ÿþF u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e
Z W i k i p e d i i
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e f u n k c j e m a t e m a t y c z n e , w y r a \a j c e m i d z y i n n y m i s t o s u n k i m i d z y d Bu g o [c i a m i b o k ó w t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o
w z a l e \n o [c i o d m i a r j e g o k t ó w w e w n t r z n y c h .
D o f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w s p ó Bc z e [n i e z a l i c z a s i : s i n u s , c o s i n u s ( i n n a p i s o w n i a : k o s i n u s ) , t a n g e n s , c o t a n g e n s ( k o t a n g e n s ) , s e c a n s
( s e k a n s ) , c o s e c a n s ( k o s e k a n s ) . S e c a n s i c o s e c a n s s o b e c n i e r z a d k o u \y w a n e . F u n k c j s e c a n s w E u r o p i e w p r o w a d z i B M i k o Ba j K o p e r n i k w
d z i e l e D e r e v o l u t i o n i b u s o r b i u m c o e l e s t i u m ( 1 5 4 3 ) [ 1 ] , c h o a r a b s c y m a t e m a t y c y u \y w a l i j e j p r a w d o p o d o b n i e j u \ w I X w i e k u [ 2 ] .
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e z n a j d u j z a s t o s o w a n i e w w i e l u d z i a Ba c h m a t e m a t y k i , i n n y c h n a u k a c h [c i s By c h i t e c h n i c e ; d z i a B m a t e m a t y k i
z a j m u j c y s i t y m i f u n k c j a m i t o t r y g o n o m e t r i a .
S p i s t r e [c i
1 D e f i n i c j e
1 . 1 D e f i n i c j a z e l e m e n t ó w t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o
1 . 2 D e f i n i c j a z a p o m o c k t a s k i e r o w a n e g o
1 . 3 D e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m i e t y m o l o g i a n a z w
1 . 4 D e f i n i c j a z a p o m o c s z e r e g u T a y l o r a
1 . 5 D e f i n i c j a z a p o m o c r ó w n a D f u n k c y j n y c h
1 . 6 D e f i n i c j a z a p o m o c r ó w n a D r ó \n i c z k o w y c h
1 . 7 D e f i n i c j a z a p o m o c i l o c z y n ó w n i e s k o Dc z o n y c h
1 . 8 D e f i n i c j a z a p o m o c u Ba m k ó w Ba Dc u c h o w y c h
2 W Ba s n o [c i
2 . 1 A r g u m e n t r z e c z y w i s t y
2 . 1 . 1 P r z e b i e g z m i e n n o [c i f u n k c j i
2 . 1 . 2 W y k r e s y
2 . 1 . 3 W a r t o [c i d l a t y p o w y c h k t ó w
2 . 1 . 4 W z o r y r e d u k c y j n e
2 . 1 . 5 P o d s t a w o w e t o \s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n e
2 . 1 . 6 P o c h o d n e f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
2 . 1 . 7 C a Bk i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
2 . 2 A r g u m e n t z e s p o l o n y
2 . 2 . 1 P o r ó w n a n i e z f u n k c j a m i a r g u m e n t u r z e c z y w i s t e g o
2 . 2 . 2 C z [c i r z e c z y w i s t e , u r o j o n e , m o d u By i a r g u m e n t y
2 . 2 . 3 W z ó r E u l e r a
2 . 2 . 4 W y k r e s y
2 . 3 Z w i z k i z i n n y m i f u n k c j a m i
2 . 3 . 1 F u n k c j e o d w r o t n e d o t r y g o n o m e t r y c z n y c h
2 . 3 . 2 H a r m o n i k i
2 . 3 . 3 S i n u s c a Bk o w y i c o s i n u s c a Bk o w y
2 . 3 . 4 F u n k c j a s i n c
2 . 3 . 5 F u n k c j e h i p e r b o l i c z n e
2 . 3 . 6 F u n k c j a W e i e r s t r a s s a
3 Z a s t o s o w a n i a
3 . 1 G e o m e t r i a
3 . 1 . 1 T w i e r d z e n i a s i n u s ó w , c o s i n u s ó w i t a n g e n s ó w
3 . 1 . 2 W z ó r n a p o l e t r ó j k t a
3 . 1 . 3 I l o c z y n y w e k t o r ó w
3 . 1 . 4 W s p ó Br z d n e b i e g u n o w e , s f e r y c z n e i w a l c o w e
3 . 1 . 5 G e o m e t r i a s f e r y c z n a
3 . 2 T e o r i a l i c z b
3 . 3 S z e r e g F o u r i e r a
3 . 4 Z a s t o s o w a n i a p o z a m a t e m a t y k
4 H i s t o r i a
4 . 1 E g i p t i B a b i l o n
4 . 2 S t a r o \y t n a G r e c j a
4 . 3 Zr e d n i o w i e c z n e I n d i e
4 . 4 Zw i a t i s l a m u
4 . 5 Zr e d n i o w i e c z n e C h i n y
4 . 6 R e n e s a n s o w a E u r o p a
4 . 7 H i s t o r i a a n a l i z y t r y g o n o m e t r y c z n e j
4 . 8 P o l s k i e n a z w y
5 P r z y p i s y
1 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
6 B i b l i o g r a f i a
7 Z o b a c z t e \
D e f i n i c j e
I s t n i e j e w i e l e r ó w n o w a \n y c h d e f i n i c j i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h , z a r ó w n o b a z u j c y c h n a p o j c i a c h g e o m e t r y c z n y c h , j a k i a n a l i t y c z n y c h .
D e f i n i c j a z e l e m e n t ó w t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e d l a m i a r k t ó w o s t r y c h m o \n a z d e f i n i o w a j a k o s t o s u n k i d Bu g o [c i o d p o w i e d n i c h d w ó c h b o k ó w t r ó j k t a
p r o s t o k t n e g o p r z y k c i e w e w n t r z n y m d a n e j m i a r y [ 3 ] .
P o n i \s z a t a b e l a p o k a z u j e , j a k f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e w y r a \a j s i p r z e z i l o r a z y
d Bu g o [c i o d p o w i e d n i c h b o k ó w t r ó j k t a [ 3 ] .
O z n a c z e n i a b o k ó w i k t ó w u \y t e w d e f i n i c j i z
t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o
s i n u s o z n a c z a n y s i n s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z y p r o s t o k t n e j l e \c e j n a p r z e c i w
k t a o s t r e g o ( n a r y s u n k u ) i p r z e c i w p r o s t o k t n e j
c o s i n u s ( l u b k o s i n u s ) o z n a c z a n y c o s s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z y p r o s t o k t n e j
p r z y l e g Be j d o k t a o s t r e g o i p r z e c i w p r o s t o k t n e j
t a n g e n s o z n a c z a n y t g ( t a n w k r a j a c h a n g l o j z y c z n y c h ) s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z y p r o s t o k t n e j n a p r z e c i w k t a o s t r e g o i
p r z y p r o s t o k t n e j p r z y l e g Be j d o k t a o s t r e g o
c o t a n g e n s ( k o t a n g e n s ) o z n a c z a n y c t g ( l u b t e \ c o t , c o t a n ) s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z y p r o s t o k t n e j p r z y l e g Be j d o k t a o s t r e g o i
p r z y p r o s t o k t n e j n a p r z e c i w k t a o s t r e g o
s e c a n s ( s e k a n s ) o z n a c z a n y s e c s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z e c i w p r o s t o k t n e j i p r z y p r o s t o k t n e j p r z y l e g Be j d o k t a o s t r e g o ;
o d w r o t n o [ c o s i n u s a
c o s e c a n s ( k o s e k a n s ) o z n a c z a n y c o s e c l u b c s c s t o s u n e k d Bu g o [c i p r z e c i w p r o s t o k t n e j i p r z y p r o s t o k t n e j n a p r z e c i w k t a o s t r e g o
; o d w r o t n o [ s i n u s a
D l a m i a r k t ó w w i k s z y c h o d 9 0 ° o r a z d l a u j e m n y c h m i a r k t ó w s k i e r o w a n y c h p o w y \s z d e f i n i c j m o \n a u o g ó l n i , p r z y j m u j c u j e m n
d Bu g o [ o d p o w i e d n i c h o d c i n k ó w .
D a w n i e j u \y w a n o t e \ k i l k u i n n y c h f u n k c j i , t a k i c h j a k s i n u s v e r s u s [ 4 ] :
h a v e r s i n ( a n g . h a l f o f t h e v e r s i n e ) [ 5 ] :
c o s i n u s v e r s u s [ 6 ] :
c z y e x s e c a n s [ 7 ] :
O b e c n i e s o n e n i e u \y w a n e , c h o z a s t o s o w a n i e f u n k c j i h a v e r s i n u p r a s z c z a Bo o b l i c z a n i e o d l e g Bo [c i d w ó c h p u n k t ó w n a p o w i e r z c h n i Z i e m i [ 8 ] .
D e f i n i c j a z a p o m o c k t a s k i e r o w a n e g o
2 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
J e \e l i k t s k i e r o w a n y ± u s t a w i s i t a k , a b y j e g o w i e r z c h o Be k z n a l a z B s i w p o c z t k u
p r o s t o k t n e g o u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h O , p i e r w s z e r a m i k t a p o k r y w a s i z p i e r w s z
d o d a t n i p ó Bo s i u k Ba d u , a j e g o d r u g i e r a m i j e s t d o w o l n p ó Bp r o s t l e \c w p Ba s z c z y zn i e
u k Ba d u , w y c h o d z c z p u n k t u O o r a z z a w i e r a j c p e w i e n p u n k t M = ( a , b ) r ó \n y o d O , t o
f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e m i a r y k t a s k i e r o w a n e g o ± b d o k r e [l o n e w z o r a m i [ 9 ] :
D e f i n i c j a n a r a m i e n i u k t a
g d z i e .
S t o s u n k i t e n i e z a l e \ o d p o Bo \e n i a p u n k t u M n a r a m i e n i u k t a ± ( w y n i k a t o w p r o s t z w Ba s n o [c i p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w , a w p r z y p a d k u
c o s i n u s a i s e c a n s a t a k \e z t w i e r d z e n i a T a l e s a ) .
D e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m i e t y m o l o g i a n a z w
J e \e l i w o k ó B w i e r z c h o Bk a k t a p o p r o w a d z o n y z o s t a n i e o k r g o p r o m i e n i u 1 , c z y l i t z w .
o k r g j e d n o s t k o w y , t o f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e m i a r y k t a o s t r e g o ¸ w y r a \a s i b d
p r z e z d Bu g o [c i o d p o w i e d n i c h o d c i n k ó w [ 1 0 ] :
D l a m i a r k t ó w s p o z a p r z e d z i a Bu [ 0 , À] , k o n i e c z n e j e s t u o g ó l n i e n i e i p r z y j c i e u j e m n e j
D e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m
m i a r y n i e k t ó r y c h o d c i n k ó w , p o d o b n i e j a k w p r z y p a d k u d e f i n i c j i n a t r ó j k c i e
p r o s t o k t n y m .
A l t e r n a t y w n i e , j a k o a r g u m e n t f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h z a m i a s t d Bu g o [c i Bu k u D A m o \n a p r z y j p o l e w y c i n k a O B D A i c h w a r t o [c i d l a
p r o m i e n i a 1 s r ó w n e . D e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m m a s w ó j o d p o w i e d n i k d l a f u n k c j i h i p e r b o l i c z n y c h , g d z i e a r g u m e n t f u n k c j i
d e f i n i o w a n y j e s t j a k o p o l e w y c i n k a h i p e r b o l i , a n a l o g i c z n e g o d o O B D A [ 1 1 ] .
D e f i n i c j a t a b y Ba h i s t o r y c z n i e p i e r w s z a . W y n i k a j z n i e j n a z w y f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h . P i e r w o t n i e t y m i n a z w a m i o k r e [l a n o w Ba [n i e
d Bu g o [c i o d p o w i e d n i c h o d c i n k ó w , n i e k o n i e c z n i e n a o k r g u j e d n o s t k o w y m . D e f i n i c j o p a r t n a t r ó j k c i e p r o s t o k t n y m s t w o r z y l i d o p i e r o
u c z n i o w i e M i k o Ba j a K o p e r n i k a ( z o b a c z s e k c j H i s t o r i a R e n e s a n s o w a E u r o p a n i n i e j s z e g o a r t y k u Bu ) .
S i n u s , c z y l i p o Bo w a d Bu g o [c i c i c i w y A B , b y B w p r a c a c h h i n d u s k i e g o m a t e m a t y k a A r y a b h a t y w s a n s k r y c i e n a z y w a n y a r d h a - j i v a
( " p o Bo w a c i c i w y " ) , c o z o s t a Bo s k r ó c o n e d o j i v a , a n a s t p n i e t r a n s l i t e r o w a n e d o a r a b s k i e g o j i b a ( ) . E u r o p e j s c y t Bu m a c z e , R o b e r t z
C h e s t e r i G e r a r d o z C r e m o n y w X I I - w i e c z n y m T o l e d o p o m y l i l i j i b a z j a i b ( ) , o z n a c z a j c y m " z a t o k " p r a w d o p o d o b n i e d l a t e g o , \e
j i b a ( ) i j a i b ( ) s t a k s a m o p i s a n e p o a r a b s k u ( i n f o r m a c j a o s a m o g Bo s k a c h j e s t g u b i o n a w p i [m i e ) . S i n u s z n a c z y p o Ba c i n i e
w Ba [n i e z a t o k a .
T a n g e n s o z n a c z a p o Ba c i n i e d o t y k a j c y , s t y c z n y , g d y \ o d c i n e k A E j e s t s t y c z n y d o o k r g u .
S e c a n s p o c h o d z i z Ba c i Ds k i e g o s e c a r e d z i e l i , r o z c i n a , r o z s t r z y g a i z n a c z y o d c i c i e . P i e r w o t n i e n a z w a o d n o s i Ba s i d o o d c i n k a O E ,
o d c i n a n e g o p r z e z s t y c z n ( t a n g e n s ) .
C o s i n u s , c o t a n g e n s i c o s e c a n s p o w s t a By p r z e z z Bo \e n i e Ba c i Ds k i e g o c o - ( w s p ó l n i k , t o w a r z y s z ) i s Bó w s i n u s , t a n g e n s i s e c a n s . P i e r w o t n i e
c o s i n u s b y B n a z y w a n y c o m p l e m e n t i s i n u s , c z y l i s i n u s k t a d o p e Bn i a j c e g o . R z e c z y w i [c i e j e s t o n r ó w n y s i n u s o w i m i a r y k t a
d o p e Bn i a j c e g o . P o d o b n i e c o t a n g e n s i c o s e c a n s s r ó w n e t a n g e n s o w i i s e c a n s o w i t e g o k t a . P r z e d r o s t e k " k o - " b y B u \y w a n y w
s t o s u n k u d o c o s i n u s a j u \ w s a n s k r y c i e u A r y a b h a t y .
D e f i n i c j a z a p o m o c s z e r e g u T a y l o r a
3 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e , c h o w y w o d z s i z p o j g e o m e t r y c z n y c h , s r o z p a t r y w a n e
t a k \e w o d d z i e l e n i u o d g e o m e t r i i . W a n a l i z i e m a t e m a t y c z n e j s o n e d e f i n i o w a n e m . i n . z a
p o m o c s z e r e g ó w p o t g o w y c h l u b j a k o r o z w i z a n i a p e w n y c h r ó w n a D r ó \n i c z k o w y c h .
D e f i n i c j e z a p o m o c s z e r e g ó w o k r e [l a j w a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h d l a
d o w o l n y c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h , d l a k t ó r y c h d a s i j e z d e f i n i o w a , p o z w a l a j t e \ n a
u o g ó l n i e n i e t y c h f u n k c j i n a z b i ó r l i c z b z e s p o l o n y c h , k w a t e r n i o n ó w , m a c i e r z y , a n a w e t n a
a l g e b r y o p e r a t o r ó w , p r z e s t r z e n i e u n o r m o w a n e c z y p i e r [c i e n i e n i l p o t e n t n e [ 1 2 ] . D e f i n i c j e t e
s t e \ s t o s o w a n e d o o b l i c z a n i a w a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h .
Z a c h o d z r ó w n o [c i [ 1 3 ] [ 1 4 ] [ 1 5 ] :
F u n k c j a s i n u s i j e j a p r o k s y m a c j e w i e l o m i a n a m i
s t o p n i a 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 i 1 3 u t w o r z o n y m i z
p o c z t k o w y c h w y r a z ó w s z e r e g u T a y l o r a
g d z i e t o l i c z b y B e r n o u l l i e g o
g d z i e t o l i c z b y E u l e r a
K a \d z f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h , n a d o w o l n y m p r z e d z i a l e z a w i e r a j c y m s i w j e j d z i e d z i n i e , m o \n a z d o w o l n d o k Ba d n o [c i j e d n o s t a j n i e
p r z y b l i \a w i e l o m i a n a m i . W o t o c z e n i u z e r a m o g d o t e g o s Bu \y p o c z t k o w e w y r a z y s z e r e g u T a y l o r a . N i e j e s t j e d n a k m o \l i w e j e d n o s t a j n e
p r z y b l i \e n i e w i e l o m i a n a m i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w c a Be j i c h d z i e d z i n i e .
Z o b a c z t e \: t w i e r d z e n i e S t o n e ' a - W e i e r s t r a s s a .
D e f i n i c j a z a p o m o c r ó w n a D f u n k c y j n y c h
T w i e r d z e n i e : I s t n i e j e d o k Ba d n i e j e d n a p a r a f u n k c j i r z e c z y w i s t y c h t a k a , \e d l a k a \d e g o :
T p a r j e s t :
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e s i n u s i c o s i n u s m o \n a z d e f i n i o w a [ 1 6 ] r ó w n i e \ j a k o j e d y n e f u n k c j e o r a z s p e Bn i a j c e p o n i \s z e t r z y
w a r u n k i :
4 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
D e f i n i c j a z a p o m o c r ó w n a D r ó \n i c z k o w y c h
S i n u s i c o s i n u s s r o z w i z a n i a m i s z c z e g ó l n y m i r ó w n a n i a r ó \n i c z k o w e g o
k t ó r e o p i s u j e m . i n . r u c h m a s y p o d w i e s z o n e j n a s p r \y n i e ( t z w . o s c y l a t o r h a r m o n i c z n y , p a t r z H a r m o n i k i ) .
S i n u s j e s t j e d y n y m r o z w i z a n i e m t e g o r ó w n a n i a s p e Bn i a j c y m w a r u n k i :
C o s i n u s n a t o m i a s t j e s t j e d y n y m r o z w i z a n i e m , d l a k t ó r e g o
D e f i n i c j a z a p o m o c i l o c z y n ó w n i e s k o Dc z o n y c h
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e m o \n a t e \ w p r o w a d z i z a p o m o c i l o c z y n ó w n i e s k o Dc z o n y c h [ 1 7 ] :
D e f i n i c j a z a p o m o c u Ba m k ó w Ba Dc u c h o w y c h
N i e k t ó r e f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e m o \n a w y r a z i w p o s t a c i u Ba m k ó w Ba Dc u c h o w y c h [ 1 8 ] [ 1 9 ] [ 2 0 ] :
W Ba s n o [c i
A r g u m e n t r z e c z y w i s t y
P r z e b i e g z m i e n n o [c i f u n k c j i
5 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
W m a t e m a t y c e n a p o z i o m i e s z k ó B [r e d n i c h i w w i e l u p r a k t y c z n y c h z a s t o s o w a n i a c h r o z p a t r u j e s i f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e d l a a r g u m e n t u
b d c e g o t y l k o l i c z b r z e c z y w i s t . M a j o n e w ó w c z a s n a s t p u j c e w Ba [c i w o [c i :
D z i e d z i n s i n u s a i c o s i n u s a j e s t z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
T a n g e n s j e s t o k r e [l o n y w z b i o r z e p o w s t a By m z e z b i o r u w s z y s t k i c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h p r z e z u s u n i c i e l i c z b m a j c y c h p o s t a ,
g d z i e j e s t l i c z b c a Bk o w i t .
C o t a n g e n s j e s t o k r e [l o n y w z b i o r z e p o w s t a By m z e z b i o r u w s z y s t k i c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h p r z e z u s u n i c i e l i c z b o p o s t a c i , g d z i e j e s t
l i c z b c a Bk o w i t .
S i n u s i c o s i n u s s o g r a n i c z o n e : p r z y j m u j w a r t o [c i z p r z e d z i a Bu . T a n g e n s i c o t a n g e n s p r z y j m u j d o w o l n e w a r t o [c i r z e c z y w i s t e ,
[ 2 1 ]
a s e c a n s i c o s e c a n s w a r t o [c i z e z b i o r u .
M a k s y m a l n e w a r t o [c i ( 1 ) s i n u s p r z y j m u j e w p u n k t a c h a c o s i n u s w p u n k t a c h g d z i e j e s t c a Bk o w i t e
M i n i m a l n e w a r t o [c i ( - 1 ) s i n u s p r z y j m u j e w p u n k t a c h a c o s i n u s w p u n k t a c h g d z i e j e s t c a Bk o w i t e
M i e j s c a m i z e r o w y m i s i n u s a i t a n g e n s a s p u n k t y p o s t a c i g d z i e j e s t c a Bk o w i t e
M i e j s c a m i z e r o w y m i c o s i n u s a i c o t a n g e n s a s p u n k t y p o s t a c i g d z i e j e s t c a Bk o w i t e
F u n k c j e s i n u s , t a n g e n s , c o t a n g e n s , c o s e c a n s s n i e p a r z y s t e , a f u n k c j e c o s i n u s i s e c a n s p a r z y s t e :
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e s f u n k c j a m i o k r e s o w y m i . O k r e s e m p o d s t a w o w y m s i n u s a , c o s i n u s a , s e c a n s a i c o s e c a n s a j e s t l i c z b a 2 À a
t a n g e n s a i c o t a n g e n s a À[ 2 2 ] [ 2 3 ] :
g d z i e j e s t l i c z b c a Bk o w i t .
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e s c i g Be i r ó \n i c z k o w a l n e w s w o j e j d z i e d z i n i e . T a n g e n s , c o t a n g e n s , s e c a n s i c o s e c a n s t a k \e s c i g Be i
r ó \n i c z k o w a l n e w s w o i c h d z i e d z i n a c h , l e c z i c h d z i e d z i n y n i e o b e j m u j n i e k t ó r y c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
T a n g e n s i c o s e c a n s p o s i a d a j a s y m p t o t y p i o n o w e w p u n k t a c h p o s t a c i
C o t a n g e n s i s e c a n s p o s i a d a j a s y m p t o t y w p u n k t a c h p o s t a c i
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e z a l i c z a s i d o f u n k c j i e l e m e n t a r n y c h . N i e s o n e j e d n a k f u n k c j a m i a l g e b r a i c z n y m i .
[a d n a z n i c h n i e j e s t r ó \n o w a r t o [c i o w , a z a t e m n i e i s t n i e j f u n k c j e o d w r o t n e d o f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w c a Be j d z i e d z i n i e .
N a t o m i a s t p o o g r a n i c z e n i u z a k r e s u a r g u m e n t ó w f u n k c j i d o p e w n y c h p r z e d z i a Bó w , f u n k c j e t e s t a j s i r ó \n o w a r t o [c i o w e i b d m i a By
f u n k c j e o d w r o t n e .
o r a z s l i c z b a m i p r z e s t p n y m i d l a k a \d e g o a l g e b r a i c z n e g o r ó \n e g o o d 0 . S o n e l i c z b a m i a l g e b r a i c z n y m i d l a w s z e l k i c h
p o s t a c i , g d z i e j e s t l i c z b w y m i e r n [ 2 4 ] .
W y k r e s y
K r z y w e , b d c e w y k r e s a m i f u n k c j i s i n u s , c o s i n u s , t a n g e n s , c o t a n g e n s n a z y w a s i o d p o w i e d n i o : s i n u s o i d , c o s i n u s o i d ( k o s i n u s o i d ) ,
t a n g e n s o i d i c o t a n g e n s o i d ( k o t a n g e n s o i d ) [ 2 3 ] .
C o s i n u s o i d a j e s t s i n u s o i d p r z e s u n i t o w e k t o r . L i n i e p i o n o w e t o a s y m p t o t y . W y k r e s y m o \n a p o w i k s z y p r z e z k l i k n i c i e m y s z k .
S i n u s o i d a : w y k r e s f u n k c j i C o s i n u s o i d a : w y k r e s f u n k c j i
6 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
T a n g e n s o i d a : w y k r e s f u n k c j i C o t a n g e n s o i d a : w y k r e s f u n k c j i
W y k r e s f u n k c j i s e c a n s W y k r e s f u n k c j i c o s e c a n s
W a r t o [c i d l a t y p o w y c h k t ó w
W a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h d l a k t ó w 0 ° , 1 5 ° , 2 2 ½ ° , 3 0 ° , 4 5 ° , 6 0 ° , 9 0 ° [ 2 5 ] :
r a d i a n y
s t o p n i e
n i e o k r e [l o n y
n i e o k r e [l o n y
n i e o k r e [l o n y
7 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
n i e o k r e [l o n y
W z o r y r e d u k c y j n e
W z o r y r e d u k c y j n e p o z w a l a j s p r o w a d z i d o w o l n y r z e c z y w i s t y a r g u m e n t f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n e j d o a r g u m e n t u z p r z e d z i a Bu c z y l i
[ 2 6 ]
:
I w i a r t k a I I w i a r t k a I I I w i a r t k a I V w i a r t k a
A b y z a p a m i t a z m i a n f u n k c j i , m o \n a w s p o m a g a s i n a s t p u j c o b s e r w a c j : f u n k c j a p r z e c h o d z i w s w o j k o - f u n k c j , j e \e l i r o z p a t r y w a n y
k t m a p o s t a b d z , w p r z y p a d k a c h o r a z f u n k c j a n i e u l e g a z m i a n i e . Z n a k i w
p o s z c z e g ó l n y c h w i a r t k a c h u k Ba d u d l a o d p o w i e d n i c h f u n k c j i w p o w y \s z e j t a b e l c e z g o d n e s z e z n a k a m i r e d u k o w a n y c h f u n k c j i w d a n e j
w i a r t c e w g t a b e l i [ 2 1 ] :
I w i a r t k a I I w i a r t k a I I I w i a r t k a I V w i a r t k a
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
w i a r t k i u k Ba d u
+ +
w s p ó Br z d n y c h
M e t o d m n e m o t e c h n i c z n z a p a m i t a n i a z n a k ó w d l a s t o s o w a n y c h n a j c z [c i e j w r e d u k c j i p i e r w s z y c h c z t e r e c h s p o [r ó d p o w y \s z y c h f u n k c j i
j e s t p o p u l a r n y w i e r s z y k ( n a l e \y z w r ó c i u w a g n a l i c z b s y l a b w p o s z c z e g ó l n y c h w e r s a c h 8 , 6 , 8 , 6 ) :
W p i e r w s z e j w i a r t c e s d o d a t n i e ,
W d r u g i e j t y l k o s i n u s ,
W t r z e c i e j t a n g e n s i c o t a n g e n s ,
A w c z w a r t e j c o s i n u s .
W i n n y c h w e r s j a c h p i e r w s z y w e r s b r z m i :
W p i e r w s z e j w i a r t c e s a m e p l u s y .
l u b
W p i e r w s z e j w s z y s t k i e s d o d a t n i e .
P o d s t a w o w e t o \s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n e
Z w i z k i m i d z y f u n k c j a m i t r y g o n o m e t r y c z n y m i s p e Bn i o n e d l a d o w o l n e g o a r g u m e n t u i c h d z i e d z i n y t o t z w . t o \s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n e . S
o n e p r a w d z i w e z a r ó w n o w d z i e d z i n i e r z e c z y w i s t e j , j a k i z e s p o l o n e j . C z s t o u \y w a n e s :
j e d y n k a t r y g o n o m e t r y c z n a [ 2 7 ] :
d e f i n i c j a t a n g e n s a i k o t a n g e n s a z a p o m o c s i n u s a i c o s i n u s a ( p o z w a l a w y p r o w a d z i t o \s a m o [c i d l a t a n g e n s a i k o t a n g e n s a z t o \s a m o [c i
d l a s i n u s a i c o s i n u s a ) [ 2 7 ] :
8 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
w z o r y n a s i n u s i c o s i n u s s u m y i r ó \n i c y k t ó w [ 2 7 ] :
w z o r y n a s u m i r ó \n i c s i n u s ó w i c o s i n u s ó w [ 2 7 ] :
w z o r y n a s i n u s i c o s i n u s p o d w o j o n e g o a r g u m e n t u [ 2 8 ] :
w z o r y n a s i n u s i c o s i n u s p o Bo w y a r g u m e n t u [ 2 9 ] :
W y p r o w a d z e n i e w z o r u
i l o c z y n w p o s t a c i s u m y [ 2 9 ] :
w z o r y n a w y r a \a n i e j e d n y c h f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h p r z e z i n n e [ 2 7 ] [ 3 0 ] :
( R ó w n o [c i z u d z i a Be m t a n g e n s ó w i c o t a n g e n s ó w p o w y \e j n i e s p r a w d z i w e d l a a r g u m e n t ó w , d l a k t ó r y c h t e f u n k c j e n i e s o k r e [l o n e )
P o c h o d n e f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
Z a c h o d z r ó w n o [c i [ 3 1 ] :
M o \n a z n i c h o t r z y m a p o c h o d n e w y \s z y c h r z d ó w :
,
9 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
.
C a Bk i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
P o d s t a w o w e c a Bk i t o [ 3 2 ] :
K a \d a c a Bk a f u n k c j i w y m i e r n e j p o s t a c i j e s t e l e m e n t a r n a , m o \n a j o b l i c z y p r z e z p o d s t a w i e n i e [ 3 3 ]
W ó w c z a s :
A r g u m e n t z e s p o l o n y
U \y w a j c d e f i n i c j i a n a l i t y c z n y c h f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h m o \n a t e f u n k c j e u o g ó l n i m . i n . n a l i c z b y z e s p o l o n e .
P o r ó w n a n i e z f u n k c j a m i a r g u m e n t u r z e c z y w i s t e g o
T a k u o g ó l n i o n e f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e z a c h o w u j w i k s z o [ w Ba s n o [c i z n a n y c h z p r z y p a d k u a r g u m e n t ó w r z e c z y w i s t y c h , w
s z c z e g ó l n o [c i :
D z i e d z i n s i n u s a i c o s i n u s a j e s t z b i ó r l i c z b z e s p o l o n y c h .
T a n g e n s j e s t o k r e [l o n y w z b i o r z e p o w s t a By m z e z b i o r u w s z y s t k i c h l i c z b z e s p o l o n y c h p r z e z u s u n i c i e l i c z b r z e c z y w i s t y c h p o s t a c i ( 2 k -
1 ) À / 2 , g d z i e k j e s t c a Bk o w i t e .
C o t a n g e n s j e s t o k r e [l o n y w z b i o r z e p o w s t a By m z e z b i o r u w s z y s t k i c h l i c z b z e s p o l o n y c h p r z e z u s u n i c i e l i c z b r z e c z y w i s t y c h o p o s t a c i
k À, g d z i e k j e s t c a Bk o w i t e .
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e w d z i e d z i n i e z e s p o l o n e j n a d a l s f u n k c j a m i o k r e s o w y m i o t y m s a m y m o k r e s i e .
Z a c h o w y w a n e s w s z y s t k i e t o \s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n e .
W y j t k i e m j e s t o g r a n i c z o n o [ f u n k c j i s i n u s i c o s i n u s , k t ó r a n i e j e s t z a c h o w a n a : n a p r z y k Ba d c o s i n u s a r g u m e n t u u r o j o n e g o n i e z e r o w e g o j e s t
l i c z b r z e c z y w i s t z a w s z e w i k s z o d 1 . W s z c z e g ó l n o [c i
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e z m i e n n e j z e s p o l o n e j s ( n i e s k o Dc z e n i e ) w i e l o k r o t n e n a c a Be j p Ba s z c z y zn i e ( s i n u s p r z y j m u j e w a r t o [ 0 w p u n k t a c h
p o s t a c i , g d z i e k j e s t l i c z b c a Bk o w i t ) .
C z [c i r z e c z y w i s t e , u r o j o n e , m o d u By i a r g u m e n t y
1 0 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
F u n k c j a C z [ r z e c z y w i s t a C z [ u r o j o n a M o d u B
A r g u m e n t o b l i c z a s i w e d Bu g w z o r ó w :
,
g d z i e t o w a r t o [ o d p o w i e d n i e j f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n e j .
W z ó r E u l e r a
W d z i e d z i n i e z e s p o l o n e j z a c h o d z i z w i z e k , z w a n y w z o r e m E u l e r a :
W y n i k a z n i e g o , i \:
g d z i e
j e s t s t a B, z w a n p o d s t a w l o g a r y t m u n a t u r a l n e g o
j e s t j e d n o s t k u r o j o n
W z o r y t e p o z w a l a j n a n i e m a l m e c h a n i c z n e u p r a s z c z a n i e w y r a \e D t r y g o n o m e t r y c z n y c h .
W y k r e s y
1 1 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
L i c z b y z e s p o l o n e n a p Ba s z c z y zn i e z e s p o l o n e j z o s t a By o z n a c z o n e k o l o r a m i , z g o d n i e z u m o w n y m s c h e m a t e m
p o d a n y m z l e w e j s t r o n y . O d c i e n i e b a r w o k r e [l a j a r g u m e n t , a j a s n o [ m o d u B w y n i k u
F u n k c j a s i n u s
F u n k c j a c o s i n u s
F u n k c j a t a n g e n s
1 2 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
Z w i z k i z i n n y m i f u n k c j a m i
F u n k c j e o d w r o t n e d o t r y g o n o m e t r y c z n y c h
F u n k c j e o d w r o t n e d o t r y g o n o m e t r y c z n y c h n a z y w a n e s t e \ f u n k c j a m i k o Bo w y m i l u b c y k l o m e t r y c z n y m i . Z e w z g l d u n a o k r e s o w o [ f u n k c j i
t r y g o n o m e t r y c z n y c h f u n k c j e t e s d o n i c h o d w r o t n e j e d y n i e w p r z e d z i a l e o b e j m u j c y m j e d e n o k r e s [ 3 4 ] .
N a z w a Z a p i s O d w r o t n a d o D z i e d z i n a P r z e c i w d z i e d z i n a
a r c u s s i n u s
a r c u s c o s i n u s
a r c u s t a n g e n s
a r c u s c o t a n g e n s
a r c u s s e c a n s
a r c u s c o s e c a n s
H a r m o n i k i
F u n k c j e p o s t a c i
,
g d z i e :
A a m p l i t u d a
S i n u s o i d a l n y r u c h p r o s t e g o
É p r d k o [ k t o w a ( p u l s a c j a ) o s c y l a t o r a
Æ f a z a p o c z t k o w a
s n a z y w a n e h a r m o n i k a m i [ 3 5 ] . M a j o n e d u \e z n a c z e n i e w p r a k t y c e , p r z y a n a l i z i e f u n k c j i o k r e s o w y c h . K o m b i n a c j a l i n i o w a k i l k u h a r m o n i k o
t e j s a m e j c z s t o t l i w o [c i j e s t c i g l e h a r m o n i k o t e j s a m e j c z s t o t l i w o [c i .
H a r m o n i k i s t o s o w a n e s w f i z y c e p r z y b a d a n i u w s z e l k i c h z j a w i s k o k r e s o w y c h , n p . d r g a D. W i e l e z t y c h z j a w i s k , n p . m a s a n a s p r \y n i e ,
w a h a d Bo p r z y n i e w i e l k i m w y c h y l e n i u , a l b o o b w ó d r e z o n a n s o w y s p r o w a d z a j s i w w y i d e a l i z o w a n y m p r z y p a d k u ( p r z y b r a k u s t r a t e n e r g i i ) d o
r ó w n a n i a r ó \n i c z k o w e g o :
k t ó r e g o r o z w i z a n i a m i s h a r m o n i k i .
S i n u s c a Bk o w y i c o s i n u s c a Bk o w y
C a Bk i i s n i e e l e m e n t a r n e . I c h o d p o w i e d n i k i w p o s t a c i c a Bk i n i e w Ba [c i w e j z w a n e s s i n u s e m c a Bk o w y m i
c o s i n u s e m c a Bk o w y m [ 3 6 ] .
F u n k c j a s i n c
N i e z n o r m a l i z o w a n a f u n k c j a s i n c ( o d Ba c . s i n u s c a r d i n a l i s ) , z n a n a r ó w n i e \ j a k o f u n k c j a i n t e r p o l u j c a
l u b p i e r w s z a s f e r y c z n a f u n k c j a B e s s e l a j 0 ( x ) .
F u n k c j a t a m a z n a c z e n i e w a n a l i z i e m a t e m a t y c z n e j .
Z n o r m a l i z o w a n a i
Z n o r m a l i z o w a n a f u n k c j a s i n c , o z n a c z a n a t y m s a m y m s y m b o l e m :
n i e z n o r m a l i z o w a n a f u n k c j a s i n c
F u n k c j e h i p e r b o l i c z n e
1 3 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
J a k p o d a n o w s e k c j i D e f i n i c j a z a p o m o c r ó w n a D f u n k c y j n y c h , f u n k c j e s i n u s i c o s i n u s m o \n a
z d e f i n i o w a w n a s t p u j c y s p o s ó b [ 1 6 ] :
J e [l i w a r u n e k W 2 z m i e n i n a :
S i n u s , c o s i n u s i t a n g e n s
h i p e r b o l i c z n y
w ó w c z a s w a r u n k i W 1 , W 2 ' , W 3 b d s p e Bn i o n e p r z e z i n n e f u n k c j e , k t ó r e p r z e z a n a l o g i n a z y w a n e s s i n u s e m h i p e r b o l i c z n y m ( s i n h ) i
c o s i n u s e m h i p e r b o l i c z n y m ( c o s h ) [ 3 7 ] . A n a l o g i c z n i e j a k d l a f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h d e f i n i u j e s i t e \ t a n g e n s , c o t a n g e n s , s e c a n s i
c o s e c a n s h i p e r b o l i c z n y j a k o o d p o w i e d n i e i l o r a z y z u d z i a Be m s i n u s a i c o s i n u s a h i p e r b o l i c z n e g o . I s t n i e j e t a k \e c a Bk o w y s i n u s h i p e r b o l i c z n y i
c a Bk o w y c o s i n u s h i p e r b o l i c z n y .
T a k \e d e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m d l a f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h m a s w ó j o d p o w i e d n i k
h i p e r b o l i c z n y . Z a m i a s t o k r g u j e d n o s t k o w e g o
n a l e \y w z i h i p e r b o l o r ó w n a n i u
N a o k r g u j e d n o s t k o w y m a r g u m e n t f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h o d p o w i a d a B m i e r z e k t a , j e d n a k j e s t o n a
r ó w n a p o l u w y c i n k a k o Bo w e g o , s y m e t r y c z n e g o w z g l d e m o s i O X . P o d o b n i e w p r z y p a d k u f u n k c j i
P o l e z a k r e s k o w a n e g o o b s z a r u
h i p e r b o l i c z n y c h a r g u m e n t o w i o d p o w i a d a p o l e o d p o w i e d n i e g o w y c i n k a . B i o r c d Bu g o [c i o d c i n k ó w , k t ó r e
o d p o w i a d a p o Bo w i e a r g u m e n t u
n a o k r g u o d p o w i a d a By f u n k c j o m s i n u s , c o s i n u s i t a n g e n s , u z y s k u j e s i n a h i p e r b o l i s i n u s , c o s i n u s i
f u n k c j i h i p e r b o l i c z n y c h
t a n g e n s h i p e r b o l i c z n y [ 1 1 ] .
I s t n i e j t e \ i n n e a n a l o g i e . D l a f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h z a c h o d z r ó w n o [c i , p o d a n e w s e k c j i W z ó r
E u l e r a .
A n a l o g i c z n e w z o r y w y s t p u j d l a f u n k c j i h i p e r b o l i c z n y c h [ 3 8 ] :
P o l e z a k r e s k o w a n e g o o b s z a r u
I s t n i e j t e \ a n a l o g i e n i e k t ó r y c h t o \s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n y c h [ 3 8 ] :
o d p o w i a d a p o Bo w i e a r g u m e n t u
f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
P o d o b i e Ds t w a t e w y n i k a j z g Bb o k i e j s y m e t r i i p o m i d z y f u n k c j a m i t r y g o n o m e t r y c z n y m i a h i p e r b o l i c z n y m i , p r z e j a w i a j c e j s i t a k \e p o i c h
u o g ó l n i e n i u n a a r g u m e n t y z e s p o l o n e [ 3 8 ] .
F u n k c j a W e i e r s t r a s s a
Z a p o m o c s z e r e g u t r y g o n o m e t r y c z n e g o d e f i n i o w a n a j e s t f u n k c j a , k t ó r a j e s t c i g Ba ,
j e d n a k n i e j e s t w \a d n y m p u n k c i e r ó \n i c z k o w a l n a [ 3 9 ] :
,
g d z i e a j e s t p e w n l i c z b z p r z e d z i a Bu ( 0 , 1 ) n a t o m i a s t b j e s t l i c z b n i e p a r z y s t , s p e Bn i a j c
w a r u n e k .
Z a s t o s o w a n i a
F u n k c j a W e i e r s t r a s s a
G e o m e t r i a
B e z p o [r e d n i m z a s t o s o w a n i e m f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w g e o m e t r i i e l e m e n t a r n e j j e s t w y z n a c z a n i e d Bu g o [c i b o k ó w l u b k t ó w t r ó j k t a .
P o n i \e j p o d a n o k i l k a i n n y c h z a s t o s o w a D.
1 4 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
T w i e r d z e n i a s i n u s ó w , c o s i n u s ó w i t a n g e n s ó w
P r z y j m u j c s t a n d a r d o w e o z n a c z e n i a , w k a \d y m t r ó j k c i e z a c h o d z n a s t p u j c e r ó w n o [c i :
T w i e r d z e n i e s i n u s ó w , i n a c z e j t w i e r d z e n i e S n e l l i u s a [ 4 0 ] :
T w i e r d z e n i e c o s i n u s ó w , i n a c z e j t w i e r d z e n i e C a r n o t a [ 4 1 ] :
T w i e r d z e n i e t a n g e n s ó w , i n a c z e j t w i e r d z e n i e R e g i o m o n t a n a [ 4 1 ] :
G r a f i c z n y d o w ó d t w i e r d z e n i a c o s i n u s ó w d l a k t ó w
o s t r y c h . O b y d w i e f i g u r y m a j t s a m p o w i e r z c h n i .
W g e o m e t r i i s f e r y c z n e j i s t n i e j e t a k \e t w i e r d z e n i e h a v e r s i n ó w , z w i z a n e z n i e u \y w a n d z i [ f u n k c j t r y g o n o m e t r y c z n
, p o z w a l a j c e n a o b l i c z a n i e o d l e g Bo [c i p o m i d z y d w o m a p u n k t a m i n a s f e r z e [ 8 ] .
W z ó r n a p o l e t r ó j k t a
W z ó r n a p o l e t r ó j k t a o b o k a c h a i b i k c i e p o m i d z y n i m i m i a r y ±:
I l o c z y n y w e k t o r ó w
W g e o m e t r i i i a l g e b r z e l i n i o w e j d e f i n i o w a n e s i l o c z y n y w e k t o r ó w , m . i n . t z w . i l o c z y n s k a l a r n y i i l o c z y n w e k t o r o w y . C z a s e m k o n i e c z n e j e s t
o b l i c z e n i e w a r t o [c i i l o c z y n u s k a l a r n e g o l u b w e k t o r o w e g o d l a w e k t o r ó w o z n a n y c h k i e r u n k a c h z w r o t a c h i d Bu g o [c i a c h . W ó w c z a s f u n k c j e
t r y g o n o m e t r y c z n e s s t o s o w a n e w p o n i \s z y c h w z o r a c h , g d z i e ¸ j e s t k t e m p o m i d z y w e k t o r a m i :
I l o c z y n s k a l a r n y [ 4 2 ] :
I l o c z y n w e k t o r o w y ( w z ó r p o d a j e d Bu g o [ w e k t o r a w y n i k o w e g o ) [ 4 2 ] :
W s p ó Br z d n e b i e g u n o w e , s f e r y c z n e i w a l c o w e
N a j c z [c i e j w g e o m e t r i i s t o s o w a n y j e s t u k Ba d w s p ó Br z d n y c h k a r t e z j a Ds k i c h . N i e k i e d y j e d n a k w y g o d n i e j e s t s t o s o w a i n n e u k Ba d y , w k t ó r y c h
n i e k t ó r e w s p ó Br z d n e s w y z n a c z o n e z a p o m o c k t ó w . D o t a k i c h u k Ba d ó w n a l e \y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h b i e g u n o w y c h , u k Ba d w s p ó Br z d n y c h
s f e r y c z n y c h ( j e g o z a s t o s o w a n i e m s n p . w s p ó Br z d n e g e o g r a f i c z n e ) i u k Ba d w s p ó Br z d n y c h w a l c o w y c h . W ó w c z a s p r z y d a t n e s f u n k c j e
t r y g o n o m e t r y c z n e , m . i n . d o p r z e l i c z a n i a t a k i c h w s p ó Br z d n y c h n a w s p ó Br z d n e k a r t e z j a Ds k i e .
G e o m e t r i a s f e r y c z n a
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e s w a \n y m i n a r z d z i a m i g e o m e t r i i s f e r y c z n e j i j e j z a s t o s o w a D w a s t r o n o m i i , n a w i g a c j i i g e o d e z j i , g d z i e s Bu \ m . i n .
d o r o z w i z y w a n i a t r ó j k t ó w s f e r y c z n y c h .
Z o b a c z t e \: r e g u Ba N e p e r a
T e o r i a l i c z b
C h o t e o r i a l i c z b j e s t d z i e d z i n d a l e k o d a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j , t a k \e t u t a j p o j a w i a j s i f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e . N a p r z y k Ba d [ 4 3 ] :
g d z i e j e s t t z w . f u n k c j M ö b i u s a .
S z e r e g F o u r i e r a
1 5 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
F u n k c j e t w o r z d l a d o w o l n e g o u k Ba d o r t o n o r m a l n y . D z i k i
t e m u f u n k c j e o k r e s o w e s p e Bn i a j c e t z w . w a r u n k i D i r i c h l e t a m o g b y w y r a \o n e w p o s t a c i
t z w . s z e r e g u F o u r i e r a :
P r z e d s t a w i e n i e f a l i p r o s t o k t n e j w p o s t a c i
s z e r e g u h a r m o n i c z n y c h
M o \n a g o r ó w n i e \ w y r a z i z a p o m o c n p . s a m y c h f u n k c j i s i n u s . P o s z c z e g ó l n e s k Ba d o w e t e g o
s z e r e g u n a z y w a n e s h a r m o n i c z n y m i . S z e r e g F o u r i e r a o d g r y w a w i e l k r o l w f i z y c e , t e o r i i d r g a D, a n a w e t t e o r i i m u z y k i ( z o b . s z e r e g
h a r m o n i c z n y ( m u z y k a ) , a l i k w o t y ) .
Z a s t o s o w a n i a p o z a m a t e m a t y k
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e m a j w i e l e z a s t o s o w a D w n a j r ó \n i e j s z y c h d z i e d z i n a c h n a u k i i t e c h n i k i , t a k i c h j a k n a
p r z y k Ba d :
a k u s t y k a : n p . a n a l i z a h a r m o n i c z n a ,
a r c h i t e k t u r a , m e c h a n i k a : b e z p o [r e d n i e z a s t o s o w a n i e d o e l e m e n t ó w t r ó j k t a
a s t r o n o m i a , n a w i g a c j a , k a r t o g r a f i a , o c e a n o g r a f i a : t r y g o n o m e t r i a s f e r y c z n a s t o s o w a n a d o p o w i e r z c h n i
Z i e m i
c h e m i a i k r y s t a l o g r a f i a : o b l i c z a n i e o d l e g Bo [c i p o m i d z y a t o m a m i w k r y s z t a l e ,
e k o n o m i a ( w s z c z e g ó l n o [c i a n a l i z a r y n k ó w f i n a n s o w y c h ) , p r o b a b i l i s t y k a , s t a t y s t y k a , m e t e o r o l o g i a : n p .
K r z y w e L i s s a j o u s
a n a l i z a h a r m o n i c z n a s z e r e g ó w c z a s o w y c h
p o w s t a j p r z e z z Bo \e n i e
e l e k t r y k a i e l e k t r o n i k a : n p . p r z e b i e g i s i n u s o i d a l n e p r d u z m i e n n e g o
s i n u s o i d a l n y c h d r g a D o
f i z y k a : n p . r u c h h a r m o n i c z n y , p r a w o z a Ba m a n i a [w i a t Ba , z o b . t e \ s e k c j H a r m o n i k i t e g o a r t y k u Bu ,
r ó \n e j c z s t o t l i w o [c i w
f o n e t y k a , a n a l i z a j z y k a n a t u r a l n e g o : a n a l i z a h a r m o n i c z n a g Bo s e k
p i o n i e i w p o z i o m i e
g e o d e z j a , i n \y n i e r i a l d o w a : w s z c z e g ó l n o [c i n i w e l a c j a t r y g o n o m e t r y c z n a ,
g e o f i z y k a , s e j s m o l o g i a : b a d a n i e f a l s e j s m i c z n y c h ,
g r a f i k a k o m p u t e r o w a : n p . s y m u l o w a n i e o d b i c i a i z a Ba m a n i a [w i a t Ba w r a y t r a c i n g u
k o m p r e s j a o b r a z u : n p . p r z y k o m p r e s j i J P E G
k r y p t o l o g i a : w z w i z k u z z a s t o s o w a n i a m i w t e o r i i l i c z b ,
o b r a z o w a n i e m e d y c z n e : t o m o g r a f i a k o m p u t e r o w a i U S G w y m a g a j o b l i c z e D t r y g o n o m e t r y c z n y c h
o p t y k a : p r a w o z a Ba m a n i a [w i a t Ba , p o l a r y z a c j a f a l i ,
r o b o t y k a : n p . a l g o r y t m s t e r o w a n i a s i n u s o i d a l n e g o ,
t e o r i a c h a o s u [ 4 4 ] ,
t e o r i a m u z y k i : n p . a l i k w o t y , s z e r e g h a r m o n i c z n y .
H i s t o r i a
T r y g o n o m e t r i a n i e j e s t w y n a l a z k i e m j e d n e g o c z Bo w i e k a a n i n a r o d u . J e j h i s t o r i a l i c z y t y s i c e l a t i j e s t o b e c n a w h i s t o r i i w s z y s t k i c h c y w i l i z a c j i .
E g i p t i B a b i l o n
W s t a r o \y t n y m E g i p c i e i B a b i l o n i e o d w i e k ó w z n a n o t w i e r d z e n i a d o t y c z c e s t o s u n k ó w b o k ó w t r ó j k t ó w
p o d o b n y c h . J e d n a k s p o Be c z e Ds t w a p r z e d G r e k a m i p r a w d o p o d o b n i e n i e w y n a l a z By i d e i m i a r y k t a i w
k o n s e k w e n c j i b a d a By t y l k o b o k i t r ó j k t a [ 4 5 ] .
N i e k t ó r z y b a d a c z e u w a \a j , \e s t a r o \y t n i B a b i l o Dc z y c y z a p i s a l i n a t a b l i c z k a c h p i s m a k l i n o w e g o P l i m p t o n 3 2 2 ,
p o w s t a By c h o k . 1 8 0 0 - 1 9 0 0 l a t p . n . e . , t a b l i c s e k a n s ó w [ 4 6 ] . J e d n a k \e w e d Bu g i n n y c h i n t e r p r e t a c j i m o g By t o b y
t a b l i c e t r ó j e k p i t a g o r e j s k i c h [ 4 7 ] [ 4 8 ] a l b o r o z w i z a n i e r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o [ 4 9 ] [ 5 0 ] .
t a b l i c e P l i m p t o n 3 2 2
S t a r o \y t n a G r e c j a
M a t e m a t y c y s t a r o \y t n e j G r e c j i z n a l i p o j c i e c i c i w y . D l a d a n e g o o k r g u i j e g o c z [c i ( Bu k u ) c i c i w a j e s t p r o s t ,
k t ó r a p r z e c i n a o k r g n a k o Dc a c h Bu k u . S y m e t r a l n a o d c i n k a c i c i w y m i e s z c z c e g o s i w e w n t r z k o Ba p r z e c h o d z i
p r z e z j e g o [r o d e k i d z i e l i Bu k ( i t y m s a m y m k t ) n a p ó B. P o Bo w a d Bu g o [c i c i c i w y t o d l a o k r g u j e d n o s t k o w e g o
s i n u s p o Bo w y k t a , c z y l i . W i e l e z t w i e r d z e D t r y g o n o m e t r y c z n y c h b y Bo z n a n y c h s t a r o \y t n y m
G r e k o m , j e d n a k w p o s t a c i o d p o w i e d n i k ó w o p e r u j c y c h d Bu g o [c i a m i Bu k ó w i c i c i w , a n i e m i a r a m i k t ó w i
s t o s u n k a m i d Bu g o [c i b o k ó w t r ó j k t a [ 5 1 ] .
J a k k o l w i e k w d z i e Ba c h E u k l i d e s a i A r c h i m e d e s a n i e b y Bo t r y g o n o m e t r i i w [c i s By m t e g o s Bo w a z n a c z e n i u , s
j e d n a k t w i e r d z e n i a z a p r e z e n t o w a n e w g e o m e t r y c z n e j f o r m i e , k t ó r e s t a n o w i o d p o w i e d n i k i p e w n y c h
C i c i w a Bu k u
t r y g o n o m e t r y c z n y c h p r a w i w z o r ó w [ 4 5 ] . N a p r z y k Ba d p r o p o z y c j e X I I i X I I I z K s i g i I I E l e m e n t ó w s w z o r e m
u t w o r z o n e g o p r z e z d a n y
c o s i n u s ó w o d p o w i e d n i o d l a k t ó w r o z w a r t y c h i o s t r y c h . T w i e r d z e n i a n a t e m a t d Bu g o [c i c i c i w s z a s t o s o w a n i e m k t .
w z o r u s i n u s ó w . N a t o m i a s t j e d n o z t w i e r d z e D A r c h i m e d e s a j e s t o d p o w i e d n i k i e m w z o r u n a s i n u s s u m y i r ó \n i c y
k t ó w [ 4 5 ] . M a t e m a t y c y z a c z a s ó w A r y s t a r c h a z S a m o s d l a c e l ó w o b l i c z e n i o w y c h u \y w a l i m . i n . t w i e r d z e n i a
1 6 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
m ó w i c e g o , i \ ( w e w s p ó Bc z e s n e j n o t a c j i ) d l a 0 ° < ² < ± < 9 0 ° [ 5 2 ] .
P i e r w s z e t a b l i c e t r y g o n o m e t r y c z n e z o s t a By p r a w d o p o d o b n i e s k o m p i l o w a n e p r z e z H i p p a r c h a ( 1 8 0 - 1 2 5 p . n . e . ) [ 5 3 ] . H i p p a r c h j a k o p i e r w s z y
u Bo \y B t a b l i c e o d p o w i a d a j c y c h s o b i e d Bu g o [c i c i c i w y i Bu k u d l a r ó \n y c h k t ó w [ 5 3 ] [ 5 4 ]
J a k k o l w i e k n i e w i a d o m o d o k Ba d n i e , k i e d y z a c z t o u \y w a p o d z i a Bu k t a p e Bn e g o n a 3 6 0 s t o p n i ,
p r z y p u s z c z a l n i e n a s t p i Bo t o w k r ó t c e p o n a p i s a n i u p r z e z A r y s t a r c h a z S a m o s d z i e Ba O r o z m i a r a c h i
o d l e g Bo [c i a c h S Bo Dc a i K s i \y c a o k . 2 6 0 p . n . e . , g d y \ m i e r z y B o n k t y w u Ba m k a c h k t a p r o s t e g o [ 5 2 ] .
P r a w d o p o d o b n i e p o d z i a B k t a p e Bn e g o n a 3 6 0 s t o p n i s p o p u l a r y z o w a B s i g Bó w n i e d z i k i H i p p a r c h o w i i j e g o
t a b l i c y c i c i w . H i p p a r c h m ó g B p o d c h w y c i i d e t a k i e g o p o d z i a Bu u H i p s i k l a , k t ó r y w c z e [n i e j d z i e l i B d o b n a
3 6 0 c z [c i , z a p e w n e w z o r u j c s i n a b a b i l o Ds k i c h a s t r o n o m a c h [ 5 5 ] . W s t a r o \y t n e j a s t r o n o m i i e k l i p t y k a
z o s t a Ba p o d z i e l o n a n a 1 2 " z n a k ó w z o d i a k u " l u b 3 6 d e k a n ó w . R o c z n y c y k l o k o Bo 3 6 0 d n i m o \n a b y Bo
o t r z y m a , d z i e l c k a \d y z n a k n a 3 0 c z [c i i k a \d y d e k a n n a 1 0 c z [c i [ 5 6 ] . T o d z i k i u \y w a n e m u w B a b i l o n i i
s z e [d z i e s i t k o w e m u s y s t e m o w i l i c z b o w e m u k a \d y s t o p i e D z o s t a B p o d z i e l o n y n a 6 0 m i n u t k t o w y c h , a
k a \d a m i n u t a n a 6 0 s e k u n d k t o w y c h [ 5 6 ] .
M e n e l a o s z A l e k s a n d r i i ( o k 1 0 0 n . e . ) n a p i s a B t r z y k s i g i p o d t y t u Be m S p h a e r i c a . W K s i d z e I s f o r m u Bo w a B
Zr e d n i o w i e c z n e
d l a t r ó j k t ó w s f e r y c z n y c h o d p o w i e d n i k i t w i e r d z e D d o t y c z c y c h t r ó j k t ó w n a p Ba s z c z y zn i e [ 5 1 ] . S f o r m u Bo w a B
p r z e d s t a w i e n i e K l a u d i u s z a
r ó w n i e \ t w i e r d z e n i e n i e p o s i a d a j c e o d p o w i e d n i k a n a p Ba s z c z y zn i e e u k l i d e s o w e j , m ó w i c e , \e d w a t r ó j k t y
P t o l e m e u s z a
s f e r y c z n e s p r z y s t a j c e , j e [l i o d p o w i e d n i e i c h k t y m a j r ó w n e m i a r y ( u t o \s a m i a B p r z y t y m s y m e t r y c z n e
w e r s j e t r ó j k t ó w s f e r y c z n y c h ) [ 5 1 ] . M e n e l a o s z a u w a \y B t a k \e , \e s u m a k t ó w w e w n t r z n y c h t r ó j k t a
s f e r y c z n e g o j e s t z a w s z e w i k s z a o d 1 8 0 ° [ 5 1 ] . K s i g a I I S p h a e r i c a d o t y c z y Ba z a s t o s o w a D g e o m e t r i i s f e r y c z n e j d o a s t r o n o m i i . K s i g a I I I
z a w i e r a Ba " t w i e r d z e n i e M e n e l a u s a " [ 5 1 ] .
P ó zn i e j K l a u d i u s z P t o l e m e u s z ( o k . 9 0 - o k . 1 6 8 n . e . ) r o z b u d o w a B w s w o i m d z i e l e A l m a g e s t k o n c e p c j " c i c i w n a o k r g u " H i p p a r c h a .
T r z y n a s t a k s i g a A l m a g e s t u b y Ba z n a c z c s t a r o \y t n p r a c w d z i e d z i n i e t r y g o n o m e t r i i [ 5 7 ] . J e d n o z j e j t w i e r d z e D j e s t d z i [ z n a n e j a k o
t w i e r d z e n i e P t o l e m e u s z a . S z c z e g ó l n y p r z y p a d e k t w i e r d z e n i a P t o l e m e u s z a p o j a w i a s i t a k \e w P r o p o z y c j i X C I I I d z i e Ba E u k l i d e s a .
T w i e r d z e n i e P t o l e m e u s z a p r o w a d z i d o r ó w n o w a \n i k a w z o r ó w n a s i n u s i c o s i n u s s u m y i r ó \n i c y , c h o o c z y w i [c i e w y r a \o n y c h w j z y k u
c i c i w , a n i e f u n k c j i . P t o l e m e u s z w y p r o w a d z i B p ó zn i e j e k w i w a l e n t w z o r u
P t o l e m e u s z u \y w a B t y c h w y n i k ó w d o s t w o r z e n i a t a b l i c t r y g o n o m e t r y c z n y c h , c h o n i e w i a d o m o , c z y n i e b y By o n e w y p r o w a d z o n e z d z i e Ba
H i p p a r c h a [ 5 7 ] .
A n i t a b l i c e H i p p a r c h a , a n i P t o l e m e u s z a n i e p r z e t r w a By d o c z a s ó w w s p ó Bc z e s n y c h , c h o d z i k i w z m i a n k o m u i n n y c h a u t o r ó w n i e m a
w t p l i w o [c i , \e i s t n i a By [ 5 8 ] .
Zr e d n i o w i e c z n e I n d i e
K o l e j n y i s t o t n y p o s t p w t r y g o n o m e t r i i z o s t a B d o k o n a n y w I n d i a c h . I n d y j s k i m a t e m a t y k i a s t r o n o m
A r y a b h a t a ( 4 7 6 5 5 0 n . e . ) w s w o i m d z i e l e A r y a b h a t a - S i d d h a n t a p o r a z p i e r w s z y z d e f i n i o w a B s i n u s w z n a n e j
d z i s i a j f o r m i e z w i z k u m i d z y p o Bo w k t a i p o Bo w c i c i w y , a t a k \e c o s i n u s , s i n u s v e r s u s ( 1 - c o s x ) i a r c u s
s i n u s . J e g o d z i e Ba z a w i e r a j n a j w c z e [n i e j s z e t a b l i c e t r y g o n o m e t r y c z n e , k t ó r e p r z e t r w a By d o d z i s i a j , z
w a r t o [c i a m i f u n k c j i s i n u s i s i n u s v e r s u s c o 3 . 7 5 ° s t o p n i a o d 0 ° d o 9 0 ° , z d o k Ba d n o [c i d o c z t e r e c h m i e j s c
z n a c z c y c h . J e g o n a z w y n a s i n u s i c o s i n u s s t a By s i p o d s t a w n a z w u \y w a n y c h d z i s i a j ( z o b a c z s e k c j
D e f i n i c j a n a o k r g u j e d n o s t k o w y m ) .
I n n i h i n d u s c y m a t e m a t y c y r o z w i n l i p ó zn i e j p r a c A r y a b h a t y . W V I w i e k u n . e . V a r a h a m i h i r a u \y w a B
w z o r ó w :
P o s g A r y a b h a t y
W V I I w i e k u B h a s k a r a I s t w o r z y B w z ó r p o z w a l a j c y n a p r z y b l i \o n e o b l i c z a n i e s i n u s a d l a k t a o s t r e g o b e z
t a b l i c ( z b Bd e m m n i e j s z y m o d 1 , 9 % ) :
W k o Dc u V I I w i e k u , B r a h m a g u p t a w y p r o w a d z i B w z ó r :
- o r a z w z ó r i n t e r p o l a c y j n y B r a h m a g u p t y n a o b l i c z a n i e w a r t o [c i s i n u s a .
Zw i a t i s l a m u
1 7 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
P r a c e m a t e m a t y k ó w h i n d u s k i c h z o s t a By p ó zn i e j p r z e t Bu m a c z o n e i r o z s z e r z o n e w [w i e c i e m u z u Bm a Ds k i m
p r z e z a r a b s k i c h i p e r s k i c h m a t e m a t y k ó w . W I X w i e k u M u h a m m a d i b n M u s a a l - C h u w a r i z m i o b l i c z y B
d o k Ba d n e t a b l i c e s i n u s a i c o s i n u s a i p i e r w s z e w h i s t o r i i t a b l i c e t a n g e n s a .
W X w i e k u i s l a m s c y m a t e m a t y c y u \y w a l i w s z y s t k i c h s z e [c i u f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h z s e c a n s e m i
c o s e c a n s e m w Bc z n i e , c o w i a d o m o d z i k i p r a c y a u t o r s t w a A b u a l - W a f a . A b u a l - W a f a s t w o r z y B t a b l i c e
s i n u s a z k r o k i e m 0 , 2 5 ° i d o k Ba d n o [c i 8 c y f r d z i e s i t n y c h a t a k \e d o k Ba d n e t a b l i c e t a n g e n s a . Z a u w a \y B
r ó w n i e \ t o \s a m o [:
W s z y s t k i e t e w c z e s n e w y n i k i t r y g o n o m e t r y c z n e p o w s t a w a By g Bó w n i e w z w i z k u z p r a c a m i
a s t r o n o m i c z n y m i , p i e r w s z e t r a k t a t y w y Bc z n i e o t r y g o n o m e t r i i o p u b l i k o w a l i z a p e w n e B h s k a r a A c r y a i
N a s i r a d - D i n T u s i w X I I I w i e k u . N a s i r a d - D i n T u s i s f o r m u Bo w a B i u d o w o d n i B t w i e r d z e n i e s i n u s ó w ,
A l - C h u w a r i z m i s p o r t r e t o w a n y
s k l a s y f i k o w a B t e \ s z e [ r ó \n y c h p r z y p a d k ó w p r o s t o k t n y c h t r ó j k t ó w s f e r y c z n y c h .
n a r a d z i e c k i m z n a c z k u
p o c z t o w y m
W X I V w i e k u G h i y a t h a l - K a s h i s t w o r z y B t a b l i c e s i n u s a z d o k Ba d n o [c i d o c z t e r e c h c y f r
s z e [d z i e s i t k o w y c h ( o d p o w i e d n i k 8 m i e j s c d z i e s i t n y c h ) d l a k a \d e g o s t o p n i a z d o d a t k o w y m i p o p r a w k a m i
d o o b l i c z a n i a w a r t o [c i d l a k a \d e j m i n u t y k t o w e j . U Bu g B e g ( X I V w i e k ) t a k \e p o d a B d o k Ba d n e t a b l i c e s i n u s a i t a n g e n s a s i g a j c e 8 m i e j s c
d z i e s i t n y c h .
Zr e d n i o w i e c z n e C h i n y
T a b l i c e s i n u s ó w A r y a b h a t y z o s t a By p r z e t Bu m a c z o n e n a c h i Ds k i i u m i e s z c z o n e w k l a s y c z n y m d z i e l e K a i y u a n
Z h a n J i n g , s k o m p i l o w a n y m w 7 1 8 r o k u w o k r e s i e d y n a s t i i T a n g [ 5 9 ] . J a k k o l w i e k C h i Dc z y c y c e l o w a l i w
i n n y c h d z i e d z i n a c h m a t e m a t y k i , t a k i c h j a k s t e r e o m e t r i a , c z y a l g e b r a , t o w c z e s n e f o r m y t r y g o n o m e t r i i n i e
r o z p o w s z e c h n i By s i t a k s z y b k o j a k w p r z y p a d k u G r e k ó w , H i n d u s ó w i m u z u Bm a n ó w [ 6 0 ] . P o w o l i t e n s t a n
z a c z B s i z m i e n i a w o k r e s i e d y n a s t i i S o n g ( 9 6 0 - 1 2 7 9 ) , k i e d y c h i Ds c y m a t e m a t y c y z a c z l i k Ba [ w i k s z y
n a c i s k n a p o t r z e b y g e o m e t r i i s f e r y c z n e j [ 5 9 ] . N a p r z y k Ba d S h e n K u o ( 1 0 3 1 - 1 0 9 5 ) u \y w a B f u n k c j i
t r y g o n o m e t r y c z n y c h d o r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w m a t e m a t y c z n y c h z c i c i w a m i i Bu k a m i [ 5 9 ] . J a k t w i e r d z
h i s t o r y c y L . G a u c h e t i J o s e p h N e e d h a m , i n n y m a t e m a t y k , G u o S h o u j i n g ( 1 2 3 1 - 1 3 1 6 ) u \y w a B t r y g o n o m e t r i i
s f e r y c z n e j w k a l k u l a c j a c h k a l e n d a r z o w y c h i a s t r o n o m i c z n y c h [ 6 1 ] [ 5 9 ] .
R e n e s a n s o w a E u r o p a
R e g i o m o n t a n u s b y B p r a w d o p o d o b n i e p i e r w s z y m e u r o p e j s k i m m a t e m a t y k i e m , k t ó r y t r a k t o w a B t r y g o n o m e t r i
j a k o o d d z i e l n d y s c y p l i n m a t e m a t y c z n . N a p i s a B w 1 4 6 4 D e t r i a n g u l i s o m n i m o d u s , a p ó zn i e j T a b u l a e G u o S h o u j i n g ( 1 2 3 1 - 1 3 1 6 )
d i r e c t i o n u m .
F r a n c e s c o M a u r o l i c o w 1 5 5 5 u \y w a B z a p i s u s i n u s [ 6 2 ] , w 1 5 8 3 J . F i n c k u \y B o k r e [l e D t a n g e n s [ 6 3 ] o r a z s e k a n s [ 2 ] . E d m u n d G u n t e r w 1 6 2 0 r o k u
u \y B s Bo w a c o t a n g e n s [ 6 4 ] , w 1 6 2 4 r o k u w p r o w a d z i B o z n a c z e n i e s i n x [ 6 2 ] o r a z t a n x [ 6 3 ] , a w 1 6 3 6 c o s i x o r a z s Bo w o c o s i n u s ( z a m i a s t c o m p l e m e n t i
[ 6 5 ]
s i n u s ) [ 6 5 ] . F r a n ç o i s V i è t e w 1 5 9 0 z n a l a z B w z ó r n a .
O p u s p a l a t i n u m d e t r i a n g u l i s a u t o r s t w a R e t y k a , b y Bo p r a w d o p o d o b n i e p i e r w s z d e f i n i c j f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h w t e r m i n a c h t r ó j k t ó w
p r o s t o k t n y c h z a m i a s t o k r g ó w j e d n o s t k o w y c h ; t a p r a c a z o s t a Ba d o k o Dc z o n a p r z e z V a l e n t i n a O t h o , s t u d e n t a R h e t i c u s a w r o k u 1 5 9 6 .
I s a a c N e w t o n w 1 6 6 5 z n a l a z B r o z w i n i c i e f u n k c j i s i n u s [ 6 2 ] i c o s i n u s [ 6 5 ] w s z e r e g , a L e o n h a r d E u l e r w 1 7 3 4 r o z w i n i c i e f u n k c j i s i n u s w i l o c z y n
n i e s k o Dc z o n y [ 6 2 ] .
W X V I I w i e k u I s a a c N e w t o n i J a m e s S t i r l i n g s t w o r z y l i w z ó r i n t e r p o l a c y j n y N e w t o n a - S t i r l i n g a d l a f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h .
W 1 7 7 0 J o h a n n H e i n r i c h L a m b e r t z n a l a z B r e p r e z e n t a c j t a n g e n s a w p o s t a c i u Ba m k a Ba Dc u c h o w e g o [ 6 3 ] .
H i s t o r i a a n a l i z y t r y g o n o m e t r y c z n e j
M a d h a v a ( o k o Bo r o k u 1 4 0 0 ) s t w o r z y B p o d w a l i n y a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h , o d k r y w a j c r o z w i n i c i e f u n k c j i w
s z e r e g i n i e s k o Dc z o n e . B a d a B o n k o n c e p c j e s z e r e g ó w p o t g o w y c h o r a z p e w n e g o s z e r e g u , n a z w a n e g o p ó zn i e j w E u r o p i e s z e r e g i e m T a y l o r a i
o b l i c z y B r o z w i n i c i a s i n u s a , c o s i n u s a , t a n g e n s a i c o t a n g e n s a . U \y w a j c a p r o k s y m a c j i s i n u s a i c o s i n u s a s z e r e g i e m T a y l o r a , s t w o r z y B t a b l i c e
s i n u s a z 1 2 m i e j s c a m i z n a c z c y m i i c o s i n u s a z 9 m i e j s c a m i z n a c z c y m i . P o d a B t a k \e r o z w i n i c i e À w s z e r e g p o t g o w y . J e g o p r a c e b y By
r o z w i j a n e p r z e z j e g o n a s t p c ó w z e s z k o By a s t r o n o m i c z n e j w K e r a l a a \ d o X V I w i e k u [ 6 6 ] [ 6 7 ] .
I n t r o d u c t i o i n a n a l y s i n i n f i n i t o r u m L e o n h a r d a E u l e r a z 1 7 4 8 r o k u s t w o r z y Bo g r u n t d l a a n a l i t y c z n e g o t r a k t o w a n i a f u n k c j i
t r y g o n o m e t r y c z n y c h w E u r o p i e , d e f i n i u j c j e j a k o n i e s k o Dc z o n e s z e r e g i i w p r o w a d z a j c " w z ó r E u l e r a " . E u l e r u \y w a B s k r ó t ó w z b l i \o n y c h d o
d z i s i e j s z y c h : s i n . , c o s . , t a n g . , c o t . , s e c . , i c o s e c .
J a m e s G r e g o r y , a n a s t p n i e B r o o k T a y l o r b a d a l i s z e r e g i , z n a n e d z i [ j a k o s z e r e g i T a y l o r a . T e n o s t a t n i z n a l a z B r o z w i n i c i a i a p r o k s y m a c j e
w s z y s t k i c h s z e [c i u f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h . D u \e z n a c z e n i e n a t y m p o l u m i a By r ó w n i e \ p r a c e C o l i n a M a c l a u r i n a .
P o l s k i e n a z w y
1 8 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
P o l o n i [c i d o p u s z c z a j z a r ó w n o f o r m y " c o s i n u s , c o t a n g e n s , c o s e c a n s , s e c a n s " , j a k i " k o s i n u s , k o t a n g e n s , k o s e k a n s , s e k a n s " . S Bo w n i k i j z y k a
p o l s k i e g o s k Ba n i a j s i k u t y m d r u g i m j a k o b a r d z i e j n a t u r a l n y m d l a j z y k a p o l s k i e g o [ 6 8 ] , j e d n a k s Bo w n i k i i e n c y k l o p e d i e m a t e m a t y c z n e r a c z e j
n i e u \y w a j f o r m s p o l s z c z o n y c h , p o d o b n i e w n a u k o w e j l i t e r a t u r z e m a t e m a t y c z n e j s o n e r z a d k o s p o t y k a n e .
J u \ p o d k o n i e c X V I I I w i e k u J a n Zn i a d e c k i p r ó b o w a B w p r o w a d z i c a Bk o w i c i e p o l s k i e o d p o w i e d n i k i n a z w i s k r ó t ó w f u n k c j i
t r y g o n o m e t r y c z n y c h [ 6 9 ] :
S i n u s m i a B s i n a z y w a w s t a w a ( s k r ó t w s t )
C o s i n u s d o s t a w a ( s k r ó t d o s t )
T a n g e n s s t y c z n a ( s k r ó t s t y )
C o t a n g e n s d o s t y c z n a ( s k r ó t d o s t y )
S e c a n s s i e c z n a ( s k r ó t s i e )
C o s e c a n s d o s i e c z n a ( s k r ó t d o s i e )
P r o p a g o w a B j e p o t e m n p . A n d r z e j R a d w a Ds k i w d z i e l e " S Bo w n i k w y r a z ó w g r e c k o - Ba c i Ds k i c h w p o z n a w a n i u R o d y u \y w a n y c h . . . b e z p Ba t n i e
d o d a n y d o d z i e Ba T r e [ n a u k i p r z y r o d z e n i a " w y d a n y m w 1 8 5 0 r o k u [ 7 0 ] . Z w a l c z a B t a m w s z e l k i e n a z w y p o c h o d z c e z g r e k i i Ba c i n y .
R e k t o r S z k o By P o l i t e c h n i c z n e j w e L w o w i e , p r o f . M a k s y m i l i a n T h u l l i e ( 1 8 5 3 - 1 9 3 9 ) , p r ó b o w a B p o l s k i e n a z w y f o r s o w a w l a t a c h 1 9 1 8 - 1 9 2 4 [ 7 1 ] .
S t o s o w a B j e w s w o i c h p r a c a c h , n p . w p o d r c z n i k u S t a t y k a b u d o w l i ( w y d . I V , L w ó w 1 9 2 1 ) , j e d n a k n i e p r z y j By s i .
P r z y p i s y
1 . ‘! A s t r o n o m i a i K o s m o s : M i k o Ba j K o p e r n i k ( h t t p : / / w w w . a i k . m a g a z y n . p l
3 8 . ‘! 3 8 , 0 3 8 , 1 3 8 , 2 B o g d a n M i [: T a j e m n i c z a l i c z b a e i i n n e s e k r e t y m a t e m a t y k i .
/ a r t _ s h o w . p h p ? a r t = k o p e r n i k & m = a s t r o n ) .
W a r s z a w a : W y d a w n i c t w a N a u k o w o - T e c h n i c z n e , 1 9 8 9 , s . 1 6 4 . I S B N
N i k o l a u s - K o p e r n i k u s - S t r a ß e ( h t t p : / / w w w . m u s e u m - v i a d r i n a . d e
8 3 - 2 0 4 - 0 9 2 0 - 9 .
/ S t r a s s e n l e x i k o n _ S l u b i c e / s t r a s s e n / k / K o p e r n i k a M i k o l a j a . h t m ) ( d e ) .
3 9 . ‘! P a u l D u B o i s - R e y m o n d . V e r s u c h e i n e r C l a s s i f i c a t i o n d e r w i l l k ¨ u r l i c h e n
2 . ‘! 2 , 0 2 , 1 M a t h w o r l d - h i s t o r y o f s e c a n t ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m F u n c t i o n e n r e e l l e r A r g u m e n t e n a c h i h r e n A e n d e r u n g e n i n d e n k l e i n s t e n
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / S e c / 3 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] . I n t e r v a l l e n . J . R e i n e A n g e w . M a t h : 2 1 3 7 ( 1 8 7 5 ) .
4 0 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 9
3 . ‘! 3 , 0 3 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 0
4 . ‘! M a t h w o r l d V e r s i n e ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / V e r s i n e . h t m l ) . 4 1 . ‘! 4 1 , 0 4 1 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 4 0
[ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
4 2 . ‘! 4 2 , 0 4 2 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 6 5 0
5 . ‘! M a t h w o r l d H a v e r s i n e ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / H a v e r s i n e . h t m l ) .
4 3 . ‘! M a t h w o r l d - M o e b i u s M u [ n ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
[ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
/ N u m b e r T h e o r y F u n c t i o n s / M o e b i u s M u / 0 6 / 0 1 / 0 0 0 1 / ) - S e r i e s
6 . ‘! M a t h w o r l d C o v e r s i n e ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / C o v e r s i n e . h t m l ) .
r e p r e s e n t a t i o n s ] . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
[ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
4 4 . ‘! M a t h w o r l d L o g i s t i c e q u a t i o n s o l u t i o n ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
7 . ‘! M a t h w o r l d E x s e c a n t ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / E x s e c a n t . h t m l ) .
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / S i n / 3 1 / 0 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
[ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
4 5 . ‘! 4 5 , 0 4 5 , 1 4 5 , 2 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s s . 1 5 8 - 1 5 9 .
8 . ‘! 8 , 0 8 , 1 D . Z w i l l i n g e r : ( r e d . ) S p h e r i c a l G e o m e t r y a n d T r i g o n o m e t r y . B o c a
4 6 . ‘! J o s e p h : T h e C r e s t o f t h e P e a c o c k : N o n - E u r o p e a n R o o t s o f M a t h e m a t i c s .
R a t o n , F L : C R C P r e s s , 1 9 9 5 , s s . 4 6 8 - 4 7 1 , § 6 . 4 , s e r i a : C R C S t a n d a r d
2 0 0 0 , s s . 3 8 3 4 .
M a t h e m a t i c a l T a b l e s a n d F o r m u l a e . , z o b . t e \ H a v e r s i n e f o r m u l a w
4 7 . ‘! E v e r t M . B r u i n s : O n P l i m p t o n 3 2 2 , P y t h a g o r e a n n u m b e r s i n B a b y l o n i a n
a n g i e l s k i e j w i k i p e d i i
m a t h e m a t i c s . K o n i n k l i j k e N e d e r l a n d s e A k a d e m i e v a n W e t e n s c h a p p e n
9 . ‘! S Bo w n i k e n c y k l o p e d y c z n y m a t e m a t y k a , s t r . 9 0
P r o c e e d i n g s 5 2 , 1 9 4 9 , s s . 6 2 9 6 3 2 .
1 0 . ‘! R e i n h a r d t , S o e d e r , s t r . 1 8 2 , 1 8 3
4 8 . ‘! E v e r t M . B r u i n s : P y t h a g o r e a n t r i a d s i n B a b y l o n i a n m a t h e m a t i c s : T h e
1 1 . ‘! 1 1 , 0 1 1 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i z j e w , s t r . 2 5 3 e r r o r s o n P l i m p t o n 3 2 2 . S u m e r 1 1 , 1 9 5 1 , s s . 1 1 7 1 2 1 .
1 2 . ‘! w p r z y p a d k u p i e r [c i e n i n i l p o t e n t n y c h s z e r e g T a y l o r a m a t y l k o s k o Dc z o n 4 9 . ‘! E l e a n o r R o b s o n . N e i t h e r S h e r l o c k H o l m e s n o r B a b y l o n : a r e a s s e s s m e n t o f
l i c z b w y r a z ó w r ó \n o d 0 P l i m p t o n 3 2 2 ( h t t p : / / w w w . s c i e n c e d i r e c t . c o m / s c i e n c e ? _ o b = A r t i c l e U R L &
1 3 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 4 1 7 , 4 1 8 _ u d i = B 6 W G 9 - 4 5 8 N D F H - 1 & _ u s e r = 1 0 & _ r d o c = 1 & _ f m t = & _ o r i g = s e a r c h &
1 4 . ‘! R e i n h a r d t , S o e d e r , s t r . 2 9 4 _ s o r t = d & v i e w = c & _ a c c t = C 0 0 0 0 5 0 2 2 1 & _ v e r s i o n = 1 & _ u r l V e r s i o n = 0 &
1 5 . ‘! M a t h w o r l d - S e c a n s - s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m _ u s e r i d = 1 0 & m d 5 = 5 a 9 1 9 5 9 7 2 c 9 6 e a b e 2 6 8 0 2 2 4 b c 5 0 b f f 3 a ) . H i s t o r i a M a t h . .
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / S e c / 0 6 / 0 1 / 0 2 / 0 1 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] . 2 8 . 3 : 1 6 7 - 2 0 6 ( 2 0 0 1 ) ( e n ) .
5 0 . ‘! E l e a n o r R o b s o n . W o r d s a n d p i c t u r e s : n e w l i g h t o n P l i m p t o n 3 2 2
1 6 . ‘! 1 6 , 0 1 6 , 1 R e i n h a r d t , S o e d e r , s t r . 2 9 5
( h t t p : / / l i n k s . j s t o r . o r g
1 7 . ‘! S t a n i s Ba w S a k s , A n t o n i Z y g m u n d : F u n k c j e a n a l i t y c z n e
/ s i c i ? s i c i = 0 0 0 2 - 9 8 9 0 % 2 8 2 0 0 2 0 2 % 2 9 1 0 9 % 3 A 2 % 3 C 1 0 5 % 3 A W A P N L O % 3 E 2 . 0 . C O % 3 B
( h t t p : / / m a t w b n . i c m . e d u . p l / k s t r e s c . p h p ? t o m = 1 0 & w y d = 1 0 & j e z = p l ) .
o r i g i n = c r o s s r e f ) . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y . 1 0 9 . 2 : 1 0 5 1 2 0
W a r s z a w a - L w ó w - W i l n o : 1 9 3 8 , s . 2 9 9 , s e r i a : M o n o g r a f i e M a t e m a t y c z n e
( 2 0 0 2 ) ( e n ) .
t o m 1 0 .
1 8 . ‘! S i n e ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / S i n e . h t m l ) ( e n ) . [ d o s t p 2 s t y c z n i a 5 1 . ‘! 5 1 , 0 5 1 , 1 5 1 , 2 5 1 , 3 5 1 , 4 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s . 1 6 3 .
2 0 0 9 ] .
5 2 . ‘! 5 2 , 0 5 2 , 1 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s . 1 5 9 .
1 9 . ‘! T a n g e n t ( h t t p : / / m a t h w o r l d . w o l f r a m . c o m / T a n g e n t . h t m l ) ( e n ) . [ d o s t p 2
5 3 . ‘! 5 3 , 0 5 3 , 1 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s . 1 6 2 .
s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
5 4 . ‘! J . J . O ' C o n n o r , E . F . R o b e r t s o n : T r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s w : M a c T u t o r
2 0 . ‘! C o t a n g e n t : c o n t i n u e d f r a c t i o n r e p r e s e n t a t i o n ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e ( h t t p : / / w w w - g a p . d c s . s t - a n d . a c . u k / ~ h i s t o r y
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / C o t / 1 0 / ) ( e n ) . [ d o s t p 2 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
/ H i s t T o p i c s / T r i g o n o m e t r i c _ f u n c t i o n s . h t m l ) ( e n ) . 1 9 9 6 .
2 1 . ‘! 2 1 , 0 2 1 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 1
5 5 . ‘! B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s . 1 6 2 .
2 2 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i e j e w , s t r . 6 2 5
5 6 . ‘! 5 6 , 0 5 6 , 1 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s s . 1 6 6 - 1 6 7 .
2 3 . ‘! 2 3 , 0 2 3 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 1 1 4 - 1 1 6
5 7 . ‘! 5 7 , 0 5 7 , 1 B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s s . 1 6 4 - 1 6 6 .
2 4 . ‘! D a v e R u s i n : a l g e b r a i c n u m b e r s q u e r y ( h t t p : / / w w w . m a t h . n i u . e d u / ~ r u s i n
5 8 . ‘! B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . 1 9 9 1 , s s . 1 5 8 1 6 8 .
/ k n o w n - m a t h / 9 8 / a l g _ i n t ) ( e n ) . [ d o s t p 1 2 k w i e t n i a 2 0 0 8 ] .
5 9 . ‘! 5 9 , 0 5 9 , 1 5 9 , 2 5 9 , 3 N e e d h a m : S c i e n c e a n d C i v i l i z a t i o n i n C h i n a . T . 3 . 1 9 8 6 ,
2 5 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 3
s . 1 0 9 .
2 6 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 2
6 0 . ‘! N e e d h a m : S c i e n c e a n d C i v i l i z a t i o n i n C h i n a . T . 3 . 1 9 8 6 , s s . 1 0 8 - 1 0 9 .
2 7 . ‘! 2 7 , 0 2 7 , 1 2 7 , 2 2 7 , 3 2 7 , 4 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 4
6 1 . ‘! G a u c h e t : N o t e S u r L a T r i g o n o m é t r i e S p h é r i q u e d e K o u o C h e o u - K i n g . S .
2 8 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 5
1 5 1 .
2 9 . ‘! 2 9 , 0 2 9 , 1 B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 6
6 2 . ‘! 6 2 , 0 6 2 , 1 6 2 , 2 6 2 , 3 M a t h w o r l d - h i s t o r y o f s i n e ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
3 0 . ‘! S Bo w n i k e n c y k l o p e d y c z n y - m a t e m a t y k a , s t r . 9 3 - 9 4
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / S i n / 3 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
3 1 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 3 9 7
6 3 . ‘! 6 3 , 0 6 3 , 1 6 3 , 2 M a t h w o r l d - h i s t o r y o f t a n g e n t ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
3 2 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 4 2 6
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / T a n / 3 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
3 3 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 4 3 8
6 4 . ‘! M a t h w o r l d - h i s t o r y o f c o t a n g e n t ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
3 4 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 1 1 7
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / C o t / 3 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] .
3 5 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 2 3 7
3 6 . ‘! B r o n s z t e j n , S i e m i e n d i a j e w , s t r . 4 6 5
6 5 . ‘! 6 5 , 0 6 5 , 1 6 5 , 2 M a t h w o r l d - h i s t o r y o f c o s i n e ( h t t p : / / f u n c t i o n s . w o l f r a m . c o m
3 7 . ‘! R e i n h a r d t , S o e d e r , s t r . 2 9 7
1 9 z 2 0 2 0 0 9 - 0 1 - 2 3 1 5 : 0 3
F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e - W i k i p e d i a , w o l n a e n c y k l o p e d i a h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w / i n d e x . p h p ? t i t l e = F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e & p . . .
/ E l e m e n t a r y F u n c t i o n s / C o s / 3 5 / ) . [ d o s t p 1 0 s t y c z n i a 2 0 0 9 ] . 6 9 . ‘! J a n Zn i a d e c k i : T r y g o n o m e t r y a k u l i s t a a n a l i t y c z n i e w y Bo \o n a . W y d . 2 .
6 6 . ‘! J . J . O ' C o n n o r , E . F . R o b e r t s o n : M a d h a v a o f S a n g a m a g r a m m a ( h t t p : / / w w w - 1 8 2 0 .
g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k / ~ h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / M a d h a v a . h t m l ) ( e n ) . W : 7 0 . ‘! M a t e u s z P a s t e r n a k : A n e g d o t y m a t e m a t y c z n e
M a c T u t o r H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e [ o n - l i n e ] . 2 0 0 0 . ( h t t p : / / m p a s t e r n a k . w e l . w a t . e d u . p l / A n e g d o t y % 2 0 . h t m ) . [ d o s t p 1 2 k w i e t n i a
6 7 . ‘! I a n G . P e a r c e : M a d h a v a o f S a n g a m a g r a m m a ( h t t p : / / w w w - h i s t o r y . m c s . s t - 2 0 0 8 ] .
a n d r e w s . a c . u k / h i s t o r y / P r o j e c t s / P e a r c e / C h a p t e r s / C h 9 _ 3 . h t m l ) ( e n ) . W : 7 1 . ‘! R o m a n C i e s i e l s k i , K a t a r z y n a T y Ds k a : [ h t t p : / / r i a d . p k . e d u . p l / ~ n a s z a p o l
M a c T u t o r H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e [ o n - l i n e ] . 2 0 0 2 . / n p 4 0 / s a w i c k i . s h t m l N a s z a P o l i t e c h n i k a : I z y d o r S t e l l a - S a w i c k i ] . [ d o s t p 1 2
6 8 . ‘! h a s Bo c o s i n u s w s Bo w n i k u j z y k a p o l s k i e g o P W N ( h t t p : / / s j p . p w n . p l k w i e t n i a 2 0 0 8 ] .
/ l i s t a . p h p ? c o = c o s i n u s ) . [ d o s t p 1 2 k w i e t n i a 2 0 0 8 ] .
B i b l i o g r a f i a
C a r l B . B o y e r : A H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . W y d . S e c o n d E d i t i o n . J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , 1 9 9 1 . I S B N 0 - 4 7 1 - 5 4 3 9 7 - 7 .
I g o r N . B r o n s z t e j n , K o n s t a n t i n A . S i e m i e n d i a j e w : M a t e m a t y k a , p o r a d n i k e n c y k l o p e d y c z n y . W y d . V I . W a r s z a w a : P W N , 1 9 7 6 .
L i d i a F i l i s t , A r t u r M a l i n a , A l i c j a S o l e c k a : S Bo w n i k e n c y k l o p e d y c z n y m a t e m a t y k a . W y d a w n i c t w o E u r o p a , 1 9 9 8 . I S B N
8 3 - 8 5 3 3 6 - 0 6 - 0 .
L . G a u c h e t : N o t e S u r L a T r i g o n o m é t r i e S p h é r i q u e d e K o u o C h e o u - K i n g . 1 9 1 7 .
G e o r g e G . J o s e p h : T h e C r e s t o f t h e P e a c o c k : N o n - E u r o p e a n R o o t s o f M a t h e m a t i c s . W y d . 2 . L o n d y n : P e n g u i n B o o k s , 2 0 0 0 . I S B N
0 - 6 9 1 - 0 0 6 5 9 - 8 .
F r a n c i s z e k L e j a : F u n k c j e z e s p o l o n e . W a r s z a w a : P W N , 1 9 7 6 .
F r a n c i s z e k L e j a : R a c h u n e k r ó \n i c z k o w y i c a Bk o w y z e w s t p e m d o r ó w n a D r ó \n i c z k o w y c h . W y d . I I I . W a r s z a w a : P W N , 1 9 5 4 .
J o s e p h N e e d h a m : S c i e n c e a n d C i v i l i z a t i o n i n C h i n a : t o m 3 , M a t h e m a t i c s a n d t h e S c i e n c e s o f t h e H e a v e n s a n d t h e E a r t h . T a i p e i :
C a v e s B o o k s , L t d . , 1 9 8 6 .
J . J . O ' C o n n o r , E . F . R o b e r t s o n : T r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s ( h t t p : / / w w w - g a p . d c s . s t - a n d . a c . u k / ~ h i s t o r y / H i s t T o p i c s
/ T r i g o n o m e t r i c _ f u n c t i o n s . h t m l ) ( e n ) . W : M a c T u t o r H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e [ o n - l i n e ] . 1 9 9 6 .
J . J . O ' C o n n o r , E . F . R o b e r t s o n : M a d h a v a o f S a n g a m a g r a m m a ( h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k / ~ h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s
/ M a d h a v a . h t m l ) ( e n ) . W : M a c T u t o r H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e [ o n - l i n e ] . 2 0 0 0 .
I a n G . P e a r c e : M a d h a v a o f S a n g a m a g r a m m a ( h t t p : / / w w w - h i s t o r y . m c s . s t - a n d r e w s . a c . u k / h i s t o r y / P r o j e c t s / P e a r c e / C h a p t e r s / C h 9 _ 3 . h t m l )
( e n ) . W : M a c T u t o r H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s A r c h i v e [ o n - l i n e ] . 2 0 0 2 .
F r i t z R e i n h a r d t , H e i n r i c h S o e d e r : A t l a s m a t e m a t y k i . W a r s z a w a : P r ó s z y Ds k i i S - k a . I S B N 8 3 - 7 4 6 9 - 1 8 9 - 1 .
Z o b a c z t e \
p r z e g l d z a g a d n i e D z z a k r e s u m a t e m a t y k i
c o s i n u s y k i e r u n k o w e
k t m i d z y d w i e m a k r z y w y m i
s i n u s o i d a z a g s z c z o n a
f u n k c j e c y k l o m e t r y c z n e
yr ó d Bo : h t t p : / / p l . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / F u n k c j e _ t r y g o n o m e t r y c z n e
K a t e g o r i e : D o b r e a r t y k u By " T r y g o n o m e t r i a
T s t r o n o s t a t n i o z m o d y f i k o w a n o 1 3 : 5 7 , 2 3 s t y 2 0 0 9 .
T e k s t u d o s t p n i a n y n a l i c e n c j i G N U F r e e D o c u m e n t a t i o n L i c e n s e . ( p a t r z : P r a w a a u t o r s k i e )
W i k i p e d i a ® j e s t z a r e j e s t r o w a n y m z n a k i e m t o w a r o w y m W i k i m e d i a F o u n d a t i o n . M o \e s z p r z e k a z a d a r y p i e n i \n e F u n d a c j i W i k i m e d i a .
Z a s a d y o c h r o n y p r y w a t n o [c i O W i k i p e d i i I n f o r m a c j e p r a w n e
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