stacjonarny syg los X(t) o zerowej wartości średniej, którego f-cja gęstości widmowej mocy ma stałą
31. Jak interpretujemy impuls dla pulsacji É=0 w gÄ™stoÅ›ci widmowej mocy
" " " "
wartość: SX(f)=N0 -"Jeżeli syg los ma niezerowÄ… wartość Å›redniÄ…, to jego widmo gÄ™stoÅ›ci mocy bÄ™dzie miaÅ‚o prążek dla É=0 odpowiadajÄ…cy wartoÅ›ci
)RX (n2
" "a(n1 - n1) Å" a(n2 ) e" 0 )CX (n2 - n1) Å" a(n2 ) e" 0 dla dowolnego ciÄ…gu a(n) o
" "a(n1 szumu są zawsze nieskorelowane. Stacjonarny syg los o stałej wartości f-cji gęstości widmowej mocy w ograniczonym paśmie
|mX|2, będącej składową stałą f-cji korelacji. RX(l)=CX(l)-mXmX*, najczęściej zakłada się że wartośc średnia została usunięta i w
n1=-" n2=-" n1=-" n2=-" częstotliwości nazywamy pasmowym białym szumem: SX(f)=N0 -Bzwiązku z tym impuls w widmie dla zerowej pulsacji odpowiada losowej składowej stałej.
wartoÅ›ciach rzeczywistych lub zespolonych. RX(Ä)=2BN0sin(2Ä„BÄ) i przyjmuje wartoÅ›ci równe zero w punktach Äk=k/2B dla k=...,-2,-1,0,1,2,... Wynika stÄ…d, że pasmowy biaÅ‚y
Powyższe wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci stanowiÄ… warunki konieczne i dostateczne dla zakwalifikowania dowolnego ciÄ…gu liczbowego jako f-cji szum spróbkowany w odstÄ™pach T=1/2B ma f-cjÄ™ korelacji równÄ… zero w punktach Äk=k/2B i jedynÄ… wartość różnÄ… od zera w punkcie
32. Definicja i właściwości skrośnej gęstości widmowej mocy
korelacji lub kowariancji. Z wÅ‚asnoÅ›ci 2 wynikajÄ… nierównoÅ›ci: RX(0)e"RX(l) CX(0)=Var(X(n))e" CX(l), gdzie l`"0. Jeżeli syg los jest Ä=0 równÄ… Ã02=2BN0. StÄ…d f-cja gÄ™stoÅ›ci widmowej mocy spróbkowanego w taki sposób pasmowego biaÅ‚ego szumu ma staÅ‚Ä… wartość:
"
okresowy, to wszystkiejego momenty też sÄ… okresowe, a wiÄ™c f-cja korelacji i f-cja kowariancji sÄ… f-cjami okresowymi majÄ…cymi SX(ejÉ)=Ã02=2BN0. SygnaÅ‚ ten nazywamy dyskretnym biaÅ‚ym szumem. Dowolny dyskretny syg los o zerowej wartoÅ›ci Å›redniej,
jÉ
sXY (e ) = (l) Å" e- jÉl ; wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci skroÅ›nej gÄ™stoÅ›ci widmowej mocy: - jest wielkoÅ›ciÄ… o wartoÅ›ciach zespolonych; -
nieskończoną liczbę maksimów o wartościach RX(0) lub CX(0) pojawiających się co całkowitą wielokrotność okresu. "RXY którego próbki są nieskorelowane określany jest jako dyskretny biały szum. W ogólnym przypadku f-cja korelacji białego szumu
l =-" W(n) ma postać: RW(n1,n2)=(Ã0(n1))2·´(n2-n1). Zwykle zakÅ‚ada siÄ™, że dyskretny biaÅ‚y szum jest stacjonarny, w tym przypadku jego f-
27. Wykazać: cja korelacji jest równa: RW(l)=Ã02·´(l) a funkcja gÄ™stoÅ›ci widmowej mocy dana jest wzorem: SW(ejÉ)=Ã02
jÉ jÉ
jest f-cją okresową z okresem 2Ą; - sXY (e ) = sYX (e ) , ten sam moduł ale przeciwna faza; - dla rzeczywistych syg los f-cja
RX (-l) = E(X (n) Å" X (n - l))= E(X (n - l) Å" X (n))= RX (l)
39. Na czym polega estymacja parametrów metodą największej wiarygodności.
jÉ
korelacji skroÅ›nej przyjmuje wartoÅ›ci rzeczywiste i w zwiÄ…zku z tym zachodzi równość sXY (e ) = sXY (e- jÉ ) , moduÅ‚ jest
Zakładamy, że dysponujemy zbiorem wyników pomiarów reprezentowanych przez wektor los X (wektor obserwacji). Wektor los X
CX (-l) = E((X (n) - mX )Å"(X (n - l) - mX ))= E((X (n) - mX )Å"(X (n - l) - mX ))= CX (l)
parzystÄ… a faza nieparzystÄ… f-cjÄ… É. może być utworzony przez zbiór obserwacji skalarnych: X=[X1,...,XN]T lub zbiór obserwacji wektorowych: X=[V1T,...,VNT]T.
Pojedyncze obserwacje mogą być zależne lub niezależne statystycznie. Zakładamy, że znamy typ rozkładu p-wa wektora los (np.
33. F-cja koherencji rozkład Gaussa, rozkład równomierny itp.) lecz nie jest znana wartość ustalonego parametru q. Gęstośś p-wa wektora obserwacji
oznaczamy: p(x,¸). EstymatÄ… najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci parametru q, przy danym wektorze obserwacji XO nazywamy takÄ… wartość q,
jÉ
S (e )
jÉ XY
dla której p(XO,q) przyjmuje wartość maksymalną i oznaczamy ją qNW
F-cjÄ… koherencji nazywamy unormowanÄ… f-cjÄ™ skroÅ›nego widma gÄ™stoÅ›ci mocy: “XY (e ) = . CzÄ™sto
jÉ jÉ
S (e ) Å" SY (e )
X
40. Objaśnić pojęcie estymata i estymator
zamiast operować modułem skrośnego widma gęstości mocy używa się kwadratu modułu funkcji koherencji (MSC): Zadane estymacji polega na obliczaniu nieznanych lub losowych wielkości na podstawie znajomości wyników obserwacji będących
2 realizacjami zmiennych losowych. Rozróżniamy dwie podstawowe klasy problemów związanych z estymacją: 1). Estymowana
jÉ
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ S (e ) ÷Å‚ wielkość jest ustalona lecz nieznana (np. majÄ…c zbiór realizacji zmiennej los gaussowskiej o nieznanej wartoÅ›ci Å›redniej należy
2 XY 2
jÉ íÅ‚ Å‚Å‚ jÉ
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
obliczyć estymatę jej wartości średniej).; 2). Estymowana wielkość jest zmienną losową (np. staramy się odtworzyć sygnał wejściowy
ìÅ‚ “XY (e ) ÷Å‚ = , który ma wÅ‚aÅ›ciwość 0 e" ìÅ‚ “XY (e ) ÷Å‚ d" 1
jÉ jÉ
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
S (e ) Å" SY (e ) do pewnego ukÅ‚adu dysponujÄ…c zaszumionymi próbkami sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego z tego ukÅ‚adu). W pierwszym przypadku mówimy o
X
estymacji parametrów (np. wartości średniej, f-cji korelacji, f-cji gęstości widmowej mocy). W drugim przypadku mówimy o
estymacji zmiennych losowych (problemy zwiÄ…zane z filtracjÄ…, predykcjÄ…).
41. Podać i objaśnić właściwości estymatorów
Estymatory największej wiarygodności są jednymi z wielu możliwych. W celu określenia, który z estymatorów jest, w danym
przypadku, lepszy rozpatrzymy niektóre wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci estymatorów. Wprowadzamy przy tym oznaczenie: ¸N=¸N(X), gdzie N oznacza
liczbÄ™ obserwacji.
1 estymator nazywamy nieobciążonym jeżeli E(¸N)=0 czyli wtedy, kiedy wartość Å›rednia estymatora jest równa prawdziwej wartoÅ›ci
estymowanego parametru. W przeciwnym przypadku estymator jest obciążony i wielkość b(¸)=E(¸N)-¸ nazywamy obciążeniem
estymatora. Estymator jest asymptotycznie nieobciążony, jeżeli limN"E(¸N)=¸.
2 estymator ¸N jest spójny jeżeli limN"P(|¸N-¸|<µ)=1 dla dowolnie maÅ‚ej liczby µ>0. (CiÄ…g zmiennych losowych ¸N dla rosnÄ…cych
wartości N jest zbieżny w prawdopodobieństwie do prawdziwej wartości estymowanego parametru).
3 estymator jest efektywny w odniesieniu do innego estymatora, jeżeli ma mniejszÄ… od niego wariancjÄ™. Jeżeli estymator ¸N jest
nieobciążony i efektywny w stosunku do estymatora ¸N-1 to estymator ¸N jest spójny. Wynika to z nierównoÅ›ci Czebyszewa: P(|¸N-
¸|e"µ)d"Var(¸N)/µ2. Zbadajmy estymator najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci dla wartoÅ›ci Å›redniej zmiennej losowej o rozkÅ‚adzie Gaussa:
N N
1 1 1
M = X . Wartość średnia tego estymatora jest równa: E(M ) = ) = Nm = m , a więc estymator jest
N " n N "E(X n
N N N
n=1 n=1
N N
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 (Ã )2
0
÷Å‚
nieobciążony. Wariancja estymatora jest równa: Var(M ) = VarìÅ‚ X = ) = N (à )2 =
N " n "Var(X n 0
ìÅ‚ ÷Å‚ 2 2
N N
N N
íÅ‚ n=1 Å‚Å‚ n=1
(Ã )2
0
lim Var(M ) = lim = 0 , czyli estymator jest spójny.
N
N " N " N
42. Podać i objaśnić nierówność Cramera-Rao
Jeżeli ¸N jest nieobciążonym estymatorem parametru ¸, to jego wariancja speÅ‚nia nierówność:
1
Var(¸N ) e" . Estymator, dla którego zachodzi równość nazywamy najbardziej efektywnym lub
îÅ‚ëÅ‚ d 2 Å‚Å‚
EïÅ‚ìÅ‚ ln(p(X ,¸ ))öÅ‚ śł
÷Å‚
d¸
ïÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
estymatorem o najmniejszej wariancji. Można wykazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy estymator spełnia
d
warunek:¸ (X ) -¸ = K (¸ ) ln(p(X ,¸ )), gdzie K(¸) może być f-cjÄ… estymowanego parametru lecz nie może być f-cjÄ…
d¸
1
estymatora. Inna postać nierównoÅ›ci Cramera-Rao: Var(¸ ) e"
N
2
îÅ‚ëÅ‚ëÅ‚ 2 öÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
ìÅ‚ d
- EïÅ‚ìÅ‚ìÅ‚ 2 ÷Å‚ ln(p(X ,¸ ))÷łśł
÷łśł
ïÅ‚ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚íÅ‚íÅ‚ d¸ Å‚Å‚ ÷łśł
Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚