Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - Funkcje - � AT - 1
Twierdzenie ( o trzech funkcjach )
Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki:
" f(x) g(x) h(x) dla każdego x " S(x0) ,
" lim f(x) = lim h(x) = p ,
xx0 xx0
to lim g(x) = p .
xx0
Dowód - I sposób
Twierdzenie to można udowodnić korzystając z twierdzenia o trzech ciągach.
Dla dowolnego ciągu (xn), n " N, punktów z S(x0) zbieżnego do punktu x0
lim xn = x0
n"
na mocy przyjętego założenia prawdziwe są równości
lim f(xn) = lim f(x) = p = lim h(x) = lim h(xn)
n" xx0 xx0 n"
oraz nierówności
f(xn) g(xn) h(xn)
dla każdego n " N.
Twierdzenie o trzech ciągach implikuje więc równość
lim g(xn) = lim f(x) = lim h(x) = p ,
n" xx0 xx0
skąd wobec dowolności ciągu (xn), n " N, wynika teza twierdzenia.
Dowód - II sposób
Z założenia mamy

0 < |x - x0| < �1 �! |f(x) - p| < � ,
�>0 �1>0 x"S(x0)

0 < |x - x0| < �2 �! |h(x) - p| < � .
�>0 �2>0 x"S(x0)
Czyli dla każdego x " S(x0, �1)
p - � < f(x) < p + �
oraz dla każdego x " S(x0, �2)
p - � < h(x) < p + � .
Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - Funkcje - � AT - 2
Niech � = min{�1, �2}. Wówczas dla każdego x " S(x0, �) zachodzi
p - � < f(x) g(x) h(x) < p + � .
Czyli
p - � < g(x) < p + � .
Otrzymaliśmy

0 < |x - x0| < � �! |g(x) - p| < � ,
�>0 �>0 x"S(x0)
a więc
lim g(x) = p .
xx0
Część całkowita liczby x zwana też entier x, jest to największa liczba całkowita nie
przewyższająca liczby x. Oznaczenie: [x].
Twierdzenie

x
1
lim 1 + = e
x"
x
Dowód
Załóżmy, że x > 1. Niech n = [x], wówczas
n x < n + 1
1 1 1
>
n x n + 1
1 1 1
<
n + 1 x n
1 1 1
1 + < 1 + 1 +
n + 1 x n
n x n+1
1 1 1
1 + < 1 + 1 +
n + 1 x n
oraz
n n+1 -1
1 1 1
lim 1 + = lim 1 + 1 + = e ,
n" n"
n + 1 n + 1 n + 1
n+1 n
1 1 1
lim 1 + = lim 1 + 1 + = e .
n" n"
n n n
Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - Funkcje - � AT - 3
Czyli
n

1
| 1 + - e| < � ,
n + 1
n>n1
�>0 n1"N
n+1

1
| 1 + - e| < � .
n
n>n2
�>0 n2"N
Stąd wynika, że dla x [x] = n > n0 = min{n1, n2} zachodzi
x
1
| 1 + - e| < � ,
x
a więc

x
1
lim 1 + = e .
x"
x