Modelowanie
systemów
wiedza eksperymentalna
Podstawowe pojęcia
" Identyfikacja  działania mające na celu wyznaczenie
modelu matematycznego danego obiektu, zjawiska lub
systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu.
" Obiekt identyfikacji  proces, dla którego ustala się
model , czyli zależność zmiennych  u od  y .
" Zmienne wejściowe  zmienne  u .
" Zmienne wyjściowe  zmienne  y .
Eksperyment  teoria  model
eksperyment
Eksperyment  teoria  model
teoria
eksperyment
Eksperyment  teoria  model
teoria
eksperyment
modelowanie
i symulacja
Wybór modelu
" Wymaganie  poprawność modelu, czyli jego
adekwatność do zachowania się obiektu  przybliżenie
rzeczywistości.
" Dlaczego nie jesteśmy w stanie dokładnie opisać obiekt
rzeczywisty?

Ze względu na dużą liczbę czynników wpływających na jego
zachowanie oraz z powodu ograniczeń stawianych przez
narzędzia pomiarowe, komputery i algorytmy używane w
procesie identyfikacji.
" Jeśli mamy możliwość wyboru jednego z wielu
konkurencyjnych modeli, to który wybrać?

Powszechnie przyjmuje się, że model powinien opisywać obiekt
z dokładnością wymaganą w konkretnym zastosowaniu.
Rola identyfikacji
" Identyfikacja pełni  rolę służebną . Im  LEPSZY
model tym  LEPSZA decyzja w odniesieniu do
rozpatrywanego obiektu.
Etapy procesu identyfikacji
" Wybór struktury modelu(klasy modelu) na podstawie
dostępnej wiedzy o zachowaniu się obiektu.
" Ustalenie planu eksperymentu [eksperyment bierny
(odczyt wejść i wyjść) lub eksperyment czynny].
" Przeprowadzenie eksperymentu  pomiary.
" Przetworzenie wyników pomiarów  algorytm
identyfikacji.
" Weryfikacja modelu uzyskanego przez identyfikację i
ewentualne powtórzenie procesu identyfikacji.
Ogólny schemat procesu identyfikacji
dane pomiarowe
klasa modeli
eksperyment
dodatkowy
wyznaczenie modelu
weryfikacja modelu
dobry zły
zmiana klasy modelu
Klasa modeli
" Określenie klasy modelu  wybór ogólnego wyrażenia
matematycznego.
" Przykład klas należących do klasy modeli wielomianowych:
y = ń�ur
 systematyczna (r=1)  męcząca się (r=2)  adoptująca się (r=1/2)
Eksperyment
" Podstawą działania jest pomiar zmiennych obiektu, tj.
pobudzających go wymuszeń oraz odpowiedzi na te
wymuszenia.
" Ze względu na sposób przeprowadzania eksperymentów
dzielimy je na:
EKSPERYMENTY
czynne bierne
mamy wpływ nie mamy wpływu na
na dane dane wejściowe  czysta
wejściowe obserwacja
Przetwarzanie wyników
" Algorytm identyfikacji określa jak powinny być
przetwarzane uzyskane pomiary, aby otrzymać
przybliżone wartości współczynników modelu.
 Wyliczanie wartości liczbowych.
 Rezultatem jego działania są poszukiwane współczynniki
modelu.
" Najważniejsze algorytmy identyfikacji:
 metoda najmniejszej sumy kwadratów ,
 metoda największej wiarygodności
 metoda Bayesa .
Typy modeli
" Wybór algorytmu identyfikacji jest ściśle zależny od
tego, jaki model tworzymy.
MODELE
deterministyczne probabilistyczne
Weryfikacja modelu
" Jakość modelu to dokładność naśladowania odpowiedzi
obiektu przez odpowiedz
modelu przy takim samym
pobudzeniu.

Pojawiają się zakłócenia  zewnętrzne oraz wynikające z
błędów w wartościach parametrów modelu i w ich
strukturze.
" Analizując dopasowanie odpowiedzi i przyjmując
pewien przedział tolerancji popełnianego błędu może
wystąpić konieczność powtórzenia całego procesu
identyfikacji od początku.
Algorytm identyfikacji LS
" Jednym z najważniejszych i najpopularniejszych
algorytmów identyfikacji jest
metoda najmniejszej sumy kwadratów (LS  last squares)
" Popularność zawdzięcza prostocie obliczeń

Sprowadza się to do rozwiązania układu równań liniowych.
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Założenia:
wymuszenia u Wyjścia y obiektu
obiekt
Wyjścia ym modelu
ym = Ś(u)
model
" Dokonując N pomiarów otrzymujemy:
1 2 & N-1 N
u1 u2 uN-1 uN
U &
y1 y2 yN-1 yN
Y &
" Chcemy otrzymać model w formie:
ym = Ś(u) np. dla Ś(u) = b1u + b0
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Po naniesieniu na układ współrzędnych:
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6
" Naszym celem jest znalezienie prostej, która najlepiej
 aproksymuje wyniki pomiarów
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Dysponując liczbą N wyników pomiaru zmiennych otrzymujemy
układ N równań typu:
yim =� b1 ��ui +� b0
gdzie i oznacza numer eksperymentu.
" By otrzymać przybliżenia parametrów b przeprowadzamy proces
identyfikacji:
N
2
Q =� [�yi -� yim]�
��
i=�1
gdzie:
N  liczba pomiarów
yi  wynik i-tego pomiaru sygnału na wyjściu obiektu
yim  sygnał wyjściowy modelu odpowiadający i-tej
wartości sygnału wejściowego
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Wartości parametrów należy dobrać tak, by wartość kryterium Q
była minimalna.
* *
Q(�b0 ,b1 )�=� min Q(b0,b1)
" Ekstremum funkcji znajdujemy obliczając pochodne cząskowe
(gradient funkcji wielowymiarowej) i przyrównując do zera:
ś�Q
ś�Q
=� 0,
=� 0,
ś�b1 ś�b0
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Otrzymujemy:
N
ś�Q
=� -�2
��(�y -� b0 -� b1 �� ui )��� ui =� 0,
i
ś�b1
i-�1
N
ś�Q
=� -�2
��(�y -� b0 -� b1 �� ui )� =� 0.
i
ś�b0
i-�1
" Skąd optymalne wartości parametrów wynoszą:
N N N
N yi
��u yi -� ��u �� N N
i i
1 ć�
i=�1 i=�1 i=�1
b0 =�
b1 =� , �� yi -� b1 ��
�� ��u ��.
1
2
N N
N
Ł� i=�1 i=�1 ł�
2
N �� ��
��u -� ��u ��
i i
i=�1 Ł� i=�1 ł�
I zapewniają minimalizację przyjętego kryterium jakości.
Metoda LS w ujęciu skalarnym - teoria
" Zakładając jednak, że przybliżamy prostą y=bu wzory można
uprościć do:
N
ś�Q
=� -�2
��(�y -� b �� ui )��� ui =� 0
i
ś�b
i-�1
" Wtedy b wyraża się wzorem:
N
��u yi
i
i=�1
b =�
N
2
��u
i
i=�1
Metoda LS w ujęciu skalarnym -
przykład
4,5
4
3,5
y
y 
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
un
u 3 4 7 &
yn
y 1 3 4 &
Metoda LS w ujęciu skalarnym -
przykład
" Prosta y = b u przechodzi przez punkt (4,3), a zatem podstawiając do
wzoru b =3/4=0,75.
" Prosta y  = b  u przechodzi przez punkt (7,4), a zatem podstawiając
do wzoru b  =4/7=0,57.
" Dla b :
" Dla b  :
u 3 4 7 u 3 4 7
y 9/4 3 21/4 y  12/7 16/7 4
� 5/4 0 5/4 �  5/7 5/7 0
�  2 25/49 25/49 0
� 2 25/16 0 25/16
gdzie:
y =b u, y  =b  u
� =|y -y|, �  =|y  -y|
Metoda LS w ujęciu skalarnym -
przykład
" Z założenia ta funkcja jest lepsza, dla której "�20.
 Dla y :
" "� 2=50/16=3,125

Dla y  :
" "�  2=50/49=1,02
Zatem y  estymuje lepiej dany obiekt.
Metoda LS w ujęciu skalarnym -
przykład
" Możemy również sprawdzić jaka prosta najlepiej przybliża nasz
obiekt korzystając z wcześniej wyliczonego wzoru:
N
��u yi
i
i=�1
b* =�
N
2
��u
i
i=�1
" Zgodnie z nim parametr b powinien wynosić:
3��1+� 4��3 +� 7 �� 4 43
b* =� =� =� 0,58.
32 +� 42 +� 72 74
" Dlatego optymalna prosta to y*=0,58u.
Metoda LS w ujęciu skalarnym -
przykład
Rozwiązaniem najlepszym jest wyróżniona prosta.
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Bibliografia
" Marcin Gieracha,  Rekurencyjne algorytmy identyfikacji
dwustopniowej obiektów dynamicznych (rozprawa
doktorska). , Instytut Informatyki Technicznej
Politechniki Wrocławskiej, Raport Serii Pre nr 2/2005.
" Piotr Burnos,  Komputerowe systemy identyfikacji -
Wprowadzenie do zagadnienia identyfikacji. Modele
sygnałów i ich analiza , Katedra Metrologii AGH.
" Internet: http://www.scholaris.edu.pl - Internetowe
Centrum Zasobów Edukacyjnych MEN.