NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Są cztery funkcje trygonometryczne: sin x, cos x, tg x, ctg x. Różnią się one zasadniczo od in-
nych poznawanych w szkole funkcji z dwóch powodów: są okresowe oraz jest niezwykle
dużo ciekawych zależności między nimi, czyli tzw. tożsamości trygonometrycznych. Ta dru-
ga własność sprawia, że zadania z trygonometrii sprawiają kłopoty  trzeba trochę wprawy,
żeby wiedzieć jaki wzór pasuje do jakiego zadania.
Sinus i cosinus
Ä„
Funkcje sinus i cosinus mają podobne wykresy, ale są przesunięte względem siebie o .
2
y=sin(x)
1
Ä„
7Ä„ 5Ä„ 3Ä„ Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 7Ä„
4Ä„
3Ä„ 2Ä„ Ä„ Ä„ 2Ä„ 3Ä„
0 4Ä„
2
2 2 2 2 2 2 2
1
y=cos(x)
1
Ä„
7Ä„ 5Ä„ 3Ä„ Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 7Ä„
4Ä„
3Ä„ 2Ä„ Ä„ Ä„ 2Ä„ 3Ä„
0 4Ä„
2
2 2 2 2 2 2 2
1
Obie funkcje są okresowe, co przejawia się tym, że ich wykresy powtarzają się  np. je-
żeli wez
miemy kawałek wykresu sinusa na przedziale 0, 2Ą , to cały wykres otrzymamy
przesuwając ten kawałek o wielokrotności 2Ą w lewo i w prawo. Mówiąc jeszcze inaczej,
wykresy tych funkcji nie zmieniają się przy przesuwaniu o wielokrotność 2Ą.
W języku wzorków zapisuje się to w postaci
sin(x + 2Ä„) = sin x
cos(x + 2Ä„) = cos x
Liczbę 2Ą nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Z tego, że liczba 2Ą jest okresem
łatwo wynika, że dowolna jej wielokrotność też jest okresem, tzn.
sin(x + 2kĄ) = sin x
cos(x + 2kĄ) = cos x,
gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
Przymiotnik  podstawowy przy okresie oznacza, że jest to najmniejszy okres, np. liczba
4Ą też jest okresem tych funkcji (czyli sin(x + 4Ą) = sin x), ale nie jest okresem podstawo-
wym.
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
19
Obliczmy sin Ä„. Liczymy
3
"
19 18 + 1 1 Ä„ 3
sin Ą = sin Ą = sin 6Ą + Ą = sin = sin 60ć% = .
3 3 3 3 2
Tangens i cotangens
Funkcje te są zdefiniowane zależności od funkcji sinus i cosinus:
sin x
tg x =
cos x
cos x 1
ctg x = = .
sin x tg x
Z tych definicji powinno być jasne, że dziedziną funkcji tg x jest zbiór liczb, dla których
Ä„
cos x = 0 (czyli x = + kĄ), a dziedziną funkcji ctg x zbiór liczb, dla których sin x = 0
2
(czyli x = kĄ).
Wykresy tych funkcji są podobne, ale funkcja tangens jest przedziałami rosnąca, a funkcja
cotangens malejÄ…ca.
y=tg(x) y=ctg(x)
Ä„ Ä„
3Ä„ 3Ä„ Ä„ Ä„ 3Ä„
Ä„ Ä„ 3Ä„
0 2Ä„
Ä„ Ä„ 2Ä„
0
2 2
2 2 2 2 2
2
Rozerwania wykresów odpowiadają dokładnie miejscom zerowym mianowników. Obie
funkcje mają okres podstawowy Ą, czyli dwa razy mniejszy niż funkcje sinus i cosinus.
Ä„
Obliczmy tg ctg -11Ä„ . Liczymy
6 6
Ä„ 11 Ä„ 11
tg ctg - Ä„ = tg ctg - Ä„ + 2Ä„ =
6 6 6 6
Ä„ Ä„ Ä„ 1
= tg ctg = tg · = 1.
Ä„
6 6 6 tg
6
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Parzystość i nieparzystość
Funkcja cosinus jest funkcjÄ… parzystÄ…, tzn.
cos(-x) = cos x.
Własność ta oznacza, że wykres jest symetryczny względem osi Oy. Można sobie myśleć, że
jest podobnie jak dla f (x) = x2, nie jest ważne, czy liczymy wartość funkcji w -x czy w x
(stÄ…d ta symetria wykresu).
Funkcja sinus jest funkcjÄ… nieparzystÄ…, tzn.
sin(-x) = - sin x.
Własność ta oznacza, że wykres jest symetryczny względem początku (0, 0) układu współ-
rzędnych. Tu sytuacja jest podobna jak na przykład z f (x) = x3:
(-2)3 = -23.
Obliczmy cos(Ä„ sin(-Ä„ )). Liczymy
6
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
cos Ä„ sin - = cos -Ä„ sin = cos - = cos = 0.
6 6 2 2
sin x cos x
Korzystając z powyższych własności oraz z równości tg x = i ctg x = , łatwo wyli-
cos x sin x
czyć, że funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.
tg(-x) = - tg x
ctg(-x) = - ctg x.
W przypadku funkcji parzystych/nieparzystych wygodnie jest myśleć, że ich wartości
dla liczb ujemnych są jednoznacznie wyznaczone przez wartości dla liczb dodatnich.
Punkty szczególne wykresów
Rozwiązując różne zadania z funkcjami trygonometrycznymi często będziemy musieli usta-
lić jakie są ich miejsca zerowe lub kiedy sinus/cosinus jest równy ą1. Na wykresie punkty
te odpowiadają punktom przecięcia z osią Ox oraz górkom i dołkom sinusa/cosinusa.
sin x = 0 Ð!Ò! x = kÄ„
Ä„
cos x = 0 Ð!Ò! x = + kÄ„
2
Ä„
sin x = 1 Ð!Ò! x = + 2kÄ„
2
cos x = 1 Ð!Ò! x = 2kÄ„
Ä„
sin x = -1 Ð!Ò! x = - + 2kÄ„
2
cos x = -1 Ð!Ò! x = Ä„ + 2kÄ„.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
We wszystkich wzorach k " C.
Miejsca zerowe tangensa i cotangensa sÄ… takie same jak odpowiednio sinusa i cosinusa:
tg x = 0 Ð!Ò! sin x = 0 Ð!Ò! x = kÄ„
Ä„
ctg x = 0 Ð!Ò! cos x = 0 Ð!Ò! x = + kÄ„.
2
Jedyny sposób, żeby się w tym nie pogubić, to nauczyć się szybko szkicować wykresy tych
funkcji. W przypadku sinusa i cosinusa należy zapamiętać, że wykresem jest sinusoida prze-
chodzÄ…ca przez (0, 0) i (0, 1) odpowiednio. W przypadku tangensa i cotangensa wystarczy
zapamiętać po jednej gałęzi wykresu i pamiętać, że całe wykresy otrzymujemy przesuwając
je w lewo i w prawo.
Rozwiążmy równanie 2sin 2x = 2. Liczymy
Ä„ Ä„
2sin 2x = 2 Ð!Ò! sin 2x = 1 Ð!Ò! 2x = + 2kÄ„ Ð!Ò! x = + kÄ„, k " C.
2 4
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
Po co definiuje się funkcje trygonometryczne i dlaczego są one ważne?
Powody są geometryczne: funkcje trygonometryczne są łącznikiem między długościami od-
cinków, a miarami kątów. Na ogół, w zadaniach geometrycznych, nie da się wyliczyć do-
kładnej wartości szukanego kąta, jednak twierdzenia sinusów, cosinusów pozwalają wyli-
czyć (dokładnie!) ich funkcje trygonometryczne.
Nie jesteśmy w stanie wyliczyć miar kątów w trójkącie o bokach 5,6,7. Możemy
natomiast (z twierdzenia cosinusów) wyliczyć cosinusy tych kątów.
2
Ze względu na okresowość, odpowiedzi do zadań z trygonometrii często są postaci x =
Ä„
+ kĄ. Domyślnie w takim zapisie, liczba k jest dowolną liczbą całkowitą.
2
Rozwiążmy równanie tg x = 1.
Ä„
Wiemy, że tg = 1. Patrząc na wykres widać, że wszystkie rozwiązania to x =
4
Ä„
+ kĄ, gdzie k " C.
4
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
3
Trudno nie zauważyć, że wszędzie piszemy argumenty funkcji trygonometrycznych w ra-
dianach i jest ku temu powód. Jeżeli mówimy o funkcjach trygonometrycznych to chcemy,
aby i argumenty i wartości to były liczbami, żeby np. miała sens funkcja sin x2. Stopnie nie
mają tej własności. Po więcej informacji na ten temat odsyłam do poradnika o mierze łukowej.
4
Z jedynki trygonometrycznej sin2 x + cos2 x = 1 łatwo wynika, że tam gdzie sinus się zeruje,
cosinus jest równy ą1 i odwrotnie. Ta własność bywa użyteczna przy rysowaniu tych funkcji
lub przy sprawdzaniu czy dobrze pamiętamy, gdzie są punkty szczególne ich wykresów.
Bywa też użyteczna przy równaniach typu sin x = ą1.
Rozwiążmy równanie cos2 2x = 1
cos2 2x = 1 Ð!Ò! cos 2x = Ä…1 Ð!Ò! sin 2x = 0
kĄ
Ð!Ò! 2x = kÄ„ Ð!Ò! x = , k " C.
2
5
Niezwykle istotne jest pamiętanie, że zbiór wartości funkcji sinus i cosinus to przedział
-1, 1 . Takiej własności nie mają funkcje tangens i cotangens  one mogą przyjmować do-
wolne wartości.
Wyznaczmy zbiór wartości funkcji f (x) = sin2 x - sin x.
Podstawiając t = sin x mamy parabolę f (t) = t2 - t = t(t - 1) obciętą do prze-
działu -1, 1 (bo takie są wartości t = sin x). Aby ustalić jakie wartości przyjmuje
ona w tym przedziale liczymy wartości w wierzchołku i w końcach przedziału
1 1
f (tw) = f = -
2 4
f (-1) = 2
f (1) = 0.
Zatem zbiór wartości to przedział -1, 2 .
4
6
Szczerze radzę nauczyć się podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych na pamięć.
Oczywiście można je sprawdzać w tablicach, ale trzeba pamiętać, że jednym z elementów
każdego egzaminu jest walka z czasem. Na wertowanie tablic tracimy cenny czas, poza tym
Ä„
o wiele trudniej jest się pomylić, gdy wiemy, ile wynosi sin , niż gdy tego nie wiemy, a
6
przepisujemy z tabelki.
Są różne sposoby pamiętania tych wartości. Na pewno trzeba zapamiętać, że sinus/cosinus
"
Ä„ Ä„ 1 3
kątów i to liczby i . Która liczba, do którego kąta, i do której funkcji? Najlepiej jest
3 6 2 2
zapamiętać, że dla kątów ostrych sinus jest rosnący, a cosinus malejący, więc musi być:
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
"
Ä„ 1 Ä„ 3
sin = sin =
6 2 3 2
"
Ä„ 3 Ä„ 1
cos = cos = .
6 2 3 2
"
"
1 3
"
Podobnie jest z tangensem i cotangensem tych kątów. Są to liczby 3 i = . Która
3
3
kiedy?  jak poprzednio: tangens jest rosnÄ…cy, cotangens malejÄ…cy. Zatem
"
"
Ä„ 3 Ä„
tg = tg = 3
6 3 3
"
"
Ä„ Ä„ 3
ctg = 3 ctg = .
6 3 3
Do tego jeszcze, dość łatwe do zapamiętania
"
Ä„ Ä„ 1 2
"
sin = cos = =
4 4 2
2
Ä„ Ä„
tg = ctg = 1.
4 4
Akurat te równości łatwo sobie odtworzyć pamiętając o tym, że są to funkcje trygonome-
tryczne w połówce kwadratu.
2
1
Ä„
4
1
7
Ciekawostka:
x 0ć% 30ć% 45ć% 60ć% 90ć%
" " " " "
0 1 2 3 4
sin x
2 2 2 2 2
8
Ä„
Okazuje się, że można również dokładnie wyliczyć funkcje trygonometryczne kątów =
5
2Ä„
36ć% i = 72ć%. Są one równe
5
" "
Ä„ 1 + 5 Ä„ 10 - 2 5
cos = sin =
5 5 4
"4 "
2Ä„ 5 - 1 2Ä„ 10 + 2 5
cos = sin =
5 4 5 4
Jeżeli ktoś jest ciekawy jak to się robi to niech zajrzy na http://www.zadania.info/3024938.
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
9
Wiemy, że jeżeli a = sin ą i b = cos ą to a2 + b2 = 1 (jedynka trygonometryczna). Okazuje
się, że jest też na odwrót: dane liczby a i b są sinusem i cosinusem pewnego kąta wtedy i
tylko wtedy, gdy a2 + b2 = 1.
m = sin x
Dla jakich wartości m układ równań ma rozwiązanie?
2m = cos x
Zgodnie z tym, co powiedzieliśmy, układ będzie miał rozwiązanie jeżeli
"
1 5
m2 + (2m)2 = 1 Ð!Ò! m2 = Ð!Ò! m = Ä… .
5 5
10
Zastanówmy się jak na komputerze narysować okrąg x2 + y2 = 1? Nie jest to wykres funkcji,
więc robi się to używając tzw. postaci parametrycznej:
(x, y) = (cos t, sin t), t " R.
Z jedynki trygonometrycznej jest jasne, że punkty tej postaci leżą na okręgu jednostkowym
i gdy t zmienia się w przedziale 0, 2Ą to obiegają one cały okrąg.
(cos(t),sin(t))
sin(t)
1
t
cos(t)
Gdy t rośnie/maleje poza tym przedziałem to zaczynamy ponownie obiegać okrąg (z
okresowości sinusa/cosinusa). Geometrycznie t jest miarą kąta (w radianach) pomiędzy
odcinkiem łączącym punkt (x, y) z początkiem układu (0, 0) a osią Ox. Dla wielu osób to
jest najprostszy sposób na zapamiętanie jakie są znaki sinusa i cosinusa w poszczególnych
ćwiartkach  wystarczy pamiętać, że pierwsza współrzędna punktu (x, y) na okręgu to co-
sinus kąta, a druga to sinus. Znaki tangensa i cotangensa łatwo ustalić pamiętając o definicji
1 sin x
tg x = = .
ctg x cos x
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
19Ä„
Niech t = .
7
19Ä„ 5Ä„
Koniec ramienia po obrocie o taki kąt będzie w II ćwiartce (bo = 2Ą + ).
7 7
Zatem pierwsza współrzędna końca ramienia jest ujemna, a druga dodatnia. Mamy
więc
cos(t) < 0 sin(t) > 0
tg(t) < 0 ctg(t) < 0.
11
Powiedzieliśmy jak sparametryzować okrąg jednostkowy x2 + y2 = 1, a jak sparametryzo-
wać dowolny okrąg (x - a)2 + (y - b)2 = r2? Podobnie:
(x, y) = (a + r cos t, b + r sin t).
A
atwo sprawdzić, że punkty tej postaci rzeczywiście są na tym okręgu.
y y
(a+rcos(t),b+rsin(t))
(a+r cos(t),b+r sin(t))
1
2
r
r2
x x
t
t t
r1
(a,b)
(a,b)
(a,b)
Jeżeli trochę to zmodyfikujemy
(x, y) = (a + r1 cos t, b + r2 sin t),
(x-a)2 (y-b)2
to dostaniemy parametryzację elipsy (spłaszczonego okręgu) + = 1.
2 2
r1 r2
12
Tak zupełnie poza szkolną matematyką, to są jeszcze funkcje
ex - e-x
sinh x =
2
ex + e-x
cosh x = .
2
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Pomimo, że zdefiniowane dość dziwacznie mają one sporo własności podobnych do zwy-
kłych funkcji trygonometrycznych (chociaż nie są okresowe!), np. spełniają równości
cosh2 x - sinh2 x = 1 (jedynka hiperboliczna)
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
cosh(2x) = cosh2 x + sinh2 x
(sinh x) = cosh x
(cosh x) = sinh x.
x2 y2
SkÄ…d ich nazwa?  parametryzujÄ… one hiperbolÄ™ - = 1:
a2 b2
(x, y) = (Ä…a cosh t, b sinh t).
Wybór znaku na pierwszej współrzędnej odpowiada wyborowi gałęzi hiperboli. Podobień-
stwo tych funkcji do funkcji trygonometrycznych jest dość głębokie, ale żeby o tym mówić,
musielibyśmy wkroczyć w świat liczb zespolonych, a to już temat na inną opowieść.
y y y
y=sinh(x)
+5 +5
y=-b/a
y=b/a
+1 +1
y=cosh(x)
x
-1 +1 -1 +1 x x
a a
-1 -1
-5 -5
13
Tak naprawdę to są jeszcze różne inne funkcje trygonometryczne, o których się nie uczy w
szkole, np. secans i cosecans:
1
sec x =
cos x
1
csc x = .
sin x
Można sobie wyobrazić, że gdy ich używamy to jest jeszcze więcej różnych rzeczy do zapa-
miętania, ale gdy ktoś przez to przebrnie, to potrafią one bardzo upraszczać zapis niektórych
rachunków (gdy są sinusy/cosinusy w mianowniku).
W szkole jest tendencja dokładnie odwrotna, wszystko wskazuje na to, że niedługo znik-
nie ze szkoły funkcja cotangens.
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
14
W jaki sposób kalkulator liczy wartości funkcji trygonometrycznych? Rysuje małe trójkąciki,
mierzy boki i dzieli? Hm, raczej nie. Robi się to z tzw. szeregów potęgowych. Nie wchodząc
w szczegóły, okazuje się, że np.
x3 x5 x7 x9 x11
sin x = x - + - + - + · · ·
3! 5! 7! 9! 11!
x2 x4 x6 x8 x10
cos x = 1 - + - + - + · · · .
2! 4! 6! 8! 10!
Z prawej strony tych równości mamy nieskończone sumy (czyli tzw. szeregi) i należy to tak
rozumieć, że im więcej wyrazów wez
miemy tym mamy lepsze przybliżenie sinusa/cosinusa.
To co jest ważne, to że z prawej strony mamy tylko operacje dodawania, mnożenia, odejmo-
wania i dzielenia (nie tam w ogóle funkcji trygonometrycznych!), a z tym kalkulator radzi
sobie doskonale. Przy okazji, podobnie liczy siÄ™ logarytmy i pierwiastki.
Materiał pobrany z serwisu
10