10.VI.2005 r.
Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I
Czas rozwiÄ…zywania - 90 min.
Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6" można
dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.
1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:
f(x, y) = x3 + y3 - 3axy
w zależności od parametru a " R.
2. Oblicz:
2

"
cos eĄnx
lim dx
n"
1 x2 + nx
Uwaga: Podaj dokładnie z jakiego twierdzenia korzystasz, uzasadnij dokładnie poprawność
rozumowania.
3. Niech A = {(x, y) " R2 : x2 < y < 2x2 '" 2y2 < x < 4y2}. Oblicz całki:
a)

y
dxdy
A x2
b)

f(x, y)dxdy
A
gdzie:

0 jeÅ›li (x, y) " Q+ × Q,
f(x, y) =
y
w przeciwnym przypadku.
x2
4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:
x = y2, z = x2 + y2, x = 1, z = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek.
5. Niech X bÄ™dzie zbiorem nieprzeliczalnym. Dla każdego A ‚" X kÅ‚adziemy:

0 jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,
µ(A) =
+" jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.
Czy funkcja ta jest miarÄ… na Ã-ciele wszystkich podzbiorów X?
6* Niech (fn) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykaż, że
borelowskie sÄ… zbiory:
a) A = {x " R: limn" fn(x) = 1};
b) B = {x " R: fn(x) jest zbieżny do granicy skończonej}.
Uwaga: w punkcie b) pomocne może być skorzystanie z zupełności przestrzeni R.
Powodzenia!