NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - DOWODY
Definicje
y y
P=(x,y) P=(x,y)
y y
1 r
ą ą
x x
x x
O O
Definicja
Niech P = (x, y) będzie takim punktem na okręgu jednostkowym x2 + y2 = 1, że
półproste Ox i OP tworzą kąt skierowany o mierze ą " R. Definiujemy wtedy
sin ą = y cos ą = x
y x
tg ą = ctg ą = .
x y
Zdefiniowane wyżej funkcje nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
Fakt 1
Niech P = (x, y) będzie takim punktem na okręgu x2 + y2 = r2, że półproste Ox i
OP tworzą kąt skierowany o mierze ą " R. Wtedy
y x
sin ą = cos ą =
r r
y x
tg ą = ctg ą = .
x y
Dowód
Okrąg x2 + y2 = r2 powstaje z okręgu x2 + y2 = 1 przez jednokładność o środku w punk-
cie O i skali r. Wystarczy teraz zauważyć, że stosunki długości odcinków nie zmieniają
się przy jednokładności (bo długość każdego odcinka zmienia się jak mnożenie przez r).
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Fakt 2
Jeżeli ą jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to przy oznaczeniach z rysun-
ku,
a b
sin ą = cos ą =
c c
a b
tg ą = ctg ą = .
b a
c
a
ą
b
Dowód
y
P=(b,a)
c
a
x
ą
b
O
Wystarczy w Fakcie 1 oznaczyć r = c, x = b i y = a.
Proste tożsamości
Twierdzenie 3
Dla dowolnego ą " R prawdziwa jest równość
sin2 ą + cos2 ą = 1.
Tożsamość tę nazywamy jedynką trygonometryczną.
Dowód
Współrzędne każdego punktu P = (x, y) na okręgu jednostkowym spełniają równość (twier-
dzenie Pitagorasa)
x2 + y2 = 1.
Jeżeli popatrzymy na definicje funkcji sinus i cosinus, to widać, że jest to dokładnie to, co
mieliśmy udowodnić.
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Fakt 4
Dla dowolnego ą " R mamy
sin ą
tg ą = o ile cos ą = 0
cos ą
cos ą
ctg ą = o ile sin ą = 0,
sin ą
Dowód
Bezpośrednio z definicji mamy
y sin ą
tg ą = =
x cos ą
x cos ą
ctg ą = = .
y sin ą
Proste równania i nierówności
Twierdzenie 5
sin ą = 0 �!�! ą = kĄ
Ą
sin ą = 1 �!�! ą = + 2kĄ
2
Ą
sin ą = -1 �!�! ą = - + 2kĄ
2
Ą
cos ą = 0 �!�! ą = + kĄ
2
cos ą = 1 �!�! ą = 2kĄ
cos ą = -1 �!�! ą = (2k + 1)Ą
tg ą = 0 �!�! ą = kĄ
Ą
ctg ą = 0 �!�! ą = + kĄ.
2
gdzie k jest dowolną liczba całkowitą.
Dowód
W każdej z równoważności patrzymy na okrąg jednostkowy i sprawdzamy dla jakich kątów
ą punkt P ma odpowiednie współrzędne.
Np. sin x = 0 dla punktów, które mają drugą współrzędną zerową, czyli są na osi Ox.
Punkty te odpowiadają kątom ą = kĄ, k " C.
Podobnie uzasadniamy pozostałe równoważności.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Twierdzenie 6
sin x > 0 �!�! x " (0 + 2kĄ, Ą + 2kĄ)
Ą Ą
cos x > 0 �!�! x " - + 2kĄ, + 2kĄ
2 2
Ą 3Ą
tg x > 0 �!�! x " 0 + 2kĄ, + 2kĄ *" Ą + 2kĄ, + 2kĄ
2 2
Ą 3Ą
ctg x > 0 �!�! x " 0 + 2kĄ, + 2kĄ *" Ą + 2kĄ, + 2kĄ .
2 2
Dowód
Jak zwykle patrzymy na obrazek z definicji funkcji trygonometrycznych i sprawdzamy ko-
lejno: kiedy druga współrzędna punktu P jest dodatnia, kiedy pierwsza współrzędna jest
dodatnia, oraz kiedy współrzędne mają ten sam znak.
Okresowość
Twierdzenie 7
Funkcje sinus i cosinus są okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest licz-
ba 2Ą.
Dowód
To, że liczba 2Ą jest okresem jest oczywiste: kąty różniące się o wielokrotność 2Ą odpowia-
dają temu samemu punktowi P na okręgu jednostkowym.
Pozostało do wykazania, że jest to okres podstawowy, czyli że żadna mniejsza liczba nie
jest okresem tych funkcji.
Przypuśćmy, że 0 < T < 2Ą jest okresem funkcji sin x, czyli dla dowolnego ą " R mamy
sin(ą + T) = sin ą.
Podstawiając w tej równości ą = 0 mamy sin T = 0. Na mocy przyjętego założenia 0 < T <
2Ą i Twierdzenia 5, mamy zatem T = Ą. To jednak nie jest możliwe, bo
Ą Ą
sin + Ą = -1 = sin = 1.
2 2
Podobnie postępujemy w przypadku funkcji cosinus. W równości
cos(ą + T) = cos ą
podstawiamy ą = 0, co daje nam cos T = 1. Jest sprzeczne z Twierdzeniem 5 (bo 0 < T <
2Ą).
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Twierdzenie 8
Funkcje tangens i cotangens są okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest
liczba Ą.
Dowód
Jest jasne, że liczba 2Ą jest okresem. To, że liczba Ą też jest okresem można zobaczyć nastę-
pująco. Patrzymy na obrazek z definicji funkcji trygonometrycznych.
y
P=(x,y)
y
1
Ą
x
-x ą
x
O
-y
P'=(-x,-y)
Dodanie kąta Ą do kąta ą odpowiada obróceniu półprostej OP o 180ć%. Można też myśleć, że
jest to odbicie punktu P względem środka O początku układu współrzędnych. W wyniku
takiej operacji współrzędne punktu P zmienią znak na przeciwny. To jednak oznacza, że
funkcje tangens i cotangens nie zmienią wartości.
Pozostało do wykazania, że jest to okres podstawowy. Załóżmy, że 0 < T < Ą jest okre-
Ą
sem funkcji tangens, czyli dla dowolnego ą " R, ą = + kĄ mamy
2
tg(ą + T) = tg ą.
Wstawiając ą = 0 mamy tg T = 0. To jednak jest niemożliwe na mocy naszego założenia
0 < T < Ą i Twierdzenia 5.
Podobnie uzasadniamy, że liczba Ą jest okresem podstawowym funkcji cotangens.
Twierdzenie 9
sin ą = sin � �!�! � = ą + 2kĄ (" � = Ą - ą + 2kĄ
cos ą = cos � �!�! � = ą + 2kĄ (" � = -ą + 2kĄ
tg ą = tg � �!�! � = ą + kĄ
ctg ą = ctg � �!�! � = ą + kĄ,
gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowita.
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Dowód
Jeżeli sin ą = sin �, to odpowiadające tym kątom punkty na okręgu jednostkowym mają
taką samą drugą współrzędną. Jeżeli te punkty się pokrywają, to mamy � = ą + 2kĄ. Jeżeli
natomiast są dwa różne punkty, to muszą leżeć symetrycznie względem osi Oy. To jednak
oznacza, że � = Ą - ą + 2kĄ.
Podobnie uzasadniamy drugą równoważność.
Patrząc na definicje funkcji trygonometrycznych łatwo zauważyć, że tangens jest rosnący
Ą 3Ą
w przedziałach (-Ą + 2kĄ, + 2kĄ) i (Ą + 2kĄ, + 2kĄ). Zatem na okręgu jednostkowym
2 2 2 2
są co najwyżej dwa punkty, dla których tangensy odpowiadających kątów są równe tg ą. Z
drugiej strony, z okresowości tangensa wiemy, że tg(ą + Ą) = tg ą. Zatem równość tg ą =
tg � oznacza, że ą = � + 2kĄ (jeżeli odpowiadające punkty się pokrywają) lub � = Ą + ą +
2kĄ (jeżeli punkty są różne). Oba warunki można krótko zapisać w postaci � = ą + kĄ.
1
Podobnie rozumujemy w przypadku cotangensa (lub korzystamy ze wzoru ctg ą = ).
tg ą
Wzory redukcyjne
Twierdzenie 10
Niech zapis f unkcja oznacza jedną funkcji trygonometrycznych, a zapis ko f unkcja,
niech będzie odpowiadającą kofunkcją do f unkcji, według schematu
sin "! cos tg "! ctg .
Wtedy dla dowolnego k " C mamy zależność
Ą � � f unkcja(ą) jeżeli k jest parzyste
f unkcja k � ą ą =
2
� � ko f unkcja(ą) jeżeli k jest nieparzyste,
Ą
gdzie � jest znakiem wyrażenia f unkcja k � ą ą po podstawieniu za ą dowolne-
2
go kąta ostrego.
Dowód
Patrząc ponownie na koło jednostkowe, łatwo zauważyć, że następujące operacje: dodanie
lub odjęcie kąta Ą do ą, zamiana ą na -ą, nie zmieniają wartości bezwzględnych współ-
rzędnych punktu P (czyli co najwyżej zmieniają znaki współrzędnych tego punktu).
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
P=(x,y) P=(x,y)
y y
(-y,x)
x
1 1
Ą
Ą/2
-x ą ą y
-Ą/2
-ą x -y
x
-x
(y,-x)
-y
(x,-y)
(-x,-y)
To oznacza, że dodawanie/odejmowanie dowolnej wielokrotności kąta Ą do argumentu
którejkolwiek funkcji trygonometrycznej nie zmienia wartości bezwzględnej tej funkcji (czy-
li co najwyżej zmienia jej znak). Podobnie w przypadku zamiany kąta na kąt przeciwny. W
szczególności uzasadniliśmy równość
Ą
f unkcja k � ą ą = ą f unkcja(ą) jeżeli k jest parzyste
2
Ą
Podobnie, łatwo sprawdzić na okręgu jednostkowym, że dodatnie/odjęcie do kąta ą kąta ,
2
powoduje zamianę wartości bezwzględnych współrzędnych punktu P (czyli współrzędne
te zamieniają się miejscami i ewentualnie zmieniają znaki). W połączeniu z uzasadnioną już
niezmienniczością na dodawanie/odejmowanie wielokrotności kąta Ą, oraz na zmianę kąta
na przeciwny, daje nam to
Ą
f unkcja k � ą ą = ąko f unkcja(ą) jeżeli k jest nieparzyste.
2
Pozostało ustalić jaki powinien być znak z prawej strony tych wzorów. Aby to zrobić, wy-
starczy sprawdzić jakie są znaki obu stron dla jednego dowolnie wybranego kąta. Jeżeli
wybierzemy kąt ostry ą, to zarówno f unkcja(ą) jak i ko f unkcja(ą) są dodatnie i za � trzeba
Ą
wziąć znak wyrażenia f unkcja k � ą ą
2
Funkcje sumy i różnicy kątów
Twierdzenie 11
Dla dowolnych ą, � " R prawdziwe są wzory
sin(ą + �) = sin ą cos � + sin � cos ą
cos(ą + �) = cos ą cos � - sin ą sin �.
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Dowód
W dowodzie użyjemy rachunku wektorowego. Zacznijmy od narysowania w układzie współ-

rzędnych wektora jednostkowego OP o początku w punkcie O i tworzącego z osią Ox kąt
ą.
y y
P'
cos(ą)
R R
sin( ą)
P
P
ą
�
x x
ą ą
-sin(ą) cos(ą)
O O


Wtedy P = (cos ą, sin ą). Niech OP będzie wektorem, który powstaje z OP przez obrót
względem punktu O o kąt �. Oczywiście
P = (cos(ą + �), sin(ą + �)).
Spróbujemy teraz wyliczyć współrzędne punktu P w inny sposób.
Niech Ox y będzie układem współrzędnych, który powstaje z Oxy przez obrót wzglę-

dem punktu O o kąt ą. W szczególności oś Ox jest wyznaczona przez wektor OP = [cos ą, sin ą].

W takim razie druga oś jest wyznaczona przez wektor OR, który jest prostopadły do OP. A
a-

two odgadnąć współrzędne tego wektora: OR = [- sin ą, cos ą] (prawy obrazek).

W układzie współrzędnych Ox y wektor OP ma współrzędne [cos �, sin �] (bo tworzy
kąt � z osią Ox ), co nam daje następujące współrzędne w układzie Oxy.


OP = cos � � OP + sin � � OR = cos � � [cos ą, sin ą] + sin � � [- sin ą, cos ą] =
= [cos � cos ą - sin � sin ą, cos � sin ą + sin � cos ą].
W połączeniu z wcześniej zauważoną równością

OP = [cos(ą + �), sin(ą + �)]
daje to nam żądane równości.
Twierdzenie 12
Dla dowolnych ą, � " R prawdziwe są wzory
sin(ą - �) = sin ą cos � - sin � cos ą
cos(ą - �) = cos ą cos � + sin ą sin �.
Materiał pobrany z serwisu
8
'
'
y
y
'
'
x
x
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Dowód
Podstawiamy we wzorach z poprzedniego twierdzenia -� zamiast �.
Twierdzenie 13
tg ą + tg �
tg(ą + �) =
1 - tg ą tg �
tg ą - tg �
tg(ą - �) = .
1 + tg ą tg �
Dowód
Liczymy (korzystając z Twierdzenia 11)
sin(ą + �) sin ą cos � + sin � cos ą
tg(ą + �) = = =
cos(ą + �) cos ą cos � - sin ą sin �
sin ą cos �+sin � cos ą
tg ą + tg �
cos ą cos �
= = .
cos ą cos �-sin ą sin �
1 - tg ą tg �
cos ą cos �
Drugi wzór otrzymujemy z pierwszego podstawiając -� zamiast �.
Funkcje podwojonego kąta
Twierdzenie 14
sin 2ą = 2 sin ą cos ą
cos 2ą = cos2 ą - sin2 ą = 2 cos2 ą - 1 = 1 - 2 sin2 ą
2 tg ą
tg 2ą =
1 - tg2 ą
Dowód
Pierwsze dwa wzory otrzymujemy podstawiając � = ą w Twierdzeniu 11 oraz korzystając
z jedynki trygonometrycznej. Trzeci wzór otrzymujemy biorąc ą = � w Twierdzeniu 13.
Twierdzenie 15
ą
Jeżeli oznaczymy t = tg to
2
2t
sin ą =
1 + t2
1 - t2
cos ą =
1 + t2
2t
tg ą = .
1 - t2
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Dowód
Liczymy (korzystamy z Twierdzenia 14)
ą ą
ą ą 2 sin cos
2 2
sin ą = 2 sin cos = =
2 2
sin2 ą + cos2 ą
2 2
ą ą
2 sin cos
2 2
ą
2 tg
cos2 ą 2t
2 2
= = = .
sin2 ą +cos2 ą
tg2 ą + 1 t2 + 1
2 2
2
cos2 ą
2
Podobnie liczymy dla cosinusa.
ą ą cos2 ą - sin2 ą
2 2
cos ą = cos2 - sin2 = =
2 2
sin2 ą + cos2 ą
2 2
cos2 ą -sin2 ą
2 2
1 - tg2 ą 1 - t2
cos2 ą
2 2
= = = .
sin2 ą +cos2 ą
t2 + 1
tg2 ą + 1
2 2
2
cos2 ą
2
Jeszcze wzór dla tangensa.
2t
sin ą 2t
1+t2
tg ą = = = .
1-t2
cos ą 1 - t2
1+t2
Sumy i różnice funkcji
Twierdzenie 16
ą + � ą - �
sin ą + sin � = 2 sin cos
2 2
ą + � ą - �
cos ą + cos � = 2 cos cos
2 2
ą - � ą + �
sin ą - sin � = 2 sin cos
2 2
ą - � ą + �
cos ą - cos � = -2 sin sin .
2 2
Dowód
Jeżeli w pierwszym wzorze podstawimy -� zamiast �, otrzymamy trzeci wzór. Podobnie,
podstawiając Ą - � w drugim wzorze, otrzymamy czwarty wzór. Wystarczy zatem udo-
wodnić dwa pierwsze wzory.
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Liczymy (korzystamy z Twierdzeń 11 i 12)
ą + � ą - � ą + � ą - �
sin ą + sin � = sin + + sin - =
2 2 2 2
ą + � ą - � ą - � ą + �
= sin cos + sin cos +
2 2 2 2
ą + � ą - � ą - � ą + �
+ sin cos - sin cos =
2 2 2 2
ą + � ą - �
=2 sin cos .
2 2
Podobnie jest z drugą równością
ą + � ą - � ą + � ą - �
cos ą + cos � = cos + + cos - =
2 2 2 2
ą + � ą - � ą - � ą + �
= cos cos - sin sin +
2 2 2 2
ą + � ą - � ą - � ą + �
+ cos cos + sin sin =
2 2 2 2
ą + � ą - �
=2 cos cos .
2 2
Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.
Twierdzenie 17
Ą Ą Ą
kąt
6 4 3
" "
1 2 3
sinus
2 2 2
" "
3 2 1
cosinus
2 2 2
Dowód
Ą
Zacznijmy od kąta . Rysujemy połówkę kwadratu o boku 1.
4
Ą
6
2
1
1
1
3
2
Ą Ą
4 3
1
1
2
"
Przekątna tego kwadratu ma długość 2, więc
"
Ą Ą 1 2
"
sin = cos = = .
4 4 2
2
Materiał pobrany z serwisu
11
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Aby uzasadnić pozostałe równości rysujemy trójkąt równoboczny o boku 1. Z twierdzenia
"
3
Pitagorasa łatwo wyliczyć, że wysokość tego trójkąta jest równa . Daje to nam
2
"
Ą 1 Ą 3
sin = cos =
6 2 6 2
"
Ą 3 Ą 1
sin = cos = .
3 2 3 2
Twierdzenie 18
" "
Ą 1 + 5 Ą 10 - 2 5
cos = sin =
5 4 5 4
Dowód
Korzystamy ze wzorów na sin 2ą i cos 2ą (Twierdzenie 14) oraz ze wzoru sin(Ą - ą) = sin ą.
Ą 4Ą 2Ą 2Ą Ą Ą Ą
sin = sin = 2 sin cos = 4 sin cos (2 cos2 - 1)
5 5 5 5 5 5 5
Ą Ą Ą Ą Ą
sin = 4 sin cos (2 cos2 - 1) / : sin
5 5 5 5 5
Ą Ą
1 = 4 cos (2 cos2 - 1).
5 5
Ą
Podstawiamy teraz t = cos .
5
1 = 4t(2t2 - 1)
8t3 - 4t - 1 = 0.
A
atwo znalez
ć pierwiastek t = -1 tego równania. Dzielmy więc przez 2t + 1.
2
8t3 - 4t - 1 = (8t3 + 4t2) - (4t2 + 2t) - (2t + 1) = (2t + 1)(4t2 - 2t - 1).
Ą
Wiemy, że cos jest dodatni, więc jest to dodatni pierwiastek równania kwadratowego w
5
nawiasie
4t2 - 2t - 1 = 0
" = 4 + 16 = 20
" "
2 + 2 5 1 + 5
t = =
8 4
"
Ą 1 + 5
cos = .
5 4
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy
" "
Ą Ą 1 + 2 5 + 5 10 - 2 5
sin = 1 - cos2 = 1 - = .
5 5 16 4
Materiał pobrany z serwisu
12
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Podoba Ci się ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
Definicja funkcji trygonometrycznych przy pomocy okręgu jednostkowego jest bardzo wy-
godna, bo pozwala zdefiniować te funkcje dla dowolnej wartości kąta. Jest ona również
historycznie wcześniejsza od definicji używającej trójkąta prostokątnego.
Z drugiej strony, definicja funkcji w trójkącie prostokątnym (Fakt 2) jest o wiele prostsza
i lepiej oddaje geometryczny charakter funkcji trygonometrycznych.
2
Zaznaczając kąty w układzie współrzędnych zwykle rysowaliśmy ostry kąt ą. Warto jed-
nak zadać sobie trud i posprawdzać, że rysując kąty w innych ćwiartkach nasze argumenty
pozostają bez zmian.
3
Jedynka trygonometryczna (Twierdzenie 3) jest dokładnie zapisem twierdzenia Pitagorasa 
szczególnie dobrze to widać patrząc na definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym.
4
Twierdzenie 6 jest zwykle uczone w postaci formułki w pierwszej wszystkie są dodatnie, w
drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
5
Twierdzenie 7 na ogół pojawia się w podręcznikach w postaci liczba 2Ą jest okresem funk-
cji.... My wykazujemy jednak znacznie więcej: pokazujemy, że żadna mniejsza liczba nie jest
okresem tych funkcji. Podobnie w przypadku Twierdzenia 8.
6
Nasz dowód Twierdzenia 9 nie jest w pełni precyzyjny, ale za to bardzo geometryczny.
Precyzyjny dowód można przeprowadzić używając wzorów na różnice funkcji trygonome-
trycznych (Twierdzenie 16).
7
Twierdzenie 10 zawiera najogólniejszą postać wzorów redukcyjnych i pomimo swojego po-
zornego skomplikowania, jest to najlepszy sposób na zapamiętanie wszystkich wzór reduk-
cyjnych na raz.
Wzór ten jest formalnym zapisaniem tego, że obracając się na okręgu co 90ć% zamieniamy
współrzędne punktu ze sobą i zmieniamy znak jednej z nich. Gdy się to dokładnie napisze
wyjdzie Twierdzenie 10.
Materiał pobrany z serwisu
13
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
8
Twierdzenie 11 jest zdecydowanie najważniejszym twierdzeniem trygonometrii. Wszystkie
tożsamości trygonometryczne są jego konsekwencjami: jedynkę otrzymujemy biorąc ą = �
w wzorze na cos(ą - �), każdy wzór redukcyjny jest tej postaci, wzory na sumy i różnice
funkcji są konsekwencjami tych wzorów  Twierdzenie 16.
9
Przedstawiony dowód Twierdzenia 11 jest bardzo elegancki z kilku powodów. Przed wszyst-
kim, nie trzeba w nim nic zakładać o kątach ą i �  w większości innych dowodów tego
Ą
twierdzenia, dowodzi się tych wzorów przy założeniu 0 < ą, � < , a potem przechodzi
2
się do sytuacji ogólnej ze wzorów redukcyjnych. Przy naszym podejściu, wzory redukcyjne
możemy traktować jako wniosek z Twierdzenia 11.
Kolejną zaletą tego dowodu jest to, że otrzymujemy oba wzory (na sinus sumy i cosinus
sumy) jednocześnie. Wbrew pozorom, otrzymanie z jednego wzoru z drugiego jest dość
podchwytliwe. Jeżeli np. umiemy udowodnić wzór na sinus sumy dla kątów ostrych, to
nie ma prostego sposobu na wyprowadzenie stąd wzoru na cosinus sumy. Sztuczki w stylu
Ą Ą
zamiana ą na + ą wymagają znajomości wzoru na sinus sumy dla kątów większych od ,
2 2
a tego większość innych dowodów nie daje.
10
O dowodzie Twierdzenia 11 należy myśleć następująco. Uzasadniliśmy, że pomiędzy współ-
rzędnymi (x, y) w układzie Oxy, a współrzędnymi (x , y ) w układzie Ox y zachodzi zwią-
zek

[x, y] = x � OP + y � OR = [x cos ą - y sin ą, x sin ą + y cos ą].
O wzorze tym należy myśleć jak o wzorze na współrzędne punktu (x , y ) po obrocie o kąt
ą. Jeżeli teraz do tego wzoru wstawimy punkt P = (cos �, sin �) to trzymamy współrzędne
punktu P = (cos(ą + �), sin(ą + �)).
11
Wzory z Twierdzenia 11 mają bardzo prostą interpretację geometryczną w języku twierdze-
nia sinusów. Zajmiemy się tylko pierwszym wzorem.
Jeżeli trójkąt o kątach ą i � jest wpisany w okrąg o średnicy 1, to z twierdzenia sinusów
łatwo zauważyć, że jego boki mają długości sin ą, sin � i sin(ą + �).
C
C
ł
sin �
sin �
sin ą
sin ą
�
ą
�
ą
B A
sin (ą+�)
B A
D
Wtedy wzór na sinus sumy sprowadza się do równości BA = BD + DA, gdzie CD jest
wysokością opuszczoną na bok AB.
Po interpretację drugiego wzoru, jak i po inne dowody Twierdzenia 11 odsyłam czytel-
nika do www.zadania.info/6783108.
Materiał pobrany z serwisu
14
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
12
Twierdzenie 15 ma duże znaczenie teoretyczne, bo pokazuje, że wykonując podstawienie z
jego treści, można dowolne wyrażenie z funkcjami trygonometrycznymi zamienić na wyra-
żenie bez funkcji trygonometrycznych (o ile wszystkie funkcje mają tren sam argument!). W
praktyce jest to nagminnie stosowane w rachunku całkowym.
13
Twierdzenie 18 jest blisko związane z geometrią pięciokąta foremnego i ma prosty dowód
geometryczny  www.zadania.info/3024938
14
W Twierdzeniach 17 i 18 wypisaliśmy tylko wartości funkcji sinus i cosinus, ale wyliczenie
z nich wartości funkcji tangens i cotangens jest już natychmiastowe.
15
Ą Ą Ą Ą
Wyznaczone wzory na funkcje trygonometryczne kątów , , , są blisko związane z fak-
3 4 5 6
tem, że trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt i sześciokąt foremny można skonstruować
przy pomocy cyrkla i linijki. Tymczasem można udowodnić, że nie da się skonstruować
Ą
siedmiokąta foremnego, co wiąże się tym, że nie ma wzorków na funkcje kąta .
7
Ą
Co ciekawe, można skonstruować 17-kąt foremny, co oznacza, że są wzorki na sin i
17
Ą
cos . Wzory te jednak są dość skomplikowane:
17
" " " " "
2�2 - 2 2 34 + 6 17 + 2( 17 - 1)� - 8 2� + �
Ą
sin =
17 8
" " " " " "
30 + 2 17 + 2 2 34 + 6 17 + 2( 17 - 1)� - 8 2� + �
Ą
cos = ,
17 8
" "
gdzie � = 17 + 17 i � = 17 - 17.
Wzorki te znał już Gauss pod koniec XVIII wieku.
Materiał pobrany z serwisu
15