05.IV.2004 r.
Kolokwium z Analizy matematycznej I
Czas rozwiÄ…zywania - 90 min.
Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów.
Za poprawne rozwiązanie zadania 5" można dostać 15 punktów.
Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań.
Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.
1. Dany jest ciÄ…g funkcyjny:
2
fn : R R, fn(x) = nÄ…xe-n x2, Ä… " [0, ").
Znajdz
obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną w zależności od parametru ą.
Dla jakich ą zbieżność jest jednostajna?
2. Dana jest funkcja f : R2 R określona wzorem:
f(x, y) = cos y cos x + y + y2 - 1.
Sprawdz
, czy w otoczeniu punktu (x, y) = (0, 0) funkcja ta zadaje funkcję uwikłaną
x = È(y) lub y = Õ(x). Uzasadnij różniczkowalność odpowiedniej funkcji uwikÅ‚anej w
tym punkcie. Stwierdz
, czy funkcja uwikłana ma w nim ekstremum, jeśli tak to jakie.
3. Dane jest odwzorowanie g : R2 R2, g(x, y) = (u, v) = ((x2 + 2x)ey, y - 1). Znajdz

punkty w których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne. Znajdz
 możliwie duży
obszar, po obcięciu do którego otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne (do
odwzorowania klasy C1). Podaj jego dziedzinę i zbiór wartości. Znajdz
macierz
pochodnej odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (3, -1).
4. Zbadaj różniczkowalność funkcji f : R2 R danej wzorem:
Å„Å‚
2
òÅ‚ 3
x y
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
ół
0 dla x = y = 0
5" Dany jest zbiór wypukÅ‚y ograniczony B ‚" Rn zawierajÄ…cy otoczenie zera. Udowodnij, że
jeÅ›li B jest Å›rodkowosymetryczny tzn. jeÅ›li x " B to -x " B, to funkcja || · ||: Rn R+
określona wzorem:
||x|| = sup{t " R+ : x " tB}, gdzie zbiór tB definiujemy: tB = {t · x: x " B}
/
jest normÄ… w Rn.
Uwagi: Przyjmij sup " = 0. Zauważ, że można założyć, że B domknięty.
Powodzenia!