ARKUSZ 4. Funkcje trygonometryczne
1. Sprawdzić tożsamości trygonometryczne:
cos x-cos 3x
a) = tg 2x,
sin 3x-sin x
3
b) sin6 x + cos6 x = 1 - sin2 2x,
4
sin 2x cos x x
c) · = tg .
1+cos 2x 1+cos x 2
2. Rozwiązać równania:
a) cos 3x = cos x, g) logsin x 4 = -2,
3
2 "
b) sin x + cos x = 1,
2cos x
h) = 2,
2sin2 x
c) cos2 2x = 1,
2 2
i) 3sin x - 3cos x = 2,
d) sin x + sin 2x + sin 3x = 0,
3
j) sin x sin 2x = cos x,
e) tg x + tg 2x - tg 3x = 0,
2

Ä„
f) tg - x + tg x = 0, k) tg x + ctg x = 4 sin 2x.
4
3. Rozwiązać nierówności:
"
3
a) sin x > , h) cos x < a,
2
b) cos x < -1, i) tg x > a,
2
c) sin x < cos x, j) ctg x < a,
1 1
d) cos2 x < , k) sin3 x cos x - cos3 x sin x ,
2 4
"
e) cos x + tg x < 1 + sin x,
l) cos2 x - cos x sin x, x " 0, 2Ä„ ,
2
"
f) tg 2x - ctg 2x > ,
Å‚) cos x ctg 2x 0,
3
cos 2x
g) sin x > a, m) < 1, x " (0, Ä„).
cos x
4. Sporządzić wykresy funkcji:
1 1
a) f(x) = sin x, d) f(x) = ,
2 sin x
b) f(x) = sin 2x, e) f(x) = cos x + | cos x|,
c) f(x) = | sin x| + | cos x|, f) f(x) = tg x + | tg x|.
2k-3
5. Dla jakich k " Z równanie sin 2x = ma rozwiąznie?
k-4

8 3
6. Obliczyć sin 2x, jeżeli ctg x = - oraz x " Ą, 2Ą .
15 2
7. Uprościć wyrażenie

sin2 Ä…(1 + ctg Ä…) + cos2 Ä…(1 + tg Ä…).
21
8. Dla jakich wartości ą " 0, Ą równanie
x2 sin Ä… + x + cos Ä… = 0,
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
9. Niech f(a) oznacza liczbę pierwiastków rzeczywistych równania
2x2 - 4x sin a + 1 = 0,
gdzie a " 0, Ą jest parametrem. Funkcję f zapisać wzorem i narysować
jej wykres.
10. Dla jakich wartości parametru ą " R równanie
3
x2 + (sin Ä… + cos Ä…)x + sin 2Ä… = 0,
4
ma dwa pierwiastki rzeczywiste o tych samych znakach?
11. Obliczyć:
a) tg 41o · tg 42o · tg 43o · . . . · tg 49o,
b) cos 20o cos 40o cos 80o,
c) cos 36o.
12. Wyznaczyć wartości parametrów a, dla których istnieją funkcje ciągłe

fa : Ia - R, (Ia  przedział) takie, że fa(x) = sin x + a, x " Ia.
22