WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 1
Działania na liczbach i wyrażeniach
" Wartość bezwzgledna
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
x x 0
�ł
�ł
|x| = .
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
-x x < 0
�ł
ół
Własności:
|x| 0 , |x| = | - x| , -|x| x |x| .
Działania:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
a 0 �! �ł |x| a �! -a x a śł ;
�ł �ł
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
a 0 �! �ł |x| a �! ( x a (" x -a ) śł ;
�ł �ł




a | a |


|a � b| = |a| � |b| ; = , |b| = 0 .



b | b |

WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 2
" Potęga
"
m
1
n
n
a0 = 1 ; a-n = ; a = am .
a
" Logarytm
( a " R+ \ {1} '" b " R ) �! ( loga b = c �! b = ac ) ;
loga 1 = 0 ; loga a = 1 ; aloga b = b ;
log10 a a" log a ; loge a a" ln a ;
loga bm = m � loga b ;
b1, b2 " R+ �! loga b1 + loga b2 = loga(b1 � b2) ;
b1
b1, b2 " R+ �! loga b1 - loga b2 = loga ;
b2
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 3
Definicja
Funkcje f : Df Y i g : Dg Y są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
Df = Dg
oraz dla każdego x należącego do dziedziny funkcji
f(x) = g(x) .
Przykład
Sprawdz
, czy funkcje
x
a) f(x) = i g(x) = sin2 x + cos2 x
x
"
b) f(x) = x2 i g(x) = x
są równe.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 4
Definicja
Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A �" Df , jeżeli istnieją takie
liczby m, M " R, że dla każdego x " Df mamy
m f(x) M .
Uwaga
Funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony pomiędzy dwie-
ma prostymi poziomymi.
Przykład
Funkcje y = sin x, y = cos x są funkcjami ograniczonymi.
Funkcje y = x3, y = tg x są funkcjami nieograniczonymi.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 5
Definicja
Funkcja f : X Y jest okresowa, jeżeli istnieje T > 0 takie, że dla
każdego x " X zachodzi
x ą T " X oraz f(x + T ) = f(x)
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 6
Definicja
Funkcja f : X Y jest
" parzysta, jeżeli dla każdego x " X
-x " X oraz f(-x) = f(x) .
" nieparzysta, jeżeli dla każdego x " X
-x " X oraz f(-x) = -f(x) .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 7
Zadanie domowe
Narysuj i opisz wykresy funkcji y = cos x i y = sin x.
Definicja
Funkcja f jest
" rosnąca na zbiorze A " Df , jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) < f(x2) ) .
" malejąca na zbiorze A " Df , jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) > f(x2) ) .
" niemalejąca na zbiorze A " Df , jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) f(x2) ) .
" nierosnąca na zbiorze A " Df , jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) f(x2) ) .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 8
Definicja
Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy
czym Y �" Z, oraz niech f : X Y , g : Z W . Złożeniem funkcji g
i f nazywamy funkcję g ć% f określoną wzorem
g ć% f(x) = g(f(x))
dla x " X.
Przykład
"
1
Niech f(x) = x - 1 oraz g(x) = . Wyznacz:
x
a) g ć% f dla x "< 5, 10 >;
1
b) f ć% g dla x "< , 1 >.
2
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 9
Definicja
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego y " Y istnieje x " X takie, że f(x) = y.
Oznaczamy
na
f : X - Y .
Odwzorowanie to nazywamy również surjekcją.
Definicja
Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze A " Df , jeżeli dla każdego
x1, x2 " A
( x1 = x2 ) =�! ( f(x1) = f(x2) ) .

Odwzorowanie to nazywamy również injekcją.
Definicja
Funkcję, która jednocześnie jest injekcją i surjekcją nazywamy bijekcją.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 10
Definicja
na
Niech funkcja f : X - Y będzie różnowartościowa na dziedzinie.
Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję f-1 : Y X określoną
przez warunek
f-1(y) = x �!�! y = f(x)
gdzie x " X, y " Y .
Uwaga
Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji danej, odbi-
jając go symetrycznie względem prostej y = x.
Przykład
Wyznacz wzór oraz naszkicuj wykres funkcji odwrotnej do y = ln x.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 11
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 12
Funkcje cyklometryczne
Definicja
Funkcją arcsin (arkus sinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji
Ą Ą
sinus obciętej do przedziału < - , >. Dziedziną funkcji arcsin jest
2 2
przedział < -1, 1 >.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 13
Definicja
Funkcją arc tg (arkus tangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji
Ą Ą
tangens obciętej do przedziału (- , ). Dziedziną funkcji arc tg jest R.
2 2
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 14
Zadanie domowe(!!!)
Napisz definicję funkcji y = arccos x oraz y = arc ctgx. Pamiętaj o wy-
znaczeniu dziedziny. Naszkicuj wykresy tych funkcji.
Przykład
"
Wyznacz arc tg(1) oraz arc tg(- 3).
Podstawowe tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi
Ą
arcsin x + arccos x =
2
dla każdego x "< -1, 1 >.
Ą
arc tgx + arc ctg =
2
dla każdego x " R.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 15
Funkcje cyklometryczne - uzupełnienie
Definicja
Funkcją arccos (arkus kosinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji
cosinus obciętej do przedziału < 0, Ą >. Dziedziną funkcji arccos jest
przedział < -1, 1 >.
Definicja
Funkcją arc ctg (arkus kotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funk-
cji cotangens obciętej do przedziału (0, Ą). Dziedziną funkcji arc ctg jest
R.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 16
Podstawowe związki między funkcjami cyklometrycznymi
Ą
arcsin x = - arcsin(-x) = - arccos x ;
2
Ą
arccos x = - arcsin x
2
dla każdego x "< -1, 1 >.
Ą
arc tgx = -arc tg(-x) = - arc ctgx ;
2
Ą
arc ctgx = - arc tgx
2
dla każdego x " R.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 17
Funkcje hiperboliczne
Mamy sześć funkcji hiperbolicznych:
" sinus hiperboliczny
ex - e-x
sinh x =
2
o dziedzinie R i przeciwdziedzinie R;
" cosinus hiperboliczny
ex + e-x
cosh x =
2
o dziedzinie R i przeciwdziedzinie < 1, +");
" tangens hiperboliczny
ex - e-x
tgh x =
ex + e-x
o dziedzinie R i przeciwdziedzinie (-1, 1);
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 18
" cotangens hiperboliczny
ex + e-x
ctgh x =
ex - e-x
o dziedzinie R \ {0} i przeciwdziedzinie (-", -1) *" (1, +");
" secans hiperboliczny
2
sech x = ;
ex + e-x
" cosecans hiperboliczny
2
cosech x = .
ex - e-x
Uwaga
x
Funkcja y = a cosh nosi nazwę linii łańcuchowej. Kształt takiej li-
a
nii przyjmuje łańcuch nierozciągliwy, jednorodny lub przewodnik sieci
elektrycznej o jednakowym przekroju, nierozciągliwy i jednorodny pod
wpływem siły ciążenia.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 19
Definicja
Sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu x0 " R nazywamy zbiór
S(x0, r) = (x0 - r, x0) *" (x0, x0 + r) .
Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r > 0 punktu x0 " R nazy-
wamy zbiór
S(x-, r) = (x0 - r, x0) .
0
Sąsiedztwem " nazywamy zbiór S(") = (a, ") , gdzie a " R.
Uwaga
Jeśli promień r sąsiedztwa x0 nie jest istotny, to zbiór S(x0, r) oznacza-
my S(x0).
Zadanie domowe
Napisz definicję sąsiedztwa prawostronnego i sąsiedztwa -".
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 20
Definicja
Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu x0 " R nazywamy zbiór
O(x0, r) = (x0 - r, x0 + r) .
Otoczeniem lewostronnym o promieniu r > 0 punktu x0 " R nazywa-
my zbiór
O(x-, r) = (x0 - r, x0] .
0
Otoczeniem prawostronnym o promieniu r > 0 punktu x0 " R nazy-
wamy zbiór
O(x+, r) = [x0, x0 + r) .
0
Uwaga
Jeśli promień r otoczenia x0 nie jest istotny, to zbiór O(x0, r) oznaczamy
O(x0).
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 21
Definicja(Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w
sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie
x0, co zapisujemy lim f(x) = g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
xx0
ciągu (xn) , {xn} �" S(x0)
(n" xn = x0) =�! (n" f(xn) = g) .
lim lim
Definicja(Cauchy ego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w
sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0 istnieje � > 0 taka, że
dla każdego x " S(x0)
(0 < |x - x0| < �) =�! (|f(x) - g| < �) .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 22
Fakt
Jeśli istnieją ciągi (x ), (x ) spełniające warunki:
n n
" lim x = x0, przy czym x = x0 dla każdego n " N oraz

n n
n"
lim f(x ) = g ,
n
n"
" lim x = x0, przy czym x = x0 dla każdego n " N oraz

n n
n"
lim f(x ) = g ,
n
n"
" g = g ,

to granica lim f(x) nie istnieje (właściwa ani niewłaściwa).
xx0
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 23
Przykład
1 1
Wykaż, że granica funkcji g(x) = cos oraz f(x) = sin w x = 0
x x
nie istnieje.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 24
Definicja(Cauchy ego granicy lewostronnej właściwej funkcji w punkcie)
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w
sąsiedztwie S(x-). Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji
0
f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0 istnieje
� > 0 taka, że dla każdego x " S(x-)
0
(0 < x0 - x < �) =�! (|f(x) - g| < �) .
Uwaga
Analogicznie definiuje się pojęcie granicy prawostronnej właściwej.
Twierdzenie
Dla istnienia granicy lim f(x) = g potrzeba i wystarcza, żeby istniała
xx0
granica lewostronna i prawostronna i żeby były one równe
lim f(x) = lim f(x) = g .
xx+
xx-
0
0
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 25
Definicja(Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie S(x0).
Wtedy lim f(x) = " wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0
xx0
istnieje � > 0 taka, że dla każdego x " S(x0)
(|x - x0| < �) =�! (f(x) > �) .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 26
Definicja(Cauchy ego granicy właściwej funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie S(").
Wtedy lim f(x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0
x"
istnieje " " R taka, że dla każdego x " S(")
(x > ") =�! (|f(x) - g| < �) .
Definicja(Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie S(").
Wtedy lim f(x) = " wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0
x"
istnieje " " R taka, że dla każdego x " S(")
(x > ") =�! (f(x) > �) .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 27
Twierdzenie
Jeśli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie x0, to
" lim (f(x) ą g(x)) = lim f(x) ą lim g(x),
xx0 xx0 xx0
" lim (c � f(x)) = c � (xx0 f(x)), gdzie c " R,
lim
xx0
" lim (f(x) � g(x)) = (xx0 f(x)) � (xx0 g(x)),
lim lim
xx0
lim f(x)
f(x)
xx0
" lim = , o ile lim g(x) = 0 ,

xx0 xx0
g(x) lim g(x)
xx0
Przykład
Oblicz:
7x + 5 7x + 5 | sin 5x|
a) lim , b) lim , c) lim ,
x"
x-"
5x + 3x - 1 5x + 3x - 1
x0- 3x
"
d) lim ( x2 + 1 + x) .
x-"
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 28
Twierdzenie
Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki:
" f(x) g(x) h(x) dla każdego x " S(x0) ,
" lim f(x) = lim h(x) = p ,
xx0 xx0
to lim g(x) = p .
xx0
Twierdzenie
Granice funkcji w punkcie lub nieskończoności można zastąpić granica-
mi w zerze:
" lim f(x) = lim f(u + x) ,
xx0
u0
�ł �ł
�ł �ł
1
�ł �ł
�ł �ł
" lim f(x) = lim f�ł �ł ,
�ł łł
x"
u0+ u
�ł �ł
�ł �ł
1
�ł �ł
�ł �ł
" lim f(x) = lim f�ł �ł .
�ł łł
x-"
u0- u
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 29
Przykład
sin x
Korzystając z powyższych twierdzeń wykaż, że lim = 1 .
x0
x
Twierdzenie
�ł �ł
x
�ł �ł
1
�ł �ł
�ł �ł
lim �ł1 + �ł = e ;
�ł łł
x"
x
�ł �ł
x
�ł �ł
1
�ł �ł
�ł �ł
lim �ł1 + �ł = e .
�ł łł
x-"
x
Uwaga
1
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
x
�ł �ł
lim �ł1 + x�ł = e .
�ł łł
x0
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 30
Definicja(ciągłość funkcji w punkcie)
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
otoczeniu O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wte-
dy, gdy
lim f(x) = f(x0) .
xx0
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 31
Definicja(lewostronna ciągłość funkcji w punkcie)
Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
otoczeniu O(x-). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 wte-
0
dy i tylko wtedy, gdy
lim f(x) = f(x0) .
xx-
0
Uwaga
Podobnie definiuje się funkcję prawostronnie ciągłą w punkcie.
Twierdzenie
Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym
punkcie ciągła lewostronnie i prawostronnie.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 32
Uwaga
Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Uwaga
Nieciągłość funkcji można badać jedynie w punktach należących do jej
dziedziny.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 33
Definicja
" Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0) ,

xx+
xx-
0
0
a granice te istnieją i są skończone.
Może być to nieciągłość typu  skok :
lim f(x) = lim f(x) ,

xx+
xx-
0
0
lub typu  luka :
lim f(x) = lim f(x) = f(x0) ,

xx+
xx-
0
0
" Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli co
najmniej jedna z granic lim f(x) , lim f(x) nie istnieje lub
xx+
xx-
0
0
jest niewłaściwa.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 34
Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to funkcje
" f ą g ,
" f � g ,
f
" , o ile g(x0) = 0

g
są ciągłe w punkcie x0.
Twierdzenie
Jeżeli
" funkcja f jest ciągła w punkcie x0,
" funkcja g jest ciągła w punkcie y0 = f(x0),
to funkcja g ć% f jest ciągła w punkcie x0.
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 35
Twierdzenie
na
Jeżeli funkcja f : I - J, gdzie I, J są dowolnymi przedziałami, jest
na
ściśle monotoniczna i ciągła, to funkcja odwrotna funkcja f-1 : J - I
także jest ciągła.
Przykład
Znajdz
punkty nieciągłości funkcji:
ńł
�ł
�ł
�ł
1
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł x < -2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
x + 2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
-x2 + 4 -2 x < 0
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
a) f(x) = ;
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
Ą
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
4
�ł - arctgx 0 x <
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
Ą
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
| cos x| x
�ł
�ł
ół
2
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 36
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł - arcsin 1 x 0
x
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
arctg ln x 0 < x e
b) f(x) = .
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł 1
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł 2x - e x > e
ół
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 37
Twierdzenie(Weierstrassa o ograniczoności funkcji ciągłej)
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym, to
jest na nim ograniczona.
Uwaga
Funkcja ciągła na przedziale otwartym nie musi być na nim ograniczona
1
- np. f(x) = na przedziale x " (0, 1).
x
Twierdzenie(Darboux - o przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeżeli funckja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz spełnia warunek
f(a) = f(b), to dla każdego w " (f(a), f(b)) istnieje takie c " (a, b), że

f(c) = w .
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 38
Twierdzenie(Darboux - o miejscach zerowych funkcji)
Jeżeli funckja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz spełnia warunek
f(a) � f(b) < 0, to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f(c) = 0 .
Uwaga
Jeżeli funkcja jest dodatkowo ściśle monotoniczna (tzn. rosnąca na ca-
łym przedziale lub malejąca na całym przedziale), to punkt c jest okre-
ślony jednoznacznie.
Przykład
Zbadaj, czy równanie x = cos x posiada pierwiastki w przedziale
Ą
< 0, >.
2
WILiŚ - - sem.I - dr Anita Tlałka - 39
Przykład
Wyznacz z dokładnością do:
a) 0, 1 ;
b) 0, 01 ;
przybliżenie pierwiastka wielomianu f(x) = x4 - x - 1 zawartego w
przedziale < 1, 2 >.
Zadanie domowe
Wyznacz z dokładnością do 0, 1 wszystkie pierwiastki równania
x3 - 5x + 3 = 0.