13 Modele ewolucyjne gwiazd
Konwencja: Lokalne parametry fizyczne ewoluuj� gwiazd traktujemy jako
acych
funkcje czasu t i lokalnej masy Mr. Symbol d/dt oznacza pochodn� przy
a
ustalonym Mr, a symbol d/dMr pochodn� przy ustalonym t.
a
13.1 y
ródła zmian ewolucyjnych
13.1.1 Nierównowaga cieplna
Ewolucja zachodzi w stanie nierównowagi cieplnej gdy
(i)brak dostatecznie wydajnych jadrowych z
ródeł energii
�
albo
(ii)występuje niestabilność cieplna.
Z pierwszym przypadkiem mamy do czynienia, na przykład, w fazie ewolucji
przed ciagiem głównym, kiedy temperatura w jądrze gwiazdy jest zbyt niska
�
dla syntezy wodoru. Zachodzi wtedy kontrakcja całej gwiazdy w cieplnej skali
czasowej danej równaniem (313). Także po zakończeniu fazy ciągu głównego
gwiazdy masywne, prędzej czy póz
niej, tracą równowagę cieplną. Po wyczerpa-
niu wodoru w jadrze konwektywnym jego struktura zmienia si� w izotermiczn�
� e a.
Jeżeli wzgl� masa takiego j� przekracza pewn� krytyczn� wartość, to
edna adra a a
nast� jego kontracja w skali cieplnej. Kończy j� b� degeneracja elek-
epuje a adz

tronów, b�  w przypadku gwiazd o wi� masie gwiazdy przektaczającej
adz
ekszej
ok. 2.25M  pocz� syntezy w� Białe karły i gwiazdy neutronowe też
atek egla.
ewoluuj� w skali cieplnej, ale wzór (313) dla tych obiektów si� nie stosuje, bo
a e
został wyprowadzony przy założeniu równania stanu gazu doskonałego.
Nukleosynteza jest niestabilna wtedy, gdy wzrost wydzielanej energii w reak-
cjach nie powoduje istotnego wzrostu ciśnienia, co było wyjaśnione w rozdziale
11.3. Spotykamy si� z t� sytuacj� w fazie zapalenia helu w zdegenerowanych
e a a
j� gwiazd. Niestabilność cieplna wyst� też wtedy, gdy reakcja pale-
adrach epuje
nia helu zachodzi w cienkiej warstwie nad w� adrem.
eglowo-tlenowym j� W tym
przypadku niestabilność prowadzi do cyklicznych zmian parametrów gwiazdy
zachodzących w cieplnej skali czasowej.
W modelowaniu ewolucji gwiazd posługujemy si� zawsze równaniem bilansu
e
ciepła uwzgl� ac pochodn� czasow� entropii (rów. 244). Tak wi� dla
edniaj� a a ec,
ewoluuj� gwiazd sferycznych w miejsce równania (318) używamy równania
acych
(244) w symetrii sferycznej,
dLr du p d�
= - + .
dMr dt �2 dt
Po skorzystaniu ze wzorów (107-109) z rozdz 5.1, dostajemy
dLr dT T d� "u dXj
= - cv - (�3 - 1) - . (356)
dMr dt � dt "Xj dt
j
105
Pochodna czasow� u wyraziliśmu przez pochodne �, T i wzgl� obfitości
a ednych
pierwiastków. W tym rozdziale, tak jak w warszawskim kodzie ewolucyjnym,
wybieramy � i T jako podstawowe zmienne termodynamiczne.
Posługuj� si� tym równaniem uwzgl� automatycznie nierównowag�
ac e edniamy e
ciepln� Oczywiście jeżeli ewolucja post� w j� skali czasowej, to
a. epuje adrowej
człony zawierajace pochodne czasowe s� małe.
� a
13.1.2 Zmiany składu chemicznego
Ewolucja chemiczna gwiazd jest skutkiem nukleosyntezy, mieszania pierwiastków,
dyfuzji i selektywnego ciśnienia promieniowania. Tu napiszemy formalnie
dXi
= Ci,nuc + Ci,mix + Ci,dif. (357)
dt
Tempo zmian wzgl� obfitości i-tego izotopu w wyniku reakcji termo-jadrowych
ednej �
dane jest wzorem,
�ł łł
� XjXk XiXl
�ł
Ci,nuc(�, T, X) = j,kAi - i,l �ł , (358)
m AjAk l Al
j k
kóry wynika ze wzoru (288) dla izotopów stabilnych.
Mieszanie pierwiastków w konwektywnych jadrach jest procesem bardzo szy-
�
bkim. Zachodzi w skali czasowej dłuższej niż �d, ale znacznie krótszej niż �th.
Ocen� czasu miesznia daje nam iloraz drogi mieszania i pr� elementów
e edkości
turbulentnych �con = /vcon. Korzystaj� ze wzoru (280) na vcon w wersji
ac
con
dla wydajnej konwekcji (ś 0), dostajemy
2/3
vcon = vA [6vT ("rad - "ad)]1/3, (359)
gdzie vA, jak wynika z wyrażenia nad wzorem (274), jest rzędu prędkości dz
wi�
eku,
va. Dla gazu doskonałego vA H" 0.3ąconva. Z (274), używaj� = Hpącon,
ac
con
dostajemy
"rad 4Ąr2Hp�cpT
con
vT = , gdzie �th,l a" ,
2
ącon�th,l Lr
jest lokaln� skala czasow� chłodzenie warstwy o grubości Hp. Analogicznie,
a � a
można zdefiniować lokaln� dynamiczn� skale czasow� jako czas przejścia dz
wi�
a a a eku
Hp
przez warstw� o grubości Hp, czyli �d,l = . Tak wi� z (359) dostajemy
e ec
va
1/3
0.5("rad - "ad) con
vcon =
2 2/3 1/3
ącon"rad
�d,l �th,l
i na skal� czasow� mieszania przez konwekcj�
e a e
2/3 1/3
�con <" �d,l �th,l .
106
W gł� wn� gwiazdowych mamy
ebokich etrzach
�th,l �th
<" <" 10k,
�d,l �d
gdzie k zależy od parametrów gwiazdy, ale zawsze jest duż� liczb� Dla Słońca,
a a.
z ocen w rozdziale 12.1 wynika k H" 12, a dla gwiazdy o masie 10M wynika
wartośc k H" 9. St�
ad
�con <" 10-2k/3�th,l
i dlatego w modelowaniu ewolucji gwiazd prawie zawsze przyjmuje si� że pro-
e,
dukty nukloesyntezy w j� konwektywnych ulegaja natychmiastowemu miesza-
adrach �
niu.
Konwekcja jest najważniejszym zjawiskiem prowadz� do mieszania pier-
acym
wiastków, a do niedawna, jedynym uwzgl�
ednianym w kodach ewolucyjnych.
Problemem jest określenie zasi� mieszania. Standardowym post�
egu epowaniem
jest utożsamianie masy mieszanego wn� Mmix, z mas� j� konwekty-
etrza, a adra
wnego Mconv, któr� wyznacza warunek
a
D a" "rad - "ad = 0.
W jadrach konwektywnych D jest wielkościa malejac� z Mr. Cz� jednak
� � � a esto
dopuszcza si� mieszania pierwiastków w pewnym obszarze poza granic� j�
e a adra
konwektywnego Mr = Mconv wyznaczon� przez warunek "rad = "ad. Ma to
a
symulować efekt przestrzeliwania (overshooting) elementów turbulentnych. Nie
potrafimy wyliczyć jego zasi� Zwyczajowo przyjmuje si� na zasi� miesza-
egu. e eg
nia wielkość dov = ąovHp(Mconv) i w rozmaity sposób wybiera wartość ąov z
przedziału [0, 1].
Jeżeli w trakcie post� ewolucji masa j� konwektywnego maleje to, w
epu adra
standardowych modelach, równanie opisujace ewolucj� chemiczn� sprowadza sie
� e a
do
Ci,nuc dla Mr > Mmix
dXi
= , (360)
Mmix
1
dt Ci,nucdMr dla Mr d" Mmix
Mmix 0
gdzie Mmix = Mconv +Mov. Zauważmy, że przy dov = 0 mamy nieciagłość Xi i �
�
dla Mr = Mmix. Można tej nieciagłości unikn� zakładajac stopniowo malejace
� ać � �
cz� mieszanie.
eściowe
Jeżeli, co ma miejsce w gwiazdach na ciagu głównym o masach w przedziale
�
od ok. 1.1 do ok. 1.6M oraz w fazie palenia helu, j� konwektywne ma
adro
tendencje do zwi� masy, to na jego granicy powstaje skok obfitości pier-
ekszania
wiastków. Jeżeli przy tym D maleje ze zmniejszaniem si� obfitości spalanego
e
pierwiastka, to na zewn� j� wyst� znów obszar niestabilny. Tak
atrz adra epuje
dzieje si� w gwiazdach ciagu głównego. W takim obszarze, nazywanym warstw�
e � a
półkonwektywn� zakłada si� często cz� mieszanie i wartości Xi(Mr) wyz-
a, e eściowe
nacza si� z warunku neutralnej stabilności według krterium Schwarzshila (105),
e
dD
= 0,
dMr
107
prowadz� do równania na pochodne obfitości postaci
acego
dXi
= f(y)
dMr
gdzie f(y) jest znaną funkcją lokalnych parametrów, której jawną postać można
uzyskać posługując się równaniami budowy gwiazd. Górn� granic� warstwy
a e
półkonwektywnej wyznacza miejsce, w którym obfitość spalanego izotopu zrówna
si� z obfitościa wynikaj� a z lokalnej wartości Ci,nuc.
e � ac�
Warstwy połkonwektywne wprowadza si� też czasami w w modelach gwiaz-
e
dach bardzo masywnych (M 30M ) w obszarze chemicznie niejednorodnym
na zewnątrz z j� konwektywnym, gdy jest on niestabilny według kryterium
adra
Schwarzshila, ale stabilny według kryterium Ledoux (103). Nie jest jasne czy
takie post�
epowanie jest uzasadnione. W rozdziale 9.3 była mowa o tym, że wt-
edy niestabilność ma charakter wibracyjny. Prowadzi wi� do wzbudzania fal,
ec
które nie musz� prowadzić nawet do cz�
a eściowego mieszania materii, ale zawsze
przenoszą część energii. Może więc dochodzić do redukcji gradientu temperatury
bez mieszania pierwiastków. Stromy gradient � może tworzyć nieprzenikaln�
a
barier� dla elementów gazu i dlatego rozpatrywane są też modele ze skokiem
e
obfitości pierwiastków.
Trudności z opisem mieszania pierwiastkow przez konwekcje wyst� też w
epuja
fazie ewolucji na gałezi czerwonych olbrzymów i na gał� asymptotycznej, kiedy
ezi
rozwijaj� si� zewn� warstwa konwektywna si� do obszarów niejed-
aca e etrzna ega
norodnych chemicznie.
W gwiazdach szybko rotujących istotnym żródłem mieszania może być cyrku-
lacja południkowa oraz turbulencja związana z niestabilnością rotacji różniczkowej,
o czym była mowa w poprzednim rozdziale.
Nasza niewiedza dotycz� mieszania produktów nukleosyntezy jest głównym
aca
z
ródłem niepewności modelowania ewolucji gwiazd. Dane obserwacyjne cz�
eściowo
uzasadniaja zaniedbanie zmian chemicznych w warstwach zewn�
� etrznych. Skład
chemiczny atmosfer wi� gwiazd należ� do jednej populacji jest podobny,
ekszości acych
niezależny od ich zaawansowania ewolucyjnego.
Istniej� jednak ważne wyj� Gwiazdy typu Ap i Am, które wykazuj�
a atki. a
rozmaite anomalie w obfitościach pierwiastków. Tłumaczy si� je efektami dy-
e
fuzji i selektywnego ciśnienia promieniowania. Atmosfery białych karłów, poza
nielicznymi wyj� s� b� czysto wodorowe (typ DA) b� czysto helowe
atkami, a adz
adz

(typ DB). Dowodzi to efektywności baro-dyfuzji (grawitacyjnego osiadania)
ci� pierwiastków. Wydaje si� że ten efekt powinien działać w jakimś
eższych e,
stopniu we wszystkich gwiazdach.
W chłodnych gwiazdach mieszanie pierwiastków w rozległych warstwach
konwektywnych znacznie redukuje efektywność dyfuzji. Na przykład dla Słońca
wartość Y w otoczce obniżyła si� w ciagu 4.6 miliardów lat jego życia tylko o
e �
ok. 10%, od 0.275 do 0.25. O podobny procent obniżyła si� wzgl� obfi-
e edna
tość ci� pierwiastków. Brak widocznych efektów dyfuzji w atmosferach
eższych
wi� gwiazd o cienkich zewn� warstwach konwektywnych tłumaczy
ekszości etrznych
si� istnieniem powolnego mieszania zwiazanego z efektami rotacji, przyjmując,
e �
że owo mieszanie jest wystarczaj� do zniesienia efektu baro-dyfuzji, ale nie
ace
108
do wydobycia produktów nukleosyntezy z gł� etrza e
ebokiego wn� na powierzchni�
gwiazdy.
Zmiany koncentracji wywołane dyfuzja opisane s� przez dwa nast� ace
� a epuj�
równania
mAi dNi d(r2Fi,dif)
Ci,dif = = -4ĄmAi , (361)
� dt dMr
diff
gdzie Fi,dif oznacza strumień dyfuzyjny dany jest wzorem
dXi d ln p d ln T
rad
Fi,dif = 4Ąr2� -Dd,i + Dp,i + DT,i + Fi,dif. (362)
dMr dMr dMr
Pierwsze trzy człony w tym wyrażeniu opisuj� efekty zwykłej dyfuzji moleku-
a
larnej, baro- i termo-dyfuzji. Współczynniki Dd,i, Dp,i i DT,i, w których uwzględ-
nia się efekt pola elektrostatycznego wynikający z przesunięcia ku górze elek-
tronów, wyraża si� w funkcji lokalnych wartości �, T i X przez odpowiednie
e
równania materiałowe. Zauważmy, że współczynnik Dd,i jest równy zwykłemu
współczynnikowi dyfuzji molekularnej pomnożonemu przez czynnik zamiany Ni
na Xi czyli przez �/mAi. Baro- termo dyfuzja powoduje stopniowe przesuwanie
się pierwiastków chemicznych o wyższej masie atomowej w kierunku centrum
gwiazdy. Początkowo te procesy dominują. W stanie równowagi dyfuzyjnej
osiaganej w białych karłach dochodzi do pełnej stratyfikacji pierwiastków, w
której warstwy czysto-wodorowa, -helowa i -węglowa rozdzielone są cienkimi
warstwami przejściowymi.
Ostatni człon opisuje efekt selektywnego ciśnienia promieniowania, które
nie przekazuje pędu różnym jonom z równym prawdopodobieństwem. Więcej
pędu odbierają te jony, które mają linie widmowe w częstotliwościch w pobliżu
maksimum funkcji Plancka dla danej temperatury. Dlatego promieniowania
przyspiesza selektywnie przede wszystkim właśnie te jony. Te następnie w
zderzeniach tracą większość nadwyżki pędu, ale wypadkowy ruch ku powierzchni
może zachodzić, jeśli ten efekt przeważa nad barodyfuzją i jeżeli szybkie makroskopowe
mieszanie pierwiastków nie znosi obydwu efektów.
Przyspieszenie jonów o liczbie masowej Ai w wyniku absorbcji promieniowa-
nia dane jest przez
"
1
grad,i = ��,iF�d�, (363)
Aimc
0
gdzie ��,i oznacza całkowity przekrój czynny na absorbcję promieniowania o
częstotliwości � przez jony i. Strumień dyfuzyjny wynikajacy z przyspieszenia
promieniowaniem dany jest przez
mAiXiDd,i
rad
Fi,dif = grad,i. (364)
kT
Ponieważ zarówno F� jak i ��,i zależą od temperatury, a przez to od głębokości,
ten efekt może prowadzić do zlokalizowanej akumulacji niektórych pierwiastków
w atmosferze, a także w głębi gwiazdy. Przykładowo, w w warstwie o temper-
aturze T5 H" 2 można spodziewać sie zwiększonej obfitości żelaza, bo przejścia
109
związano-związane w jonach tego pierwiaska wnoszą tam dominujący wklad do
nieprzezroczystości.
Uwzględnie wpływu selektywnego ciśnienia na rozkład pierwiastków stanowi
dużą komplikacje w modelowaniu ewolucji gwiazd. Robi się to dopiero od
niedawna, a ma to ważne znaczenie dla interpretacji składu chemicznego at-
mosfer, a także pulsacji niektórych gwiazd.
13.1.3 Utrata masy
Ten efekt odgrywa pierwszorzędną rol� w ewolucji składników ciasnych układów
e
podwójnych, ale ten temat jest poza zakresem mojego wykładu.
W ewolucji izolowanych gwiazd ciągu głównego, utrata masy jest istotnym
czynnikiem tylko dla dużych (M > 20M ) mas początkowych, przy których
skala czasowa utraty masy,
dt
tm.l. = - ,
d ln M
staje się porównywalna z �nuc. Przyczyn� tak szybkiej utraty masy jest wiatr
a
gwiazdowy nap� promieniowaniem. Efektywność tego przekazu zależy od
edzany
jasości i temperatury efektywnej, a wiec silnie od masy na ciągu głównym,
oraz od zawartości pierwiastków ci� które posiadaja dużo linii w zakresie
eżkich, �
ultrafioletu są pierwotnymi odbiorcami pędu od promieniowania. Oceny tempa
utraty masy oparte na danych obserwacyjnych opisuje się w formie zależności od
parametrów gwiazdowych, n.p. M, L i Teff. Nieuwenhuijzen i de Jager (1990)
znalez
li następujące empiryczne wyrażenie, niez
le opisujące obserwowane tempo
utraty masy z gwiazd masywnych Galaktyki.
0.16 1.42 0.81
dM M L R
H" -10-14 M /rok. (365)
dt M L R
Ten wzór używany jest w niektórych kodach do obliczeń ewolucji gwiazd popu-
lacji I. Z obliczeń Brassan i in. (1994) wynika, że gwiazdy populacji I o masach
30 i 60M tracą, odpowiednio 13 i 42% swojej początkowej masy. Tempo
utarty" rośnie z obfitością metali. W kodach przyjmowana jest zależność
masy
dM
" Z.
dt
Ta forma utraty odgrywa rolę jedynie w gorących gwiazdach bardzo o dużej
jasności absolutnej. Wiatr typu słonecznego raczej nie prowadzi do znacz�
acej
utraty masy. Dla Słońca tempo utraty masy spowodowane wiatrem wynosi
2 � 10-14M /rok i jest niższe od tempa utraty masy wynikaj� z zamiany
acej
wodoru w hel.
Dla gwiazd pojedynczych o masach mniejszych niż <" 20M znacz� utrata
aca
masy wyst� dopiero w fazie ewolucji wzdłuż gałęzi czerwonych olbrzymów
epuje
i gałęzi asymptotycznej. Dla takich gwiazd bezpośrednim powodem utraty ma-
terii jest ciśnienie promieniowania działaj� na ziarna pyłu w atmosferach tych
ace
gwiazd. Tak więc i w tym przypadku, większa obfitość pierwiastków ciężkich
prowadzi do szybszej utraty.
110
Tempo utraty masy czerwonych olbrzymów opisuje empiryczny wzór Reim-
ersa
-1
dM M L R
= -4 � 10-13� M /rok, (366)
dt M L R
w którym dopasowywany do danych współczynnik � znajduje się w przedziale
(0.3,3). Nawet wyliczona z tą górną wartością, całkowita utracona masa w
utracona w tej fazie nie przekracza 20%. Znacznie wieksze utrata masy ma
miejsce na gałęzi asymptotycznej. W tej fazie gwiazda może stracić nawet 90%
masy jaką miała na ciągu głównym.
13.2 Równania na struktur� modeli modeli ewolucyjnych
e
Struktur� wewn� modeli ewolucyjnych opisuja równania (316-317) i (319)
e etrzna �
z rozdziału 11.2.1 i równanie (356). Warunki brzegowe zachowuj� postać dan�
a a
równaniami (321), (322-324). Jedynie do wyst� acym w równaniu (324)
epuj�
c
dodać trzeba wyraz z pochodnymi czasowymi, tak jak to zrobiliśmy w równaniu
(356).
13.3 Warunki pocz�
atkowe
Standardowym podejściem jest rozpoczynanie obliczeń ciagów ewolucyjnych od
�
wieku zero (modele ZAMS). Wpływ wcześniejszych etapów ewolucji na struktur�
e
gwiazd na ciagu głównym jest zaniedbywalny, jeśli nie rozważamy efektów rotacji
�
i pola magnetycznego. Skutki nukleosyntezy zachodz� przed wiekiem zero s�
acej a
albo nieistotne dla struktury gwiazdy (n.p. reakcje Li+p, D+p) albo łatwe do
uwzgl� w modelach wieku zero, a póz
niej szybko zapominane (reakcje
ednienia
3 12
He+3He, C+p).
Modelowanie gwiazd znajduj� si� w fazie przed ciagiem głównym ma
acych e �
samodzielne znaczenie. Dla takich ciagów modelami inicjujacymi s� modele
� � a
całkowicie konwektywne.
13.4 Jednoznaczność rozwi� równań ewolucji
azań
Dla uproszczenia zakładamy niezmienność masy, ale to nie jest istotne dla
ważności wniosku. Niech składowe wektora y(Mr, t) oznaczaja kolejno r, �, Lr,
�
T i obfitości tych pierwiastków, X, których zmiany obfitości chcemy śledzić.
Jeżeli znamy y = y0 w pewnej chwili t = t0 i mamy wszystkie potrzebne dane
materiałowe, to z pomoc� równań (316), (317), (356), (319) i (357) możemy, w
a
zasadzie, wyznaczyć y w dowolnej chwili t. Przekonuje nas o tym nast� ace
epuj�
rozumowanie.
Oznaczmy przez "t mały przyrost czasu od momentu t0, na tyle mały żeby
wyrazy rz� "t2 były zaniedbywalne. Używamy równania (357) lub (360) do
edu
wyznaczenia przyrostów Xi wyliczaj� prawe strony w chwili t0. Znaj� wartości
ac ac
y0 a" y(t0) mamy wszystkie potrzebne do tego dane. Mamy wi�
ec
"Xi = Ci(t0)"t (367)
111
i, podobnie jak w przy konstrukcji modeli równowagowych, funkcje Xi(Mr)
traktujemy jako znane.
Równania (316), (317), (356) i (319) zapisujemy w postaci
dfj(y)
Rj(y) a" + hj(y) = 0 j = 1, 2, 3, 4. (368)
dMr
Zauważmy, że dla j = 2 mamy po prostu fj = yj.

Z różnicowej wersji równania (356) dostajemy liniowy zwiazek pomi�
� edzy
małymi przyrostami "� i "T ,
T dLr "u
cv "T - (�3 - 1) "� = "t - - "Xi, (369)
� dMr i "Xi
w którym współczynniki i wielkości po prawej stronie równości s� znane. Korzys-
a
tamy z tego zwiazku w zlinearyzowanej wersji równań (316) i (317), z których
�
dostajemy układ równań liniowych, niejednorodnych na przyrosty "� i "r.
Zadanie Prosz� napisać jawn� postać tego układu równań i dowieść, że ma
e a
zawsze rozwiazania, poza przypadkiem neutralnej stabilności dynamicznej.
�
Linearyzując równanie 319 znajdziemy wyrażenie przyrost strumienia, "Lr,w
obszarach promienistych. Opisane post� �
epowanie dowodzi istnienia rozwiazań
równań ewolucji, ale nie prowadzi do stabilnego schematu obliczeń numerycznych.
13.5 Metoda Henyeya
Schemat różnicowy śledzenia ewolucji w czasie opisany powyżej nosi naz� metody
e
explicit. W tej metodzie wszystkie pochodne wyliczane s� na pocz� kroku
a atku
czasowego. Tu przedstawiam oryginaln� wersj� metody Henyeya, w której
a e
ewolucja chemiczna traktowana jest metod� explicit. To oznacza, że nadal uży-
a
wamy wyrażenia (367). Natomiast ewolucja cieplna liczona jest metod� implicit.
a
czyli, że w zamiast równania (369) stosować b� nast� ac� reprezentacj�
edziemy epuj� a e
różnicow� równania (356).
a
dLr " ln T " ln � "u "Xi
= - cvT - (�3 - 1) - , (370)
dMr "t "t "Xi "t
i
gdzie kreski nad symbolem oznaczaja średnie arytmetyczne wartości na pocz�
� atku
i końcu kroku czasowego "t, który powinien być dostatecznie mały.
Tu, za oryginalną wersją metody Henyeya zaniedbamy utratetę masy i przyjmiemy,
że mamy przybliżon� wartość "y. Dla pierwszego modelu w ciagu startuj�
a � acym
z ZAMSu przyjmuje si� zwykle "y = 0, a w kolejnych modelach przyrosty
e
wynikaj� z wartości "y/"t w poprzednim kroku czasowych. Dalej nie ko-
ace
rzysta si� już z założenia, że przyrosty "y s� małe, a tylko ich poprawki ,
e a
�y a" z, które s� zarazem poprawkami do y Równania (300) linearyzuje si�
a e
wzgl� z.
edem
Schemat iteracyjnego wyznaczania poprawek z pokazuj� dwa nast� ace
a epuj�
równania
112
d "fj "hj
Rj(y0 + "iy) + zk + zk = 0 (371)
dMr "yk i "yk i
k
i
"i+1y = "iy + z, (372)
gdzie wskaz
nik i numeruje kolejne iteracje. Kontynuuje si� je tak długo, aż
e
najwi� z liczb |z| nie stanie si� mniejsza od przyj� wartości. Metoda
eksza e etej
iteracji jest wi� podobna do opisanej dla konstrukcji modelu na ZAMS, ale
ec
zamiast czterech iterowanych wielkości mamy 4�N, gdzie N jest liczb� punktów
a
w�
ezłowych w modelu.
Różnicowa (w Mr) reprezentacja równań (371) prowadzi do nast� �
epujacych
liniowych zwiazków łacz� wartości z w s�
� � acych asiednich punktach sieciowych.
"fj "hj n+1 "fj "hj n
n+1 n
+ DM zk = - DM zk -DM (Rn+1+Rn)i,
j j
"yk "yk i "yk "yk i
k k
n+1 n
gdzie wkaz
niki górne numeruj� punkty sieciowe, a DM = (Mr - Mr )/2. Po
a
odwróceniu macierzy dostajemy
zn+1 = An,n+1zn + wn,n+1, (373)
gdzie An,n+1 jest znan� macierz� 4 � 4, a wn,n+1 jest znanym wektorem. W
a a
sumie mamy 4� (N -1) równań na 4 � N niewiadomych zn. Warunki brzegowe
dostarczaja brakujacych czterech równań.
� �
Warunki brzegowe zachowaj� t� sam� postać co dla modeli równowagowych,
a e a
jeżeli tylko do wyst� � w równaniu (324) dodamy wyraz z pochod-
epujacym
c
nymi czasowymi, podobnie jak to zrobiliśmy w równaniu (369). Linearyzujac
�
równania (322-325), z dodanieniem w (324) członu nierównowagowego,
"T T "�
-cv - (�3 - 1) ,
"t � "t
znajdziemy łatwo (tu opuszczam te mało interesuj� obliczenia) macierz B1 o
ace
wymiarach 4 � 2 i wektor C1 w relacji
��c
z1 = B1 + C1. (374)
�Tc
Korzystajac nast� z równania (373), wyliczyć kolejne macierze Bn i
� epnie
wektory Cn, zdefiniowane nast� acym wzorem.
epuj�
��c
zn = Bn + Cn. (375)
�Tc
Zewn� warunek brzegowy nakłada si� w punkcie n = N, który zwykle
etrzny e
nie pokrywa si� z brzegiem gwiazdy. Struktur� otoczki, która obejmuje mała
e e �
113
cz� masy gwiazdy, można modelować korzystajac z równowagowych równań
eść �
wewn� budowy (316-319) kład� Lr = L. W otoczce nie zachodz� reakcje
etrznej ac a
j� a mała energia w niej zawarta uzasadnia założenie równowagi cieplnej,
adrowe,
nawet wtedy gdy ewolucja gwiazdy zachodzi w cieplnej skali czasowej, o czym
była mowa w rozdziale 11.1.2.
N
Całkuj� te równania od powierzchni w gł� do Mr = Mr dla przybliżonych
ac ab
wartości L = LN i Teff, znajduje si� wartości yN . Dodatkowe całkowania dla par
e
r
(L + �L, Teff) i (L, Teff + �Teff), pozwalaja na liczbowe wyznaczenia pochodnych
�
cz�
astkowych
N N
"y "y
i
"L "Teff
i st� macierzy DN o wymiarach 4 � 2 i w relacji
ad
�L
zN = DN . (376)
�Teff
To równanie w połaczeniu z (375) dla n = N prowadzi do układu czterech
�
równań liniowych niejednorodnych na ��c, �Tc, �L i �Teff. Po wyznaczeniu
��c i �Tc i poprawek do parametrów powierzchniowych, znajduje si� wszystkie
e
n
wartości �y(Mr ) = zn korzystajac ze zwiazków (375) dla n = 1 do N.
� �
Po zakończeniu iteracji mamy model gwiazdy w chwili t. Teraz wylicza
si� zmiany obfitości pierwiastków, "Xi, dla założonego kroku czasowego, "t.
e
Wybór wartości "t zależy od tempa ewolucji. Czasami zmniejszenie "t wymusza
brak zbieżności iteracji.
13.6 Dodatki do oryginalnej metody Henyeya
Uwzględnianie dyfuzji i półkonwekcji wprowadza równania na pochodne przestrzenne
Xi, i = 1, ..I, gdzie I oznacza liczbę pierwiastków, których zmiany obfitości
chcemy śledzić. Można te równania dołączyć do równań (368) podwyższając
liczbę niewiadomych, "y, zwiazków (371) i warunków brzegowych do 4 + I.
Częstszym postępowaniem jest oddzielne traktowanie przyrostów "Xi. Iteracje
mają wtedy przebieg dwustopniowy W pierwszym kroku wyznacza się "Xi
metodą explicit i tak jak poprzednio wyznacza iteracyjnie "y i parametry brze-
gowe. W następnych krokach "Xi wyznacza się metodą implicit w oparciu o
uzyskiwane w kolejnych iteracjach wartości y+"y, aż do osiągnięcia wymaganej
zbieżności.
Ubywanie masy opisuje się przeważnie metodą explicit, wpierw zachowując
stałą wartość masy na zewnętrznym brzegu (n = N), a następnie przesuwa
brzeg do niższych wartości masy.
Modelowanie ewolucji gwiazd z cienkimi warstawmi produkcji energii jest
utrudnione ze względu na ich szybkie przesuwanie się w masie. Wśród stosowanych
rozwiązań jest przybliżenie stacjonarne dla tych warstw polegające na zaniedba-
niu cząstkowej pochodnej po czasie w tych warstwach i włączanie ich do otoczki,
co stanowi dobre przybliżenie w przypadku stabilności cieplnej. Dokładniejszym
114
i bardziej uniwersalnym rozwiązaniem jest korzystanie z asymetrycznych rów-
nań różnicowych, co umożliwia numeryczne śledzenie procesów zachodzących w
drastycznie różnych skalach czasowych we wnętrzu jednej gwiazdy.
115