Informatyka, Kolokwium I, 21 kwietnia 2010 r.
Grupa I
Zadanie 1. Obliczyć granice
2n2
+2
n2 + 3
a) lim ,
n"
n2 + 1

n
1
b) lim sin (n!),
n3 2
n"
3n
c) lim ,
n"
n!
n+3
n
d) lim 1 + .
n"
2n + 1
Zadanie 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów
" n!
a) xn,
n=1
n + 1
" 5nn3
b) (x + 1)n.
n=1
3n(n + 1)
Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów
" 1
a) sin ,
n=1
n
" 2n
b) .
n=1
n!nn
Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a i b ciągła jest funkcja f : R R
dana wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ (1 + ax)1/x, dla x < 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + 3
f(x) =
, dla 0 x 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
x2 + 2x + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sin (x - 1)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ , dla x > 1.
ół
b(x - 1)
Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną następujących ciągów bądz
szeregów
funkcyjnych
1
a) fn : (-1, ") R, gdzie fn(x) = ,
1 + xn

1
b) fn : R R, gdzie fn(x) = x2 + ,
n
2
" e-n x2
c) dla x " R.
n=1
n2
Informatyka, Kolokwium I, 21 kwietnia 2010 r.
Grupa II
Zadanie 1. Obliczyć granice
3n2
+1
n2 + 4
a) lim ,
n"
n2 + 1

n
1
b) lim sin (n! + 3),
n4 2
n"
4n
c) lim ,
n"
n!
n+3
n
d) lim 1 + .
n"
3n + 1
Zadanie 2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów
" n!
a) xn,
n=1
n + 2
" 6nn3
b) (x + 1)n.
n=1
4n(n + 2)
Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów
" 1
a) sin ,
n=1
n2
" 3n
b) .
n=1
n!nn
Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych a i b ciągła jest funkcja f : R R
dana wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - x)a/x, dla x < 0,
(1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + 3
f(x) =
, dla 0 x 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 + 2x + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sin (b(x - 1))
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
, dla x > 1.
x - 1
Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową oraz jednostajną następujących ciągów bądz
szeregów
funkcyjnych
1
a) fn : (-1, ") R, gdzie fn(x) = ,
1 + xn

1
b) fn : R R, gdzie fn(x) = x2 + ,
n
3
" e-n x2
c) dla x " R.
n=1
n3