12 Modele gwiazd z uwzględnieniem rotacji
12.1 Struktura radialna
Jeżeli rotacja jest dostatecznie powolna to, jak pokazaliśmy w rozdziale 1.6, rów-
nania opisujące strukturę radialną separują się od równań opisujących dystorsję.
Warunek równowagi mechanicznej w kierunku radialnym dany jest równaniem
(40), któremu tu nadamy postać,
dp GMr
= - (1 - qrot), (340)
dMr 4Ąr4
gdzie
2&!2r3
qrot = .
3GMr
Wyprowadzając ten wzór założyliśmy, że prędkość kątowa rotacji nie zależy od
miejsca w gwiez
dzie, ale to nie jest konieczne założenie. Istotne jest tylko aby
<< 1. Jeżeli &! zależy nie tylko od r, ale też od � = cos �, to we wzorze na
rot
qrot należy zastąpić &!2 przez
1
3
&!2 = &!2(1 - �2)d�.
4
-1
Jest tylko jeszcze jedna modyfikacja równań na strukturę radialną (316-319):
wzór na gradient promienisty ma teraz postać
3�Lrp
"rad = . (341)
4
16ĄGacMr(1 - qrot)T
Tak zmodyfikowane równania używane są często w modelowaniu struktury, a
także ewolucji gwiazd rotujących. Dla danej funkcji &!2(Mr) całkowanie równań
równowagi przebiega tak samo jak bez uwzględniania rotacji. Trudność stanowi
wyznaczenie tej funkcji i jej zmian w trakcie ewolucji.
12.2 Prawo von Zeipela
W rozdziale 1.4 pokazaliśmy, że w przypadku rotacji cylindrycznej (w tym jed-
norodnej) w obszarze chemicznie jednorodnym wszystkie parametry termody-
namiczne s� stałe na powierzchniach całkowitego potencjału mechanicznego,
a
ŚT . Wniosek pozostaje ważny dla konfiguracji chemicznie niejednorodnych jeśli
tylko składowe X s� stałe na powierzchniach ekwipotencjalnych. Zatem także
a
wielkości � i s� stałe na ta tych powierzchnich i strumień promieniowania (
a
rów.245) można zapisać w postaci
F = �(ŚT )g, (342)
rad
gdzie
3
4acT dT
� = - i g = "ŚT .
3�� dŚT
100
W odróżnieniu od parametrów termodynamicznych, g = |g| (przyspieszenie
odśrodkowe jest uwzgl� w g) i Frad = |F | nie s� stałe na powierzchni-
ednione a
rad
ach ekwipotencjalnych. Na przykład w modelu Roche a, stosunek przyspieszenia
biegunowego do równikowego na powierzchni ekwipotencjalnej dany jest przez
3
gp (re/rp)2 &!2re
= , gdzie =
rot,r
ge 1 - rot,r GM
Skąd, po skorzystaniu z (29), znajdujemy
gp (1 + 0.5 )2
rot,r
= .
ge 1 - rot,r
Zadanie: Pokazać, że w przybliżeniu liniowym w , rozkład całkowitego
rot,r
przyspieszenia na odkształconej powierzchni gwiazdy dany jest wzorem
g - ! 4 GM
= - J2 P2(cos �), z ! H"
rot,R
! 3 R3
Równanie (342) prowadzi do prawa von Zeipel a dla rozkładu temperatury
efektywnej na powierzchni niesferycznej gwiazdy.
1/4
Teff " Frad " g1/4. (343)
Stosuje si� ono do gwiazd dostatecznie gor� w których otoczkach stru-
e acych,
mień konwektywny można zaniedbać i dla wszystkich potencjalnych sił od-
kształcajacych, na przykład do gor� składników ciasnych układów pod-
� acych
wójnych. Czasami używa sie terminu pociemnienie grawitacyjne. Gwiazda ro-
tuj� ogladana ze strony równika wyglada na obiekt o niższej temperaturze
aca � �
efektywnej i grawitacji niż ogladana ze strony bieguna.
�
W gwiez
dzie niesferycznej na ogół nie udaje si� spełnić warunku równowagi
e
cieplnej w formie
dS
�T = � - divF = 0. (344)
dt
Problem ten znany jest jako paradoks von Zeipela. Dostrzec go łatwo używajac
�
wyrażenia (342) na strumień w równaniu bilansu ciepła (244). Dostajemy wtedy
dS d�
�T = � - �"2ŚT - g2. (345)
dt dŚT
Dla przypadku rotacji jednorodnej mamy z (2) i (24)
"2ŚT = 4ĄG� - 2&!2. (346)
Widzimy, że pierwszy i drugi wyraz lewej strony (345) s� stałe na powierzch-
a
niach ewipotencjanych, ale nie dotyczy to ostatniego wyrazu. Poza szczególn�
a
d�
sytuacj� gdy = 0, nie można go skompensować tak, aby spełnić warunek
a
dŚT
równowagi cieplnej. W tej szczególnej sytuacji musielibyśmy mieć jednak zu-
pełnie nierealistyczne prawo generacji energii, = 4ĄG - 2&!2/�. St� wniosek
ad
o niemożności spełnienia równania (344) w przypadku rotacji jednorodnej.
101
Zadanie: zbadać możliwość spełnienia warunku równowagi cieplnej w przy-
padku rotacji cylindrycznej, &! = &!(s), gdzie s jest odległością od osi rotacji.
Brak równowagi cieplnej ma miejsce dla "prawie"wszystkich niesferycznych
modeli gwiazd przy założonej sile odkształcajacej. W przypadku małych od-
�
kształceń, rozpatrywanych w podrozddziale 1.6, wniosek ten wynika stąd, że
nieradialne składowe zaburzeń p i � wyznaczone s� przez warunek równowagi
a
sił i nie ma już swobody dla spełnienia warunku równowagi cieplnej.
Jeżeli &!(r, �) jest traktowana jako nieznana funkcja, to wtedy mamy potrzebn�
a
swobod� dla wprowadzenia warunku dS/dt = 0. Otrzymane w taki sposób
e
prawa rotacji s� jednak niestabilne.
a
12.3 Cyrkulacja południkowa
Konsekwencj� nierównowagi cieplnej jest cyrkulacja południkowa inaczej cyrku-
a
lacja Eddingtona-Vogta. Przy założeniu stacjonarności, wzory na składowe pola
pr� cyrkulacji można uzyskać z równania (344) i z równania ciagłości (86).
edkości �
Dostajemy, odpowiednio,
dS d�
�T vmc,ng = � - �(4ĄG� - 2&!2) - g2 (347)
nuc
dŚT dŚT
i
d ln �
div(vmc) = - vmc,ng, (348)
dŚT
gdzie vmc,n oznacza składow� normaln� do powierzchni ekwipotencjalnej. Przek-
a a
ształcamy (347) korzystaj� ze związku
ac
dS d ln T d ln p cp�T D �T D
T = cpT - "ad = - = - ,
dŚT dŚT dŚT p �� "ad
d�
gdzie D a" "rad - "ad. Wielkość eliminujemy wykorzystując warunek za-
dŚT
chowania masy, vmc,n = 0, gdzie kreska na symbolem oznacza wartość średnia
�
na powierzchni ekwipotencjalnej. W ten sposób dostajemy
d�
! = [ � - �(4ĄG� - 2&!2)]g-1
dŚT nuc
i ostatecznie
�� "ad 2&!2 g
vmc,n = - � 4ĄG - - g-1 - g-1 . (349)
nuc
�T D � !
Jeśli sił� odśrodkow� można traktować jako małe (liniowe) zaburzenie, to mamy
e a
Lr
g H" ! + g(r)P2(cos �), � H" , vmc,n H" vmc,r
�
4ĄGMr
i z (349) dostajemy łatwiej czytelny wzór
vmc,r = }mc(r)P2(cos �), (350)
102
gdzie
�� "ad Lr &!2 g
�
}mc = -2 1 - - . (351)
nuc
�T D Mr 2ĄG� !2
W tym samym przybliżeniu z równania (348) dostajemy
1 d(}mcr2�) dP2
vmc,� = . (352)
3r� dr d�
Te wyrażenia s� w zasadzie, liniowe w &!2. Zachowany został jednak wyraz
a,
&!2
wyższego rz� " , bo może być dominuj� blisko powierzchni nawet dla
edu acy
2ĄG�
wolnej rotacji. Zmiana znaku (zwrotu) cyrkulacji zachodzi przy
2
2 &!
� = �
Ż
3 &!max
Najważniejszym zadawanym pytaniem było czy cyrkulacja południkowa może
mieszać pierwiastki. Spodziewamy si� mieszania produktów nukleosyntezy jeśli
e
R
dr
�mc a" <" �nuc. (353)
}mc
rc
Dla oszacowania tmc można wykorzystać równanie (351), w którym zakładamy
gaz doskonały, kładziemy
2&!2r
g H" ,
�
3
oraz zaniedbujemy wyraz wyższego rzędu w &!, który ważny jest tylko blisko
powierzchni gwiazdy. Mamy wtedy,
3 2
4
0.5 r M r &!
}mc H" .
"ad - " R Mr �th &!max
Osobliwość na granicy obszarów konwektywnych jest niefizyczna, ale nieistotna
dla oceny tmc.
Dla gwiazdy ciagu głównego o masie M = 5M , dla której �nuc = 7.9 � 107
�
lat i �th = 5.5 � 105 lat znajdujemy
&!max 2
�mc H" 3�th .
&!
Dla takiej gwiazdy &!max odpowiada ok 500 km/s. Przy typowych pr�
edkościach
dla gwiazd górnego ciagu głównego <" 102 km/s wpływ cyrkulacji na redys-
�
trybucj� helu i wodoru powinien być istotny. Obserwacyjnym dowodem na
e
mieszanie pierwiastków w wyniku cyrkulacji jest nadwyżka obfitości azotu pow-
stająca w wyniku działania cyklu CNO. Taką nadwyżę wykrywa się w atmos-
ferach szybko rotujących gwiazd ciągu głównego.
Przy ocenie efektywności transportu pierwiastków przez cyrkulacj� należy uwzgl�
e ednić
(a) zwrotny efekt horyzontalnego gradientu �. Wiadomo, że hamuje on
cyrkulacj�
e
(a) zwrotny wpływ cyrkulacji na rotacj� gwiazdy.
e
103
12.4 Ewolucja rotacji
Równanie rz� ace zmianami pr� k� otrzymamy rozważaj� bilans
adz� edkości atowej ac
momentu p� K = &!r2 sin2 �. Ogólnie możemy napisać
edu
dK
= T ,
dt
gdzie prawa strona reprezentuje par� sił na jednostk� masy. W przypadku
e e
symetrii osiowej z
ródłem tej siły może być lepkość turbulentna i molekularna
lub pole magnetyczne. Korzystaj� ze zwiazku pomi� różnymi pochodnymi
ac � edzy
czasowymi możemy napisać
dK "&!
= r2 sin �2 + v � "K.
dt "t
W polu pr� v wyodr� vevol - składowe wynikaj� z ewolucyjnej
edkości ebnimy ace
kontrakcji lub ekspansji i składowe vmc Przyjmiemy, że &! &!max i że w przy-
bliżeniu można zaniedbać odkształcenie gwiazdy. A
� ac wypisane tu wyrażenia
acz�
dostajemy
"&! T "&! 2&! vmc,� "&!
= - (vevol,r + vmc,r) + - . (354)
"t "r r r "�
r2 sin2 �
W obszarach konwektywnych dominuj� a rol� odgrywa para sił T zwiazana z
ac� e �
transportem turbulentnym. Z obserwacji (głównie Słońca) wiemy, że w otoczkach
konwektywnych wyst� znacz� zależność &!(�). Pole magnetyczne jest
epuje aca
z
ródłem powierzchniowej pary sił prowadz� do utraty globalnego momentu
acej
p� w skali czasowej krótszej niż tnuc.
edu
W obszarach promienistych efekty ewolucyjne i cyrkulacja południkowa prowadz�
a
do rotacji niejednorodnej. Pole magnetyczne o znikomym nat� wystar-
eżeniu
cza do skompensowania tego efektu. Nie wiemy czy takie pola istnieje. Jeżeli
nie istnieje, to modyfikowana przez pole pr� rotacja jest niestabilna w
edkości
skali tth. Lokalne kryterium stabilności rotacji dane jest warunkami Goldreicha-
Schuberta-Frickego, które w obszarach jednorodnych chemicznie maja postać
�
"&! "(&!s2)
= 0 i > 0. (355)
"z "s
Jeśli te warunki nie są spełnione wzbudzana jest powolna turbulencja, która
wpływa na zależność &!(r, �). Na kształt tej zależności w warstawach leżących
pod otoczką konwektywną wpływają fale grawitacyjne generowane w pobliżu
jej dolnej granicy. Tym efektem interpretuje się w niedawnych pracach przebieg
prędkości kątowej w promienistym wnętrzu Słońca.
Ewolucja rotacji należy do nierozwiazanych problemów fizyki gwiazd. Nie
�
wiemy też jaki jest zasiag mieszania w spowodowany cyrkulacja południkow�
� � a
i turbulencj� generowan� w wyniku niestabilności rotacji. Dane oberwacyjne
a a
wskazuja na to,że mieszanie jest przeważnie wystarczajaco efektywne by znieść
� �
efekty osiadania grawitacyjnego i nie dość efektywne by mieszać produkty nu-
kleosyntezy w znacz� obszarze powyżej ich tworzenia.
acym
104