WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZAKA
AD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI
(studia stacjonarne I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 4
STABILNOŚĆ UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH
Warszawa 2013
ĆW E RACHUN NR 7
WICZENIE NKOWE N
Temat:
Stabilność u ynamicznyc
S układów dy ch
Podczas będą następ dnienia:
s ćwiczenia poruszane b pujące zagad
�� zastosowanie wybran kryter do analizy sta
z nych riów abilności
u
układów automatyki;
�� badanie stabilności w oparciu o charakterys logary
b styki ytmiczne
u artego - okr ości..
układu otwa reślenie zapasu stabilno
1. Wpr e
rowadzenie
Stab ładu wania t iejszą o
bilność ukł sterow jest najważni jego cechą
charakte z kładu w
eryzującą zdolność uk do wykonania zadań, dla których
został on zbudow Stabi jest pojęciem określający  w
o wany. ilność ym
potoczn znacz  z z a o
nym zeniu zdolność zachowania pewnego stanu.
Rozpatr zagadn stabi zważania można rozpo od
rując nienie ilności, roz m ocząć
przykład ania się kulk ej przedstaw ys.1.
du zachowa ki swobodne wionej na ry
a) układ niestabilny b) układ stabil znie i
u y b lny asymptotycz
globalnie
c) układ stabilny ni ie d) układ stabil ycznie i
u ieasymptotyczni d lny nieasymptoty
i ieglobalnie
i globalnie lokalnie - ni
Ry wagi
ys.1. Ilustracja rodzajów stanu równow
Jeśli kulkę poddamy pr u
i o rzesunięciu, można uznać, że pozycja
równow w jak znajdu się kul odpow
wagi, kiej uje lka wiednio w czterech
stanach: ilnym, b) stabilnym as alnie, c
: a) niestabi symptotycznie i global )
stabilny nieas nie tabilnym
ym symptotyczn i globalnie, d) st
nieasym ale nie glob
mptotycznie i lokalnie, a balnie.
Z pr nej e ć ą
rzedstawion analizy wynika, że stabilność jest cechą układu,
polegają na pow o wnowagi stałej po zam
ącą wracaniu do stanu rów mknięciu
zakłócen wytrąciło ukł stanu.
nia, które w kład z tego s
W zagadnienia dotycz bilności uk erowania
ach zących stab kładów ste
przyjmie ogólniejsze po tabilność
emy odejście. Będziemy badać st
2
rozwiązań równań różniczko opisujących uk i śled jego
ń owych kład dzić
zachowa dstawie prze ektorii w prz anu (tzn.
anie na pod ebiegu traje zestrzeni sta
takiej, w której położenie punktu ok st wszystkie
p kreślone jes przez w
współrzędne tej przestrzeni i jednoz c uje
i znacznie charakteryzu stan
dynamic u), a w szcze w przestrzen
czny układu ególności w ni fazowej.
Wyr wa rodzaje s
różniamy dw stabilności:
�� w stanie sw k ażamy w
�� stabilność układu w wobodnym, którą rozwa
przypad gdy na układ nie działają sygnały zew
dku, a e s wnętrzne
(zarówn , jak i zakłó
no sterujące, ócające);
�� poddanego d zewnętrzny
�� stabilność układu p działaniom z ym.
Jeże układ swobodny znajduje się znajduje się w stanie
eli w
równow to odp y unkt wagi zestrzeni
wagi, powiadający temu pu równow w prz
fazowej umieszcza w poc jej układu współrzędnych Jest to
amy czątku u h.
dogodne aniu procesu odstawie
e przy bada u przejściowego przy t > t0 na po
trajektor nkt opisując zący z położ ątkowego
rii, jaką pun cy wychodz żenia począ
y1(t0), & , yn(t0) kreśli w n  wymi rzestrzeni fazowej,
iarowej pr
mianow
wicie:
�� jektoria dąży do początku układu
�� jeżeli t��Ą� traj d
współrzędnych (pu równo
unkt owagi), to układ jest stabilny
asympto punkt B0 na rys.2;
otycznie  p
�� t ktoria ala d u
�� jeżeli t��Ą� trajek odda się od początku układu
współrzędnych (pu wagi), to uk estabilny
unkt równow kład jest nie
 punkt C0 na rys.2
2;
�� ie dzi
�� jeżeli t��Ą� trajektoria ni wychod poza pewien
ogranicz szar czający początek układu
zony obs otac
współrzędnych, to układ jest stabilny w sensie Lapu
unowa 
punkt A0 na rys.2;
Rys zamkniętego układu regulacji
s.2. Schemat z
Punk równow x = 0 nazywać będziemy stabilnym w sensie
kt wagi b s w
definicji a, jeżeli dla niej e� a dobrać
i Lapunowa a każdej liczby dodatn można
taką licz (zależ od e�), że trajektoria ro ąca się w
zbę h� żą na ogół o ozpoczynają
3
punkcie A0, leżącym z kuli o prom wewnątrz
m wewnątrz mieniu h�, pozostanie w
kuli o pr ej chwili t >
romieniu e� dla dowolne > 0.
Nato w przypadku badania stabilności układu po
omiast s oddanego
działaniom zewnę rozpatrzony zostanie układ ste
ętrznym, r y erowania
przedsta ys.3.
awiony na ry
SYGNAA

UCHYB
ZA SYGNA Y
AKA
ÓCENIA AA
WYJŚCIOWY
REGULACJ
JI
z(t)
e(t) y(t)
OBIEKT
T
STEROWA
ANIA
SYGNAA

WEJŚCIOWY
Y
u(t)
REGULAT
TOR
e(t)
UCHYB
B
REGULACJI
Rys zamkniętego układu regulacji
s.3. Schemat z
Zam ukła linowy, przedstawi na rys będziem więc
mknięty ad iony s.3, my
uważać za stabilny jeżeli prz każdej sk w akłócenia
y, zy kończonej wartości za
z(t) i wa zada y0(t) o dowoln warun począ
artości anej oraz nych nków ątkowych
sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości u
w j ustalonej
dla cza t, dążącego do n ności. kiedy yzuje
asu nieskończon Niek precy się
dodatko że gdy po zanikn zakłó ukła powraca do tego
owo, y nięciu ócenia ad
samego stanu równ zajmowany o, to układ taki jest
nowagi co z y poprzednio
stabilny asymptoty Przy prze t)
y ycznie. ykłady ebiegów y(t występujących w
układach h i niestabil zano na rys.4.
h stabilnych lnych pokaz
a) b)
Rys.4. Ch ki czasowe: a tabilnych, b) u stabilnych
harakterystyk a) układów st układów nies
Jeże mknięty op za pomocą liniowego r
eli układ zam pisany jest z l równania
różniczk
kowego:
m
dn y dn-�1y dmx dm-�1x
d
a +�
an +� an-�1 +� ...+� a0 y =� bm +� bm-�1 +� ...+� b0 x (1)
0
dtn 1 dtn-�1 dtm dtm-�1
d t
lub odpo j mu transm ratorowej:
owiadającej mitancji oper
4
Y(�s)� bmsm +� bm-�1sm-�1 +� ... +� b0
G(�s)� =� =� (2)
Z(�s)� ansn +� an-�1sn-�1 +� ... +� a0
to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym zakłóceniu
o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej postaci:
n
ć� ��
k
y(�t)� =� �� A0 +� es t ��z0 (3)
��Ak
Ł� k=�1 ł�
gdzie: sk  pierwiastki równania charakterystycznego
układu zamkniętego; z0  wartość zakłócenia.
Zakłócenie z(t) może być wprowadzone w dowolnym miejscu
układu, a w przypadku szczególnym zakłóceniem może być również
zmiana wartości sygnału zadanego y0(t).
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej
układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu
zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste, tzn. aby pierwiastki
równania charakterystycznego leżały w lewej półpłaszczyz
nie
płaszczyzny zmiennej zespolonej, tzn.:
Re(�sk )� <� 0 (4)
Wówczas:
lim y(�t)� =� A0z0 (5)
t��Ą�
gdzie: A0  współczynnik o wartości skończonej.
Tak więc, układ jest stabilny w podany sensie, a składowe wielkości
wejściowej zanikają do zera przy t��Ą�, a pozostaje jedynie składowa
ustalona, określona statycznymi własnościami układu.
W przypadku pierwiastków zespolonych:
sk =� d� +� jw� (6)
Odpowiednie wyrazy sumy (3) mają postać:
Ake(�d� +� jw�)�t =� Aked�t(�cos(�w�t)�+� j sin(�w�t)�)� (7)
5
Wyrazy te dążą do zera przy czasie t��Ą�, jeżeli spełniony jest
warunek (4). Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania
charakterystycznego ma część rzeczywistą dodatnią:
Re(�sk )� >� 0 (8)
to:
lim y(�t)� =� Ą� (9)
t��Ą�
i układ jest stabilny.
Jeżeli równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki
wielokrotne, to w sumie (3) pojawiają się wyrazy typu:
Aki -�i t
k k
tm es (10)
(�mk -� i)�!
W tym przypadku warunek stabilności (4) pozostaje również ważny,
mk -�i
gdyż funkcja t rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza  zatem dla
Re(sk) < 0, mamy:
�� ł�
Aki -�i t
k k
limę� tm es ś� =� 0 (11)
t��Ą�
(�mk -� i)�!
�� ��
Jeżeli równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki w
półpłaszczyz
nie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych, np. jeden
pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych, to w
układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej
warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a
ściśle mówiąc nie jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki
zerowe są wielokrotne, to przebieg y(t) oddala się od początkowego
stanu równowagi, a układ jest oczywiście niestabilny.
Warunek stabilności (4) będziemy więc uważać za ogólny warunek
stabilności liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego
rozróżniania rodzajów stabilności wystąpi w układach nieliniowych,
natomiast tutaj stabilność będziemy rozumieć jako stabilność
asymptotyczną.
Przy badaniu stabilności układów, których własności dynamiczne
opisane są za pomocą równań różniczkowych wyższych rzędów (lub
odpowiednich transmitancji), natrafia się na duże trudności przy
obliczaniu pierwiastków równania charakterystycznego, gdyż jest to
równanie algebraiczne tego samego stopnia, co rząd równania
6
różniczkowego. Stosuje się wtedy jedno z kryteriów stabilności, tzn.
twierdzeń pozwalających ocenić stabilność układu na podstawie
wartości współczynników równania charakterystycznego lub przebiegu
charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, bez obliczania
pierwiastków równania (4). Należy jednak pamiętać, że wszystkie
kryteria wywodzą się warunku podstawowego (4).
O stabilności układu decyduje równanie charakterystyczne, tj.
mianownik transmitancji badanego układu. Wynik stąd, że w układzie
mają zanikać drgania swobodne opisane równaniem jednorodnym
(prawa strona równania różniczkowego jest równa zeru), które to
równanie odpowiada mianownikowi transmitancji badanego układu.
Dlatego też przy badaniu stabilności układów zajmujemy się tylko
równaniem charakterystycznym tego układu.
Z wielu opracowanych kryteriów stabilności poznamy trzy
podstawowe, które stosowane są najczęściej w praktyce inżynierskiej, a
mianowicie:
�� kryterium Hurwitza;
�� kryterium Routha;
�� kryterium Nyquista;
�� i inne.
2. Kryteria stabilności
2.1. Wprowadzenie
Kryteria stabilności są wprowadzane w celu uproszczenia
projektantowi odpowiedzi na pytanie o stabilność stworzonego modelu
matematycznego układu. Dzięki zastosowaniu odpowiednich kryteriów
stabilności można na podstawie struktury i parametrów modelu
stwierdzić, czy układ jest stabilny, bez konieczności rozwiązywania
równań modelu lub wykonywania badań symulacyjnych.
2.2. Kryterium Hurwitza
Algebraiczne kryterium stabilności, oparte na badaniu
współczynników równania charakterystycznego, udowodnione zostało
przez Hurwitza w 1895r. Pozwala ono na sprawdzenie, czy równanie
algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki ujemne lub o
ujemnych częściach rzeczywistych.
Kryterium Hurwitza można stosować tylko wtedy, kiedy znany jest
opis matematyczny badanego układu, a mianowicie jego równanie
charakterystyczne. Jest ono bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do
układów opisanych równaniami niższych stopni. Za pomocą tego
kryterium można sprawdzić stabilność układu o wszystkich
7
współczynnikach równania charakterystycznego, jak i wyznaczyć
zakresy (obszary) zmienności niektórych współczynników
zapewniające stabilność. Wadą jest brak możliwości wyznaczania
zapasu stabilności oraz utrudniona ocena wpływu poszczególnych
parametrów układu na stabilność.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby układ liniowy
stacjonarny ciągły był stabilny asymptotycznie, jest aby:
�� wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
ansn +� an-�1sn-�1 +� ...+� a1s +� a0 =� 0 (12)
Istniały i były większe od zera:
ai >� 0, i =� 0,1,2,..., n (13)
Warunek ten jest warunkiem koniecznym, ale
niewystarczającym.
�� wszystkie podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika D�n
(wyznacznika Hurwitza) były większe od zera.
D�1 >� 0, D�2 >� 0, ..., D�n-�1 >� 0,
an-�1 an-�3 an-�5 L� 0
an an-�2 an-�4 L� 0
0 an-�1 an-�3 L� 0
0 an an-�2 L� 0
M� M� M� M� M� M� M�
D�n =� (14)
M� M� M� M� M� M� M�
0 0 0 L� a1 0 0
0 0 0 L� a2 a0 0
0 0 0 L� a3 a1 0
0 0 0 L� a4 a2 a0
Jak wynika z zależności (14), wyznacznik Hurwitza tworzymy
umieszczając na głównej przekątnej kolejne współczynniki wielomianu
an-1 do a0. Następnie w poszczególnych kolumnach wpisujemy powyżej
wyrazu na przekątnej głównej wyznacznika współczynniki o indeksach
kolejno zmniejszających się o jeden, a poniżej wyrazu na przekątnej
głównej  współczynniki o indeksach kolejno zwiększających się o
jeden.
8
Jeżeli któryś ze współczynników równania charakterystycznego jest
ujemny lub równy zeru, albo któryś z podwyznaczników jest ujemny
lub równy zeru, to układ jest niestabilny. W przypadku, gdy równanie
(12) ma, min. pierwiastki czysto urojone i w przebiegu czasowym y(t)
występują drgania o stałej amplitudzie. Mówimy wówczas, że układ
znajduje się na granicy stabilności(granica stabilności należy do obszaru
niestabilnego).
Kryterium Hurwitza umożliwia stwierdzenie stabilności
asymptotycznej, jak i nieasymptotycznej. Możliwość wystąpienia
stabilności nieasymptotycznej zachodzi wtedy, kiedy w równaniu
charakterystycznym współczynnik a0 = 0. Po podzieleniu stron
równania przez s, otrzymujemy równanie stopnia n-1, w odniesieniu do
którego stosujemy kryterium Hurwitza.
2.3. Kryterium Routha
Drugim kryterium analitycznym, obok kryterium Hurwitza, jest
kryterium Routha, które oprócz odpowiedzi na pytanie o stabilność
asymptotyczną badanego modelu dostarcza informacji o liczbie
pierwiastków równania charakterystycznego, znajdujących się w prawej
półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej.
Kryterium to określa liczbę pierwiastków wielomianu
charakterystycznego w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s.
Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego badanego
układu będą znajdować się w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej
zespolonej, jeżeli zostaną spełnione następujące warunki:
�� wszystkie współczynniki równania charakterystycznego ai,
i=1, & , n, są dodatnie. Jest to warunek konieczny;
�� wszystkie współczynniki lewej skrajnej kolumny Routha są
dodatnie.
Jeżeli układ jest niestabilny asymptotycznie, to współczynniki tej
kolumny zmieniają znak. Wówczas liczba zmian znaku jest równa
liczbie pierwiastków równania charakterystycznego znajdujących się w
prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej. Tablicę Routha buduje się
według następującego schematu:
an an-�2 an-�4 an-�6 L�
an-�1 an-�3 an-�5 an-�7 L�
b1 b2 b3 b4 L�
(15)
c1 c2 c3 L�
d1 d2 L�
e1
9
gdzie:
an an-�2 an an-�4 an an-�6
an-�1 an-�3 an-�1 an-�5 an-�1 an-�7
b1 =� ,b2 =� ,b3 =� ,.....
-� an-�1 -� an-�1 -� an-�1
an an-�3 an an-�5 an an-�7
b1 b2 b1 b3 b1 b4
c1 =� ,c2 =� , c3 =� ,.....
-� b1 -� b1 -� b1
(16)
b1 b2 b1 b3
c1 c2 c1 c3
d1 =� , d2 =� ,.....
-� c1 -� c1
c1 c2
d1 d2
e1 =� ,.....
-� d1
Z każdym wierszem tablicy Routha można skojarzyć wielomian
pomocniczy, który będzie wykorzystywany w przypadku szczególnym,
czyli wtedy, kiedy wiersz współczynników okaże się składać z samych
zer:
an an-�2 an-�4 an-�6 L�
an-�1 an-�3 an-�5 an-�7 L�
b1 b2 b3 b4 L�
(17)
c1 c2 c3 L�
d1 d2 L�
e1
Wtedy wiersz składający się z zer zastępuje się współczynnikami
pochodnej wielomianu pomocniczego z poprzedniego wiersza.
Wielomian ten buduje się, sumując odpowiednie iloczyny
współczynników z tablicy Routha ze zmienną s w potędze wynikającej
z konstrukcji stowarzyszonej z nią tabeli wielomianowej. Drugą
sytuacją wyjątkową jest sytuacja, kiedy element w lewej skrajnej
kolumnie tablicy Routha równa się zeru. Wtedy badane równanie
charakterystyczne należy pomnożyć przez czynnik (s+a) i rozpocząć
badanie stabilności tak otrzymanego równania za pomocą kryterium
Routha od początku. Liczba a > 0 jest liczbą rzeczywistą i nie jest
pierwiastkiem równania charakterystycznego.
2.5 Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ
pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu
10
charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można
wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.
Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym
prz4edstawionym na rys.5. Transmitancja układu otwartego Go(s) jest
równa:
G0(�s)� =� G1(�s)�G2(�s)� (18)
Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów
otrzymamy:
Mo(�s)�
G0(�s)� =� (19)
No(�s)�
przy czym No(s) = 0 jest równaniem charakterystycznym układu
otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego Gz(s) jest równa:
G1(�s)� M (�s)�
z
Gz(�s)� =� =� (20)
1+� G0(�s)� Nz(�s)�
przy czym N(s) = 1 + Go(s) = 0 jest równaniem charakterystycznym
układu zamkniętego.
Przedstawiając równanie charakterystyczne układu zamkniętego w
postaci widmowej N(jw�) = N(s) dla s = jw� otrzymamy:
N(� jw�)� =� 1+� G0(�s)� =� 1+� Go(� jw�)� (21)
s=� jw�
gdzie: Go(jw�) jest charakterystyką częstotliwościową układu
otwartego
Stabilność układu zamkniętego zależy od jego równania
charakterystycznego N(s) = 0. Z równania (21) wynika, że można ją
ocenić na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu
otwartego Go(jw�).
Rys.5. Schemat blokowy układu
11
Kryteriu a można sfo o:
um Nyquista ormułować następująco
ukła zamknię jest st żeli ost entu
ad ęty tabilny, jeż przyro argume
wyra ktora) 1 + Go(jw�) przy ulsacji od 0
ażenia (wek G y zmianie pu w� o
do Ą� jest równy ią pierwiast ania
Ą� y kp�, gdzie k jest ilości tków równa
char znego du go, ci istej
rakterystycz układ otwarteg o częśc rzeczywi
doda
atniej, czyli:
D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�=� kp� (22)
Przy argum wekt należy rozumieć jako obro tego
yrost mentu tora y otu
wektora anie pulsacji resie.
a, przy zmia i w� w określonym zakr
Zwr uwag jeżeli k to układ otwar jest nie
róćmy gę, k ą� 0, u rty estabilny,
poniewa posiada pierwiastki równania charaktery
aż i ystycznego o części
rzeczyw dodat Stąd wynika, że istnieją układy za
wistej tniej. ż amknięte
stabilne, pomimo że układ otw estabilny.
warty jest nie
Spos oblicza przyro argum D�j� wektora 1
sób ania ostu mentu 1+Go(jw�)
pokazan
no na rys.6.
Ry b obliczania u argument wekt
ys.6. Sposób a przyrostu tu D�j� tora
1+Go(jw�)
G j� w� G
D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�=� D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�+� D�j� [�1+�Go(� jw�)�]�+�
0<�w�<�Ą� 0<�w�<�w�1 w�1 <�w�<�w�2
<� w�
G ]�
+� D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�+� D�j� [�1+� Go(� jw�)�]� (23)
w�2 <�w�<�w�3 w�1 <�w�<�Ą�
w�
D�j�1 +� D�j�2 +� D�j�3 +� D�j�4 =� -�p� -�a� +� a� +�p� =� 0
+� p�
3
Wzó (23) wy ze st a, rost entu
ór ynika twierdzenia że przyr argume D�j�
wektora 1+Go(jw�) rozumiany jest jako kąt obrotu tego wekto przy
a y tora
zmianie w� od 0 do Ą�, którą to m bić na kolej
o zmianę możemy rozb jne etapy
(w� = 0 d = w�1; w� = do w�=
do w� w� =w�1, itd.)
Rozp becnie przyp zęściej występujący k =
patrzmy ob padek najcz = 0, tzn.
że układ est stabilny. Z podaneg j kryterium wynika,
d otwarty je go powyżej
12
że układ est stabilny. Z podaneg j kryterium wynika,
d otwarty je go powyżej
że układ e też jest stab
d zamknięte abilny, jeżeli:
D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�=� 0 (24)
)�
0<�w�<�Ą�
Przy iegu charak mplitudowo  fazowych
ykład przebi kterystyk am h Go(jw�)
układu otwartych stabilnych, które po za b abilne, b)
o s amknięciu będą: a) sta
niestabil
lne (rys.7).
Rys.7 rzebiegu charakterystyk a o  fazowych Go(jw�)
7. Przykład pr amplitudowo G
układu otwartyc h, które po zamknięciu będ e, b)
ch stabilnych dą: a) stabilne
niestabilne
Gdy w układzi otwartym występuje jeden lub więcej ele
y ie m e b ementów
całkując kterystyka Go(jw�) zaczyna się w n ności (dla
cych, charak G nieskończon
w� = 0). Należy wt charak t okręgu
tedy kterystykę te uzupełnić częścią o o
13
promien równym nieskońc artek,
niu m czoności R = Ą� przez tyle ćwia ile
występu elemen całku N rzypadek
uje ntów kujących. Na rys.7 trzeci pr
odpowia układow otwartem w którym występ jeden element
ada wi mu, puje
całkując pełniony cz gu narysowa
cy, dlatego został uzup zęścią okręg aną linią
przeryw
waną.
Rozp kład rty y, ym ują
patrzmy uk otwar stabilny w który występu dwa
element e, wtedy prz rakterystyki Go(jw�) jest
ty całkujące zebieg char t zgodny
z rys.8. Charaktery tę na uzupe półokr o pr
ystykę ależy ełnić ręgiem romieniu
R = Ą�.
Rys erystyka Go(jw� wartego z dw tami
s.8. Charakte w�) układu otw woma element
całkującymi
i
Z ry e taki układ ięciu będzie
ysunku tego wynika, że d po zamkni e zawsze
niestabil niestabilny strukturalni aż punkt (-1
lny (układ n ie), poniewa 1,j0) leży
po praw yki Go(jw�).
wej stronie charakterysty
Kryt to je proste w praktyczn zastoso y
terium est w nym owaniu, gdy znamy
charakte m z że
erystykę amplitudowo  fazową Go(jw�) oraz wiemy, ż układ
otwarty jest stabi otrzym ana ementów
ilny, mamy alizując stabilność ele
(podzesp chodzących w skład układu otwartego Jeżeli
połów) wc h d o.
stwierdz że wszystkie elementy sk to
zimy, w kładowe są stabilne, t układ
otwarty też jest stabilny. W celu udowodn pow
nienia wyższego
stwierdz przyj e o łada z
zenia jmiemy, że układ otwarty skł się z dwóch
element mitancji G1(  rys.5.
tów o transm (s) i G2(s) 
)� M
M1(�s)� M2(�s)� Mo(�s)�
Go(�s)�=� G1(�s)�G2(�s)�=� =� (25)
2
N1(�s)� N2(�s)� No(�s)�
N
(� M2(�s)�
gdzi
ie: G (�s)�=� M1(�s)�; G2(�s)�=� M
1
N1(�s)� N2(�s)�
N
Stąd (s nacza wielom kterystyczny
d No(s)=N1(s)N2(s) ozn mian charak y układu
otwarteg równy iloczyno wielom c tycznych
go owi mianów charakteryst
element adowych. Zatem pierwiastkami r
tów skła równania
14
charakterystycznego układu otwartego są pierwiastki równań
charakterystycznych elementów składowych. Powyższe rozumowanie
można rozszerzyć na dowolną ilość elementów składowych.
3. Przykłady
Przykład 1.
Zbadać stabilność układu otwartego i zamkniętego o schemacie
blokowym (rys.9), gdzie G1(s) oznacza transmitancję regulatora PD. W
tym celu należy skorzystać z kryterium Hurwitza
s +�1
G1(�s)� =� ; G2(�s)� =� 2(�s +�1)� (26)
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
Rys.9. Charakterystyka Go(jw�) układu otwartego z dwoma elementami
całkującymi
I. Transmitancja układu otwartego Go(s) jest równa:
2
2(�s +�1)�
Go(�s)�=� G1(�s)�G2(�s)�=� (27)
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
stąd równanie charakterystyczne układu otwartego Go(s) ma postać:
No(�s)�=� s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2 =� 0 (28)
1) warunek konieczny jest spełniony, ponieważ a4>0, a3>0,
a2>0, a1>0, a0>0.
Wyznacznik Hurwitza układu otwartego ma postać:
a3 a4 0 0 2 1 0 0
a1 a2 a3 a4 1 3 2 1
D�4(�s)�=� =� (29)
0 a0 a1 a2 0 2 1 3
0 0 0 a0 0 0 0 2
2) warunek wystarczający wymaga sprawdzenia znaku
podwyznacznik D�2 i D�3:
15
a3 a4 2 1
D�2(�s)� =� =� =� 6 -�1 =� 5 >� 0 (30)
a1 a2 1 3
a3 a4 0 2 1 0
D�3(�s)�=� a1 a2 a3 =� 1 3 2 =�
0 a0 a1 0 2 1 (31)
1 0 2 0 2 1
0 -� 2 +�1 =� -�8 +� 5 =� -�3 >� 0
3 2 1 2 1 3
Układ otwarty jest niestabilny, ponieważ D�3 < 0.
II. Transmitancja układu zamkniętego Gz(s) jest równa:
Y(�s)� G1
G1(�s)�=� =� =�
X(�s)� 1+� G0
s +�1
(32)
s +�1
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
=� =�
2
2(�s +�1)� s4 +� 2s3 +� 5s2 +� 5s +� 4
1+�
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego N(s) ma
postać:
N(�s)�=� s4 +� 2s3 +� 5s2 +� 5s +� 4 =� 0 (33)
1) Warunek konieczny spełniony.
Wyznacznik Hurwitza D�4 ma postać:
2 1 0 0
5 5 2 1
D�4(�s)� =� (34)
0 4 5 5
0 0 0 4
2) Warunek wystarczający wymaga sprawdzenia znaku
podwyznacznika D�2 i D�3:
a3 a4 2 1
D�2(�s)�=� =� =� 10 -� 5 =� 5 >� 0 (35)
a1 a2 5 5
16
2 1 0
1 0 2 0 2 1
D�3(�s)�=� 5 5 2 =� 0 -� 4 +� 5 =�
5 2 5 2 5 5 (36)
0 4 5
=� -�16 +� 25 =� 9 >� 0
Układ zamknięty jest stabilny.
Mamy tu do czynienia z przypadkiem, kiedy niestabilny układ
otwarty po zamknięciu staje się układem stabilnym.
Przykład 2
Określić stabilność układu zamkniętego o schemacie blokowym
przedstawionym na rys.10, gdzie w torze głównym występuje element
całkujący rzeczywisty o transmitancji:
kv
G1(�s)� =� (37)
s(�Ts +�1)�
Stabilność należy określić z wykorzystaniem kryterium Nyquista.
k
v
s (�Ts +� 1)�
Rys.10. Schemat blokowy układu
W analizowanym przykładzie transmitancja układu otwartego jest
równa transmitancji G1(s).
Charakterystyka amplitudowo  fazowa układu otwartego Go(jw�)
przedstawiona jest na rys.10.
Układ otwarty jest stabilny dla T > 0, gdyż element całkujący
rzeczywisty jest stabilny (nieasymptotycznie). Posiada bowiem
pierwiastki równania charakterystycznego s1 = 0, s2 = -1/T.
Ponieważ w układzie otwartym występuje element całkujący,
charakterystykę uzupełniamy częścią okręgu R = Ą� (linia przerywana
na rys.11). Z rysunku tego wynika również, że układ zamknięty będzie
zawsze stabilny, niezależnie od wartości kv i dla T > 0, ponieważ punkt
(-1,j0) leży zawsze po lewej stronie charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego Go(jw�).
17
k
-�
T
R =� Ą�
Rys.11. Charakterystyka amplitudowo  fazowa układu otwartego
o transmitancji G kv
(�s)�=�
1
s(�Ts +�1)�
Przykład 3
Zbadać stabilność systemu opisanego przez wielomian
charakterystyczny M(s) = s4+s3+s2+2s+1. W tym celu należy
wykorzystać kryterium Routha.
W tym celu budujemy tablice Routha zgodnie z zależnością (15).
Wówczas otrzymamy:
1 1 1
s4
1 2 0
s3
(38)
-�1 1 0
s2
3 0
s1
1 0
s0
Ponieważ w pierwszej kolumnie występuje podwójna zmiana znaku,
wielomian M(s) ma dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyz
nie
zespolonej s.
Przykład 4
Zbadać stabilność systemu opisanego przez wielomian
charakterystyczny M(s) = s4+s3+2s2+2s+2. W tym celu należy
wykorzystać kryterium Routha.
W tym celu budujemy tablice Routha zgodnie z zależnością (15).
Wówczas otrzymamy:
18
1 2 2
s4
1 2 0
s3
(39)
0 2 0
s2
Ą�
s1
s0
Ponieważ trzeci element pierwszej kolumny jest zerem, tablica nie
może być uzupełniona. Po pomnożeniu wielomianu M(s) przez (s+1)
otrzymuje się wielomian M1(s)=(s+1)M(s)=s5+2s4+3s3+4s2+4s+2, dla
którego tablica Routha ma postać:
1 3 4
s5
2 4 2
s4
1 3 0
s3
(40)
-� 2 2
s2
4 0
s1
2
s0
Ponieważ w pierwszej kolumnie występuje podwójna zmiana znaku,
wielomian M1(s) (czyli również wielomian M(s)) ma dwa pierwiastki w
prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s.
6. Literatura
1. Zbigniew WAA
ACH  Cybernetyka techniczna. Część I 
Eksploatacja osprzętu , Wydział Wydawniczy WAT,
Warszawa 1983
2. Janusz KOWAL  Podstawy automatyki. T1 , Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004,
Sygnatura: 60378
3. Tadeusz Kaczorek  Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe
i dyskretne . Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
4. Dariusz Horla  Podstawy automatyki. Ćwiczenia rachunkowe.
Część I , Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2003.
5. Władysław Pełczewski  Teoria sterowania. Ciągłe stacjonarne
układy liniowe Wydawnictwa Naukowo  Techniczne, Warszawa
1980, Sygnatura: II  65523.
19