WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZAKA
AD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI
(studia stacjonarne I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 4
STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKA
ADÓW AUTOMATYKI
Warszawa 2014
ĆW E RACHUN NR 7
WICZENIE NKOWE N
Temat:
Stabilność u ynamicznyc
S układów dy ch
1. Wpr e
rowadzenie
Stabi układu sterowania jest najważn jego cechą charak
ilność u niejszą c kteryzującą
zdolność układu do wykonania zad dla który został on zbudowany. Stabilność
w dań, ych
jest pojęciem określa  w potocznym znaczeniu  zdolność za
ającym achowania
pewnego stanu. Rozpat nienie stabilno nia można roz
trując zagadn ości, rozważan zpocząć od
przykładu bodnej przeds
u zachowania się kulki swob stawionej na rys.1.
a) układ niestabilny b) układ stabil znie i
u y b lny asymptotycz
globalnie
c) układ stabilny ni ie d) układ stabil ycznie i
u ieasymptotyczni d lny nieasymptoty
i ieglobalnie
i globalnie lokalnie - ni
Rys.1. Ilustrac anu równowagi
cja rodzajów sta
Jeśli kulkę poddam ciu, można uz cja równowag
my przesunięc znać, że pozyc gi, w jakiej
znajduje się kulka odp nach:
powiednio w czterech stan a) niestabilnym, b) stabilnym
asymptoty alnie, c) stabi mptotycznie i globalnie, d) stabilnym
ycznie i globa ilnym nieasym
nieasymptotycznie i lok e globalnie.
kalnie, ale nie
Z prz ka, że stabilność jest cechą egającą na
zedstawionej analizy wynik ą układu, pole
powracan do stanu równowagi s po zam zakłó które wytrąciło
niu stałej mknięciu ócenia,
układ z te
ego stanu.
W zagadnieniach dotyczących stabilności układów sterowania pr
z h h i rzyjmiemy
ogólniejsz podejście. Będziemy ba stabilnoś rozwiązań równań różniiczkowych
ze adać ść
opisujący układ i śl jego z a ajektorii
ych ledzić zachowanie na podstawie przebiegu traj w
przestrzen takiej, w które punktu określo
ni stanu (tzn. t ej położenie p one jest przez wszystkie
współrzęd rzeni i jednozn kteryzuje stan
dne tej przestr nacznie charak n dynamiczny układu), a
w szczegó estrzeni fazow
ólności w prze wej.
Wyró ności:
óżniamy dwa rodzaje stabiln
�� ć układu w sta nym, którą roz przypadku,
�� stabilność tanie swobodn zważamy w p
gdy na uk łają sygnały zewnętrzne (z ujące, jak i
kład nie dział z zarówno steruj
zakłócające);
�� ć układu podd niom zewnętrz
�� stabilność danego działan znym.
2
Jeżeli układ swo znajd się znaj się w stanie równ to
obodny duje jduje nowagi,
odpowiad temu punkt równo w przestrzeni faz umiesz w
dający owagi zowej zczamy
początku jej układu współrzędny Jest to dogodne przy badaniu procesu
ych. o p u
przejściow > t0 na podstaw i, jaką punkt o chodzący z
wego przy t > wie trajektorii opisujący wyc
położenia go y1(t0), & , yn(t0) kreśli w n  wymiarow ni fazowej,
a początkoweg y wej przestrzen
mianowic
cie:
�� ��Ą� czątku u ych
�� jeżeli t�� trajektoria dąży do poc układu współrzędny (punkt
równowag est stabilny as e  punkt B0 n
gi), to układ je symptotycznie na rys.2;
�� ��Ą� a ółrzędnych
�� jeżeli t�� trajektoria oddala się od początku układu wspó
(punkt rów estabilny  pun 2;
wnowagi), to układ jest nie nkt C0 na rys.2
�� ��Ą� a dzi ien ony
�� jeżeli t�� trajektoria nie wychod poza pewi ograniczo obszar
otaczający początek u współ stabilny
y układu łrzędnych, to układ jest s w
sensie Lap nkt A0 na rys.2
punowa  pun 2;
Rys.2. Schema układu regulacji
at zamkniętego u
Punk równowagi x = 0 nazy będzie stabilnym w sensie definicji
kt ywać emy m e
Lapunowa, jeżeli dla k dodatniej e� można dobrać taką liczbę h� (zależą na
każdej liczby d m t
e� ria rozpoczyn punkcie A0, leżącym wewną
ogół od e�), że trajektor nająca się w p ątrz kuli o
promieniu ie wewnątrz k niu e� dla dowo > 0.
u h�, pozostani kuli o promien olnej chwili t >
Natom w prz ania ości działaniom
miast zypadku bada stabilno układu poddanego d
zewnętrzn układ sterowa wiony na rys.3
nym, rozpatrzony zostanie u ania przedstaw 3.
Rys.3. Schema układu regulacji
at zamkniętego u
3
Zamk układ linowy, prze a ziemy uważać
knięty edstawiony na rys.3, będz więc u za
stabilny, jeżeli przy każ nej wartości zakłócenia z(t) i wartości za
j żdej skończon adanej y0(t)
oraz dow warun początk sygn wyjściowy y(t) dążyć będzie do
wolnych nków kowych nał y
skończonej wartości ustalonej dla czasu t, dążą do nies
u ącego skończoności.. Niekiedy
precyzuje się dodatkow że gdy p zaniknięciu zakłócenia układ powrac do tego
e wo, po u ca
samego stanu równow co zajm popr to układ taki jes stabilny
s wagi mowany rzednio, st
asymptoty Przyk przebieg y(t) wys w
ycznie. kłady gów stępujących w układach sttabilnych i
niestabiln o na rys.4.
nych pokazano
a) b)
R rystyki czasowe: bilnych, b) układ ch
Rys.4. Charakter : a) układów stab dów niestabilnyc
Jeżeli układ za isany
amknięty opi jest za pomocą liniowego równania
różniczko
owego:
n n-�1 m
d y d y d
dmx dm-�1x
an +� an-�1 +� ...+� a0 y =� bm +� bm-�1 +� ...+� b0 x (1)
a +�
0
dtn 1 dtn-�1 dtm dtm-�1
d t
lub odpow u transmitancji ej:
wiadającej mu i operatorowe
Y(�s)� bmsm +� bm-�1sm-�1 +� ...+� b0
-�
G =�
G(�s)� =� =� (2)
Z(�s)� ansn +� an-�1sn-�1 +� ...+� a0
a
-�
to czasow przebieg sygnału wyjśc y(t) po dowolnym zakłóceniu o wartości
wy s ciowego p m o
skończonej opisany jest wzorem o na ostaci:
astępującej po
n
ć� ��
k
y(�t)� =� �� A0 +� es t ��z0 (3)
��Ak
k
Ł� k=�1 ł�
gdz tki równania char
zie: sk  pierwiast rakterystycznego układu zamkniętego;
z0  wartość z
zakłócenia.
Zakłó z(t) może być wp w
ócenie m prowadzone w dowolnym miejscu ukłładu, a w
przypadku szczególnym zakłócenie może być również zmiana wartośc sygnału
u em ć m ci
zadanego y0(t).
Koniecznym i dos warunkiem stab asym kładu
statecznym w bilności mptotycznej uk jest,
aby pierw równa charakte kniętego
wiastki ania erystycznego układu zamk miałły ujemne
części rze n. aby pierwia a charakterystycznego leżałły w lewej
eczywiste, tzn astki równania
półpłaszczyz
nie płaszcz nej zespolonej, tzn.:
zyzny zmienn
4
 Re(�sk )� <� 0 (4)
Wówczas:
lim y(�t)� =� A0z0 (5)
t��Ą�
gdzie: A0  współczynnik o wartości skończonej.
Tak więc, układ jest stabilny w podany sensie, a składowe wielkości wejściowej
zanikają do zera przy t��Ą�, a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona
statycznymi własnościami układu.
W przypadku pierwiastków zespolonych:
sk =� d� +� jw� (6)
Odpowiednie wyrazy sumy (3) mają postać:
Ake(�d� +� jw�)�t =� Aked�t(�cos(�w�t)�+� j sin(�w�t)�)� (7)
Wyrazy te dążą do zera przy czasie t��Ą�, jeżeli spełniony jest warunek (4). Jeżeli
chociaż jeden z pierwiastków równania charakterystycznego ma część rzeczywistą
dodatnią:
Re(�sk )� >� 0 (8)
to:
lim y(�t)� =� Ą� (9)
t��Ą�
i układ jest stabilny.
Jeżeli równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki wielokrotne, to w
sumie (3) pojawiają się wyrazy typu:
Aki -�i t
k k
tm es (10)
(�mk -� i)�!
W tym przypadku warunek stabilności (4) pozostaje również ważny, gdyż funkcja
mk -�i
t rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza  zatem dla Re(sk) < 0, mamy:
�� ł�
Aki -�i t
k k
limę� tm es ś� =� 0 (11)
t��Ą�
(�mk -� i)�!
�� ��
Jeżeli równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki w półpłaszczyz
nie oraz
jednokrotne na osi liczb urojonych, np. jeden pierwiastek zerowy lub parę
pierwiastków urojonych sprzężonych, to w układzie będą występować drgania o stałej
amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy
stabilności, a ściśle mówiąc nie jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki zerowe
5
są wielokrotne, to przebieg y(t) oddala się od początkowego stanu równowagi, a układ
jest oczywiście niestabilny.
Warunek stabilności (4) będziemy więc uważać za ogólny warunek stabilności
liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego rozróżniania rodzajów
stabilności wystąpi w układach nieliniowych, natomiast tutaj stabilność będziemy
rozumieć jako stabilność asymptotyczną.
Przy badaniu stabilności układów, których własności dynamiczne opisane są za
pomocą równań różniczkowych wyższych rzędów (lub odpowiednich transmitancji),
natrafia się na duże trudności przy obliczaniu pierwiastków równania
charakterystycznego, gdyż jest to równanie algebraiczne tego samego stopnia, co rząd
równania różniczkowego. Stosuje się wtedy jedno z kryteriów stabilności, tzn.
twierdzeń pozwalających ocenić stabilność układu na podstawie wartości
współczynników równania charakterystycznego lub przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, bez obliczania pierwiastków równania (4).
Należy jednak pamiętać, że wszystkie kryteria wywodzą się warunku
podstawowego (4).
O stabilności układu decyduje równanie charakterystyczne, tj. mianownik
transmitancji badanego układu. Wynik stąd, że w układzie mają zanikać drgania
swobodne opisane równaniem jednorodnym (prawa strona równania różniczkowego
jest równa zeru), które to równanie odpowiada mianownikowi transmitancji badanego
układu. Dlatego też przy badaniu stabilności układów zajmujemy się tylko równaniem
charakterystycznym tego układu.
Z wielu opracowanych kryteriów stabilności poznamy trzy podstawowe, które
stosowane są najczęściej w praktyce inżynierskiej, a mianowicie:
�� kryterium Hurwitza;
�� kryterium Routha;
�� kryterium Nyquista;
�� i inne.
2. Kryteria stabilności
2.1. Wprowadzenie
Kryteria stabilności są wprowadzane w celu uproszczenia projektantowi
odpowiedzi na pytanie o stabilność stworzonego modelu matematycznego układu.
Dzięki zastosowaniu odpowiednich kryteriów stabilności można na podstawie
struktury i parametrów modelu stwierdzić, czy układ jest stabilny, bez konieczności
rozwiązywania równań modelu lub wykonywania badań symulacyjnych.
2.2. Kryterium Hurwitza
Algebraiczne kryterium stabilności, oparte na badaniu współczynników równania
charakterystycznego, udowodnione zostało przez Hurwitza w 1895r. Pozwala ono na
sprawdzenie, czy równanie algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki
ujemne lub o ujemnych częściach rzeczywistych.
Kryterium Hurwitza można stosować tylko wtedy, kiedy znany jest opis
matematyczny badanego układu, a mianowicie jego równanie charakterystyczne. Jest
ono bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do układów opisanych równaniami
niższych stopni. Za pomocą tego kryterium można sprawdzić stabilność układu o
wszystkich współczynnikach równania charakterystycznego, jak i wyznaczyć zakresy
(obszary) zmienności niektórych współczynników zapewniające stabilność. Wadą jest
brak możliwości wyznaczania zapasu stabilności oraz utrudniona ocena wpływu
poszczególnych parametrów układu na stabilność.
6
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby układ liniowy stacjonarny ciągły
był stabilny asymptotycznie, jest aby:
�� wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
ansn +� an-�1sn-�1 +� ...+� a1s +� a0 =� 0 (12)
Istniały i były większe od zera:
ai >� 0, i =� 0,1,2,..., n (13)
Warunek ten jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
�� wszystkie podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika D�n
(wyznacznika Hurwitza) były większe od zera.
D�1 >� 0, D�2 >� 0, ..., D�n-�1 >� 0,
an-�1 an-�3 an-�5 L� 0
an an-�2 an-�4 L� 0
0 an-�1 an-�3 L� 0
0 an an-�2 L� 0
M� M� M� M� M� M� M�
D�n =� (14)
M� M� M� M� M� M� M�
0 0 0 L� a1 0 0
0 0 0 L� a2 a0 0
0 0 0 L� a3 a1 0
0 0 0 L� a4 a2 a0
Jak wynika z zależności (14), wyznacznik Hurwitza tworzymy umieszczając na
głównej przekątnej kolejne współczynniki wielomianu an-1 do a0. Następnie w
poszczególnych kolumnach wpisujemy powyżej wyrazu na przekątnej głównej
wyznacznika współczynniki o indeksach kolejno zmniejszających się o jeden, a
poniżej wyrazu na przekątnej głównej  współczynniki o indeksach kolejno
zwiększających się o jeden.
Jeżeli któryś ze współczynników równania charakterystycznego jest ujemny lub
równy zeru, albo któryś z podwyznaczników jest ujemny lub równy zeru, to układ jest
niestabilny. W przypadku, gdy równanie (12) ma, min. pierwiastki czysto urojone i w
przebiegu czasowym y(t) występują drgania o stałej amplitudzie. Mówimy wówczas,
że układ znajduje się na granicy stabilności(granica stabilności należy do obszaru
niestabilnego).
Kryterium Hurwitza umożliwia stwierdzenie stabilności asymptotycznej, jak
i nieasymptotycznej. Możliwość wystąpienia stabilności nieasymptotycznej zachodzi
wtedy, kiedy w równaniu charakterystycznym współczynnik a0 = 0. Po podzieleniu
stron równania przez s, otrzymujemy równanie stopnia n-1, w odniesieniu do którego
stosujemy kryterium Hurwitza.
7
2.3. Kryterium Routha
Drugim kryterium analitycznym, obok kryterium Hurwitza, jest kryterium
Routha, które oprócz odpowiedzi na pytanie o stabilność asymptotyczną badanego
modelu dostarcza informacji o liczbie pierwiastków równania charakterystycznego,
znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej.
Kryterium to określa liczbę pierwiastków wielomianu charakterystycznego w
prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s.
Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego badanego układu będą
znajdować się w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej, jeżeli zostaną spełnione
następujące warunki:
�� wszystkie współczynniki równania charakterystycznego ai, i=1, & , n, są
dodatnie. Jest to warunek konieczny;
�� wszystkie współczynniki lewej skrajnej kolumny Routha są dodatnie.
Jeżeli układ jest niestabilny asymptotycznie, to współczynniki tej kolumny
zmieniają znak. Wówczas liczba zmian znaku jest równa liczbie pierwiastków
równania charakterystycznego znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej
zespolonej. Tablicę Routha buduje się według następującego schematu:
an an-�2 an-�4 an-�6 L�
an-�1 an-�3 an-�5 an-�7 L�
b1 b2 b3 b4 L�
(15)
c1 c2 c3 L�
d1 d2 L�
e1
gdzie:
2 4 6

1 3 2 1 5 3 1 7
1 , , , &
1 1 1
1 3 1 5 1 7

1 2 2 1 3 1 1 4
1 , ,
1 1 1
1 3
1 2

1 2 2 1 3
1 ,
1 1
1 2

1 2
1
1
(16)
Z każdym wierszem tablicy Routha można skojarzyć wielomian pomocniczy,
który będzie wykorzystywany w przypadku szczególnym, czyli wtedy, kiedy wiersz
współczynników okaże się składać z samych zer:
8
an an-�2 an-�4 an-�6 L�
an-�1 an-�3 an-�5 an-�7 L�
b1 b2 b3 b4 L�
(17)
c1 c2 c3 L�
d1 d2 L�
e1
Wtedy wiersz składający się z zer zastępuje się współczynnikami pochodnej
wielomianu pomocniczego z poprzedniego wiersza. Wielomian ten buduje się,
sumując odpowiednie iloczyny współczynników z tablicy Routha ze zmienną s w
potędze wynikającej z konstrukcji stowarzyszonej z nią tabeli wielomianowej. Drugą
sytuacją wyjątkową jest sytuacja, kiedy element w lewej skrajnej kolumnie tablicy
Routha równa się zeru. Wtedy badane równanie charakterystyczne należy pomnożyć
przez czynnik (s+a) i rozpocząć badanie stabilności tak otrzymanego równania za
pomocą kryterium Routha od początku. Liczba a > 0 jest liczbą rzeczywistą i nie jest
pierwiastkiem równania charakterystycznego.
2.5 Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać
stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie,
jak i doświadczalnie.
Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym prz4edstawionym na rys.5.
Transmitancja układu otwartego Go(s) jest równa:
G0(�s)� =� G1(�s)�G2(�s)� (18)
Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów otrzymamy:
Mo(�s)�
G0(�s)� =� (19)
No(�s)�
przy czym No(s) = 0 jest równaniem charakterystycznym układu otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego Gz(s) jest równa:
G1(�s)� M (�s)�
z
Gz(�s)� =� =� (20)
1+� G0(�s)� Nz(�s)�
przy czym N(s) = 1 + Go(s) = 0 jest równaniem charakterystycznym układu
zamkniętego.
Przedstawiając równanie charakterystyczne układu zamkniętego w postaci
widmowej N(jw�) = N(s) dla s = jw� otrzymamy:
N(� jw�)� =� 1+� G0(�s)� =� 1+� Go(� jw�)� (21)
s=� jw�
gdzie: Go(jw�) jest charakterystyką częstotliwościową układu otwartego
9
Stabilność układu zamkniętego zależy od jego równania charakterystycznego
N(s) = 0. Z równania (21) wynika, że można ją ocenić na podstawie charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego Go(jw�).
Rys.5. Schemat blokowy układu
Kryterium Nyquista można sformułować następująco:
układ zamknięty jest stabilny, jeżeli przyrost argumentu wyrażenia
(wektora) 1 + Go(jw�) przy zmianie pulsacji w� od 0 do Ą� jest równy kp�,
gdzie k jest ilością pierwiastków równania charakterystycznego układu
otwartego, o części rzeczywistej dodatniej, czyli:
D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�=� kp� (22)
Przyrost argumentu wektora należy rozumieć jako obrotu tego wektora, przy
zmianie pulsacji w� w określonym zakresie.
Zwróćmy uwagę, jeżeli k ą� 0, to układ otwarty jest niestabilny, ponieważ posiada
pierwiastki równania charakterystycznego o części rzeczywistej dodatniej. Stąd
wynika, że istnieją układy zamknięte stabilne, pomimo że układ otwarty jest
niestabilny.
Sposób obliczania przyrostu argumentu D�j� wektora 1+Go(jw�) pokazano na rys.6.
Rys.6. Sposób obliczania przyrostu argumentu D�j� wektora 1+Go(jw�)
D�j� [�1+� Go(�jw�)�]�=� D�j� [�1+� Go(�jw�)�]�+� D�j� [�1+� Go(�jw�)�]�+�
0<�w�<�Ą� 0<�w�<�w�1 w�1 <�w�<�w�2
+� D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�+� D�j� [�1+� Go(� jw�)�]� (23)
w�2 <�w�<�w�3 w�1 <�w�<�Ą�
D�j�1 +� D�j�2 +� D�j�3 +� D�j�4 =� -�p� -�a� +� a� +� p� =� 0
10
Wzór (23) wynika ze stwierdzenia, że przyrost argumentu D�j� wektora 1+Go(jw�)
rozumiany jest jako kąt obrotu tego wektora przy zmianie w� od 0 do Ą�, którą to
zmianę możemy rozbić na kolejne etapy (w� = 0 do w� = w�1; w� = do w�=w�1, itd.)
Rozpatrzmy obecnie przypadek najczęściej występujący k = 0, tzn. że układ
otwarty jest stabilny. Z podanego powyżej kryterium wynika, że układ otwarty jest
stabilny. Z podanego powyżej kryterium wynika, że układ zamknięte też jest stabilny,
jeżeli:
D�j� [�1+� Go(� jw�)�]�=� 0 (24)
0<�w�<�Ą�
Przykład przebiegu charakterystyk amplitudowo  fazowych Go(jw�) układu
otwartych stabilnych, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne (rys.7).
a) b)
Q(�)
Q(�)
"Ć[1+G0(j�)]=0
"Ć[1+G0(j�)]=-2Ą
0<�<"
0<�<"
-1,j0 �=" �=0
�=" �=0 P(�)P(�)
-1,j0
1+G0(j�)
G0(j�)
Q(�) Q(�)
-1,j0 -1,j0
�=" �=0 P(�) �=" �=0 P(�)
1+G0(j�)
G0(j�)
� �
0 0
Q(�) Q(�)
-1,j0 �=" �=0 P(�) �=" �=0 P(�)
-1,j0
1+G0(j�)
1+G0(j�)
Rys.7. Przykład przebiegu charakterystyk amplitudowo  fazowych Go(jw�)
układu otwartych stabilnych, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne
11
1
)
+
�
j
G
(
0
0
(
G
j
�
)
)
�
j
)
(
�
0
j
(
0
G
G
+
1
Gdy w układzie otwartym występuje jeden lub więcej elementów całkujących,
charakterystyka Go(jw�) zaczyna się w nieskończoności (dla w� = 0). Należy wtedy
charakterystykę te uzupełnić częścią okręgu o promieniu równym nieskończoności
R = Ą� przez tyle ćwiartek, ile występuje elementów całkujących. Na rys.7 trzeci
przypadek odpowiada układowi otwartemu, w którym występuje jeden element
całkujący, dlatego został uzupełniony częścią okręgu narysowaną linią przerywaną.
Rozpatrzmy układ otwarty stabilny, w którym występują dwa elementy całkujące,
wtedy przebieg charakterystyki Go(jw�) jest zgodny z rys.8. Charakterystykę tę należy
uzupełnić półokręgiem o promieniu R = Ą�.
Q(�)
P(�)
-1,j0 �="
Rys.8. Charakterystyka Go(jw�) układu otwartego z dwoma elementami całkującymi
Z rysunku tego wynika, że taki układ po zamknięciu będzie zawsze niestabilny
(układ niestabilny strukturalnie), ponieważ punkt (-1,j0) leży po prawej stronie
charakterystyki Go(jw�).
Kryterium to jest proste w praktycznym zastosowaniu, gdy znamy
charakterystykę amplitudowo  fazową Go(jw�) oraz wiemy, że układ otwarty jest
stabilny, otrzymamy analizując stabilność elementów (podzespołów) wchodzących w
skład układu otwartego. Jeżeli stwierdzimy, że wszystkie elementy składowe są
stabilne, to układ otwarty też jest stabilny. W celu udowodnienia powyższego
stwierdzenia przyjmiemy, że układ otwarty składa się z dwóch elementów o
transmitancji G1(s) i G2(s)  rys.5.
M1(�s)� M2(�s)� Mo(�s)�
Go(�s)� =� G1(�s)�G2(�s)�=� =� (25)
N1(�s)� N2(�s)� No(�s)�
M1(�s)�; M2(�s)�
gdzie:
G1(�s)�=� G2(�s)�=�
N1(�s)� N2(�s)�
Stąd No(s)=N1(s)N2(s) oznacza wielomian charakterystyczny układu otwartego
równy iloczynowi wielomianów charakterystycznych elementów składowych. Zatem
pierwiastkami równania charakterystycznego układu otwartego są pierwiastki równań
charakterystycznych elementów składowych. Powyższe rozumowanie można
rozszerzyć na dowolną ilość elementów składowych.
12
"
=
R
3. Przykłady
Przykład 1.
Zbadać stabilność układu otwartego i zamkniętego o schemacie blokowym
(rys.9), gdzie G1(s) oznacza transmitancję regulatora PD. W tym celu
należy skorzystać z kryterium Hurwitza
s +�1
G1(�s)� =� ; G2(�s)� =� 2(�s +�1)� (26)
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
Rys.9. Charakterystyka Go(jw�) układu otwartego z dwoma elementami całkującymi
I. Transmitancja układu otwartego Go(s) jest równa:
2
2(�s +�1)�
Go(�s)�=� G1(�s)�G2(�s)�=� (27)
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
stąd równanie charakterystyczne układu otwartego Go(s) ma postać:
No(�s)�=� s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2 =� 0 (28)
1) warunek konieczny jest spełniony, ponieważ a4>0, a3>0, a2>0, a1>0,
a0>0.
Wyznacznik Hurwitza układu otwartego ma postać:
a3 a4 0 0 2 1 0 0
a1 a2 a3 a4 1 3 2 1
D�4(�s)�=� =� (29)
0 a0 a1 a2 0 2 1 3
0 0 0 a0 0 0 0 2
2) warunek wystarczający wymaga sprawdzenia znaku podwyznacznik D�2 i
D�3:
a3 a4 2 1
D�2(�s)� =� =� =� 6 -�1 =� 5 >� 0 (30)
a1 a2 1 3
13
a3 a4 0 2 1 0
D�3(�s)�=� a1 a2 a3 =� 1 3 2 =�
0 a0 a1 0 2 1 (31)
1 0 2 0 2 1
0 -� 2 +�1 =� -�8 +� 5 =� -�3 >� 0
3 2 1 2 1 3
Układ otwarty jest niestabilny, ponieważ D�3 < 0.
II. Transmitancja układu zamkniętego Gz(s) jest równa:
Y(�s)� G1
G1(�s)�=� =� =�
X(�s)� 1+� G0
s +�1
(32)
s +�1
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
=� =�
2
2(�s +�1)� s4 +� 2s3 +� 5s2 +� 5s +� 4
1+�
s4 +� 2s3 +� 3s2 +� s +� 2
stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego N(s) ma postać:
N(�s)�=� s4 +� 2s3 +� 5s2 +� 5s +� 4 =� 0 (33)
1) Warunek konieczny spełniony.
Wyznacznik Hurwitza D�4 ma postać:
2 5 0 0
1 5 4 0
D�4(�s)� =� (34)
0 2 5 0
0 1 5 4
2) Warunek wystarczający wymaga sprawdzenia znaku podwyznacznika
D�2 i D�3:
a3 a1 2 5
D�2(�s)�=� =� =�10 -� 5 =� 5 >� 0 (35)
a4 a2 1 5
14
2 5 0
1 5 2 5 2 5
D�3(�s)�=� 1 5 4 =� 0 -� 4 +� 5 =�
0 2 0 2 1 5 (36)
0 2 5
=� -�16 +� 25 =� 9 >� 0
Układ zamknięty jest stabilny.
Mamy tu do czynienia z przypadkiem, kiedy niestabilny układ otwarty po
zamknięciu staje się układem stabilnym.
Przykład 2
Określić stabilność układu zamkniętego o schemacie blokowym
przedstawionym na rys.10, gdzie w torze głównym występuje element
całkujący rzeczywisty o transmitancji:
kv
G1(�s)� =� (37)
s(�Ts +�1)�
Stabilność należy określić z wykorzystaniem kryterium Nyquista.
k
v
s (�Ts +� 1)�
Rys.10. Schemat blokowy układu
W analizowanym przykładzie transmitancja układu otwartego jest równa
transmitancji G1(s).
Charakterystyka amplitudowo  fazowa układu otwartego Go(jw�)
przedstawiona jest na rys.10.
Układ otwarty jest stabilny dla T > 0, gdyż element całkujący rzeczywisty
jest stabilny (nieasymptotycznie). Posiada bowiem pierwiastki równania
charakterystycznego s1 = 0, s2 = -1/T.
Ponieważ w układzie otwartym występuje element całkujący,
charakterystykę uzupełniamy częścią okręgu R = Ą� (linia przerywana na
rys.11). Z rysunku tego wynika również, że układ zamknięty będzie zawsze
stabilny, niezależnie od wartości kv i dla T > 0, ponieważ punkt (-1,j0) leży
zawsze po lewej stronie charakterystyki częstotliwościowej układu
otwartego Go(jw�).
15
k
-�
T
R =� Ą�
Rys.11. Charakterystyka amplitudowo  fazowa układu otwartego
kv
o transmitancji
G1(�s)�=�
s(�Ts +�1)�
Przykład 3
Zbadać stabilność systemu opisanego przez wielomian charakterystyczny
M(s) = s4+s3+s2+2s+1. W tym celu należy wykorzystać kryterium Routha.
W tym celu budujemy tablice Routha zgodnie z zależnością (15).
Wówczas otrzymamy:
1 1 1
s4
1 2 0
s3
(38)
-�1 1 0
s2
3 0
s1
1 0
s0
Ponieważ w pierwszej kolumnie występuje podwójna zmiana znaku,
wielomian M(s) ma dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyz
nie zespolonej s.
Przykład 4
Zbadać stabilność systemu opisanego przez wielomian charakterystyczny
M(s) = s4+s3+2s2+2s+2. W tym celu należy wykorzystać kryterium Routha.
W tym celu budujemy tablice Routha zgodnie z zależnością (15).
Wówczas otrzymamy:
1 2 2
s4
1 2 0
s3
(39)
0 2 0
s2
Ą�
s1
s0
Ponieważ trzeci element pierwszej kolumny jest zerem, tablica nie może
być uzupełniona. Po pomnożeniu wielomianu M(s) przez (s+1) otrzymuje się
wielomian M1(s)=(s+1)M(s)=s5+2s4+3s3+4s2+4s+2, dla którego tablica
Routha ma postać:
16
1 3 4
s5
2 4 2
s4
1 3 0
s3
(40)
-� 2 2
s2
4 0
s1
2
s0
Ponieważ w pierwszej kolumnie występuje podwójna zmiana znaku,
wielomian M1(s) (czyli również wielomian M(s)) ma dwa pierwiastki w
prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s.
6. Literatura
1. Zbigniew WAA
ACH  Cybernetyka techniczna. Część I  Eksploatacja osprzętu ,
Wydział Wydawniczy WAT, Warszawa 1983
2. Janusz KOWAL  Podstawy automatyki. T1 , Uczelniane Wydawnictwa
Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004, Sygnatura: 60378
3. Tadeusz Kaczorek  Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe i dyskretne .
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
4. Dariusz Horla  Podstawy automatyki. Ćwiczenia rachunkowe. Część I ,
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2003.
5. Władysław Pełczewski  Teoria sterowania. Ciągłe stacjonarne układy liniowe
Wydawnictwa Naukowo  Techniczne, Warszawa 1980, Sygnatura: II  65523.
17