Politechnika ÅšlÄ…ska Gliwice, 2006/2007
Wydział: Automatyki, Elektroniki i Informatyki Semestr: 6 (letni)
Kierunek: Automatyka i robotyka
Podstawy Automatyki
 laboratorium
Ćw 3. Stabilność i dokładność statyczna UR.
Data ćwiczeń laboratoryjnych: 07.03.2007
Grupa: 1
Sekcja: 3
Skład osobowy sekcji:
Zięba Andrzej
Bojko Marcin
Pawliczek Krystian
1. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia było utrwalenie podstawowych metod sprawdzania stabilności i
dokładności statycznej układów regulacji oraz zaimplementowanie programów w środowisku
Matlab realizujących określone w programie ćwiczenia zadania.
2. Program ćwiczenia:
I. Stabilność układu otwartego:
k
K śą sźą= , gdzie : k=1 , T =3
1. Dla układu II rzędu o transmitancji :
o
sśą1ƒÄ…sT źą
a) znalez
ć pierwiastki równania charakterystycznego i na tej podstawie ocenić czy układ
otwarty jest stabilny;
b) wyznaczyć postać analityczną odpowiedzi impulsowej oraz skokowej;
c) wykreślić przebiegi odpowiedzi czasowych;
d) narysować charakterystykę amplitudowo-fazową.
II. Stabilność układu zamkniętego:
Rysunek 1.
2. Dla układu zamkniętego jak na rysunku 1, K (s) takie jak w punkcie 1:
o
a) znalez
ć pierwiastki równania charakterystycznego;
b) zaznaczyć na płaszczyz
nie s położenie pierwiastków układu otwartego i zamkniętego,
ocenić na ich podstawie stabilność układu oraz charakter przebiegów czasowych
(aperiodyczność, periodyczność);
c) wykreślić przebiegi odpowiedzi czasowych;
d) zbadać stabilność układu za pomocą kryterium Hurwitza;
e) zastosować kryterium Nyquista do oceny stabilności układu.
k ÎÄ…2
n
K śą sźą=
3. Dla układu zamkniętego jak na rysunku 1, :
o
s2ƒÄ…2ÄÄ…ÎÄ…n sƒÄ…ÎÄ…2
n
a) wyznaczyć warunki stabilności układu za pomocą kryterium Hurwitza;
b) wyznaczyć warunki stabilności układu za pomocą kryterium Nyquista;
c) porównać wyniki;
d) zmieniając wartość wzmocnienia wykreślić charakterystyki Nyquista dla układu
otwartego, odpowiadające im przebiegi czasowe układu zamkniętego i zinterpretować
wyniki, dla przypadków: układ zamknięty stabilny, układ stabilny na granicy stabilności,
układ zamknięty niestabilny.
III. Dokładność statyczna układów regulacji:
4. Dla układu zamkniętego pokazanego na rysunku 2, dla dwóch przedstawionych poniżej
transmitancji obiektu K (s) (elementy II rzędu bez oraz z całkowaniem), korzystając z
o
kryterium Hurwitza określić zakresy zmian parametrów regulatora K (s), dla których układ
r
jest stabilny.
Transmitancje obiektów: Transmitancje regulatorów:
1
K śą sźą=
K śąsźą=k1
o
r
śą1ƒÄ…s T źą2
1
1
K śąsźą=k1 1ƒÄ…
K śą sźą=
r
o
śą źą
sT
sśą1ƒÄ…sT źą
i
Rysunek 2.
5. Dla każdego z powyższych regulatorów z parametrami dobranymi tak, aby układ zamknięty
był stabilny:
a) wykreślić odpowiedz
skokową układu, wyznaczyć uchyb w stanie ustalonym;
b) ocenić rząd astatyzmu wykreślając odpowiedzi czasowe sygnału uchybu e(t) na
odpowiednie zmiany sygnałów wymuszających w(t) oraz z(t), wyniki skomentować;
c) określić analitycznie rząd astatyzmu układu ze względu na sygnały w(t) oraz z(t);
d) wyniki porównać.
3. Realizacja programu ćwiczenia:
Punkt 1.
Kod z
ródłowy programu:
close all;
clear all;
clc;
% Zdefiniowanie transmitancji Ko(s):
disp('Transmitancja obiektu:');
s=tf('s');
Ko=1/s/(1+3*s)
% Wyznaczenie pierwiastkow rownania charakterystycznego:
[zera,bieguny,wzmocnienie]=zpkdata(Ko,'v');
disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego:');
sym(bieguny)
% Wyznaczenie analitycznych odpowiedzi impulsowej oraz skokowej:
syms p;
disp('Postac analityczna odpowiedzi impulsowej:');
yi=ilaplace(1/(1+3*p)/p)
disp('Postac analityczna odpowiedzi skokowej:');
ys=ilaplace(1/(1+3*p)/p^2)
% Wykreslenie odpowiedzi czasowych:
figure;
step(minreal(Ko*s),'.-k');
hold on;
step(Ko,'k');
xlim([0 15]);
ylim([0 5]);
legend('Odpowiedz impulsowa','Odpowiedz skokowa',2);
hold off;
% Wyrysowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej:
figure;
nyquist(Ko,'k');
xlim([-4 1]);
ylim([-80 10]);
Ad 1.a) Wyznaczone w środowisku Matlab (jako bieguny transmitancji obiektu K (s))
o
s1=0 , s2=-1
pierwiastki równania charakterystycznego: . Układ otwarty nie jest
3
stabilny.
Ad 1.b) Wyznaczone w środowisku Matlab analityczne postacie odpowiedzi:
Ë% impulsowej: y(t) = 2*exp(-1/6*t)*sinh(1/6*t)
Ë% skokowej: y(t) = t-6*exp(-1/6*t)*sinh(1/6*t)
Po wykonaniu odpowiednich przekształceń matematycznych otrzymaliśmy:
t
-
3
Ë% dla odpowiedzi impulsowej:
yśątźą=1-e
t
-
3
Ë% dla odpowiedzi skokowej:
yśątźą=t-3ƒÄ…3Å"e
Ad 1.c) Przebiegi odpowiedzi czasowych:
S t e p R e s p o n s e
5
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
4 . 5
4
3 . 5
3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
0
0 5 1 0 1 5
T im e ( s e c )
Ad 1.d) Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
N y q u is t D ia g r a m
1 0
0
- 1 0
- 2 0
- 3 0
- 4 0
- 5 0
- 6 0
- 7 0
- 8 0
- 4 - 3 . 5 - 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
R e a l A x is
A m p lit u d e
I m a g in a r y A x is
Punkt 2.
Kod z
ródłowy programu:
close all;
clear all;
clc;
% Zdefiniowanie transmitancji obiektu Ko(s):
disp('Transmitancja obiektu:');
s=tf('s');
Ko=1/s/(1+3*s)
% Zdefiniowanie transmitancji glownej ukladu zamknietego Kg(s):
disp('Transmitancja ukladu zamknietego:');
Kg=minreal(Ko/(1+Ko))
% Wyznaczenie pierwiastkow rownania charakterystycznego dla obiektu:
[zera,bieguny,wzmocnienie]=zpkdata(Ko,'v');
disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego obiektu:');
sym(bieguny)
% Wyznaczenie pierwiastkow rownania charakterystycznego dla ukladu zamknietego:
[ZERA,BIEGUNY,WZMOCNIENIE]=zpkdata(Kg,'v');
disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:');
sym(BIEGUNY)
% Zaznaczenie na plaszczyznie s pierwiastow obiektu i ukladu zamknietego:
figure;
hold on;
plot(real(bieguny),imag(bieguny),'*k');
plot(real(BIEGUNY),imag(BIEGUNY),'xk');
plot([-0.4 0.1],[0 0],':k');
plot([0 0],[-1 1],':k');
title('Pole Map');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
legend('Pierwiastki rownania char. obiektu','Pierwiastki rownania char. ukladu zamknietego',2);
xlim([-0.4 0.1]);
ylim([-1 1]);
hold off;
% Wykreslenie odpowiedzi czasowych:
figure;
hold on;
step(minreal(Kg*s),'.-k');
step(Kg,'k');
xlim([0 35]);
ylim([-0.5 2]);
legend('Odpowiedz impulsowa','Odpowiedz skokowa',2);
hold off;
% Badanie stabilnosci za pomoca metody Hurwitza:
disp('Badanie stabilnosci metoda Hurwitza:');
[wspolczynniki_licznika_obiektu,wspolczynniki_mianownika_obiektu]=tfdata(Ko,'v')
wspolczynniki_rownania_charakterystycznego=wspolczynniki_mianownika_obiektu+wspolczynniki_licznika_o
biektu
% Wyznaczone wspolczynniki row. char. sa dodatnie i row. char. jest
% kwadratowe czyli uklad zamkniety jest stabilny.
disp('Uklad zamkniety jest stabilny.');
% Badanie stabilnosci za pomoca kryterium Nyquista:
figure;
nyquist(Ko,'k');
xlim([-3 1]);
ylim([-10 10]);
% Po wlaczeniu opcji "Stability(Minimum Crossing)" i najechaniu kursorem na
% punkt przeciecia okregu o promieniu 1 wyrysowanego w poczatku ukladu
% wspolrzednych z charakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu dla dodatnich
% wartosci omegi otrzymujemy odpowiedz ze uklad jest stabilny.
Ad 2.a) Wyznaczone w środowisku Matlab pierwiastki równania charakterystycznego układu
1 11
zamkniętego: .
s1,2=- Ä… jÅ"
6 36
ćą
Ad 2.b) Porównawcze usytuowanie pierwiastków obiektu i układu zamkniętego.
Pierwiastki te są w odróżnieniu od tych uzyskanych dla układu otwartego
zespolone (sprzężone). Części rzeczywiste tych pierwiastków są ujemne i na tej
podstawie stwierdzamy, że układ zamknięty jest stabilny, w odróżnieniu od obiektu. W
obiekcie nie występują oscylacje (wszystkie pierwiastki rzeczywiste), natomiast układ
objętym ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest periodyczny.
Położenie pierwiastków na płaszczyz
nie s:
P o l e M a p
1
P i e r w i a s t k i r o w n a n i a c h a r . o b i e k t u
P i e r w i a s t k i r o w n a n i a c h a r . u k l a d u z a m k n i e t e g o
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
- 0 . 2
- 0 . 4
- 0 . 6
- 0 . 8
- 1
- 0 . 4 - 0 . 3 5 - 0 . 3 - 0 . 2 5 - 0 . 2 - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1
R e a l A x i s
Ad 2.c) Przebiegi odpowiedzi czasowych:
S t e p R e s p o n s e
2
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
1 . 5
1
0 . 5
0
- 0 . 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
T im e ( s e c )
Ad 2.d) Stabilność układu  kryterium Hurwitza:
Dane z środowiska Matlab:
współczynniki_licznika_obiektu = [0 0 1]
współczynniki_mianownika_obiektu = [3 1 0]
współczynniki_równania_charakterystycznego = [3 1 1]
Współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie a samo równanie jest
kwadratowe co oznacza że układ zamknięty jest stabilny.
I m a g i n a r y A x i s
A m p lit u d e
Ad 2.e) Stabilność układu  kryterium Nyquista: D ia g r a m
N y q u is t
1 0
8
6
4
2
0
S y s t e m : K o
P h a s e M a r g in ( d e g ) : 3 2 . 1
- 2
D e la y M a r g in ( s e c ) : 1 . 0 5
A t f r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 5 3 1
C lo s e d L o o p S t a b le ? Y e s
- 4
- 6
- 8
- 1 0
- 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
R e a l A x is
Na podstawie zamieszczonych na charakterystyce Nyquista informacji stwierdzamy
stabilność układu zamkniętego.
Punkt 3.
Kod z
ródłowy programu:
close all;
clear all;
clc;
% Zdefiniowanie transmitancji obiektu Ko(s):
disp('Transmitancja obiektu:');
s=tf('s');
k=1;
omega=4;
ksi=2;
Ko=k*omega^2/(s^2+2*ksi*omega*s+omega^2)
% Zdefiniowanie transmitancji glownej ukladu zamknietego Kg(s):
disp('Transmitancja ukladu zamknietego:');
Kg=minreal(Ko/(1+Ko))
% Wykreslenie odpowiedzi czasowych:
figure;
subplot(2,1,1);
hold on;
step(minreal(Kg*s),'.-k');
step(Kg,'k');
legend('Odpowiedz impulsowa','Odpowiedz skokowa',1);
hold off;
% Charakterystyka Nyquista:
subplot(2,1,2);
nyquist(Ko,'k');
Ad 3.a) Wyznaczenie warunków stabilności układu zamkniętego  kryterium Hurwitza:
k ÎÄ…2
n
K śą sźą=
o
s2ƒÄ…2ÄÄ… ÎÄ…n sƒÄ…ÎÄ…2
n
Równanie charakterystyczne : s2ƒÄ…2 ÄÄ…ÎÄ…n sƒÄ…ÎÄ…2ƒÄ…k ÎÄ…2=0
n n
aiÄ…0
1Ä…0 ; 2ÄÄ… ÎÄ…nÄ…0 ; ÎÄ…2ƒÄ…k ÎÄ…2Ä…0 speÅ‚nione zawszei równanie char. kwadratowe
n n
UKA
AD ZAMKNI
TY STABILNY STRUKTURALNIE
I m a g in a r y A x is
Ad 3.b) Wyznaczenie warunków stabilności układu zamkniętego  kryterium Nyquista:
k ÎÄ…2
n
Kośą sźą=
s2ƒÄ…2 ÄÄ…ÎÄ…n sƒÄ…ÎÄ…2
n
2 ÄÄ…ÎÄ…n ÎÄ…
- jÅ"arctg
k ÎÄ…2
śą źą
ÎÄ…2-ÎÄ…2
n
n
Kośą j Îąźą= Å"e
śą 2ÄÄ… ÎÄ…n Îąźą2ƒÄ…śąÎÄ…2-ÎÄ…2źą2
ćą
n
­Ä…arg śą1ƒÄ…K śą j Îąźąźą=0
-""Ä…ÎÄ…"Ä…ƒÄ…"
Przykładowe charakterystyki Nyquista (dla różnych parametrów):
N y q u is t D ia g r a m
R e a l A x is
N y q u is t D ia g r a m
R e a l A x is
UKA
AD STABILNY STRUKTURALNIE
Ad 3.c) Obiema metodami uzyskano jednakowe wyniki.
UWAGA! Ze względu na to że stabilność układu nie zależy od wzmocnienia układu został
zobrazowany wpływ wzmocnienia k na występowanie w układzie oscylacji.
I m a g in a r y A x is
I m a g in a r y A x is
Ad 3.d) Dla parametrów: ¾ = 2; É = 4 (Obiekt jest elementem inercyjnym rzÄ™du II)
n
Przebiegi linii pierwiastkowych celem wyznaczenia wzmocnienia przy którym zaczną
pojawiać się w układzie zamkniętym oscylacje:
R o o t L o c u s
3
2
S y s t e m : K o
1
G a in : 3
P o le : - 8
D a m p in g : 1
O v e r s h o o t ( % ) : 0
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 8
0
- 1
- 2
- 3
- 1 5 - 1 0 - 5 0
R e a l A x is
Charakterystyki dla k = 1:
S t e p R e s p o n s e
1
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
T im e ( s e c )
N y q u is t D ia g r a m
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
R e a l A x is
I m a g in a r y A x is
A m p lit u d e
I m a g in a r y A x is
Charakterystyki dla k = 50:
S t e p R e s p o n s e
2 0
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7
T im e ( s e c )
N y q u is t D ia g r a m
4 0
2 0
0
- 2 0
- 4 0
- 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
R e a l A x is
Dla parametrów: ¾ = 0.5; É = 4 (Obiekt jest elementem oscylacyjnym rzÄ™du II)
n
Przebiegi linii pierwiastkowych  wynika z nich że w układzie zamkniętym zawsze
będą występowały oscylacje.
R o o t L o c u s
1 0
8
S y s t e m : K o
G a in : 0 . 3 4 9
P o le : - 2 + 4 . 1 9 i
6
D a m p in g : 0 . 4 3 1
O v e r s h o o t ( % ) : 2 2 . 3
F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 4 . 6 5
4
2
0
- 2
- 4
- 6
- 8
- 1 0
- 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0
R e a l A x is
A m p lit u d e
I m a g in a r y A x is
I m a g in a r y A x is
Charakterystyki dla k = 1:
S t e p R e s p o n s e
2
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
1 . 5
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3
T im e ( s e c )
N y q u is t D ia g r a m
2
1
0
- 1
- 2
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
R e a l A x is
Charakterystyki dla k = 3:
S t e p R e s p o n s e
6
O d p o w ie d z im p u ls o w a
O d p o w ie d z s k o k o w a
4
2
0
- 2
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3
T im e ( s e c )
N y q u is t D ia g r a m
4
2
0
- 2
- 4
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3
R e a l A x is
Jak wynika z otrzymanych przebiegów niezależnie od wartości parametrów
transmitancji obiektu układ zamknięty jest stabilny. W przypadku gdy mamy do
czynienia z obiektem inercyjnym ze wzrostem wzmocnienia do pewnej granicy rośnie
stopień stabilności. Dalsze zwiększanie wzmocnienia powoduje pojawienie się w
układzie zamkniętym oscylacji (wzrasta stopień oscylacyjności). Dla obiektu
oscylacyjnego ze wzrostem wzmocnienia rosną oscylacje w układzie.
A m p lit u d e
I m a g in a r y A x is
A m p lit u d e
I m a g in a r y A x is
Punkt 4.
Kombinacja A:
K śą sźą=1 ; Kr śą sźą=k1
o
śąsT ƒÄ…1źą2
2
Równanie charakterystyczne : T s2ƒÄ…2 T sƒÄ…k1ƒÄ…1=0
2
Warunki stabilnoÅ›ci : T Ä…0 ; 2T Ä…0 ; k1ƒÄ…1Ä…0 Zawsze speÅ‚nione
UKA
AD ZAMKNI
TY STABILNY STRUKTURALNIE
Kombinacja B:
K śą sźą=1 ; K śą sźą=k1 1ƒÄ…1
o r
śą źą
sT
śą sTƒÄ…1źą2
i
2
Równanie charakterystyczne: T T s3ƒÄ…2 T T s2ƒÄ…śąk1T ƒÄ…T źą sƒÄ…k1=0
i i i i
2
Warunki stabilnoÅ›ci : T T Ä…0 ; 2 T T Ä…0 ; k1 T ƒÄ…T Ä…0 ; k1Ä…0 ;
i i i i
2
2T T śąk1T ƒÄ…T źą-k1 T T Ä…0
i i i i
2T
i
Układ zamknięty jest stabilny gdy: T d"2 T (" T ą2T '" k1"ą
i i
śą źą
T -2T
i
Kombinacja C:
K śą sźą=1 ; K śą sźą=k1
o r
sśą sT ƒÄ…1źą
Równanie charakterystyczne: T s2ƒÄ…sƒÄ…k1=0
Warunki stabilności : T ą0 ; k1ą0 Zawsze spełnione
UKA
AD ZAMKNI
TY STABILNY STRUKTURALNIE
Kombinacja D:
K śą sźą=1 ; K śą sźą=k1 1ƒÄ…1
o r
śą źą
sśą sT ƒÄ…1źą sT
i
Równanie charakterystyczne: T T s3ƒÄ…T s2ƒÄ…k1 T sƒÄ…k1=0
i i i
Warunki stabilności : T T ą0 ; T ą0 ; k1 T ą0 ; k1ą0 ;
i i i
2
T k1-k1T T Ä…0
i i
Układ zamknięty jest stabilny gdy: T "ąT
i
W dalszej części przyjęto następujące wartości parametrów: k = 10; T = 3; T = 4.
1 i
Dla tak przyjętych parametrów układy zamknięte są stabilne.
Punkt 5.
Kod z
ródłowy programu (tylko dla kombinacji A):
close all;
clear all;
clc;
% Definiowanie parametrow:
k1=10;
T=3;
Ti=4;
% Definicja transmitancji obiektu:
s=tf('s');
Ko=1/(s*T+1)^2;
% Definicja transmitancji regulatora:
Kr=minreal(k1*s/s);
% Definicja transmitancji glownej i uchybowych (od w i od z);
K=minreal((Kr*Ko)/(1+Kr*Ko));
Kew=minreal(1/(1+Kr*Ko));
Kez=minreal(Ko/(1+Kr*Ko));
% Wykreslenie odpowiedzi skokowej celem wyznaczenia uchybu w stanie ust.
step(K,'k');
% Wykreslenie odpowiedzi czasowych uchybu:
figure;
subplot(2,1,1);
step(Kew,'k');
subplot(2,1,2);
step(Kez,'k');
Kombinacja A:
Ad 5.a) Odpowiedz
skokowa układu:
S t e p R e s p o n s e
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8
T im e ( s e c )
eust=wust- yust=1-0,9091=0,0909
Ad 5.b) Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 2
0 . 1 5
0 . 1
0 . 0 5
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8
T im e ( s e c )
eust w=0.0909`"0 czyli układ statyczny ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0.0909`"0 czyli układ statyczny ze względu na wymuszenie z ;
Ad 5.c) Analityczne wyznaczenie rzędu astatyzmu:
E śą sźą
eust w=lim sÅ" Å"W śą sźą
W śąsźą
s Śą0
śą sTƒÄ…1źą2
dla W śą sźą=1 : eust w=lim =1 H"0.0909`"0
s
s Śą 0
śą sTƒÄ…1źą2ƒÄ…k1 1ƒÄ…k1
Układ statyczny ze względu na wymuszenie w.
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
E śą sźą
eust z=lim sÅ" Å"Z śą sźą
Z śą sźą
s Śą0
1
dla Z śą sźą=1 : eust z=lim =1 H"0.0909`"0
s
s Śą0
śąsT ƒÄ…1źą2ƒÄ…k1 1ƒÄ…k1
Układ statyczny ze względu na wymuszenie z.
Ad 5.d) Wyniki uzyskane poprzez ocenę przebiegów czasowych pokrywają się z analitycznymi.
Kombinacja B:
Ad 5.a) Odpowiedz
skokowa układu:
S t e p R e s p o n s e
1 . 6
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
T im e ( s e c )
eust=wust - yust=1-1=0
Ad 5.b) Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 1 5
0 . 1
0 . 0 5
0
- 0 . 0 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
T im e ( s e c )
eust w=0 układ posiada minimum I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0 układ posiada minimum I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie z ;
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s2):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1 . 5
1
0 . 5
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
T im e ( s e c )
eust w=0,4`"0 układ posiada I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0,4`"0 układ posiada I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie z ;
Ad 5.c) Analityczne wyznaczenie rzędu astatyzmu:
E śą sźą
eust w=lim sÅ" Å"W śą sźą
W śą sźą
s Śą0
T sśą sT ƒÄ…1źą2
i
dla W śą sźą=1 : eust w=lim =0 =0
s
s Śą0
T sśą sT ƒÄ…1źą2ƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
T śą sTƒÄ…1źą2 T
i i
dla W śą sźą=12 : eust w=lim = =0,4`"0
sŚą 0
s T sśą sTƒÄ…1źą2ƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
Układ posiada astatyzm I rzędu ze względu na wymuszenie w.
E śą sźą
eust z=lim sÅ" Å"Z śą sźą
Z śą sźą
s Śą0
T s
1 0
i
dla Z śą sźą= : eust z=lim = =0
s
s Śą0
T sśąsT ƒÄ…1źą2ƒÄ…k1 T sƒÄ…k1 k1
i i
T T
i i
dla Z śą sźą=12 : eust z=lim = =0,4`"0
s Śą0
s T sśą sT ƒÄ…1źą2ƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
Układ posiada astatyzm I rzędu ze względu na wymuszenie z.
Ad 5.d) Wyniki uzyskane poprzez ocenę przebiegów czasowych pokrywają się z analitycznymi.
A m p lit u d e
A m p lit u d e
Kombinacja C:
Ad 5.a) Odpowiedz
skokowa układu:
S t e p R e s p o n s e
1 . 8
1 . 6
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
T im e ( s e c )
eust=wust- yust=1-1=0
Ad 5.b) Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 2
0 . 1 5
0 . 1
0 . 0 5
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
T im e ( s e c )
eust w=0 układ posiada minimum I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0.1`"0 układ jest statyczny ze względu na wymuszenie z ;
Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s2):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
T im e ( s e c )
eust w=0,1`"0 układ posiada I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 2
0 . 1 5
0 . 1
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
p lit u d e
Ad 5.c) Analityczne wyznaczenie rzędu astatyzmu:
E śą sźą
eust w=lim sÅ" Å"W śą sźą
W śą sźą
s Śą0
sśą sT ƒÄ…1źą
dla W śą sźą=1 : eust w=lim =0 =0
s sśą sT ƒÄ…1źąƒÄ…k1 k1
s Śą0
śą sTƒÄ…1źą
dla W śą sźą=12 : eust w=lim =1 =0,1`"0
sśą sT ƒÄ…1źąƒÄ…k1 k1
sŚą 0
s
Układ posiada astatyzm I rzędu ze względu na wymuszenie w.
E śą sźą
eust z=lim sÅ" Å"Z śą sźą
Z śą sźą
s Śą0
1
dla Z śą sźą=1 : eust z=lim =1 =0,1`"0
s sśą sTƒÄ…1źąƒÄ…k1 k1
s Śą0
Układ jest statyczny ze względu na wymuszenie z.
Ad 5.d) Wyniki uzyskane poprzez ocenę przebiegów czasowych pokrywają się z analitycznymi.
Kombinacja D:
Ad 5.a) Odpowiedz
skokowa układu:
S t e p R e s p o n s e
2
1 . 8
1 . 6
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 0 1 0 0 1 5 0
T im e ( s e c )
eust=wust - yust=1-1=0
Ad 5.b) Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
0 5 0 1 0 0 1 5 0
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 3
0 . 2
0 . 1
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
0 5 0 1 0 0 1 5 0
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
- 0 . 1
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0
T im e ( s e c )
eust w=0 układ posiada minimum I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0 układ posiada minimum I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie z ;
Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 1/s2):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1
0 . 5
0
- 0 . 5
0 5 0 1 0 0 1 5 0
T im e ( s e c )
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
T im e ( s e c )
eust w=0 układ posiada minimum II rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
eust z=0,4`"0 układ posiada I rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie z ;
Ocena rzędu astatyzmu (przebiegi czasowe dla wymuszeń 2/s3):
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie w
1 . 5
1
0 . 5
0
0 5 0 1 0 0 1 5 0
T im e ( s e c )
eust w=0,8`"0 układ posiada II rząd astatyzmu ze względu na wymuszenie w ;
O p o w ie d z c z a s o w a u c h y b u n a w y m u s z e n ie z
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
T im e ( s e c )
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
A m p lit u d e
Ad 5.c) Analityczne wyznaczenie rzędu astatyzmu:
E śą sźą
eust w=lim sÅ" Å"W śą sźą
W śą sźą
s Śą0
T s2śą sT ƒÄ…1źą
i
dla W śą sźą=1 : eust w=lim =0 =0
s
s Śą0
T s2śą sT ƒÄ…1źąƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
T sśą sTƒÄ…1źą
i
dla W śą sźą=12 : eust w=lim =0 =0
sŚą 0
s T s2śą sT ƒÄ…1źąƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
2 T śą sTƒÄ…1źą 2 T
i i
dla W śą sźą=23 : eust w=lim = =0,8`"0
s Śą0
s T s2śą sTƒÄ…1źąƒÄ…k1 T sƒÄ…k1 k1
i i
Układ posiada astatyzm II rzędu ze względu na wymuszenie w.
E śą sźą
eust z=lim sÅ" Å"Z śą sźą
Z śą sźą
s Śą0
T s
1 0
i
dla Z śą sźą= : eust z=lim = =0
s
s Śą0
T s2śą sTƒÄ…1źąƒÄ…k1 T sƒÄ…k1 k1
i i
T T
i i
dla Z śą sźą=12 : eust z=lim = =0,4`"0
s Śą0
s T s2śą sT ƒÄ…1źąƒÄ…k1T sƒÄ…k1 k1
i i
Układ posiada astatyzm I rzędu ze względu na wymuszenie z.
Ad 5.d) Wyniki uzyskane poprzez ocenę przebiegów czasowych pokrywają się z analitycznymi.
4. Wnioski:
Charakter odpowiedzi czasowych jak i stabilność są uzależnione od rozkładu pierwiastków
równania charakterystycznego. Układ jest stabilny gdy części rzeczywiste pierwiastków
jego równania charakterystycznego są ujemne. Przebiegi czasowe są periodyczne gdy
występuje co najmniej jedna para sprzężonych pierwiastków równania charakterystycznego
układu.
O stabilności układu otwartego decydują jedynie bieguny jego transmitancji. Natomiast o
stabilności układu zamkniętego decydują zarówno bieguny jak i zera transmitancji układu
otwartego.
Kiedy układ jest niestabilny bądz
chcemy poprawić jakość regulacji stosuje się głównie
ujemne sprzężenie zwrotne, regulatory, korektory, bądz
połączenia wcześniej
wymienionych.
Do badania stabilności najczęściej wykorzystuje się metody Hurwitza i Nyquista, które to
można łatwo zaimplementować w środowisku Matlab dla układów o znanych parametrach.
Na podstawie analizy odpowiedzi czasowych można również określić czy badany układ jest
stabilny. W przypadku stwierdzenia że układ jest stabilny można wyznaczyć rząd astatyzmu
układu ze względu na konkretne wymuszenie.
Rząd astatyzmu ze względu na konkretne wymuszenie można zwiększać poprzez
wprowadzanie do układu w pętli sprzężenia zwrotnego elementów całkujących w taki
sposób aby bezpośrednia droga tego wymuszenia do uchybu nie przechodziła przez te
elementy całkujące.
Wprowadzanie do układu elementów całkujących niekorzystnie wpływa na stabilność
układu.
Zamknięte układy regulacji nie posiadające w swej strukturze elementu całkującego są
statyczne. Co oznacza że uchyb regulacji w stanie ustalonym nie jest zerowy.