FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
1. Obliczyć:
2 2
a) cos 120° - sin 120°
b) sin 1000°
2 2
c) cos 105° - sin 105°
2
d) sin x + cos x je\
eli sin x - cos x = 1
Ä…
3
e) cos jeśli cos ą = '" ą " (Ą ; 2Ą)
2
5
f) log 4sin135°
cos100°
g)
sin10°
h) cos 72° jeÅ›li sin 12° = p
i) log3 tg 30°
3
3
-
j) tg Ä… , gdy sin Ä… = i Ä… "(Ä„ ; Ä„)
5
2
4 Ä„
k) sin 2ą , jeśli sin ą = '" ą " ( ; Ą )
5
2
4 4
l) sin x + cos x je\
eli sin 2x = 0,2
2 Ä„ Ä„
( ; )
2
Å‚) tg Ä… je\
eli sin Ä… - cos Ä… = '" Ä… "
4 2
Ä„ 3
m) cos Ä… je\
eli tg Ä… = 2 i Ä… "
( ; Ä„ )
2 2
1 1 1
1- + - .....
3 9 27
n)
0,(1) + sin 690°
Ä„ 3
3
-
( ; Ä„ )
o) sin ą i cos ą jeśli sin 2ą = '" ą "
5
2 4
tg 225° - 2cos 480° + 2sin 300°
p)
tg15°
13Ä„
r) sin
12
1 3Ä„
s) cos 3x + cos x je\
eli sin x = - i x " ( Ä„ ; )
3 2
5 Ä„
t) sin Ä„ - log ctg
6 3
3
2.Rozwiązać równanie:
a) logsin x 1 = 2
2
1
b) sin 3x  sin x = cos 2x
c) sin x = sin 2x
4 4
d) sin x + cos x = cos 4x
2
e) 1 + 3cos x  sin x = 0
2
f) 4sin x = 2cos x-1
2 2
g) 4sin x + 5 Å" 4cos x = 12
h) sin 3x  cos x = 0
cos x
i)
=1 + sin x
1- sin x
2
j) 3sin x = 2cos x
k) sin x  cos 2x = 1
l) cos x + sin x = 0
1 1 2
Å‚) 1+ + + ... =
2
2sin x 4sin x sin x
2
1
m) 2- sin x =
2
Ä„
n) cos x  cos (x - ) = sin 3x '" x " ( -Ä„ ; Ä„ )
2
2 2
o) (sin x  cos x ) + tg x = 2sin x
4
p) ćł tg x + ctg x ćł=
3
3 3
1
r) sin x - cos x = 1 + sin 2x
2
Ä„
s) ctg ( Ä„ - 2x ) = ctg ( 2x - )
3
t) cos 2x + cos 4x = cos 3x
u) ćłcos xćł = cos x + 2sin x '" x " < 0 ; 2Ą >
1
w) tg x = tg
x
3. Rozwiązać nierówności:
a) sin x > cos x '" x " < -Ä„ ; Ä„ >
2
b) sin x -1 e" 0
2 3 4
c) cos x + cos x + cos x + .... e" - 1  cos x
d) logcosxsin x e" 1 '" x " (0 ; 2Ä„ )
e) 2sin x  1 < 0 '" x " ( 0 ; Ä„ )
f) log sin2 x > 2 '" x " < 0 ; 2Ä„ >
0,5
Ä„
g) cos ( Ä„ - x) d" sin ( + x )
2
2
x
h) g [ f (x) ] e" 1 je\
eli f (x) = 3 i g (x) = sin x
i) ćł tg 2x ćł d" 1
2 3
j) cos x + cos x + ....< 1 + cos x '" x " ( 0 ; 2Ä„ )
1
sin x
k) 2 >
2
2 2
l) sin x e" cos x
1
4sin x
Å‚) 2 e" 2 '" x " < 0 ; 2Ä„ >
sin x
1 2
sin x-2cos x+1
2
+
log
m) ëÅ‚ öÅ‚ d" 0, 75 '" x " ( Ä„ ; 2Ä„ )
ìÅ‚ ÷Å‚ 2 3
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3
n) ( 4sin x) logsin x 2 < logsin x (4sin3 x)
(tg x+1)
log
3
2
ëÅ‚ öÅ‚
o) )# 1'" x "(0;2Ä„ )
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
4. Narysować wykres funkcji:
a) y = sin 2x Å" tg x
2
x "(0;2Ä„ )
b) f (x)= cos - sin x sin x , dla
f (x)= 1- sin 2x
c)
d) f (x)= 1+ cos 2x
1
ëÅ‚cos 2 2
f (x)= 2xöÅ‚ -1
e)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
f (x)= sin(- 2x)'" x "(0;Ä„ )
f)
2
g) y = 2sin 2x
h) y = 2cos 2x
cos x
i) f (x)=
cos x
sin x
j) f (x)=
sin x
k) f (x)= sin x -1 dla x " 0;2Ä„
2
l) f (x)= sin x + cos x cos x dla x " 0;2Ä„
Å‚) f (x)= sgn(sin x)
m) f (x)= [sin x]
3
1
n) f (x)= (sin x + sin x )
2
Ä„
öÅ‚
f (x)= 1- 2sinëÅ‚ 2x - ÷Å‚
o) ìÅ‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2
p) f (x)= (sin x + cos x)
4 4
y = cos x - sin x
r)
s) f (x)= 2 cos x + cos x
3
t) y = -cosëÅ‚ Ä„ - xöÅ‚ '" x " -Ä„;2Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
y = sin x - cos x '" x " -Ä„;Ä„
u)
w) f (x)= cos - cos x '" x " 0;2Ä„
y) f (x)= -2sin x cos x dla x " - 2Ä„ ;2Ä„
x sin x
5. Wykazać, \
e funkcja określona wzorem f (x)= jest nieparzysta.
2
x +1
6. Uprościć wyra\
enie:
1+ sin 2x
a)
2
(sin x + cos x)
3 2 3 2
3
a ctg Ä„ + b cos Ä„
4
b)
2 2 2
Ä„ 3
a sin + absin Ą - b cosĄ
2 2
20 13Ä„ 19
c) x = 3sin Ä„ - 3tg + 2cos Ä„
6 4 3
sinÄ…
d) x = ctgÄ… +
1+ cosÄ…
e) x = ctgÄ…15°ctg16°Kctg 74°ctg 75°
f) x = tg 20° + tg 40° +K + tg160° + tg180°
g) x = sin112,5° Å" cos112,5°
sin x
h) y = je\
eli tg x = 2
3 3
sin x + cos x
7. Określić dziedzinę funkcji:
a) f (x)= - 3cos x
b) f (x)= sin x -1
1
c)
f (x)=
cos x +1
1+ 2cos x
d) f (x)= '" x "(0;Ä„ )
log
2
(- sin x)
4
2
e) f (x)= 5sin 2x + sin 2x - 4cos 2x
f) f (x)= (1- 2sin x)- (1- 2cos x)
log1 log1
2 2
8. Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie:
1
a) cos x =
m +1
1- 2m
b) cos x =
2
m
2
2m
c) cos x = Odp. m " 0;")
2
m +1
3m
d) wyznaczyć wszystkie wartości parametru m " R+ dla których równanie cos x =
2
4 - m
Ä„
öÅ‚
ma rozwiÄ…zanie w przedziale 0; ?
÷Å‚
2
Å‚Å‚
9. Sprawdzić to\
samość:
3
a) sin 3x = 3sin x - 4sin x
Ä„ 2Ä„ 1
b) cos Å" cos =
5 5 4
1- cosÄ… + cos 2Ä…
c) = ctgÄ…
sin 2Ä… - sinÄ…
10. Rozwiązać układ równań:
tg x + ctg y = 2
Å„Å‚
a)
òÅ‚ctg x + tg y = 2
ół
Å„Å‚2sin x+cos y = 1
ôÅ‚
2 2
b) òÅ‚
ôÅ‚16sin x+cos y = 4
ół
11. Wyznaczyć zbiór
Å„Å‚ üÅ‚
sin x
ôÅ‚x
A = : *# sin x '" x "(0;2Ä„ )ôÅ‚
òÅ‚ żł
2
ôÅ‚ ôÅ‚
(x -1)
ół þÅ‚
Å„Å‚
sin3 x + cos3 x)#sin x + cos x
12. Rozwiązać układ nierówności
òÅ‚
cos x e" 1
ółlogsin x
13. Znajdz
te wartości parametru ą " 0;Ą dla których rozwiązaniem układu równań
x + y = sinÄ…
Å„Å‚
òÅ‚2x + 3y = 1+ sinÄ… jest para liczb o jednakowych znakach.
ół
Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚
14. Rozwiązać nierówność 4 cos 2x + 2 sin x + cos x + 3 )# 0 '" x "
ìÅ‚ ÷Å‚
log log log
16 4 2
4
íÅ‚ Å‚Å‚
15. Dla jakich wartości k równanie 3cos x + cos 2x =k ma rozwiązanie ?
5
1
16. Znalez
ć takie x i takie a \
e 2cos x = log a +
log a
18. Dla jakich a równanie 3 sin x + cos x = log(a -1)- log(3 - a) ma rozwiązanie.
1
19. Podać liczbę rozwiązań równania sin x = w zale\
ności od parametru.
m -1
2
Ä„
20. Wyznaczyć te wartości ą " 0; , dla których równanie x siną + x + cosą = 0 ma
2
dwa ró\
ne pierwiastki rzeczywiste.
1
21. Rozwiązać graficznie nierówność cos x d" '" x " 0;2Ą .
2
xsinÄ…
Å„Å‚ - y cosÄ… = sinÄ…
22. Rozwiązać układ równań
òÅ‚x cosÄ… + y sinÄ… = 1 z parametrem Ä… .
ół
2 2
Dla jakich wartości ą suma x + y jest a) najmniejsza b) największa c) równa 1,5
2
Ä„
23. Dla jakich wartością " 0; liczby sin ą,cosą, tgą tworzą ciąg geometryczny?
2
3 5
ëÅ‚- Ä„ Ä„
öÅ‚
24. Dla jakich x " ; suma wszystkich wyrazów ciągu tg x, tg x, tg xK jest
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
3
równa ?
2
4 4
25. Udowodnić to\
samość cos x - sin x = cos 2x .
26. Obliczyć stosunek sinusów kątów ostrych w trójkącie o wierzchołkach A (4:2), B (3;0), C
(0;-2)
27. Dla jakich wartości parametru ą "(0;2Ą ) równanie sin 2x = 2cosą ma rozwiązanie?
1
28. Obliczyć miarÄ™ kÄ…ta Ä…-², je\
eli Ä… i ² sÄ… kÄ…tami ostrymi oraz tg Ä…=3 i tg ²= .
2
x 2
29. Dla jakich wartości parametru ą " 0;Ą równanie 3 3 = cos 2ą nie ma rozwiązań?
30. Zbadać liczbę pierwiastków równania tg x +ctg x = m w zale\
ności od parametru m
1
31. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x)= w przedziale
sin x + cos x
Ä„
0;
2
32. Podać wzór na sinus sumy dwóch kÄ…tów. Obliczyć bez pomocy tablic sin 105°.
33. Podać definicję funkcji cotangens. Przedstawić w prostszej postaci wyra\
enie
ëÅ‚cos 4 x - sin 4 xöÅ‚ : x cos x), a nastÄ™pnie obliczyć jego wartość dla x = 15°.
(2sin
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
34. Dla jakich wartości parametru ą " 0;2Ą ciąg o wyrazie ogólnym an = n tgą +1 jest
ciÄ…giem rosnÄ…cym?
2
35. Dla jakich wartości parametru ą równanie x + (4siną)x +1 = 0 ma co najmniej jeden
pierwiastek rzeczywisty.
Ä„ 3
ëÅ‚ öÅ‚
36. Podać sposób konstrukcji kąta ą " ;Ą takiego, \
e sinÄ… =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 5
íÅ‚ Å‚Å‚
6
Ä„
öÅ‚
37. Podać najmniejszy pierwiastek równania tg 2x = sin 4x w przedziale ëÅ‚ ;Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
38. Pokazać, \
e równanie 2sin x + cos x = 3 nie ma rozwiązań.
2
39. Pokazać, \
e równanie cos x + sin x + cos x = 3 nie ma rozwiązań.
40. Podać największy ujemny pierwiastek równania tg3x = sin 6x .
41. Dla jakich wartości parametru ą punkt A (1;-1) nale\
y do wykresu funkcji
x sin Ä…
f (x)= 2 - 3 '" x " R
42. Wykazać, \
e dla ka\
dego x " R zachodzi nierówność sin x + cos x d" 2 .
x - x
Ä„
43. Wyznaczyć x, je\
eli 3 = tg x ; 3 = tg ² ; Ä… - ² =
6
2
44. Dla jakich wartości parametru ą nierówność x - (3cosą)x + cos 2ą > 0 jest prawdziwa
dla ka\
dego x " R ?
101Ä„
45. Która z liczb jest większa: 0,4(9) czy sin ?
6
2 2
46. Dla jakich wartości parametru ą nierówność x - (2siną)x + 2siną - cos ą e" 0 jest
spełniona dla ka\
dego x "(- ";")?
47. WiedzÄ…c, \
e funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest ró\
nowartościowa
ëÅ‚2sin 2 xöÅ‚ = f x)
rozwiązać równanie f (3cos
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
- x
²
48. Dla jakiej wartoÅ›ci parametru ² równanie 3 = cos ma rozwiÄ…zanie dodatnie?
2
x
49. Dla jakiej wartości parametru ą równanie 2 = sin 2ą ma rozwiązania ujemne?
2
50. Dla jakich wartości parametru m równanie msin x + 2sin x - 2m = 0 ma rozwiązanie?
2
51. Dla jakich wartości parametru ą "(0;Ą ) równanie x - 2x + ctgą = 0 ma dwa ró\
ne
pierwiastki rzeczywiste?
52. Znalez
ć miejsca zerowe funkcji f (x)= sin(Ą - x)- 2sin x dla x " 0;2Ą )
53. Podać przedział w którym funkcje f (x)= sin x i g(x)= sin x przyjmuje te same
wartości.
sin(180° - x)Å" cos(x - 270°)
54. Doprowadzić do najprostszej postaci wyra\
enie: y =
sin(180° + x)Å" cos(270° + x)
gdzie x " (0°;90°)
5 5
1
55. Udowodnić, \
e równanie sin x cos x = jest sprzeczne.
30
1
Å„Å‚sin xsin y =
ôÅ‚
56. Dla jakiej wartości parametru a układ równań ma rozwiązanie?
4
òÅ‚
ôÅ‚cos x cos y = a
ół
57. Przeprowadzić dyskusję rozwiązania równania sin x = k x w zale\
ności od parametru k .
58. Wyka\
, \
e równanie logsin x = sin x nie ma rozwiązań w zbiorze R .
7
2 2
59. Znalez
ć zbiór wartości funkcji f (x)= 1- cos x + sin x
83! 83!
60. Niech S = sin Ä„ oraz C = cos Ä„ . Wyka\
, \
e S < C .
1992 1992
sin x -1
61. Znalez
ć miejsce zerowe funkcji f (x)= 2 - 2 .
2 4 6
62. Wykazać, \
e suma nieskończonego ciągu geometrycznego 1- sin x + sin x - sin x +K
1
nie mo\
e być równa .
2
63. Wykazać, \
e dla ka\
dego x " R zachodzi nie równość sin x cos x*# - 0,51.
1
64. Dla jakich wartości x wykres funkcji f (x)= sin 2x - cos x , x " R przecina oś OX ?
2
2 2
65. Znalez
ć zbiór wartości funkcji f (x)= cos x + sin 2x + sin x
66. Wyznaczyć takie ą " 0;2Ą , aby prosta o równaniu 4x - 2y + 3 = 0 była styczna do
2 2
wykresu funkcji y = -x + x + 5cos Ä…
2
Ä„ a - 4
öÅ‚
67. Dla jakich wartoÅ›ci parametru a równanie cos x - sinëÅ‚ x - ÷Å‚
= ma rozwiÄ…zanie?
ìÅ‚
6 2
íÅ‚ Å‚Å‚
68. Narysować zbiór (x, y) takich punktów, \
e log1+sin x (y - cos x) e" 0
2
69. Znalez
ć (bez stosowania pochodnej) największą wartość wyra\
enia w = sin 2x + 2cos x
w przedziale 0;Ä„
3 2
70. Podać rozwiązanie równania 4sin x + 8sin x - sin x = 2 nale\
ące do przedziału
(3Ä„;4Ä„ ).
2 2 2
71. RozwiÄ…\
równanie tg (x + y)+ ctg (x + y)= 1- 2x - x
2(1+ cos x) m
72. Dla jakich wartości parametru m równanie = posiada rozwiązanie?
cos 2x 1- cos x
2
4cos x - sin 2x
73. RozwiÄ…\
równanie = 4cos x . Dla jakiej wartości parametru m równanie
cos x
2
to oraz równanie sin 3x = msin x + (4 - 2 m )sin x mają wspólne rozwiązanie?
74. Znajdz
wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, które spełniają równanie
4 4 2 2 2
tg x + tg y + 2ctg x Å" ctg y = 3 + sin (x + y) .
75. Dla jakich wartości a równanie:
3 5 7 2 3
sin 2x - sin 2x + sin 2x - sin 2x + K = a + a + a +K , gdzie obie strony sÄ… sumami
szeregów geometrycznych ma rozwiązanie?
8
ODPOWIEDZI
2.
1
a) -
2
b)  cos 10°
3
c) -
2
d) 1
" 2 5
e) cos = -
2 5
1
f) -
4
g)  1
1
h) ( 1- p2 - 3p)
2
1
i) -
2
3
j)
4
24
k) sin 2Ä… = -
25
l) 0,98
Å‚)
5
m) cos Ä… = -
5
27
n) -
14
3 10 10
o) sin "= , cos "= -
10 10
p) 13
2 - 6
r)
4
28
s) - 2
27
3
t)
2
2.
Ä„ 3
a)( x = + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ ) '" k " C
4 4
Ä„ 1 Ä„ 5
b) ( x = + kĄ (" x = + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ ) '" k " C
4 2 6 6
Ä„ Ä„
c) ( x = kĄ (" x = + 2kĄ (" x = - + 2kĄ )'" k" C
3 3
9
1
d) x = kĄ '" k" C
2
Ä„
e) x = + kĄ '" k " C
2
f) x= kĄ '" k " C
Ä„ 1
g) x = + kĄ '" k " C
4 2
Ä„ Ä„
h)( x = + 2kĄ (" x = + kĄ )'" k " C
8 4
Ä„
i) ( x = 2kĄ (" x = - + 2kĄ ) '" k " C
2
Ä„ 5
j) ( x = + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ ) '" k " C
6 6
Ä„ 7
k) (x = kĄ (" x = - + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ ) '" k " C
6 6
Ä„
l) x = - + kĄ '" k " C
4
Ä„
ł) x = +2 kĄ '" k " C
2
Ä„
m) x = + kĄ '" k " C
2
Å„Å‚-11Ä„ - 7Ä„ Ä„ Ä„ 5Ä„ Ä„
üÅ‚
n) ; ;- ; ; ;
òÅ‚ żł
12 12 2 12 12 2
ół þÅ‚
Ä„ 1
o) x = + kĄ '" k " C
4 2
Ä„ 1 Ä„ 1
p) ( x = + kĄ (" x = + kĄ ) '" k " C
6 2 3 2
Ä„
r) x = +2 kĄ (" x = Ą +2 kĄ '" k " C
2
Ä„ 1
s) x = + kĄ '" k " C
3 4
-Ą Ą kĄ Ą
öÅ‚
t) ëÅ‚ x = + 2kÄ„ (" x = + (" x = + 2kÄ„ '" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚
3 6 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3
u) x = 0 (" x = Ä„ (" x = 2Ä„
4
2 2 2 2
kĄ - k Ą + 4 kĄ + k Ą + 4
w) x = (" x =
2 2
5.
3 Ä„
a) x " < -Ą ; - kĄ > *" ( ;Ą >
4 4
Ä„
b) x = + kĄ '" k " C
2
c) x " R \ {x " R : x = kĄ '" k " C}
Ä„
d) x " ( 0 ; )
4
Ä„ 5
e) x " ( 0 ; ) *" ( Ä„ ; Ä„ )
6 6
10
Ä„ 5 7 11
ëÅ‚0; öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚Ä„ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f) x " *" Ä„;Ä„ *" ; Ä„ *" Ä„;2Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 6 6 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„
g) x " )#- + 2kĄ ; + 2kĄ *# '" k " C
2 2
Ä„
h) x = log ( + 2kĄ ) '" k " N
2
3
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
i) x " - + k Å" ; + k Å" '" k " C
8 2 8 2
Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 7Ä„
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
j) x " ; *" ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
k) x `" Ą + 2kĄ
2
Ä„ 3
l) x " + kĄ; Ą + kĄ '" k " C
4 4
Ä„ 5 7 11
Å‚) x " (0; > *" < Ä„ ;Ä„ )*" < Ä„; Ä„ >
6 6 6 6
3
m) x " (Ä„; Ä„ >
2
Ä„ 5
ëÅ‚2kÄ„ öÅ‚ ëÅ‚2kÄ„ öÅ‚
n) x " ; + 2kĄ *" + Ą;Ą + 2kĄ '" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„ 7 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
o) x " ; *" Ä„; Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 2 6 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
6. -
5.
17.
Ä„
b) 1 dla x = - + kĄ '" k " C
4
b) a + b
1
c) x = -
2
1
d) x =
sinÄ…
e) x = 1
f) x = 0
2
g) x = -
4
10
h) y =
11
18.
Ä„ 3
a) x " + 2kĄ; Ą + 2kĄ '" k " C
2 2
11
Ä„ üÅ‚
Å„Å‚x
b) D = : x = + 2kĄ '" k " Cżł
òÅ‚
2
ół
þÅ‚
c) . D = {x : x `" Ą + 2kĄ}
2
ëÅ‚ öÅ‚
d) x " Ä„;Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ 5
e) x " + kĄ; Ą + kĄ i k " C
6 6
5 5
ëÅ‚ öÅ‚
f) x " Ą + 2kĄ; Ą + 2kĄ '" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚
6 4
íÅ‚ Å‚Å‚
19.
a) m e" 0
b) m "(- ";-1- 2 *" -1+ 2;")
c) m " 0;")
d) m "(- ";-4 *" (1;2)
20. 
21.
Ä„
ńłx = + kĄ
ôÅ‚
ôÅ‚
4
a) Odp.
òÅ‚
ôÅ‚y = Ä„ + kÄ„
ôÅ‚
ół 4
Ä„ 5 7 11
ńłx = + 2kĄ ńłx = Ą + 2kĄ ńłx = Ą + 2kĄ ńłx = Ą + 2kĄ
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
6 6 6 6
b) Odp. (" (" ("
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚y = 2 Ä„ + 2kÄ„ ôÅ‚y = 4 Ä„ + 2kÄ„ ôÅ‚y = Ä„ + 2kÄ„ ôÅ‚y = 5Ä„ + 2kÄ„
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół 3 ół 3 ół 3 ół 3
22. A = (0;1)*" (1;2)
Ä„ Ä„
23. x " ;
4 2
Ä„ Ä„ Ä„ 5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
24. x " ; *" ; Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 2 2 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ 5Ä„ Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
25. x " *" ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
24 24 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
17
26. k " - ;4
8
1
öÅ‚
27. ëÅ‚a = '" x = Ä„ + 2kÄ„ *" (a = 10 '" x = 2kÄ„ )'" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚
10
íÅ‚ Å‚Å‚
103 301
19. a " ;
101 101
19. Dla m "(- ";0)*" (2;") równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla
m "(0;1)*"(1;2) nie ma rozwiązań.
12
Ä„ ëÅ‚ 5 Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚
20. x " *" ìÅ‚ Ä„;
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚12 2
12
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚
Ä„ 2 4 5
21. x " ; Ä„ *" Ä„; Ä„
3 3 3 3
Ä„ Ä„ 1
22. a)ą = kĄ '" k " C b)ą = + kĄ '" k " C c) ą = + kĄ '" k " C
2 4 2
Ä„
23. Ä… =
4
Ä„
24. x =
6
25. -
65
26.
5
Ä„ 2Ä„ 4 5
27. Ä… " ; *" Ä„; Ä„
3 3 3 3
Ä„
28. Ä…-²=
4
Ä„ 3
29. Ä… = (" Ä… = Ä„
4 4
30. m "(- ";- 2 *" 2;") równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla m "(- 2;2)
równanie nie ma rozwiązań.
2
31. y = ; y = 1
MAX 2 MIN
6 + 2
32.
4
kĄ
33. ctg 2x `" ;ctg 30° = 3
2
Ä„ 3Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚ ëÅ‚Ä„ öÅ‚
34. Ä… " *" ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ 5
35. ą " + kĄ ; Ą + kĄ
6 6
36. -
3Ä„
37. x =
8
38. -
39. -
Ä„
40. x = -
12
Ä„
41.. ą = + 2kĄ '" k " C
2
42. -
13
1
43. x=
2
44. Nie ma takiego Ä….
45. -
Ä„ 5
46. ą " + 2kĄ; Ą + 2kĄ '" k " C
6 6
Ä„ Ä„
47. x = - + 2kĄ (" x = + 2kĄ '" k " C
3 3
48. ² "(-Ä„ + 4kÄ„;Ä„ + 4kÄ„ )'" k " C
Ä„
ëÅ‚kÄ„ öÅ‚
49. ą " ; + kĄ
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
50. - 2;2
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
51. Ä… " ;Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
52. x = 0 (" x = Ä„
53. np 0;Ä„
54. y = 1
55. -
3 3
56. a " - ;
4 4
57. Dla k=0 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla k "(0;1) równanie ma trzy
1
rozwiązania (rozwiązań graficznie np. dla k= ), dla pozostałych wartości k jedno
2
rozwiÄ…zanie.
58. -
59. 0;2
60. -
3
61. x = Ą + 2kĄ '" k " C
2
62. -
63. -
Ä„ Ä„
64. x = + kĄ (" x = + 2kĄ k " C
2 2
65. 0;2
Ä„ 2Ä„ 4Ä„ 5Ä„
Å„Å‚ üÅ‚
66. Ä… " ; ; ; '" k " C
òÅ‚ żł
3 3 3 3
ół þÅ‚
67. a " - 3 -1;1- 3*# *" )# 3 -1; 3 +1
68. -
69. = 1+ 2
w
max
19 23
70. x = Ä„ (" x = Ä„
6 6
14
Ä„ Ä„
öÅ‚
71. ëÅ‚ x = -1, y = 1+ + kÄ„ (" y = 1- + Ä„ '" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
72.. m "(- ";-2)*" (0;")
Ä„ 5
73. x = kĄ (" x = + 2kĄ (" x = Ą + 2kĄ ; m "(0;1)*"{4}*" (5;")
6 6
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
76. x = + kĄ '" y = + kĄ (" x = - + kĄ '" y = - + kĄ '" k " C
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚-1; öÅ‚
77. a "
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
15