A
ukasz Nykiel st_MP_d08
ROZKA
AD LOGARYTMICZNO NORMALNY
Opracowanie danych statystycznych metodą graficzną
1. Wprowadzenie i obróbka danych:
dane :�=� READPRN("dane08.txt" )
data :�=� daneT
��1ń�
data :�=� data
n :�=� length(data)
n =� 30
i :�=� 0 .�.� n -� 1
data :�=� sort(data)
data :�=� ln(data)
2.Określenie prawdopodobieństwa z próby
(i +� 1)
pi :�=�
(n +� 1)
3. Oszacowanie punktowe:
- średnia i mediana
- odchylenie standardowe skorygowane i nieskorygowane
ź :�=� mean(data)
ź =� 6.065
� :�=� Stdev(data)
� =� 0.449
Ł :�=� stdev(data)
Ł =� 0.442
M :�=� median(data)
M =� 6.074
WNIOSEK 1: Ponieważ średnia nie jest równa medianie więc hipoteza o rozkładzie normalnym
może być fałszywa..
4. Obliczenie standaryzowanych wartości zmiennej zależnej (określenie miana osi rzędnych):
yi :�=� qnorm ,� �0,� �1
(�p )�
i
5. Obliczenie współczynników prostej regresji y = a + b * x :
a :�=� intercept(data,� �y)
a =� -�12.259
b :�=� slope(data,� �y)
b =� 2.021
6. Obliczenie parametrów rozkładu:
a 1
ć� ��
ź1 :�=� -� �1 :�=�
�� ��
b b
Ł� ł�
ź1 =� 6.065 �1 =� 0.495
7. Porównanie z oszacowaniem punktowym:
1
0.8
0.6
p
0.4
0.2
0
5 5.5 6 6.5 7
data
2
1
y
0
-� 1
-� 2
5 5.5 6 6.5 7
data
: Oszacowanie graficzne i punktowe dają różniące się wyniki.
WNIOSEK 2
8. Wykres:
ui :�=� datai
pr(x) :�=� a +� b �� x
x :�=� 0 .�.� 900
2
1
yi
0
pr(x)
-� 1
-� 2
4.7 4.93 5.16 5.39 5.62 5.85 6.08 6.31 6.54 6.77 7
ui,� �x
9. Sprawdzenie obliczeń według wzorów z wykładu:
n-�1 n-�1 n-�1 n-�1
2 2
m :�=� k :�=� yi l :�=� ui o :�=� t :�=� n �� m -� l
(�u )� (�u �� yi)�
�� i �� �� �� i
i =� 0 i =� 0 i =� 0 i =� 0
m �� k -� l �� o
as :�=� as =� -�12.259 as =� -�12.259
t
n �� o -� k �� l
bs :�=� bs =� 2.021 bs =� 2.021
t
as 1
ć� ��
źs :�=� -� źs =� 6.065 �s :�=� �s =� 0.495
�� ��
bs bs
Ł� ł�
ź =� 6.065 � =� 0.449
: Wynik zgodny z obliczeniami wykorzystującymi funkcje MathCad'a.
WNIOSEK 3
10. Testy zgodności
10.1. Test w2
pti :�=� pnorm ,� �ź,� ��
(�u )�
i
1
wt :�=� -�n -� �� �� (i +� 1) -� 1] �� ln +� [2 �� [n -� (i +� 1)] +� 1] �� ln -� pti
��[2 ł�
(�pt)� (�1 )���
�� i
��
n
i
wt =� 0.243
Wartość krytyczna statystyki w2 na poziomie istotności = 0.05 wynosi wk=2.4933
a�
Wartość testowa Wt = 0.243 < od wartości krytycznej 2.4933
WNIOSEK 4:
Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie = 0.05 odrzucić nie można.
a�
10.2. Test Kołmogorowa-Smirnowa
dn :�=� READPRN("DN.txt" )
deltai :�=� pi -� pti dt :�=� max(delta) dt =� 0.085 dk :�=� dn(n-�1) dk =� 0.242
Wartość krytyczna statystyki Dn na poziomie istotności = 0.05 wynosi dk= 0.242
a�
WNIOSEK 5: Wartość testowa 0.085 < od wartości krytycznej 0.242
Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie = 0.05 odrzucić nie można.
a�
10.3. Test w�2
1
2
�t :�=� +� �t =� 0.03532
(�delta)�
�� i
12 �� n
i
Wartość krytyczna statystyki na poziomie istotności = 0.05 wynosi k=0.9814
w�2 a� w�
WNIOSEK 6: Wartość testowa 0.03532 < od wartości krytycznej 0.9814
Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie = 0.05 odrzucić nie można.
a�
11. Oszacowania przedziałowe
- obliczenie przedziałów ufności dla wartości oczekiwanej rozkładu na poziomie ufności 0.95
� :�=� 0.95 ą :�=� 1 -� � n =� 30
ć�1 ą ��
qt -� ,� �n -� 1
�� ��
2
Ł� ł�
źd :�=� ź -� �� � źd =� 5.897
n
ć�1 ą ��
qt -� ,� �n -� 1
�� ��
2
Ł� ł�
źg :�=� ź +� �� � źg =� 6.233
n
- obliczenie przedziału ufnosci dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 0.95
2
� (n -� 1)
�d :�=� �d =� 0.358
ć�1 ą ��
qchisq -� ,� �n -� 1
�� ��
2
Ł� ł�
2
� (n -� 1)
�g :�=�
�g =� 0.604
ą
ć� ��
qchisq ,� �n -� 1
�� ��
2
Ł� ł�
12. Wynik końcowy:
< <
źd =� 5.897 ź =� 6.065 źg =� 6.233
< <
�d =� 0.358 � =� 0.449 �g =� 0.604
13. Obliczenie dwustronnych obszarów ufności dla dystrybuanty i wykres końcowy:
Przeliczam na jednostki zmiennej losowej
Wartosc oczekwiana
2
(� )�
Ud :�=� exp(źd) �� exp 0.5 �� �d Ud =� 388.049
2
(� )�
Ug :�=� exp(źg) �� exp 0.5 �� �g Ug =� 610.827
2
(� )�
Us :�=� exp(ź) �� exp 0.5 �� �
Us =� 476.141
Odchylenie standardowe
�� ��ć� Us ��2 ł�ł�
2
ę� ę��� �� ś�ś�
S :�=� Us �� -� 1 S =� 225.086
exp(ź)
�� ��Ł� ł� ����
�� ��ć� Ud ��2 ł�ł�
2
ę� ę��� ś�ś�
Sd :�=� Ud �� -� 1 Sd =� 143.353
��
exp(źd)
�� ��Ł� ł� ����
�� ��ć� Ug ��2 ł�ł�
2
ę� ę��� ś�ś�
Sg :�=� Ug �� -� 1 Sg =� 405.081
��
exp(źg)
�� ��Ł� ł� ����
Mediana
Um :�=� exp(ź)
Um =� 430.465
Umd :�=� exp(źd)
Umd =� 364.005
Umk :�=� exp(źg) Umk =� 509.059
Moda
2
(� )�
UM :�=� exp ź -� � UM =� 351.838
2
(� )�
UMd :�=� exp ź -� �d UMd =� 378.774
2
(� )�
UMg :�=� exp ź -� �d UMg =� 378.774
1 +� 0.95
� :�=� m1i :�=� 2 �� (n -� i) m2i :�=� 2 �� (i +� 1)
2
Fdi :�=� qF ,� �m2i Fgi :�=� qF ,� �m1i
(�,� �m1 )� (�,� �m2 )�
i i
Fgi
1
Fddi :�=� Fdgi :�=�
n -� i
��1 +� n -� i ł� ć� ��
�� Fdi +� Fgi
ę� ś� �� ��
(i +� 1) i +� 1
�� �� Ł� ł�
ydi :�=� qnorm ,� �0,� �1 ygi :�=� qnorm ,� �0,� �1
(�Fdd )� (�Fdg )�
i i
pr(x) :�=� a +� b �� x
x :�=� min(u) .�.� max(u)
4
2.667
pr(x)
1.333
yi
ydi 0
ygi -� 1.333
-� 2.667
-� 4
5 5.18 5.36 5.54 5.72 5.9 6.08 6.26 6.44 6.62 6.8
x,� �ui,� �ui,� �ui
13. Obliczenie granic obszaru ufności dla prostej regresji i wynik końcowy.
Wprowadzamy nową zmienną
y -� a
v :�=�
b
co w praktyce jest równoznaczne z określeniem odciętych punktów powstałych z przecięcia
prostych równoległych do osi odciętych przechodzących przez punkty pomiarowe z prostą re-
gresji. Używając tych samych wzorów (na ydi i ygi ) jak powyżej otrzymamy granice obszaru
ufności prostej regresji. Wzorów na ydi oraz ygi nie trzeba przytaczać raz jeszcze - gdy spo-
rządzając wykres zmieni się ui na u1i ,obliczenia zostaną powtórzone dla nowej zmiennej nie-
zależnej automatycznie.
x :�=� 0 .�.� 10
4
3
yi 2
pr(x)1
ydi 0
ygi -� 1
-� 2
-� 3
-� 4
5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7
ui,� �x,� �vi,� �vi
14. Wykres funkcji Gaussa o obliczonych parametrach
Należy wykreślić:
- teoretyczną dystrybuantę rozkładu F(x)
- teoretyczną krzywą gęstości prawdopodobieństwa f(x)
- empiryczną dystrybuantę rozkładu
- na dystrybuantę teoretczną nanieść punkty o rzędnej yyi
F(x) :�=� pnorm(x,� �ź,� ��) f (x) :�=� dnorm(x,� �ź,� ��)
x :�=� 0,� �0.01 .�.� 900 min(u) =� 5.074 max(u) =� 6.742
1
0.9
0.8
0.7
F(x)
0.6
f(x)��100.5
pi
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3.8 4.22 4.64 5.06 5.48 5.9 6.32 6.74 7.16 7.58 8
x,� �x,� �ui
15. Wnioski końcowe
Wyniki przeprowadzonych testów na poziomie ufności =0.95 wskazują, że nie można
b�
odrzucić hipotezy o rozkładzie Gaussa.
Punkty odpowiadające wartościom zmiennej losowej znajdują się wewnątrz obrzaru ufności
dla =0.95
b�
Kształty dystrybuanty teoretycznej i empirycznej są podobne.
Szacowania graficzne dały podobne wyniki do szacowań punktowych.
m
8