CiÄ…gi liczbowe WILiÅš, sem.I 2013/2014
dr L.Kujawski
Zad.1 Obliczyć sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:
1
Å„Å‚
= Å„Å‚
a1 =
Å„Å‚ -5 , a2 = 0
1
ôÅ‚a1 ôÅ‚a = 2
2
1.1 1.2 1.3 .
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
= -2an + n Å" an-1
ôÅ‚an+1 = (-1)n Å" an + n
ółan+1
ôÅ‚an+1 = Å" 2n ół
(an)2
ół
Zad.2 Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
5n -1
2.1 an = -2n2 +1 2.2 an = 4 Å" 5n - 3 2.3 an =
n + 2
2
5
ëÅ‚
+1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ -1
2 - 7n 5n n
íÅ‚ Å‚Å‚
2.4 an = 2.5 an = 2.6 an = -10n .
1
2n +1
n2
n2
Zad.3 Zbadać, czy ciąg jest ograniczony:
2 3
3.1 an = -3sin n + 5 3.2 an = 3.3 an = arcctgn +1 .
4 - 3cos n Ä„
Zad.4 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
5
(4n +1)(n + 3) 25n2 + 9
ëÅ‚ - 4n +1
öÅ‚
4.1 an = 4.2 an = 4.3 an =
ìÅ‚ ÷Å‚
5n2 - n + 2 2n + 7 9n2 + 7n
íÅ‚ Å‚Å‚
3
(n + 2)!-n! 9log n
n
4.4 an = 6 Å" n7 Å"8n 4.5 an = 4.6 an =
2
(n + 2)!+n!
4log n
1 2 - 5n -10n2 4n-1 - 5
n
4.7 an = 10100 - n
4.8 an = 4.9 an =
3n +15
10100 22n - 7
n
3n
8n-1 252 + 4n 6
ëÅ‚ öÅ‚
4.10 an = - 4.11 an = 4.12 an = 1- ÷Å‚
ìÅ‚
5n+1 + (-4)n+3 n
7n+1 íÅ‚ Å‚Å‚
n2
4n-1 -3n-1
ëÅ‚ öÅ‚
n
ëÅ‚ - 3 2n n2 + 9
öÅ‚ ëÅ‚ - 4
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4.13 an = 4.14 an = 4.15 an =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n + 2 2n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ n2
íÅ‚ Å‚Å‚
5
ëÅ‚ öÅ‚
ln 1+
ìÅ‚ ÷Å‚ 3n+1
6
n ëÅ‚ - 4n
öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4.16 an = 4.17 an = n Å"[ln(n +1) - ln n] 4.18 an =
ìÅ‚ ÷Å‚
1
4 - 4n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
n n
2 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ n Å" sin n!
n
n
4.19 an = + 4.20 an = 2n + 3Å"5n + 2 Å" 7n 4.21 an =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ n2 +1
2n + sin n 1 3n
4.22 an = 4.23 an = Å" cos n3 -
2n 6n + 8
3n2 + 3
n3-1
2n-7
ëÅ‚ - 4 5Å" 9n + 3sin(n!) 1- 4n
öÅ‚
2n3
ëÅ‚ öÅ‚
n
ìÅ‚ ÷Å‚
4.24 an = + 4.25 an = + 6n + 4n + 6 Å" 2n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2n3 + 4 32n + 7 3 - 4n
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4.26 an = 5n2 +10n - 5n2 +1 4.27 an = 3n - 9n2 + 6n -15
1+ 2 + 22 + ... + 2n -3 - 6 - 9 - ...- 3n
4.28 an = 4.29 an =
1+ 2 + 3 + ...+ (n -1)
3n
Zad.5 Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym an = qn , gdzie q = ln t -1. Podać, dla jakich wartości
parametru t ciąg an ma granicę właściwą.
n
ëÅ‚ öÅ‚
1
Zad.6 Dla jakich wartoÅ›ci parametru p ciÄ…g o wyrazie ogólnym an = ìÅ‚ ÷Å‚ jest malejÄ…cy?
ìÅ‚1+
p -1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(2n +1)!
Zad.7 RozwiÄ…zać równanie: lim Å" sin x = 1- 2 cos2 x .
n"
(2n)2(2n -1)!