Kolokwium z Analizy matematycznej I - 21.IV.2006 r. Zestaw A
Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne
rozwiązanie zadania 5" można dostać 15 punktów. Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań. Wszystkie
czynności należy dokładnie uzasadniać.
1. W zależności od parametru a 0 zbadaj zbieżność następującego ciągu funkcyjnego:
" "
fn : R+ R, fn(x) = x + an + 2 - x + n.
Znajdz
obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną. Sprawdz
czy zbieżność jest jednostajna. Jeśli nie
jest, podaj przykład  możliwie dużego podzbioru, na którym zbieżność jest jednostajna.
2. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji g : R2 R
tan(x2y)
g(x, y) = .
x2 + y2
3. Dane jest odwzorowanie f : (0, ") × R R2, f(x, y) = (u, v) = ((y2 + 2y)ex+sin x, ln x). Znajdz
punkty w
których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne . Znajdz
 możliwie duży zbiór, po obcięciu do którego
otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne. Podaj dziedzinÄ™ odwzorowania odwrotnego (uzasadnij).
KorzystajÄ…c z Twierdzenia o pochodnej odwzorowania odwrotnego wyznacz macierz pochodnej
odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (0, e).
4. Dany jest zbiór na płaszczyz
nie zadany przez równanie we współrzędnych biegunowych
r = 2 - 2 sin Ć.
W jakich punktach to równanie zadaje funkcję x = x(y)? Policz pochodną tej funkcji w punktach o
współrzędnej y = 0.
Wsk. x = r cos Ć; y = r sin Ć.
5.* Udowodnij, że obraz zbioru zwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest zbiorem zwartym. Czy obraz zbioru
domkniętego musi być zbiorem domkniętym? A otwartego?
Powodzenia!