1 Funkcje trygonometryczne.
1
Przygotowa Izabela Wardach
la
Definicje i w
lasności funkcji trygonometrycznych

Niech b{cdzie dany na p at a
laszczyz
nie XOY dowolny k� skierowany XOP , którego miar�
jest ą. Punkt P (x, y) leży na końcu promienia wodzcego r. Funkcje trygonometryczne
k� (miary k� określamy mast� �
ata ata) epujaco:
y
sin ą = ,
r
x
cos ą = ,
r
y
tg ą = ,
x
x
ctg ą =
y
Miara k� stopniowa - ą = [o] lub lukowa - ą = [1rad] przy czym:
ata
ą[o]
ą[rad] = Ą
180o
Pod nazw� funkcje trygonometryczne rozumiemy funkcje trygonometryczne zmiennej
a
rzeczywistej, tj. funkcje miary lukowej k� Funkcje sin x i cos x określone na przedzia
ata. le
(-", +") s� ograniczone tj.:
a
| sin x| d" 1 cos x d" 1.
Funkja tgx jest określona na zbiorze:
Ą
R - + kĄ , k " C
2
Funkja ctgx jest określona na zbiorze:
R - {kĄ}, k " C
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyk WNT, Warszawa 1994.
lady,
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
Wybrane wartości funkcji trygonomertycznych:
x sin x cos x tgx ctgx
0 0 1 0 -
" "
"
Ą 1 3 3
3
6 2 2 3
" "
Ą 2 2
1 1
4 2 2
" "
"
Ą 3 1 3
3
3 2 2 3
Ą
1 0 - 0
2
Ą 0 -1 0 -
3
Ą -1 0 - 0
2
2Ą 0 1 0 -
Funkcje trygonometryczne s� okresowe. Okresem podstawowym funkcji sin x i cos x jest 2Ą:
a
sin (x + 2kĄ) = sin x, cos (x + 2kĄ) = cos x,
zaś funkcji tan x i ctgx liczba Ą:
tg(x + kĄ) =tgx, ctg(x + kĄ) = ctg(x), k " C.
Funkcja cos(x) jest parzysta:
cos(-x) = cos(x),
zaś pozosta s� nieparzyste:
le a
sin(-x) = - sin(x), tg(-x) = -tgx, ctg(-x) = -ctgx.
Podstawowe zwiazki trygonometryczne:
�
sin x cos x
sin2 x + cos2 x = 1, tgx = , ctgx = .
cos x sin x
Znaki funkcji trygonomertycznych przybierane w odpowiednich przedzia
lach:
OXY sin x cos x tgx ctgx
Ićw. + + + +
IIćw. + - - -
IIIćw. - - + +
IV ćw. - + - -
Wzory redukcyjne:
Uwaga: przy redukcjach k� bierzemy pod uwag� po k� w uk wspó ednych
atów e lożenie ata ladzie lrz�
2
Ą
oraz wielokrotność k� . Przy nieparzystej wielokrotności funkcja przechodzi w kofunkcj�
ata e:
2
Ą Ą
sin + x = cos x cos + x = - sin x
2 2
Ą Ą
sin - x = cos x cos - x = sin x
2 2
sin (Ą + x) = - sin x cos (Ą + x) = - cos x
sin (Ą - x) = sin x cos (Ą - x) = - cos x
3 3
sin Ą + x = - cos x cos Ą + x = sin x
2 2
3 3
sin Ą - x = - cos x cos Ą - x = - sin x
2 2
sin (2Ą + x) = sin x cos (2Ą + x) = cos x
sin (2Ą - x) = sin(-x) = - sin x cos (2Ą - x) = cos(-x) = cos x
Ą Ą
tg + x =-ctgx ctg + x =-tgx
2 2
Ą Ą
tg - x =ctgx ctg - x =tgx
2 2
tg(Ą + x) =tgx ctg(Ą + x) =ctgx
tg(Ą - x) =-tgx ctg(Ą - x) =-ctgx
3 3
tg Ą + x =-ctgx ctg Ą + x =-tgx
2 2
3 3
tg Ą - x =ctgx ctg Ą - x =tgx
2 2
tg(2Ą + x) =tgx ctg(2Ą + x) =ctgx
tg(2Ą - x) =tg(-x)=-tgx ctg(2Ą - x) =ctg(-x)=-ctgx
Funkcje trygonometryczne sumy dwóch zmiennych:
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y. (1)
Ą
Podstawiajac we wzorze (1) y = + z otrzymamy:
�
2
cos (x + z) = cos x cos z - sin x sin z. (2)
Dzielac (1) przez (2) otrzymamy:
�
tgx + tgy
tg(x + y) = ,
1 - tgx � tgy
a (2) przez (1) otrzymamy:
ctgx � ctgy - 1
ctg(x + y) = ,
ctgx + ctgy
3
Funkcje trygonometryczne różnicy dwóch zmiennych:
Podstawiajac we wzorach (1) i (2) y = -z otrzymamy:
�
sin (x - z) = sin x cos z - cos x sin z,
cos (x - z) = cos x cos z + sin x sin z.
Dzielac odpowiednie wyrażenia przez siebie otrzymamy:
�
tgx - tgz
tg(x - z) = ,
1 + tgx � tgz
ctgx � ctgy + 1
ctg(x - z) = .
ctgy - ctgx
Funkcje trygonometryczne wielokrotności k�
ata:
Podstawiajac we wzorach (1) i (2) y = x otrzymamy:
�
sin (2x) = 2 sin x cos x,
cos (2x) = cos2 x - sin2 x.
Dzielac odpowiednie wyrażenia przez siebie otrzymamy:
�
2tgx
tg(2x) = ,
1 - tg2x
ctg2x - 1
ctg(2x) = .
2ctgx
Sumy i rożnice funkcji trygonometrycznych:
Ł
Dodajac stronami wzory na sin (x + y) oraz sin (x - y) otrzymamy:
�
ą + � ą - �
sin ą + sin � = 2 sin cos ,
2 2
gdzie:
ą = x + y, � = x - y.
Podobnie otrzymamy:
ą + � ą - �
sin ą - sin � = 2 cos sin ,
2 2
ą + � ą - �
cos ą + cos � = 2 cos cos ,
2 2
ą + � ą - �
cos ą - cos � = -2 sin sin ,
2 2
sin (ą + �)
tgą + tg� = ,
cos ą cos �
sin (ą - �)
tgą - tg� = ,
cos ą cos �
4
sin (ą + �)
ctgą + ctg� = ,
sin ą sin �
sin (ą - �)
ctgą - ctg� = - ,
sin ą sin �
Równania i nierówności trygonometryczne:
�
równanie rozwiazanie
sin x = a x1 = x0 + 2kĄ x2 = Ą - x0 + 2kĄ
cos x = a x1 = x0 + 2kĄ x2 = -x0 + 2kĄ
tgx = a x = x0 + kĄ
ctgx = a x = x0 + kĄ
5